计量经济学第二部分

Ch5 双变量回归的区间估计与假设检验 (Interval estimation and hypothesis test) 上述模型中(MPC)2β∧=0.5091，与2β的差距有多大？(虽然E(2β∧)=2β)。

寻找δ和α(0<α<1)使随机区间（2β∧-δ，2β∧+δ）包含2β的概率为1-α 一、区间估计我们是否能找到一个区间，使其包含真值。

2222()1(,)P βδββδαβδβδ∧∧∧∧-≤≤+=--+为置信区间*置信区间是随机的。

二、12ββ和的置信区间2β的置信区间:222~(,())N Var βββ∧∧222~(0,1)()z N se βββ∧∧-==因σ未知，则:22222()t se ββσβββσ∧∧∧⎡⎤-⎢⎥-===⎥⎥⎥⎢⎥⎣⎦~遵循自由度为n-2的t 分布。

用t 分布建立2β的置信区间22()1p t t t ααα-≤≤=-给定α，可以确定一个临界值2t α，t 在此区间[－2t α，2t α]的概率为1-α。

22222()1()p t t se ααββαβ∧∧--≤≤=-2222222222(()())1100(1)()p t se t se t se αααβββββαβαββ∧∧∧∧∧⇒-≤≤+=-⇒-±2的置信区间为;同理可推出1β的置信区间：112()t se αββ∧∧±注：置信区间宽度的决定因素：22()t se αβ∧（＝=） 在支出一收入一例中220.5091,()0.0357,8.5%se df ββα∧∧====取22.306t α= 则；2(0.5091 2.3060.03570.5091 2.3060.0357)15%p β-⨯≤≤+⨯=-2(0.42680.5914)95%p β≤≤=解释：从长远看，在类似于（0.4268,0.5914）的每100个区间，将有95个包含真实的2β值。

同样也可计算出1β值信区间。

三、2σ的置信区间22222(2)~n n σχχσ∧-=- 用2χ建立2σ的置信区间222122()1p ααχχχα-≤≤=-⇓2222122((2))1p n αασχχασ∧-≤-≤=-22222122(2)(2)1p n n αασσσαχχ∧∧-⎡⎤⎢⎥-≤≤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、假设检验——置信区间法虚拟假设(null hypothesis)(声称的假设)H0：维护(mai ntained hgpotbesis) 0β=0.591：我们希望Ho 正确时，只有5%的次数被错误地拒绝。

H1：对立假设(alternative hypothesis) 00.5091β≠{置信区间显著性检验(significance test)两种方法:Ho:220.395%0.3ββ=⇒=的置信度拒绝的假设(Ho)五、显著性检验法 （test of significance apprach ） 即利用样本结果，证实一个虚拟假设的真伪的一种检验程序。

Ho:*22,ββ=**2222222()()1p t se t se ααβββββα∧∧∧⎡⎤-≤≤+=-⎢⎥⎣⎦从而建立了一个100(1-α)%接受域，该域以外称为拒绝域(或临界域)如Ho:*220.3ββ==20.3 2.3060.03570.3 2.3060.035715%p β∧⎡⎤-⨯≤≤+⨯=-⎢⎥⎣⎦20.21770.382395%p β∧⎡⎤≤≤=⎢⎥⎣⎦因2β∧=0.5091，因此应拒绝Ho:*220.3ββ== 实际中，我们只需计算*222()t se βββ∧∧-= 即可进行判别如：0.50910.35.86 2.3060.0357t -==>落入临界域内，因此拒绝Ho:*220.3ββ==注：t 的大小：*22b ββ∧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a.与修设的的接近注:t 的大小:.自由度c.概率检验2σ的显著性。

222(2)n σχσ∧=- （略）五、假设检验的实际操作1、“接受”与“拒绝”的含义：(“Accepting ” or “Rejecting ”)。

2、“零”虚拟假设与“2倍t ”算法。

如果自由度2220.0.05.()t se βαβ∧∧≥==如果在绝对值上大于2就可拒绝虚拟假设Ho:20.β=3、如何建立虚拟与对立假设。

a ．没有一成不变的Ho 。

B ．先假设，后检验，以免犯迂回推理(或自欺欺人)的错误。

4、α的选择。

α 称为犯第I 类错误(拒绝了真实的假设)的概率。

我们希望I 类和Ⅱ类错误都是最小的，但不可能。

可能要看哪一类错误更加严重。

一般来说，人们以为犯第I 类错误可能更加严重，所以不要轻易拒绝，因此将接受域扩大，即使α取值尽可能小。

5、精确的显著性水平，P 值。

即Ho 被拒绝的最低显著性水平，即根据计算的t 值直接查表。

例：五：P114.exampe4.1log()0.2840.0920.0041exp 0.022wageeduc er tenure =+++ （0.104）（0.007） （0.0017） （0.003） n=526 20.316R ＝P115.exampie4.2math2.274totcomp staff enroll n 0.0541=2＝＋0.00046＋0.048－0.00020（6.113）（0.0001） （0.040） （0.00022）＝408，RP118.4.31.390.4120.0150.083colGPA hsGPA ACT skipped=++- (0.33) (0.094) (0.011) (0.026) n=141,20.234R =七、回归分析与方差分析我们已知：2222222i iii i y y u u βχ∧∧∧∧=+=+∑∑∑∑∑TSS=ESS+RSS.对TSS 的构成分析叫方差分析(analysis of varance,间记ANOVA)对双变量模型，TSS 的df=n-1,RSS 的df=n-2,ESS 的df=1令：22222222/1/(2)/(2)iiiEss F Rss n un βχβχσ∧∧∧∧===--∑∑∑ (1122//ZK F Z K =,2~ii K z χ)在Ho:20β=时12~n F F -F 何作用？ 看：2222222()ii βχσβχ∧=+∑∑∑222()()2iu n σσ∧∧==-∑∑∑如果20β= 则上式两者无区别,1F → 如果20β≠ 则1F因此，F 可用于检验Ho: 20β=即，根据样本数据计算F ，然后求p,最后判断。

对双变量情形，F=t 2， F 的作用在多变量时作用更大。

八、回归分析的应用：预测，mean predictionprediction individual prediction ⎧⎨⎩如：24.45450.5091,i i Y X ∧⎧=+⎨⎩均值预测可进行预测个值预测1.均值预测 给定Xo=100,1224.45450.509110075.3645o o Y X ββ∧∧=+=+⨯=0()o Y E Y X ∧是的估计量，可以证明:221202()1~(,)o o i X X Y N X n x ββσ∧⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 220222021()1()1o i o o i x Var Y n x x Var Y Y n x σσ∧∧⎧⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪-=++⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∑∑122()~,()o o n o Y X t t se Y ββ∧-∧-+=从而得到真值01()o X ββ+的置信区间，121201222()()1o o o o P X t se Y X X t se Y ααββββββα∧∧∧∧∧∧⎡⎤+-≤+≤++=-⎢⎥⎣⎦例子中，置信区间为：67.901E(Y =100)82.8381X ≤≤2．个值预测222()1~(,())()1o o o o o o o i X X Y Y N o Var Y Y Var Y Y n x σ∧∧∧⎡⎤----=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 令t=~()o o o o Y Y t se Y Y ∧∧--Yo 的置信区间为：121222()()o o o o o o o P X t se Y Y Y X t se Y Y ααββββ∧∧∧∧∧∧⎡⎤+--≤≤++-⎢⎥⎣⎦置信区间的宽度由se ()o o Y Y ∧-定与 o Y的置信区间相比，相差2α 九、评价回归分析的结果 1、拟合的模型好坏的准则a 、所估计系数的符号是否与理论或预期的一致？b 、t 的显著性12i ββ∧∧+⨯Y 个值的置信区间c 、r 2如何？2、正态性检验：chi-平方（X 2）拟合优度检验{①chi-square goodness of fit test （chi-平方（X 2）拟合优度检验）②Jarque －Bera test （雅克－贝拉检验）}①做ols 回归，求i u ∧和i u ∧的样本标准差(Var(i u ∧)=2()(1)i u u n ∧--∑) ②计算A i=()i o i u se u ∧-∧，根据se(u;)分A组68%295%399.7%σσσ⎧⎪⎨⎪⎩1个个个 ③计算下表数据 频数的分布221()ki i i i O E x E =-=∑22(1)~N x x - (N 为组数)若22(1)N x x -> 拒绝正态性假设，否则接受。

Ch6 双变量线性回归模型的延伸 一、过原点的回归2i i i Y X u β=+①如收入与收入调节税的关系②如资产定价模型(CAPM) capital asset pricing Model()i f i m f ER r ER r β-=-↑↓↓↓iER ：第i 种证券的期望回报率fr ：无风险回报率 iβ ：Beta 系数m fER r - ：市场组合证券的期望回报率设()i f i i m f i R r R r u αβ-=+-+ 如果,i o CAPM α=则成立 二、过点回归的估计SRF ：2i i i Y X u β∧∧=+ 与含截距项模型的比较 应用OLS ：22i i iX Y X β∧=∑∑Var(2β∧)=22i X σ∑2222222()2i i ixy x Var x u n βσβσ∧∧∧∧⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪-⎝⎭∑∑∑∑ 221iu n σ∧∧=-∑ 1．2r21RSS ESSr TSS TSS=-=因Y Y ∧≠，不能出现；i i yi y u ∧∧=+因此 过原点回归中，2ESSr TSS=不再成立。

2222(X )i i iiY rx Y=∑∑∑2应为r因此，非有十足的把握，不宜采用过原点的回归。