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高考中的分类讨论思想

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分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

【综合练习】1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<1（对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；）2.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝qB. p<qC. p>qD.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q （对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C；）3.函数y＝sin|sin|xx＋cos|cos|xx＋tgxtgx||＋||ctgxctgx的值域是_________。

（分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；）4.若θ∈(0, π2)，则limn→∞cos sincos sinn nn nθθθ＋θ-的值为_____。

A. 1或－1B. 0或－1C. 0或1D. 0或1或－1（分θ＝π4、0<θ<π4、π4<θ<π2三种情况，选D；）5.函数y＝x＋1x的值域是_____。

（分x>0、x<0两种情况，(-∞,-2]∪[2,+∞)；）6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A. 893 B.493 C.293 D.493或893（分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D ；） 7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

（分截距等于零、不等于零两种情况， 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0。

）8. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C ∩A ≠φ 。

【分析】 由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。

并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

【解】 C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C 中元素如何取法。

另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C 203－C 83＝1084。

9. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。

①. 证明：12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ； ②.是否存在常数c>0，使得()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2)lg()lg(成立？并证明结论。

(95年全国理) 【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况。

【解】 设{a n }的公比q ，则a 1>0，q>0①．当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n S n +2－S n +12＝na 1(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 12＝－a 12<0；当q ≠1时，S n ＝a q qn 111()--，从而S n S n +2－S n +12＝a q q q n n 1222111()()()---+－a q q n 1212211()()--+＝－a 12q n <0；由上可得S n S n +2<S n +12，所以lg(S n S n +2)<lg(S n +12)，即lg lg S S n n ++22<lgS n +1。

②. 要使lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立，则必有(S n －c)(S n +2－c)＝(S n +1－c)2,分两种情况讨论如下： 当q ＝1时，S n ＝na 1，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝(na 1－c)[(n ＋2)a 1－c]－[(n ＋1)a 1－c]2＝－a 12<0当q ≠1时，S n ＝a q qn 111()--，则(S n －c)(Sn +2－c)－(S n +1－c)2＝[a q qn 111()--－c][ a q qn 1211()--+－c]－[a q q n 1111()--+－c]2＝－a 1q n[a 1－c(1－q)]∵ a 1q n≠0 ∴ a 1－c(1－q)＝0即c ＝a q11- 而S n －c ＝S n －a q 11-＝－a q qn11-<0 ∴对数式无意义由上综述，不存在常数c>0, 使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立。

【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。

该题文科考生改问题为：证明log log ..050522S S n n ++>log 05.S n +1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。

第8、9题属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。

10. 设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，求实数a 的取值范围。

【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。

【解】当a>0时，f(x)＝a （x －1a ）2＋2－1a∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-022)1(11≥＝≤a f a 或1141210<<->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a f aa ()＝或14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪ ∴ a ≥1或12<a<1或φ 即 a>12；1 4 x1 4 x当a<0时，f a f a ()()1220416820＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩，解得φ；当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意 由上而得，实数a 的取值范围是a>12。

解法二：212121122222max 2max 22=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛+->⇒+->x x x a x x a 【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a 分a>0、a<0、a ＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。

本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。

11. 解不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠>+-+21012)6)(4(a a a a x a x 为常数，，【分析】 含参数的不等式，参数a 决定了2a ＋1的符号和两根－4a 、6a 的大小，故对参数a 分四种情况a>0、a ＝0、－12<a<0、a<－12分别加以讨论。

【解】 2a ＋1>0时，a>－12； －4a<6a 时，a>0 。

所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得：x<－4a 或x>6a ； 当a ＝0时，x 2>0，解得：x ≠0；当－12<a<0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得: x<6a 或x>－4a ； 当a>－12时，(x ＋4a)(x －6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

综上所述，当a>0时，x<－4a 或x>6a ；当a ＝0时，x ≠0；当－12<a<0时，x<6a 或x>－4a ；当a>－12时，6a<x<－4a 。

【注】 本题的关键是确定对参数a 分四种情况进行讨论，做到不重不漏。

一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。

12. 设a ≥0,在复数集C 中，解方程：z 2＋2|z|＝a 。

(90年全国高考)【分析】由已知z 2＋2|z|＝a 和|z|∈R 可以得到z 2∈R ，即对z 分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。

【解】 ∵ |z|∈R ，由z 2＋2|z|＝a 得：z 2∈R ； ∴ z 为实数或纯虚数当z ∈R 时，|z|2＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋1+a ∴ z ＝±(－1＋1+a )；当z 为纯虚数时，设z ＝±y ｉ (y>0)， ∴ －y 2＋2y ＝a 解得：y ＝1±1-a （0≤a ≤1） 由上可得，z ＝±(－1＋1+a )或±(1±1-a )ｉ【注】本题用标准解法（设z ＝x ＋y ｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z 分两类讨论则简化了数学问题。

【另解】 设z ＝x ＋y ｉ，代入得 x 2－y 2＋2x y 22+＋2xy ｉ＝a ；∴ x y x y a xy 2222220-++==⎧⎨⎪⎩⎪当y ＝0时，x 2＋2|x|＝a ，解得x ＝±(－1＋1+a )，所以z ＝±(－1＋1+a )； 当x ＝0时，－y 2＋2|y|＝a ，解得y ＝±(1±1-a )，所以±(1±1-a )ｉ。

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分类讨论思想在高考解题中的应用

分类讨论思想在高考解题中的应用

ｂ ＞２ ａ ｆ ｍ （ ｘ ） ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｆ （ Ｏ ） ， ｆ （ １ ） ） ： ｍ ａ ｘ ｛ （ ｂ — ａ ） ， （ ３ ａ － ｂ ） ｝ ＝ 【 ｂａ， ３
－
上 的截 距 为 ｌ 一 二＜ Ｏ ， 故选 Ｄ ．
ａ
评 注 ：本 题 结 合 指 数 函数 图像 变 换 和 函数 单 调 性 及 特 殊 点， 考查 学生分类讨论 的能力 ， 关 键是按底 数分类讨论 ， 并 结 合 图像 与 ｖ 轴 交 点 位 置排 除错 误 答 案．
分 类 讨 论 思 想 在 高 考 解 题 中 的 应 用
杨 秀钢
（ 船 寮 高 级 中学 ， 浙江 青田 摘 要 ： 分类讨 论作 为一种数 学思 想 ， 是 解 决 复 杂 数 学 问题 的 有 效 手段 ． 能体现 学生的数学能力． 它 历 年 来 都 是 高 考 的 热点 与 重 点 ， 也是 学生学习的一个难点 ， 学 生 总是 难 以把 握 根 据 什 么分 类 ． 怎样 分 类 ． 本 文 结 合 例 题 介 绍 分 类 讨 论 在 高 考 解 题 中 的应 用 ．通 过 不 同类 型 的例 子 让 学 生 进 一 步理 解 分 类 讨 论 方 法及 其 在 高考 中的 考 查 形 式 与特 点． 关键词 ： 分 类 讨论 数 学 思 想 高考 解 题 应 用 分类讨 论作为一种数 学思想 ， 简 单说就是 “ 化 整 为零 ， 各 个 击破 。 再积零为整” 的数学策 略 。 是 解 决 复杂 数 学 问 题 的 有 效手段 。 能 体 现 学 生 的数 学 能 力 ． 所 以 它 历 年 来 都 是 高 考 的 热 点与重点 。 高考 中 的 压轴 题 经 常 考 查 分类 讨 论 的 思 想 ． 但 对 学 生 来 说 也 是 一个 难 点 。 因为对根据 什么分类 ， 怎样分 类 ， 学 生 总 是 难 以把 握 ．下 面 结 合 例 题 介 绍 分 类 讨 论 思 想 在 高 考 解 题 中的 应 用 ． 求 解 问题 中 涉 及 数 学 概 念 是分 类 定 义的 有 些 数 学 概 念 本 身 就 包 含 了分 类 ， 如绝对值的定义 ， 直 线 的斜 率 ， 指 数 函数 、 对数 函数等 ， 这 种 分 类 讨 论 题 型 可 以称 为
人教A版高考数学(文)复习课件 专题 数学思想方法第1部分专题7第2讲

人教A版高考数学(文)复习课件 专题 数学思想方法第1部分专题7第2讲


设 lg(log210)＝t，则 lg(lg2)＝－t.由条件可知 f(t)＝5，即 f(t)＝ at3＋bsin t＋4＝5，所以 at3＋bsin t＝1，所以 f(－t)＝－at3－bsin
t＋4＝－1＋4＝3.
答案 C
规律方法 复杂的数学问题常用换元法实现化归与转化，运用 “换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，或者把较复杂 的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
▪分类讨论的常见类型：
▪(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身 就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等．
▪(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论： 有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同 的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公 式、函数的单调性等．
▪(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶 次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程 (不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取 值不同会导致所得结果不同等．
3a1＋3d＝6， 8a1＋28d＝－4，
解得ad1＝＝－3，1.
故 an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得 bn＝n·qn－1，于是 Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1. 若 q≠1，将上式两边同乘 q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn. 两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1 ＝nqn－qqn－－11＝nqn＋1－qn－＋11qn＋1. 于是，Sn＝nqn＋1－q－n＋112qn＋1. 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1.
▪历年高考中，化归与转化思想无处不在，我们 要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于 提高解决数学问题的应变能力，提高思维能力 和技能、技巧.
分类转化 分散难点 各个击破――分类讨论的思想方法(高考数学解题技巧)

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分类转化分散难点各个击破――分类讨论的思想方法一、方法整合在解决一些数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑的方法，也是一种重要的数学思想和解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

1.需要分类讨论的情形主要有以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，分类解决，以保证其完整性，使之具有确定性。

2.分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

3.分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

二.典例精析例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga (1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。

（一道经典高考题）思维启动点：此题中含有绝对值，去绝对值可能需要分类处理，对数的底数是字母，比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论，如果既要对绝对值、又要对底数a进行双重分类讨论，势必麻烦，考虑到x的范围已经确定，我们可以在对a的范围进行分类时同时就考虑去绝对值。

分类讨论思想

分类讨论思想

2
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之 处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论 分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 分类讨论思想又称 要研究的数学对象划分为若干不同的情形， 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位， 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点， 度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现， 某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 未表明不等式的次数， 参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［ 上的最大值. 分析 求 最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去 讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时 是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 是二次函数，