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湖北省百校大联盟2020届高三10月联考理数详细答案版

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湖北省百校大联盟2018届高三10月联考理数一、选择题：共12题1．已知集合A ={1,a},B ={x|x 2−5x +4<0,x ∈Z},若A ∩B ≠ϕ,则a 等于A.2B.3C.2或3D.2或4【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算.B ={x |1<x <4,x ∈Z }={2,3},因为A ∩B ≠ϕ,所以a =2或32．已知角θ的终边经过点P(x,3)(x <0)且cosθ=√1010x ,则x 等于A.-1B.−13C.-3D.−2√23【答案】A【解析】本题主要考查任意角的三角函数.因为角θ的终边经过点P (x,3)(x <0),所以角θ是第二象限的角,因为cosθ=√1010x =√x 2+9,求解可得x =−13．已知函数f(x +1)=2x+1x+1,则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为A.1B.-1C.2D.-2【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的解析式的求法,考查了换元法示解析式.f(x +1)=2(x+1)−1x+1,则f (x )=2x−1x=2−1x,f ́(x)=1x 2,则f ́(1)=1,故答案为A.4．为得到函数y =−sin2x 的图象,可将函数y =sin(2x −π3)的图象A.向左平移π3个单位B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位D.向右平移2π3个单位 【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式.y =−sin2x =sin(2x −π)=sin 2(x −π2),y =sin (2x −π3)=sin 2(x −π6),所以,可将函数y =sin(2x −π3)的图象向右平移π2−π6=π3个单位可得到数y =−sin2x 的图象,故答案为C.5．“b ≤∫1xdx e1e”是“函数f(x)={|x|+2,x >03x+b,x ≤0是在R 上的单调函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、函数的性质、定积分，考查了逻辑推理能力.∫1xdx e 1e=ln x |1ee =2，则b ≤2，令b =2，显然函数f(x)={|x|+2,x >03x +b,x ≤0在R 上的不是单调函数，即充分性不成立；若函数f(x)={|x|+2,x >03x +b,x ≤0是在R 上的单调函数，所以1+b ≤2,即b ≤1≤2,即必要性成立，故答案为B.6．sin3,sin1.5,cos8.5的大小关系为A.sin1.5<sin3<cos8.5B.cos8.5<sin3<sin1.5C.sin1.5<cos8.5<sin3D.cos8.5<sin1.5<sin3【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的性质、诱导公式，考查了逻辑推理能力.sin3=sin (π−3)>0，cos8.5=cos (8.5−2π)=sin (5π2−8.5)<0，sin1.5>0,又因为y =sinx 在(0,π2)上是增函数，且0<π−3<1.5<π2,所以cos8.5<sin3<sin1.57．已知命题p:对任意x ∈(0,+∞),log 4x <log 8x ,命题q:存在x ∈R ,使得tanx =1−3x ,则下列命题为真命题的是 A.p ∧q B.(¬p)∧(¬q) C.p ∧(¬q) D.(¬p)∧q【答案】D【解析】本题主要考查全称命题与特称命题、逻辑联结词，考查了逻辑推理能力.令x =64，则log 4x =3<log 8x =2不成立，则命题p 是假命题，¬p 是真命题；令x =0，则tanx =0=1−3x ，故命题q 是真命题，¬q 是假命题，因此(¬p)∧q 是真命题8．函数y =x 2ln|x||x|的图象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力.f (−x )=x 2ln |x ||x |=f(x),偶函数，故排除B ；当x >1时,y >0, 故排除A ；原函数可化为y =|x|ln|x|，当x →0时，y →0，故排除C ，则答案为D.9．若函数f(x)=√2sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x =π12对称,且当x 1,x 2∈(−7π12,−2π3),x 1≠x 2时,f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.√2B.√22C.√62D.√24【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.因为函数f(x)=√2sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x =π12对称,所以f (π12)=√2sin (π6+φ)=±1,且|φ|<π2,所以φ=π3,所以函数f(x)的对称轴x =kπ2+π12,k ∈Z ,所以,当k =−1时,函数的一条对称轴为x =−5π12,因为当x 1,x 2∈(−7π12,−2π3),x 1≠x 2时,f(x 1)=f(x 2),所以x 1+x 2=−5π6,所以f (x 1+x 2)=f (−5π6)=√2sin [2(−5π6)+π3]=√6210．4sin800−cos100sin100= A.√3 B.−√3C.√2D.2√2−3【答案】B【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式，考查了转化思想与计算能力.4sin800−cos100sin100=4cos100sin 10°−cos100sin100=2sin 20°−cos100sin100=2sin (30°−10°)−cos 10°sin 10°=2(sin 30°cos 10°−cos 30°sin 10°)−cos 10°sin 10°=−√311．设函数f(x)=1−√x +1,g(x)=ln(ax 2−3x +1),若对任意x 1∈[0,+∞),都存在x 2∈R ,使得f(x 1)=g(x 2),则实数a 的最大值为 A.94B.2C.92D.4【答案】A【解析】本题主要考查对数函数、函数的定义域与值域,考查了转化思想与逻辑推理能力.设ℎ(x )=ax 2−3x +1的值域为A ,因为对任意x 1∈[0,+∞),都存在x 2∈R ,使得f(x 1)=g(x 2),且f(x)的值域为(−∞,0],所以(−∞,0]⊆A ,所以ℎ(x )要取遍(0,1]中的每一个数,又ℎ(0)=1,所以实数a 需要满足a ≤0或{a >0∆=9−4a ≥0,解得a ≤94,故答案为A.12．若存在两个正实数x,y ,使得等式3x +a(2y −4ex)(lny −lnx)=0成立,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围是 A.(−∞,0) B.(0,32e ]C.[32e ,+∞) D.(−∞,0)∪[32e,+∞)【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.因为两个正实数x,y ,3x +a(2y −4ex)(lny −lnx)=0，所以3+a(2yx −4e)ln yx =0，令yx =t,t >0,t ≠1,t ≠2e ,则1a =23(2e −t )lnt ,令f (t )=(2e −t )lnt ,f ́(t )=2et −(1−lnt )=0,则t=e ，所以f ́(t )>0时，0<t<e;f ́(t )<0时，t>e,所以f (t )≤f (e )=e ,且f (t )≠0，所以0<1a ≤23e 或1a <0,解得a<0或a ≥32e ,故答案为D. 二、填空题：共4题13．命题“若x ≥1,则x 2−4x +2≥−1”的否命题为 ．【答案】若x <1,则x 2−4x +2<−1【解析】本题主要考查四种命题.由否命题的定义可知，答案：若x <1,则x 2−4x +2<−114．已知集合A ={(x,y)|x,y ∈R,x 2+y 2=1},B ={(x,y)|x,y ∈R,y =4x 2−1},则A ∩B 的元素个数是 ． 【答案】3【解析】本题主要考查集合的基本运算,考查了计算能力.A ∩B 表示x 2+y 2=1与y =4x 2−1的交点坐标组成的集合,解方程组{y =4x 2−1x 2+y 2=1可得{x =0y =−1或{x =√74y =34或{x =−√74y =34,所以A ∩B 的元素个数是3. 15．若tan(α+π4)=sin2α+cos 2α,α∈(π2,π),则tan(π−α)= ．【答案】3【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式，考查转化思想与计算能力.由tan(α+π4)=sin2α+cos 2α可得tanα+11−tanα=2sinαcosα+cos2αsin α+cos α=2tanα+1tan α+1，又因为α∈(π2,π),所以tanα=−3，则tan (π−α)=−tanα=3【备注】cos 2α16．设函数f(x)对任意实数x 满足f(x)=−f(x +1),且当0≤x ≤1时,f(x)=x(1−x),若关于x 的方程f(x)=kx 有3个不同的实数根,则k 的取值范围是 ． 【答案】(5−2√6,1)∪{−3+2√2}【解析】本题主要考查导数、函数的图像与性质、函数与方程，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.因为f(x)=−f(x +1),所以f (x +2)=−f (x +1)=f(x),则函数f(x)是最小正周期为2的周期函数，因为当0≤x ≤1时，f(x)=x(1−x),所以当−1≤x ≤0时，0≤x +1≤1，f (x )=−f (x +1)=x(x +1)，作出函数f(x)的图像，如图所示，根据数形结合，当直线y=kx 与曲线f(x)在一三象限第一次相切时，由于曲线f(x)的对称性，考虑第一象限即可，对f(x)=x(1−x)(0≤x ≤1)求导，f ́(x )=1−2x ，此时有{1−2x =k−2x 2+x =−x 2+x,则x =0，k =1，此时切点恰好在原点，即两图像恰好只有一个交点，第二次相切时，切点在f (x )=−x 2+5x −6(2≤x ≤3)上，f ́(x )=5−2x ，此时有−2x 2+5x =−x 2+5x −6，则x =√6，k =−2√6+5,所以当−2√6+5<k <1时,直线y=kx 与曲线f(x)有三个交点；当直线y=kx 与曲线f(x)在二四象限相切时,由于曲线f(x)的对称性考虑第二象限即可,此时切点在f (x )=−x 2−3x −2(−2≤x ≤−1)上，f ́(x )=−2x −3,有−2x 2−3x =−x 2−3x −2，则x =−√2，k =−3+2√2，此时直线与曲线惟有三个交点，综上，答案为：(5−2√6,1)∪{−3+2√2} 三、解答题：共6题17．已知函数f(x)=√log 0.3(4x −1)的定义域为A,m >0,函数g(x)=4x−1(0<x ≤m)的值域为B .(1)当m =1时,求(C R A)∩B ；(2)是否存在实数m ,使得A =B ？若存在,求出m 的值；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)由{4x −1>0log 0.3(4x −1)≥0,解得：14<x ≤12,即A =(14,12]. 当m =1时,因为0<x ≤1,所以14<4x−1≤1,即B =(14,1], 所以(C R A)∩B =(12,1].(2)因为B =(14,4m−1],若存在实数m ,使A =B ,则必有4m−1=12,解得m =12,故存在实数m =12,使得A =B .【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质、集合的基本运算，考查了逻辑推理能力.(1)利用对数函数与指数函数的性质求出A =(14,12]，B =(14,1],再利用补集与交集的定义求解即可；(2)B =(14,4m−1],由题意可得4m−1=12,则结论易得.18．设α∈(0,π3),满足√6sinα+√2cosα=√3.(1)求cos(α+π6)的值; (2)求cos(2α+π12)的值.【答案】(1)∵√6sinα+√2cosα=√3,∴sin(α+π6)=√64,∵α∈(0,π3),∴α+π6∈(π6,π2),∴sin(α+π6)=√104(1)∵√6sinα+√2cosα=√3,∴sin(α+π6)=√64,(2)由(1)可得:cos(2α+π3)=2cos 2(α+π6)−1=2×(√104)2−1=14,∵α∈(0,π3),∴2α+π3∈(π3,π),∴sin(2α+π3)=√154.∴cos(2α+π12)=cos[(2α+π3)−π4]=cos(2α+π3)cos π4+sin(2α+π3)sin π4=√30+√28. 【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系、两角和与差公式、二倍角公式的应用,考查了拼凑法、逻辑推理能力.(1)由已知,利用两角和的正弦公式求出sin(α+π6)=√64,利用范围,即可求出结果;(2)先利用二倍角公式求出cos(2α+π3),再拼凑可得cos(2α+π12)=cos[(2α+π3)−π4],则易得结果.19．设p:实数a 满足不等式3a ≤9,q:函数f(x)=13x 3+3(3−a)2x 2+9x 无极值点.(1)若“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题,求实数a 的取值范围;(2)已知“p ∧q ”为真命题,并记为r ,且t:a 2−(2m +12)a +m(m +12)>0,若r 是¬t 的必要不充分条件,求正整数m 的值.【答案】由3a ≤9,得a ≤2,即p:a ≤2.∵函数f(x)无极值点,∴f ′(x)≥0恒成立,得Δ=9(3−a)2−4×9≤0,解得1≤a ≤5, 即q:1≤a ≤5.(1)∵“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题,∴p 与q 只有一个命题是真命题, 若p 为真命题,q 为假命题,则{a ≤2a <1或a >5⇒a <1; 若q 为真命题,p 为假命题,则{a >21≤a ≤5⇒2<a ≤5. 于是,实数a 的取值范围为{a|a <1或2<a ≤5}. (2)∵“p ∧q ”为真命题,∴{a ≤21≤a ≤5⇒1≤a ≤2.又a 2−(2m +12)a +m(m +12)>0,∴(a −m)[a −(m +12)]>0, ∴a <m 或a >m +12,即t:a <m 或a >m +12,从而¬t:m ≤a ≤m +12. ∵r 是¬t 的必要不充分条件,即¬t 是r 的充分不必要条件, ∴{m ≥1m +12≤2,解得1≤m ≤32.∵m ∈N ∗,∴m =1.【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、充分条件与必要条件、导数与函数的性质,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)p :a ≤2;由题意易知f ′(x)≥0恒成立,即可求出q:1≤a ≤5;易知p 与q 只有一个命题是真命题,则{a ≤2a <1或a >5或{a >21≤a ≤5,求解可得结论;(2)易得r :1≤a ≤2,t:a <m 或a >m +12,由r 是¬t 的必要不充分条件,可知{a|m ≤a ≤m +12}是{a|1≤a ≤2}的真子集,则结论易得.20．已知函数f(x)=sin(5π6−2x)−2sin(x −π4)cos(x +3π4).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈[π12,π3],且F(x)=−4λf(x)−cos(4x −π3)的最小值是−32,求实数λ的值. 【答案】(1)∵f(x)=sin(5π6−2x)−2sin(x −π4)cos(x +3π4)=12cos2x +√32sin2x +(sinx −cosx)(sinx +cosx) =12cos2x +√32sin2x +sin 2x −cos 2x =12cos2x +√32sin2x −cos2x =sin(2x −π6)∴T =2π2=π,由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2,得kπ−π6≤x ≤kπ+π3,k ∈ZZ , ∴函数f(x)的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k ∈Z . (2)F(x)=−4λf(x)−cos(4x −π3)=−4λsin(2x −π6)−[1−2sin 2(2x −π6)]=2sin2(2x−π6)−4λsin(2x−π6)−1=2[sin(2x−π6)−λ]2−1−2λ2∵x∈[π12,π3],∴0≤2x−π6≤π2,0≤sin(2x−π6)≤1,①当λ <0时,当且仅当sin(2x−π6)=0时,f(x)取得最小值-1,这与已知不相符；②当0≤λ≤1时,当且仅当sin(2x−π6)=λ时,f(x)取最小值−1−2λ2,由已知得−1−2λ2=−32,解得λ=12；③当λ >1时,当且仅当sin(2x−π6)=1时,f(x)取得最小值1−4λ,由已知得1−4λ=−32,解得λ=58,这与λ>1相矛盾.综上所述,λ=12.【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)化简f(x)=sin(2x−π6)，再根据正弦函数的周期性与单调性求解即可；(2)化简可得F(x)=2[sin(2x−π6)−λ]2−1−2λ2，由正弦函数性质，结合二次函数的性质，分λ<0、λ>1、0≤λ≤1三种情况讨论求解即可.21．已知函数f(x)=ax +xa−(a−1a)lnx(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当a∈[12,2]时,函数f(x)没有零点(提示：ln2≈0.69).【答案】(1)因为f(x)=ax +xa−(a−1a)lnx=1a[x+a2x−(a2−1)lnx],所以f′(x)=(x+1)(x−a2)ax2因为x>0,所以当x∈(0,a2)时,f′(x)<0,当x∈(a2,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调增区间为(a2,+∞),单调减区间为(0,a2).当x=a2时,f(x)取得极小值f(a2)=1a[a2+1−(a2−1)lna2](2)由(1)可知,当x=a2时,f(x)取得极小值,亦即最小值.f(a 2)=1a[a 2+1−(a 2−1)lna 2],又因为12≤a ≤2,所以14≤a 2≤4,设g(x)=x +1−(x −1)lnx,(14≤x ≤4),则g ′(x)=1x −lnx , 因为g ′(x)在[14,4]上单调递减,且g ′(1)>0,g ′(2)<0,所以g ′(x)有唯一的零点m ∈(1,2),使得g(x)在[14,m)上单调递增,在(m,4]上单调递减, 又由于g(14)=5−6ln24>0,g(4)=5−6ln2>0,所以g(x)>0恒成立,从而f(a 2)=1a [a 2+1−(a 2−1)lna 2]>0恒成立,则f(x)>0恒成立,所以当a ∈[12,2]时,函数f(x)没有零点.【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极值，考查了转化思想、逻辑推理能力是以计算能力.(1)f ′(x)=(x+1)(x−a 2)ax 2，根据题意，易得函数的单调性与极值；(2) 由(1)可知,当x =a 2时,f(x)取得极小值,亦即最小值，f(a 2)=1a [a 2+1−(a 2−1)lna 2],14≤a 2≤4, 设g(x)=x +1−(x −1)lnx,(14≤x ≤4),求导并判断函数g(x)最小值的符号，即可得出结论.22．已知函数f(x)=ae x +blnxx(a,b ∈R 且a ≠0).(1)若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴垂直,且f(x)有极大值,求实数a 的取值范围；(2)若a =b =1,试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并加以在证明.(提示：e 34>169,e 23<94)【答案】(1)∵f ′(x)=(ae x +bx)x−(ae x +blnx)x 2,∴f ′(1)=b =0,∴f ′(x)=ae x (x−1)x 2.当a >0时,由f ′(x)>0得x >1；由f ′(x)<0得0<x <1. 故f(x)只有极小值,不合题意.当a <0时,由f ′(x)>0得0<x <1；由f ′(x)<0得x >1. 故f(x)在x =1处取得极大值,所以实数a 的取值范围为(−∞,0). (2)当a =b =1时,f(x)=e x +lnx x,则f ′(x)=e x (x−1)+1−lnxx 2,设g(x)=e x (x −1)+1−lnx ,则g ′(x)=x(e x −1x 2),设g ′(m)=0,∵e 34>169,e 23<94,且y =e x −1x 2在x ∈(0,+∞)上递增,∴23<m <34.不难得知,g(x)≥g(m).∵e m =1m ,∴m =−2lnm ,∴g(m)=1m 2(m −1)+1+m 2=m 3+2m 2+2m−22m 2,∵(m 3+2m 2+2m −2)′=3m 2+4m +2>0恒成立,∴φ(m)=m 3+2m 2+2m −2递增.∴φ(m)>φ(23)=1427>0,∴g(m)>0,∴g(x)>0,从而f ′(x)>0. 故f(x)在(0,+∞)上递增.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，f ′(1)=b =0，f ′(x)=ae x (x−1)x 2，分a >0、a <0两种情况讨论函数的单调性，根据函数有极大值求解即可；(2)f ′(x)=e x (x−1)+1−lnxx 2,设g(x)=e x (x −1)+1−lnx ,则g ′(x)=x(e x −1x 2),根据g ′(x)的单调性与零点，判断函数f(x)的单调性即可.。

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湖北省麻城市2020届高三10月联考数学(理)试卷(扫描版)(含答案)

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湖北省金太阳百校联考高三上学期数学10月月考试卷及答案

湖北省金太阳百校联考高三上学期数学10月月考试卷及答案

高三上学期数学10月月考试卷一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.如图所示的复古时钟显示的时刻为10:10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（）A. B. C. D.3.若函数的定义域为，且，，，，则的解析式可能为（）A. B. C. D.4.将函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则（）A. 5B.C. 4D.5.已知命题：，，，则为（）A.，， B. ，，C.，， D. ，，6.函数在上的部分图象大致为（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.已知点为角终边上一点，，且，则（）A. 2B. 2±C. 1D. ±1二、多选题9.关于充分必要条件，下列判断正确的有（）A. “ ”是“ ”的充分不必要条件B. “ ”是“ ，，成等比数列”的充分不必要条件C. “ 的图象经过点”是“ 是幂函数”的必要不充分条件D. “直线与平行”是“直线与的倾斜角相等”的充要条件10.血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时，），他的血压（）与经过的时间（）满足关系式，则（）A. 函数的最小正周期为6B. 当天早晨7点时李华的血压为C. 当天李华有高血压D. 当天李华的收缩压与舒张压之差为11.已知函数的定义域为，，，当时，，则（）A. B. 的图象关于直线对称C.当时， D. 函数有4个零点12.若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为一元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数（，），则（）A. B.C. 的最小值为D. 的最小值为三、填空题13.函数的图象在点处的切线方程为 .14.设集合，或，若，则的取值范围是 .15.设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为 .16.已知函数，则的最小值为，图象的一条对称轴方程可以是 .四、解答题17.已知.（1）.求的值；（2）.求值.18.如图，在三棱锥中，平面，，与的长度之和为6米，，现要给三棱锥的侧面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.（1）.设米，三棱锥的侧面共需要油漆升，试写出关于的函数表达式；（2）.刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由.19.已知函数的部分图象如图所示.（1）.求的解析式；（2）.把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，证明：在上有最大值的充要条件是.20.已知函数.（1）.讨论在上的单调性；（2）.若曲线的一条切线的斜率为，证明：这条切线与曲线只有一个公共点.21.已知函数（且）经过定点，函数（且）的图象经过点.（1）.求函数的定义域与值域；（2）.若函数在上有两个零点，求的取值范围.22.已知函数.（1）.若，求的取值范围；（2）.若，证明：.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】，，.故答案为：D.【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合M，再由并集的定义结合不等式的性质即可得出答案。

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三上学期10月联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三上学期10月联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则AB =（）A.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.()0,1C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B表示函数y =由函数的定义域、值域的求法，求出集合A 、B ，再求A B 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即AB =10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选D. 【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2．函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解. 【详解】解：令320x -=，解得3log 2x =， 令3log 60x +=，解得3log 6x =-，则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-， 故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.3．若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（） A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<【答案】D【解析】由定积分的运算可得c =1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，再由以e 为底的对数函数的单调性可得1ln 22a =>=，再由以12y x -=的单调性可得 11221542b --=<=，比较即可得解. 【详解】解：201cos 2c xdx π=⎰=1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，又 11221542b --=<=，1ln 22a =>=，即b c a <<， 故选D. 【点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小，指数幂比较大小，重点考查了不等关系，属中档题.4．下列四个结论：①若点()(),20P a a a ≠为角α终边上一点，则sin α=②命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”； ③若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<； ④“log 0a b >（0a >且1a ≠）”是“1a >，1b >”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（） A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】对于①，由三角函数的定义，讨论0a >，0a <即可； 对于②，由全称命题与特称命题的关系判断即可得解； 对于③，由零点定理，需讨论函数在()2019,2020是否单调； 对于④，由充分必要性及对数的运算即可得解. 【详解】解：对于①，当0a >时，有sin α===当0a <时，有sin α===①错误；对于②，命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”；由特称命题的否定为全称命题，则②显然正确；对于③，若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<； 若函数在()2019,2020为单调函数，则必有()()201920200f f ⋅<，若函数在()2019,2020不单调，则必有()()201920200f f ⋅<，不一定成立，即③错误；对于④，当“1a >，1b >”时，可得到“log 0a b >（0a >且1a ≠）”，当“log 0a b >（0a >且1a ≠）”时，则“1a >，1b >”或“01a <<，01b <<”， 即④正确， 故选C. 【点睛】本题考查了三角函数的定义、全称命题与特称命题、零点定理及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属综合性较强的题型. 5．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A.-7B.7C.1D.-1【答案】B【解析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α=-， 再由两角和的正切公式()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，将tan 2α=-代入运算即可.【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α=-， 又()1tan 3αβ+=， 则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7， 故选B. 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.6．已知()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()4421(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 7．若函数()()()3,af x m xm a R =+∈是幂函数，且其图像过点(，则函数()()2log 3a g x x mx =+-的单调递增区间为（）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,+∞D.()3,+∞【答案】A【解析】由幂函数的定义可得31m +=，由其图像过点(，则2α=，即12α=， 由复合函数的单调性有：()y g x =的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可. 【详解】解：因为()()()3,af x m xm a R =+∈，则31m +=，即2m =-，又其图像过点(，则2α=12α=， 则()()212log 23g x x x =--， 由复合函数的单调性有：()()212log 23g x x x =--的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，又223,(0)t x x t =-->的减区间为(),1-∞-，故选A.本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.8．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） A.函数()g x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B.函数()g x 的最小正周期为2πC.函数()g x 的图象关于直线6x π=对称D.函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【解析】由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得()sin()6g x x π=-，再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可. 【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，所得图像的解析式为 sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，令6x k ππ-=，则6x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，k Z ∈对称,即A 错误； 令62x k πππ-=+，则23x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于直线23x k ππ=+，k Z ∈对称,及C 错误；由221T ππ==，即C 错误； 令 22262k x k πππππ-≤-≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，即函数()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 正确，【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.9．已知定义在R 上的函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()110f x f x ++-=成立，且函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()2019f =（）A.0B.2C.-2D.-1【答案】A【解析】由()()110f x f x ++-=，可得()()20f x f x ++-=， 又由函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，可得函数()f x 的图像关于y 轴对称，即 ()()f x f x =-，再结合函数对称性及奇偶性可得函数的周期为4，再运算即可. 【详解】由()()110f x f x ++-=，则()()20f x f x ++-=，① 又函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，②联立①②可得()()4f x f x =+，即函数()f x 的周期为4， 即()2019f =(50541)(1)f f ⨯-=-， 又因为()()110f x f x ++-=，令0x =得(1)0f =，又函数()f x 的图像关于y 轴对称，则(1)0f -=， 即()2019f =0， 故选A. 【点睛】本题考查了函数的对称性、奇偶性、周期性及利用函数的性质求值，属中档题. 10．已知函数()()sin xf x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A.()1,1-B.[]1,1-C.⎡⎣D.(【答案】D【解析】由函数()()sin x f x ex a =-有极值，等价于sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x均有解，又()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即00a a ⎧<⎪>，运算即可得解. 【详解】 解：因为()()sin xf x e x a =-，所以()()'sin cos x fx e x x a =+-，令()sin cos g x x x a =+-， 由函数()()sin xf x ex a =-有极值，则sin cos x x a +-=0有变号根， 即()0>g x ，()0<g x 均有解，又()sin cos )4g x x x a x a π=+-=+-，即()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，即a << 故选D. 【点睛】本题考查了导数的运算、函数的极值及三角函数的值域，重点考查了方程有解问题，属中档题.11．设函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，则不等式()()12f x f x ->的解集为（）A.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数，由()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数，再结合函数的性质解不等式11112112x x x x ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩即可得解.【详解】解：因为函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，所以()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数， 又()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数， 又()()12f x f x ->，则11112112x x x x⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得103x ≤<，即不等式()()12f x f x ->的解集为10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.12．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A.()()10f ef <B.()()12ef f <C.()()303e f f >D.()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数， 又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题.二、填空题13．设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________． 【答案】750x y --=【解析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14．已知函数()(()32log 1f x ax x a R =++∈且()13f =-，则()1f -=__________．【答案】5【解析】先观察函数()f x 的结构，再证明()()2f x f x +-=，再利用函数的性质求解即可. 【详解】解：因为()(32log 1f x ax x =++，所以()(332()log ()log(22f x f x ax x a x x +-=++-+-++=，又()13f =-，则()1f -=2(1)235f -=+=， 故答案为5. 【点睛】本题考查了对数的运算及函数()f x 性质的判断，重点考查了观察能力及逻辑推理能力，属中档题.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足sin b C a =，22285a cb ac +-=，则tan C =___________．【答案】-3【解析】由余弦定理可得cos 45B =，3sin 5B =， 再由正弦定理可得sin sin sin cos cos sin BC B C B C =+， 再结合运算即可得解. 【详解】解：因为22285a cb ac +-=， 则2224cos 25a cb B ac +-==，则3sin 5B =， 又因为sin b C a =，则sin sin sin B C A =，则sin sin sin sin()sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+，将cos 45B =，3sin 5B =代入得，sin 3cosC C =-, 即sin tan 3cos CC C==-， 故答案为-3. 【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，重点考查了两角和的正弦公式及运算能力，属中档题. 16．若函数()22xk f x e x kx =-+在[]0,2上单调递增，则实数k 的取值范围是________．【答案】21,e ⎡⎤-⎣⎦【解析】由()'x fx e kx k =-+，利用导数再分情况讨论当0k ≤，当2k e ≥，当01k <≤时，当21k e <<时函数()xg x e kx k =-+的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：由()22xk f x e x kx =-+， 则()'x fx e kx k =-+，由函数()f x 在[]0,2上单调递增， 则()'0x fx e kx k =-+≥在[]0,2恒成立，设()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈①当0k ≤时，()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈为增函数，要使()0g x ≥，则只需()00g ≥，求得10k -≤≤， ②由()'xg x e k =-，1 当2k e ≥时，()'0g x ≤，即函数()g x 为减函数，即()2min (2)g x g e k ==-，要使()0g x ≥，则只需()2min 0g x e k =-≥，即2k e =，2当01k <≤时，有()'0xg x e k =-≥，即函数()g x 为增函数，要使()0g x ≥，则只需()min (0)10g x g k ==-≥，即01k <≤，3当21k e <<时，有当0ln x k <<时，()'0g x <，当2ln k x e <<时，()'0g x >，即函数()g x 在(0,ln )k 为减函数，在2(ln ,)k e 为增函数，即()min (ln )2ln g x g k k k k ==-，要使()0g x ≥，则只需()min 2ln 0g x k k k =-≥，即2k e <，综上可得实数k 的取值范围是21,e ⎡⎤-⎣⎦， 故答案为21,e ⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.三、解答题17．在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B -=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解； （2）由三角恒等变换结合倍角公式可得2sin cos 222C A A -=1cos 26C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】 解：（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B-=， 即()2sin cos sin A B B C =+，即2sin cos sin A B A =， 又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=.（2)21sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+-12sin 2232C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π11sin cos 426C C C π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ，∴cos 6C ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭π1cos 26C π⎛⎫<+<⎪⎝⎭.2sin cos 222C A A-的取值范围为⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.18．湖北省第二届（荆州）园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪+⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.【答案】（1）()W x 2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩（2）当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元【解析】（1）先阅读题意，再建立起年利润()W x 关于年产量x 的函数解析式即可；（2）利用配方法求二次函数的最值可得当020x <≤时()()22251200W x x =--+，即()()max 201150W x W ==，再利用重要不等式可得当90011x x +=+即29x =时()max 1360W x =，再比较两段上的最大值即可得解.【详解】解：（1）()()8050W x xG x x =--2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩. （2）当020x <≤时()()222100502251200W x x x x =-+-=--+， ∴()()max 201150W x W ==. 当20x >时()90010119601W x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭1019601360≤-⨯=， 当且仅当90011x x +=+即29x =时等号成立，∴()()max 291360W x W ==. ∵13601150>，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元. 【点睛】本题考查了分段函数及分段函数的最值，主要考查了重要不等式，重点考查了阅读能力及解决实际问题的能力，属中档题.19．已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60，求二面角B AD C --的余弦值.【答案】（1）详见解析（2【解析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，平面ADB的法向量()n =r ，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB P ，且2AB OF =. 又DE AB ∥，2AB DE =，∴OF DE P ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ， ∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -. ∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=.∴tan 60DO EF BF ===o∴(D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =，()2,4,0AB =-uu u r，(AD =-uuu r ，则240x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =∴()n =r ，∴cos ,4m n m n m n⋅<>==u r ru r r u r r ，∴二面角B AD C --的余弦值为4.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.20．如图，过点()2,0P 作两条直线2x =和l ：()20x my m =+>分别交抛物线22y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方），直线AC ，BD 交于点Q .（1）试求C ，D 两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2x =-上； （2）若PQC PBDS S λ∆∆=，求λ的最小值.【答案】（1）详见解析（2）3【解析】（1）联立直线方程与抛物线方程求得2240y my --=，从而可得124y y =-，再由点斜式方程求得直线AC 的方程为()12222y x y -=-+，直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 求出2x =，得解； （2）由题意有()()111222PQC PBDS x x S x λ∆∆+==-，再令()120t x t =->，则432t tλ=++，再由重要不等式求最小值即可得解. 【详解】解：（1）将直线l 的方程2x my =+代入抛物线22y x =得：2240y my --=， 设点()11,C x y ，()22,D x y ，则124y y =-.由题得()2,2A ，()2,2B -，直线AC 的方程为()12222y x y -=-+， 直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 得()12121224y y y yx y y -+=-+， 将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上. （2）∵()111222PQC S AP x x ∆=+=+，()221222PBD S BP x x ∆=-=-， 又221212164224y y x x =⋅==，∴()()111121122242222PQCPBD S x x x x S x x x λ∆∆+++====---.令()120t x t =->，则()()2443322t t t ttλ++==++≥，当且仅当t =即12x =+λ取到最小值3. 【点睛】本题考查了直线过定点问题及三角形面积公式，重点考查了圆锥曲线的运算问题，属中档题.21．已知函数()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈，()()'g x f x =（()'f x 是()f x 的导函数），()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12π-. （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()0,π内的极值点个数，并加以证明. 【答案】（1）1a =（2）()f x 在()0,π上共有两个极值点，详见解析 【解析】（1）先求得()()1'sin 2g x f x ax x ==-，再求得()()'sin cos g x a x x x =+，再讨论a 的符号，判断函数()g x 的单调性，再求最值即可得解； （2）利用（1）的结论，结合()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点定理可()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；再当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，由导数的应用可0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =，即()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减，再结合特殊变量所对应的函数值的符号可得()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点，综合即可得解. 【详解】解：（1）由()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈ 则()()1'sin 2g x f x ax x ==-， 则()()'sin cos g x a x x x =+， ①当0a =时()12g x =-，不合题意，舍去. ②当0a <时()'0g x <，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()()max 11022g x g π-==-≠，不合题意，舍去. ③当0a >时()'0g x >，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()max 112222a g x g πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴综上：1a =.（2）由（Ⅰ）知()1sin 2g x x x =-，()'sin cos g x x x x =+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()''2cos sin 0g x x x x =-<，∴()'g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又'102g π⎛⎫=>⎪⎝⎭，()'0g ππ=-<，∴0,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭使()0'0g x =且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0g x >，当()0,x x π∈时()'0g x <，∴()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减. 又10222g ππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，()002g x g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()102g π=-<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点.∴()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个变号零点，∴()f x 在()0,π上共有两个极值点. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，主要考查了零点定理，重点考查了函数的思想及运算能力，属综合性较强的题型.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为24x y =；P 点的直角坐标为()0,3（2）6【解析】（1）由极坐标与直角坐标的互化可得C 的直角坐标方程为24x y =，P 点的直角坐标为()0,3P ；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中t 的几何意义1212PA PB t t t t +=+=-，再求解即可. 【详解】解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =，P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P . （2）直线l 的参数方程为cos 33sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有>0∆，则1248t t ⋅=-，12t t +=121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=，1212PA PB t t t t +=+=-==所以116PA PB PA PB PA PB ++==⋅【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中t 的几何意义，属中档题.23．已知函数()5f x x =-，()523g x x =--.（1）解不等式()()f x g x <；（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,3（2）2a ≥【解析】（1）由绝对值的意义，分别讨论5x ≥，352x ≤<，32x <即可； （2）原命题等价于()()2f x g x -的最小值小于或等于a ，再利用绝对值不等式的性质可得()()2f x g x -=()2102352102352x x x x =-+--≥----=.即()()2f x g x -的最小值为2，即可得解. 【详解】 解：（1）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩， 所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, ∴原不等式的解集为()1,3.（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，则()()2f x g x -的最小值小于或等于a .()()225523f xg x x x -=--+-()2102352102352x x x x =-+--≥----=. 当且仅当3,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时取等号，∴()()2f x g x -的最小值为2. ∴2a ≥.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。

2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题

2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题

2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{41,}N x x k k Z ==±∈，则（ ） A ．MNB ．M N ≠⊂C ．N M ≠⊂ D ．ZN M =【答案】A【解析】由k Z ∈，从而k 可以表示成2k n =，或21,k n n Z =-∈，这样代入集合M 便可得到{}|41,M x x n n Z ==±∈，从而便可看出集合M 是表达形式同集合N 的相同，这样既可判断集合,M N 的关系. 【详解】因为k Z ∈，所以2k n =，或21,k n n Z =-∈，所以{|41M x x n ==+或}{}41,|41,x n n Z x x n n Z =-∈==±∈， 又{}|41,N x x k k Z ==±∈， 所以M N ，故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.2．已知复数z 满足(12)3z i i -=+，则共轭复数z 的模为（ ）A ．75B ．1CD ．2【答案】C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果. 【详解】由(12)3z i i -=+， 得3(3)(12)3261712(12)(12)555i i i i i z i i i i +++-++====+--+，所以z z === 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.3．“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由题可知()()120x y --=，可以解得1x =或2y =， 则从()()120x y --=不能推出1x =且2y =， 即不能满足其充分性，而由1x =且2y =能推出()()120x y --=， 即能证明其必要性满足，所以“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如103(mod 7)≡. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ）A ．29B ．30C ．31D ．32【答案】D【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2，②被5除余2， 所以应该满足是15的倍数多2， 并且是比26大的最小的数， 故输出的n 为32， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.5．已知ln 2ln33,2,2x y z ===，则,x y 的大小关系是（ ） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x y z => D ．y z x >>【答案】C【解析】首先对,x y 分别取以e 为底的对数，可以发现x y =，利用指数函数的单调性，可知y z >，从而得到其大小关系. 【详解】 因为ln 2ln33,2x y ==，所以ln 2ln ln 3ln 2ln 3x ==，ln3ln ln 2ln 3ln 2y ==，所以x y =， 又ln31222y z =>==，所以x y z =>，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.6．设 A B C 、、为三角形三内角，且方程2(sin sin )(sin sin )sin sin 0B A x A C x C B -+-+-=有两相等的实根，那么角B（ ） A ．60B >︒ B ．60B ≥︒C ．60B <︒D ．60B ≤︒【答案】D【解析】根据方程有两相等实根可得判别式0∆=，在依据正弦定理把角换成边，化简得2a c b +=，代入余弦定理得23cos 12b B ac=⋅-，再根据2a c b +=两边平方，得出2b 与ac 的关系，进而推断出cos B 的范围. 【详解】依题意有2(sin sin )4(sin sin )(sin sin )0A C B A C B ∆=----=， 根据正弦定理得：2()4()()0a c b a c b ----=， 即22224()0a ac c bc ac b ab -+---+=， 化简得：22242440a c b ac ab ac +++--=， 整理得：2(2)0a c b +-=， 即2a c b +=，所以22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==22323122b ac b ac ac-==⋅-，因为22(2)()4b a c ac =+≥，所以2b ac ≥，所以233111222b ac ⋅-≥-=，又因为1cos 1B -<<，所以1cos 12B ≤<，所以060B <≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.7．某同学研究曲线1133:1C x y +=的性质，得到如下结论：①x y 、的取值范围是R ；②曲线C 是轴对称图形；③曲线C 上的点到坐标原点的距离的最小值为8. 其中正确的结论序号为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】D【解析】把方程变形可得,x y 的取值范围，在方程中,x y 互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果. 【详解】因为曲线C 的方程11331x y +=，所以11331y x=-，式子中x 的范围为R ，对应的y 的范围为R ，所以命题①正确； 在11331x y +=中，令,x y y x ==，方程不变，所以曲线C 的图象关于直线y x =对称，所以命题②正确； 设曲线C 上点的坐标为(,)A x y ， 因为11331x y +=，所以11333()1x y +=，即21123333331x y x y x y +++=，所以111133333()1x y x y x y +++=，即111133333()1x y x y x y +++=， 所以113331x y x y ++=，又11331x y =+≥，所以113314x y ⋅≤，所以11331134x y x y +=-≥，则8OA d ==≥≥=，当且仅当x y =时取等号，所以曲线C ，所以命题③正确； 所以正确命题的序号是①②③，故选D. 【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目. 8．若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（ ） A ．∅ B ．{}1-C ．{}1,0-D ．⎪⎪⎩⎭【答案】B【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=， 因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意， 所以1x =-，即解集为{}1-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目. 9．将函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．B ．1-C ．2-D ．0【答案】A【解析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于y 轴对称，得到,62k k Z ππϕπ-=+∈，结合题中所给的条件2πϕ<，求得3πϕ=-，求得函数解析式，利用[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，从而确定出函数的最小值. 【详解】函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移12π个单位长度后，对应的解析式为2sin[2()]2sin(2)126y x x ππϕϕ=-+=-+， 因为其函数图象关于y 轴对称，所以有,62k k Z ππϕπ-=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以当233x ππ-=-时，()f x 取得最小值 故选A. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于y 轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.10．已知O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==则()AO AC AB ⋅-等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】根据点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==()AO AC AB AO AC AO AB⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<>，得到答案.【详解】因为点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB == 所以()AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<> 111(442222AC AC AB AB =⋅-⋅=⨯-=， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.11．已知实数a 、b 、c 、d 满足2113aa e cb d --==-（e 是自然对数的底数），则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．10B ．18C ．8D ．12【答案】B【解析】由已知可得2,4a b a e d c =-=-,则可知点(,)a b 在曲线2xy x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,进而可得22()()a c b d -+-表示的是曲线2xy x e =-到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方,接下来结合已知进行解答即可.【详解】实数a b c d ,,,满足2113a a e cb d --==-,2,4a b a e d c ∴=-=-.∴点(,)a b 在曲线2x y x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,22()()a c b d ∴-+-的几何意义就是曲线2x y x e =-上的点到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方.12x y e '=-求出2x y x e =-上和直线4y x =-平行的切线方程, 12=-1x y e '=- ∴令12=-1x y e '=-,解得0x =, ∴切点为(0,2)-,该切点到直线4y x =-的距离d ==就是所要求的两曲线间的最小距离,故22()()a c b d -+-的最小值为218d =. 故选:B . 【点睛】本题考查简单函数的导数,点到直线的距离公式,考查了学生分析问题的能力与转化与划归问题的能力,难度一般.12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a （0a >），向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为（ ） A ．2p alB ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，从中解出2lpaπ=，从而得出答案. 【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=， 所以2l paπ=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.二、填空题13．已知()f x 为奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于直线2y x =+对称，若(1)7g =，则(5)f -=_________. 【答案】3-【解析】首先根据题意确定出函数()y g x =的图象上的一点(1,7)，从而确定出点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出(5)3f =，利用奇函数的定义求得(5)3f -=-，得到结果. 【详解】根据题意有，点(1,7)在函数()y g x =的图象上，且点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，设点(1,7)关于直线2y x =+的对称点为(,)m n ，则有71171222n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩，所以有(5)3f =，因为函数()f x 是奇函数，所以有(5)3f -=-， 故答案是：3-. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.14．已知sin ,20()2ln ,0x x f x x x π⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x k =有四个实根1234,,,x x x x ，则这四根之和1234x x x x +++的取值范围是_________.【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出()f x 的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出1234x x x x +++关于3x 的函数，从而得出答案.【详解】作出()f x 的函数图象，如图所示：设1234x x x x <<<，则122x x +=-，且3411x x e e<<<<， 因为34ln ln x x -=，所以34ln 0x x =，所以341x x =，所以12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-，设11()2,(,1)g x x x x e =+-∈，则21'()10g x x=-<， 所以()g x 在1(,1)e上单调递减，所以10()2g x e e<<+-， 所以1234x x x x +++的取值范围是：1(0,2)e e+-， 故答案是：1(0,2)e e+-. 【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.15．已知ABC ∆中，角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，sin 1cos sin 2cos A AB B+=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，则a =__________.【答案】【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得2a b c =+，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，根据三角形的面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值. 【详解】 因为sin 1cos sin 2cos A AB B +=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=， 所以2sin sin cos sin sin cos A AB B B A -=+，所以2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+ 所以由正弦定理可得：2a b c =+，并且有3sin 5A ==，16sin 2bc A =，所以20bc =，由余弦定理可得222222222()242323404cos 2222405b c a b c bc a a bc a a bc a A bc bc bc bc +-+------======，整理得224a =，解得a =，故答案是：【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.16．定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），则(2)(1)f f 的取值范围是__________. 【答案】()4,8 【解析】令32()()(),()f x f x g x h x x x==，求出(),()g x h x 的导数，得到(),()g x h x 的单调性，可得(2)(1),(2)(1)g g h h <>，由(1)0f >，即可得到(2)48(1)f f <<，得到结果. 【详解】 令3()()f x g x x=， 则3264'()3()'()3()'()f x x x f x xf x f x g x x x--==， 因为'()3()xf x f x <，即'()3()0xf x f x -<， 所以)'(0g x <在(0,)+∞恒成立， 即()g x 在(0,)+∞上单调递减， 可得(2)(1)g g <，即(2)(1)81f f <， 由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <； 令2()()f x h x x =，243'()2()'()2()'()f x x xf x xf x f x h x x x ⋅--==， 因为'()2()xf x f x >，即'()2()0xf x f x ->，所以'()0h x >在(0,)+∞上单调递增，可得(2)(1)h h >，即(2)(1)4f f >，则(2)4(1)f f >， 即有(2)48(1)f f <<， 故答案是：(4,8).【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.三、解答题17．已知ABC ∆是圆O （O 为坐标原点）的内接三角形，其中13(1,0),(,)22A B --，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .（1）若点C 的坐标是34(,)55-，求cos COB ∠的值； （2）若点C 在优弧AB 上运动，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）343-；（2）2333a b c <++≤ 【解析】（1）由点,C B 的坐标可得,OC OB 的坐标，利用向量的夹角公式求得结果； （2）根据题意，可求得120AOB ∠=︒，3AB =，60ACB ∠=︒，利用正弦定理可得22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意求得角A 的范围，从而可求得323a b <+≤，进而得到三角形的周长的取值范围. 【详解】（1）根据题意可得34(,)55OC =-，13(,22OB =--， 343343cos cos ,101010OC OB COB OC OB OC OB⋅-∠===-=（2）∵120AOB ∠=︒，3AB =，∴60ACB ∠=︒∴32sin sin sin 60a b A B ===︒∴22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，203A π<<，323a b <+≤ ∴2333a b c <++≤. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，2AC =，23BD =，且AC BD 、交于点O ，E 是PB 上任意一点.（1）求证AC DE ⊥；（2）已知二面角A PB D --的余弦值为34，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（231313【解析】（1）利用线面垂直的性质得PD AC ⊥，利用菱形的性质得BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到AC DE ⊥；（2）分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD t =，用坐标表示点，求得平面PBD 的法向量为()11,0,0n =，平面PAB 的法向量为2233,1,n ⎛= ⎭，根据二面角A PB D --的余弦值为34，可求出3t =，从而得到点P 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥ 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥ 又BDPD D =，∴AC ⊥平面PBDDE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥（2）连OE ，在PBD ∆中，//OE PD ，∴OE ⊥平面ABCD分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD t =，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，0,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,P t -.由（1）知，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = 设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则由2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3030x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，则2233,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭ 因二面角A PB D --的余弦值为34， ∴12233cos ,4124n n t==+，∴3t = 设EC 与平面PAB 所成角为θ，∵31,0,2EC ⎛⎫=--⎪⎝⎭，2233,1,n ⎛= ⎭，∴233233sin cos ,131394134144323EC n θ--====++⋅. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.19．若a R ∈，函数2()f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ，求()g a 的表达式并求当a 为何值时，()g a 的值最小.【答案】()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当()221a =-时，()g a 取最小值.【解析】分类讨论，分0a ≤时和0a >时两种情况，当0a ≤时，()2f x x ax =-在区间[0,1]上为增函数，求出最大值，当0a >时，结合函数的图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，然后确定()g a 的最小值点. 【详解】（1）0a ≤时，∵01x ≤≤，∴()2f x x ax =-，()f x 单调递增.∴()()11g a f a ==- （2）当0a >，如图所示，令()24a f x =，得2a x =或21x +=①当12a≥，即2a ≥时，()()11g a f a ==- ②当21122aa +<<，即()2212a -<<时，()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当2112a +≤，即()0221a <≤-时，()()11g a f a ==-综上，()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩显然当()221a =-时，()g a 取最小值.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.20．已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、. 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设1122(,),(,)A x y C x y ，用,A C 的坐标表示S ； （2）设1l 与2l 的斜率之积与直线CA CB 、的斜率之积均为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）12212x y x y -；（2）22S =【解析】（1）首先利用题中的条件确定直线1l 的方程110xy yx -=，利用点到直线的距离公式求得点C 到直线1l 的距离d ，利用面积公式求得2ABC S S ∆=12212x y x y =-，得到结果；（2）设出直线方程11:l y K x =，22:l y K x =，利用两点斜率坐标公式求得22212221CA CBy y K K x x -⋅=-，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得2221222211y y x x a -=--，利用已知条件可得2112CA CB K K a ⋅=-=-，从而求得22a =，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得()()2221212221121848412K K S K K +=⋅⨯=+，从而得到22S =，得到结果. 【详解】（1）直线111:0l xy yx -=.12212211x y x y d x y-=+221122AB AO x y ==+∴2ABC S S AB d ∆==⋅1221221122112x y x y x y x y -=++12212x y x y =-（2）设11:l y K x =，22:l y K x =； ∵2221212122212121CA CBy y y y y y K K x x x x x x -+-⋅=⋅=-+- 又∵2222121222x x y y a a+=+，∴2221222211y y x x a -=-- ∴2112CA CB K K a ⋅=-=- ∴22a = ∴椭圆方程为2212x y +=联立12222122212y K x x K x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩ ∴2121212x K =+，同理可得2222212x K =+又∵1221211222S x y x y K K x x =-=-∴()222221124S K K x x =-∴()()()22212212441212S K K K K =-⋅++将2112K K =-代入()22121121144211212S K K K K ⎛⎫=+⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭得 ()()2221212221121848412K K SK K +=⋅⨯=+，∴S =【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.21．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第n 站的概率为n P .（1）求0P ，1P ，2P ；（2）写出n P 与1n P -、2n P -的递推关系299n ≤≤）； （3）求玩该游戏获胜的概率. 【答案】（1）34；（2）()121129922n n n P P P n --=+≤≤；（3）9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】（1）结合题设条件能够求出01P =，112P =，211132224P =+⨯=； （2）依题意，棋子跳到第n 站有两种可能：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -，由此能够得到n P 与12,n n P P --的递推关系；（3）由()11212n n n n P P P P ----=--，知数列{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果. 【详解】（1）依题意得01P =，112P =，211132224P =+⨯= （2）依题意知，棋子跳到第n 站有两种情况：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -； 第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -. ∴()121129922n n n P P P n --=+≤≤ （3）由（2）知，()11212n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=- ∴{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列. ()()()()9901021329998P P P P P P P P P P =+-+-+-++-2991111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10010011212113212⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭+ 又991001P P += ∴1009911132P⎛⎫=+⎪⎝⎭或10098991111232P P ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭ ∴玩该游戏获胜的概率为9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目. 22．已知函数()2ln ()af x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；（2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）1604ln 35S <<- 【解析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，()f x 是定义域上的增函数，转化为()0f x '≥，即221x a x ≥+恒成立，从而求出a 的取值范围； （2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<，设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<，利用韦达定理可得121=x x ，122x x a +=，由11121023x x a <+=<，从而得到1113x <<，根据题意可得S m n =-11122ln a ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由21120ax x a -+=得12121x a x =+，将其代入上边式子可得221121114ln 12x S x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，之后令21x t =，则119t <<，从而有()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，利用导数研究函数可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-= ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ ∵2211x x ≤+ ∴1a ≥ 所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x =，∵121=x x ，122x x a +=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭ 1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+= ∴12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t = ()()()221021t g t t t --'=<+ ∴()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 即()40ln 35g t <<-∴1604ln 35S <<-. 【点睛】 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.。