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弹性力学课件02第二章 平面问题的基本理论

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弹性力学 第2讲 平面问题基本理论(1) PPT课件

弹性力学 第2讲 平面问题基本理论(1) PPT课件

x
y
由 Fy 0 :
y xy Y 0
y
x
o
x
y
yx
y xy
x
C
Y

yx

yx y
dy
X

x

x x
dx

xy

xy x
dx

y

y y
dy
上式含三个未知量 x , y , xy yx ，只有两个 方程，是超静定问题。
x
y
y
(等厚薄板 t 很小）
• 受力：
平行于板面，沿厚度均布。
• 特点：
x 边界 z t 2 (自由面)：
( z )z t 0 2
( zy )z t 0 2
( zx )z t 0 2
3
内部： 认为： z zx zy 0 （条件：t 很小）
x
dx

xy

xy
x
dx

y

y
y
dy
由 Mc 0

xy
dy
1
dx 2

(
xy

xy
x
dx)
dy
1
dx 2

yxdx
1
dy 2

(
yx

yx
y
dy)
dx
1
dy 2

0
9
整理得： xy yx
由 Fx 0 :
x yx X 0
得： X N l x m xy
YN

弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件

弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件
4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2

弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论

弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论

§2.3 平面问题中一点应力状态分析
一点应力状态分析就是求解上述有关应力分
量，具体为：已知任一点处坐标面上的应力分量 sx，sy和txy，求解如下四个问题：
1：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面 上的应力p？ 2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面 上的正应力sn和切应力tn ？ 3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上 的主应力s和应力主方向a ？
sz ≠ 0 txz = tyz =0 ez = gxz = gyz
=0 w= 0
应力 sx、sy、txy sz= txz = tyz = 0 sx、sy、txy 应变 位移
ex、ey、gxy
u 、v
ez ≠ 0 gxz = gyz = 0
w≠ 0
ex、ey、gxy
u、v
体力、面力和约束作用于oxy 体力、面力和约束作用于 外力 面内，且沿板厚均布 oxy面内，且沿z轴不变
1、平面应力问题，就是只有平面应力分量 （sx，sy和txy）存在，且仅为x、y的函数的弹性 力学问题。 2、厚度较薄的浅梁和深梁、受上部荷载及 自重的墙、平板坝的平板支墩等，都属于平面应 力问题。
2、平面应变问题
平面应变问题条件：
弹性体为等截面的很长柱 体，体力、面力和约束条件均 平行于横截面且不沿长度方向 变化，即只有Oxy平面内的体 力、面力和约束，且沿z方向不 变化。
件，在x和y轴方向上合力为0，从 而有：
Fx 0 p x s x l t xy m Fy 0 p y t xy l s y m
过一点任意斜面的正应力与切应力
问题2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任

弹性力学第二章平面问题理论

弹性力学第二章平面问题理论


，
n
）。
1、首先求斜截面应力分量（ px ，py ）由三角形微分
体的平衡条件可得
px l x m yx , p y m y l xy
2、分别计算（ px ，py ）在斜面法向和切向的投影，
求得斜面上的正应力和切应力：
n lpx mpy l2x m2 y 2lm xy
x
y
O
因为任一横截面都可以看作对称面 所以各点都只能沿x 和y 方向移动,即w=0。 只要u,v位移分量。因此，此问题可称为 平面位移问题。
由对称性，
0, z 0, zx 0, zy 0( zx 0, zy 0) 只有平面应变分量 x , y , xy存在，
形变和位移间的关系 刚体位移
1、如果物体的位移确定，则形变完全确定。从物理 概念可知，当物体变形后各点的位置完全确定时，任 一微分线段上的形变（包括伸缩、转角）即完全确定。 从数学推导也可看出，由位移函数求形变是一个求导 过程，所以位移确定，形变即唯一确定。
2、如果形变分量确定，位移分量并不完全确定。从 物理概念可知，物体在保持内部形变不变的条件下还 可以做刚体运动（平移和转动）。从数学角度看，由 形变求位移是一个积分过程，在常微分中，要出现一 个任意常数；在偏微分中，要出现一个与积分变量无 关的任意函数。这些未定项正是刚体的平移和转动。
u
dy
y
所以
xy




v x

u y
(c)
平面问题中的几何方程：
x

u x
y

v y

xy

v x

u y
几何方程适用于 两类平面问题。

弹性力学-2-平面问题的基本理论

弹性力学-2-平面问题的基本理论

2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

弹性力学 第二章平面问题的基本理论

体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4

弹性力学平面问题的基本理论2

弹性力学平面问题的基本理论2

刚体位移表达式
O r x
x
y P
y
u v x y
2 2 2
2
r
y
x
y y tan tan x x
说明：


r OP —— P点沿切向绕O点转动
ω —— 绕Z轴的刚性转动
f1 ( y ) u0 y 积分(e) ，得： f 2 ( x) v0 x
u u0 y v v0 x
(e)
其中，u0、v0为积分常数，代入（d）得: (2-10) —— 刚体位移表达式
讨论： （1） u0 0, v0 0时, 当
u u0 y (2-10) v v0 x
m y l xy m
m x yx 求解得： l
o
xy
x
y
2 xy
yx m l y
2
P
yx
y
A
px
x
n
n
B
n
py
p
( x y ) ( x y ) 0
1 x y x y 2 xy 2 2 2
图2－4
o
xy
x
y
B P
yx
y
A

x

n
图2－4 设AB面在xy平面内的长度为ds，厚度为1 个单位。n为该面的外法线方向，设其方向余 弦分别为：
cos l ,cos m
o
xy
x
y
B P
yx

y
A

x
px
n
py

大学弹性力学经典第2章――平面问题的基本理论PPT课件

大学弹性力学经典第2章――平面问题的基本理论PPT课件
cos(n, x) l cos(n, y) m
O τ yx y
x
P
τ xy
A
x
n
B
py
y
px
n
n p
微元体平衡 cn o ,x ) s l (cn o ,y ) s m (
c o ls s i n m
设：AB=ds
A P mdB s P lds
p x d sx ld y sm x f d xls d 2 m s 0 ds
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
x xy fy
yx
y
Byx
y
dy
x
yxA
fx xy x
xy
x
x
x
dx dx
C
y
y
y
dy
本质：x、y方向合力为零。
§2.3 平面问题中一点的应力状态
❖ 一点的应力状态的概念
受力构件内一点处不同方位截面应力的集合.
已知一点处的应力分量
x， y， τxy
求任意斜截面上的应力 记：
w0 z 0 注意 z： 0
❖ 平面应力：一般厚度很薄，力作用在面内。
z 0
注意 z： 0
❖ 板：一般厚度很薄，力不作用在面内。
平面应力与平面应变
❖ 梁的弯曲问题（平面应力） y ❖ 拦水大坝（平面应变） ❖ 带孔薄板的拉伸问题
（平面应力）
y
x y
x
x
光滑无摩擦 （平面应变）
§2.2 平衡微分方程
任意斜截面上的切应力
nlm (yx)(l2m 2)xylm (21)
l 1l2(21)1 41 2l22(21)

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论
应力边界条件对于确定物体在受力作用下的变形和位移非常 重要，特别是在解决工程实际问题时，这些条件对于预测结 构的响应和稳定性至关重要。
位移边界条件
位移边界条件描述了物体边界上的位 移情况，即位移函数。这些条件规定 了物体在某些特定方向上的位移限制 ，例如固定、自由或受限制的位移。
位移边界条件对于确定物体的变形和 应力分布具有重要意义，特别是在解 决结构分析问题时，这些条件有助于 确定结构的刚度和稳定性。
平衡方程的数学表达式为
div F = 0，其中 F 是应力向量，div 是散度算子。
几何方程
它由两个部分组成
一部分是位移引起的形变，另一部分是应力引起的形变。
几何方程的数学表达式为
grad u = 0，其中 u 是位移向量，grad 是梯度算子。
物理方程
它由两个部分组成
一部分是线性弹性关系，另一部分是材料常数。
物理方程的数学表达式为
sigma = D*epsilon，其中 sigma 是应力矩阵，D 是弹性矩阵，epsilon 是应变矩阵。
03
平面问题的边界条件
应力边界条件
应力边界条件描述了物体边界上的应力分布情况，即应力函 数。在弹性力学中，应力边界条件通常由应力分量来表示， 这些分量与物体表面的外力有关。
近似法
近似法是通过近似的方式来 求解弹性力学平面问题的一
种方法。
1
它通常适用于无法通过解析 法和数于弹性力学的基本 方程和边界条件，通过物理 模型、经验公式等方式进行 近似求解。
近似法的优点是简便易行， 能够快速得到近似解，但缺 点是精度难以保证，可能存 在误差较大的情况。
地震工程
在地震工程中，弹性力学用于研究地震波在结构 中的传播和响应，为抗震设计和减震措施提供依 据。

弹性力学2第二章_平面问题的基本理论

弹性力学2第二章_平面问题的基本理论

（2-4）
( ) τ n = lm σ y − σ x + (l 2 − m 2 )τ xy （2-5）
（4） τ n = 0 ， 主应力和主应力方向；
（5）最大与最小切应力；
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》
2.3 平面问题中一点的应力状态
o
τ
τ
xy
yx
σx τn
σy x
px σn
y
py p n
dy
y
方向上的位移为：
v
+
∂v ∂y
dy
切应变： γ = α + β
线段PA线应变：
εx
=
M1A1 − MA MA
=
u
+
∂u dx ∂x
dx
−u
=
∂u ∂x
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》
2.4 几何方程(应变-位移) 刚体位移
u
P
v d y P1
dx
v
+
∂v
B dy
∂y
β
B1
u + ∂u dy ∂y
=
sin α 2 cosα 2
=
m2 l2
=
τ xy σ2 −σ y
tan α 1 ⋅ tan α 2 = −1
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》
2.3 平面问题中一点的应力状态
（5）最大与最小切应力；
由（2-5）可以得到
τ n = lm(σ 2 − σ1)
l2 + m2 =1
τn = ±l
1− l 2 (σ 2 − σ1) = ±
北京工业大学本科生课程---《弹性力学》

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

弹性力学课件第二章

弹性力学课件第二章

定义
§2－2 平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点的 微分体的平衡条件。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六面 体 dxd,y作1 用于微分体上的力：
体力： f x , 。f y
应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平面应变
简化为平面应变问题：
（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束
平行xy面，柱体非常长；
故任何z 面（截面）均为对称面。
w 0, 只有u,v; （平面位移问题）
w 0 εz 0,
τ zx , τ zy 0 zx , zy 0,
只有 x , y , xy .
（平面应变问题）
第二章 平面应力问题和平面应变问题
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替变
形后的尺寸。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
列出平衡条件：
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出3个平衡条件。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
Fx 0,
(σ
表示，用于按位移求解。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平面应力
平面应力问题的物理方程：
代入 σz zx ，得zy ： 0
x
1 E
(σ x
σ y ),
xy
2(1 E
) xy.
y
1 E
(σ y
σ
x
),
(a)
在z方向 σ z 0,

弹性力学讲义-第2章(b)

弹性力学讲义-第2章(b)

v dy y
dy B

B
u u dy y
A
y
和PB的正应变
v y y
问题 试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA的 伸缩是高阶微量。
一点的应变位移关系——切应变
求线段PA与PB之间的直角的改变, 也就是切应变 xy ,用位移分
量来表示。
v v dx v v x dx x u y
xy
Q 2 3Q 2 2 2 h 4y h 4y 3 8I 2bh




§2-4 几何方程 刚体位移
考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量 与位移分量之间的关系式, 也就是平面问题中 的几何方程。
§2-4 几何方程 刚体位移
一点的变形
0
u
v
u
P
取任意一点 P
x方向线段PA=dx
求位移
u 0 x
u f1 ( y )
v u x y 0
v 0 y
v f 2 ( x)
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
§2-4 几何方程 刚体位移
当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：
,
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
x yx fx 0 x y y xy fy 0 y x
h
bh 3 I 12
b
解：
弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为
x yx 0 x y
x xy dy f ( x) x M z y dy f ( x) x I
弹性力学讲义

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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q
h h x
(1)
(2)
x a,
x s 0, xy s 0
s xy s
a
y
(3) (4)
y h, y
q, 0 y h, 0, 0
y s xy s
注： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果： u 0, v 0.
左侧面： l cos , m sin

x y tan f x y cos f y y sin
x ( cos ) xy ( sin ) y cos
y ( sin ) xy ( cos ) y sin
右侧面：l cos , m sin
x y tan fx f y 0
cos x sin xy 0 sin yx cos xy 0
例2、如图所示，试写出其边界条件。
v u s 0 u 0, 0 x 0, y x vs 0
六、 物理方程 七、 边界分类及边界条件 八、 圣维南原理 九、 弹性力学问题的求解方法 十、 按位移求解平面问题 十一、按应力求解平面问题 相容方程 十二、常体力情况下的简化 相容方程 十三、应力函数 相容方程 逆解法与半逆解法
一、平面问题
平面应力问题、平面应变问题 平面应力问题 平面问题
特殊的几何形状 空间问题 特殊的受力情况
xy
2(1 ) xy E
注： (1) 平面应变问题中 z 0 ，但 z ( x y ) (2)平面应变问题 物理方程的另一形式 两类平面问题物理方程的转换：自习
七、边界分类及边界条件 边界条件： 建立边界上的物理（几何）量与内部物理（几何）
量间的关系是力学计算模型建立的重要环节。 （1）位移边界
u u v v l l 1 m m1 x y y x
2 2
2
2
略去二阶小量后
1 2 r l 2 (1 2
简化后
u u v v ) 2lm m 2 (1 2 ) 2lm x y y x
第二章 平面问题的基本理论
要点—— 建立平面问题的基本方程和方程的求解方法
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；
边界条件的描述；方程的求解方法等
主要内容
一、 二、 三、 四、 五、 平面问题 平面应力问题、平面应变问题 平衡微分方程 斜面上的应力 力边界条件 几何方程 刚体位移、斜方向的正应变
x
yx
A
y
xy N
B
px
N
P
N
N l x m y 2lm xy
2 2
py
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
（3）主应力与主应力方向：
参考材料力学自习
四、力边界条件
O P
y yx
dx dy ds
x
类似于斜面上应力分量分析过程 平面问题的应力边界条件
v dy y
u
u dy y


xy
v u x y
u x x v y y v u xy x y
——几何方程
2. 刚体位移 ：
自习
3. 斜方向的正应变
O x P(x,y) N P1
问题：已知 x , y , xy，求任意方向的线 应变εr 和线段夹角的变化。
cos( N , x) l
cos( N , y) m
dx ds m
dy ds l
y
x xy
P
y yx
dx dy ds
x
A
px
B
py
P
N
外法线
F
x
0,
x dy 1 yx dx 1 pxds 1 0
x ds l 1 yx ds m 1 pxds 1 0
x x ( x, y) y y ( x, y) xy yx xy ( x, y)
符合以上三条的弹性力学问题成为平面应力问题
其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题 (1)几何特征：无限长、等截面棱柱体
水坝 (2)外力特征：外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿
长度 z 方向不变化。 (3)应变、应力特征：任一横截面都是对称面，则有，w=0, 即 zx xz 0 zy yz 0 z 0 应力分量有 x , y , z , xy ，其中 z不独立，可以用 x , y 表示。 独立的应力分量仅有 x , y , xy ，仅为x,y的函数，与z无关 符合以上三条的弹性力学问题成为平面应变问题
E y 1 ( y x) E 2(1 ) xy xy E
注：
x 1 ( x y)
x E 2 ( x y ) (1) 1
y
E ( ) —— 物理方程的另一形式 y x 1 2
xy
(2)
设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为 （x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：
v
y
u
cos( PN , x) l , cos( PN , y) m
于是PN在坐标轴上的投影为：
N1
dx ldr , dy mdr
N点位移：
u u u N u du u dx dy x y v v vN v dv v dx dy x y
x xy
y
A
fx
f
l x m yx f x l xy m y f y
其中， f x
B
fy
N
外法线
f y 为面力分量
五、几何方程 1. 几何方程
刚体位移、斜方向的应变
O x
一点的变形：
线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； y
u
P u
u dx x v dx x
其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
二、平衡微分方程 O
y
x
P D
x
yx
fx
fy
M
x x dx x
xy
D
0
xy yx 剪应力互等
A
y
yx
xy
yx y
B
C

dy
xy x
x dx)dy 1 x dy 1 Fx 0 ( x x yx ( yx dy)dx 1 yx dx 1 dx
px l x m yx
F
y
0,
p y m y l xy
（2-4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
O P
P px p y N N
根据合矢量投影定理 N lp x mpy 正应力 N lp y mpx 剪应力
y
x
dx dy ds
或 dr dr r dr
2 dr r dr 2 dr
两边同除以 (dr)2，得
(dx
u u v v dx dy ) 2 (dy dx dy ) 2 x y x y
dx u dx u dy dy v dx v dy (1 r ) 2 dr x dr y dr dr x dr y dr
变形后的P1N1在坐标方向的投影：
u u dx u N u dx dx dy x y v v dy vN v dy dx dy x y
设PN变形后的长度 P1N1=dr′， PN 方向的应变为εr，由应变的定义：
dr dr r dr
E 2(1 ) xy
z
z 0

E
( x y )
2、平面应变问题的物理方程
在平面应变问题中 由第三式，得
z yz zx 0
z ( x y )
1 2 x ( x y) E 1 2 1 y ( y x) E 1
Su
三类边界
O q
x
边界分类 （2）应力边界 S
（3）混合边界
f
S
1、位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界
y
Su
S S Su
用us 、 vs表示边界上的位移分量，u, v 表示边界上位 移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：
u s u vs v
2、应力边界条件uP Nhomakorabeau
A

u dx x
v dx x
v
P
PB的正应变：

B
v
y
v v dy v y v dy y
B y
A
v
P点的剪应变： P点两直角线段夹角的变化 xy
v v dx v x v tan dx x u u dy u y u tan dy y
平面应变问题
x
1. 平面应力问题 (1)几何特征：等厚薄板
a b t
z
y
y
(2)受力特征： 板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的 体力平行于板面作用，沿 z 方向不变化。
(3)应力特征：由于板面上不受力，有： z 0 zx
0 zy 0