复变函数(西交大)第三讲共48页PPT资料

z z
z
F(z z) F(z) f ( )d f ( )d .
z0
z0
由于积分与路线无关,因此积分 zz f ( )d 的 z0
积分路线可取先从 z0 到 z,然后再从 z 沿直线段到
z z ,而从 z0 到 z 的积分路线取得跟积分
z f ( )d 的积分路线相同.于是有 z0
2020/11/15
由定理一可知，解析函数在单连通域内的
积分只与起点 z0 及终点 z1 有关,所以有
f (z)dz f (z)dz z1 f (z)dz z0
C1
C2
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固定 z0 ,让 z1 在 B 内变动,并令 z1 z ,那么积分
z f ( )d 在 B 内确定了一个单值函数 F(z) ,即 z0 z F(z) f ( )d (3.4.1) z0
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图3.6
38 - 6
n
i) C f (z)dz k1 Ck f (z)dz, 其中 C 及 Ck 均取正方向; ii) f (z)dz 0. 这里 为由 C 及 Ck (k 1,2,,n) 所
组成的复合闭路(其方向是:C 按逆时针进行, Ck
(k 1,2,,n) 按顺时针进行).
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D
F
C
D1 F
A
A
B
B
E C1
E
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图 3.5
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由图 3.5 可知：
f (z)dz 0
f (z)dz 0
AEBBEAA
AAFBB F A
将上面两式相加,得
f (z)dz f (z)dz f (z)dz

消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
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4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
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2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
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例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
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映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o

x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.

本文档深入探讨了复变函数中的解析函数概念，首先定义了复变函数的导数与微分，通过极限的形式描述了函数在某点可导的条件。接着，通过具体例题演示了如何求解复变函数的导数，如f(z)=z^2和f(z)=Imz的导数求解，文档还证明了函数在某点可导则必定连续，但连续不一定可导的重要性质，进一步加深了对复变函数导数与连续关系的理解。最后，由于复变函数中导数的定义与实变函数中的一致性，实变函数中的求导法则可以推广到复变函数中，为学习和应用复变函数提供了有力的工具。

显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
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2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为 任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法 分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
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定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f