习题一质点运动学(答案)

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精选doc 习题一 质点运动学

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一 选择题

1．某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？［ C ］

(A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．(C) 北偏西30°．(D) 西偏南30°．

2.在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2 m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用i、j表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为［ B ］

(A) 2i＋2j． (B) 2i＋2j． (C) －2i－2j． (D) 2i－2j．

3. 水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为．现加一恒力F如图所示．欲使物体A有最大加速度，则恒力F与水平方向夹角应满足

(A) sinθ＝μ．

(B) cosθ＝μ．

(C) tgθ＝μ． (D) ctgθ＝μ．［ C ］

4． 一质点沿x轴运动的规律是245xtt（SI制）。则前三秒内它的 [ D ]

（A）位移和路程都是3m； （B）位移和路程都是-3m；

（C）位移是-3m，路程是3m； （D）位移是-3m，路程是5m。

解： 30253ttxxx

24dxtdt，令0dxdt，得2t。即2t时x取极值而返回。所以：

022302232032|||||||||15||21|5ttttSSSxxxxxx

5． 一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度 [ D ]

（A）大小为/2v，方向与B端运动方向相同；

（B）大小为/2v，方向与A端运动方向相同；

（C）大小为/2v, 方向沿杆身方向；

（D）大小为/(2cos)v ，方向与水平方向成角。

解：对C点有

位置：sin,cosCCxlyl；

速度：cos,sinCxCyddvlvldtdt；所以，222cosCCxCydvvvvldt.FA

ACBv可编辑修改

精选doc （B点：2sin,2cos,2cosBBddvxlvlvdtdtl）。

二、填空题

1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度

aτ = ，轨道的曲率半径= 。

答案：12g；223vg。

解：jga 1sinsin302aagg

coscos30naag。又因 2nva ，所以 2222cos303nvvvagg

2． 一质点在xy平面内运动，其运动学方程为jtitr)2(22，其中tr,分别以米和

秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为 ；t =2秒时质点的加速

度为

；质点的轨迹方程是 。

答案：48ij；2j；224xy。

解： (3)(1)48rrrij ， 22222dxdyaijjdtdt

22,2xtyt，消去时间t得 224xy。

3. 一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为2021bttvs，其中bv,0都是常数，t 时刻，质点的加速度矢量a

；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为

。

答案：20()vbtnbR；024vRb。

解： （1）btvdtdsv0，bdtsda22

20()nvbtaananbR

（2）

令2220()vbtabbR， 得 bvt0

2200001()(0)()22vvvsstsvbbbb， 得0224vsnRRb 4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜0角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜1角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜Pvxnaaa30y可编辑修改

精选doc 2角，火车加速前后的速度之比为 。

答案：010101202020costansintantancostansintantanvv

解：设0v为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为0（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以1v行驶时，雨滴相对火车的速度为v，已知其倾角为1，根据伽利略变换：10vvv

同理，火车以2v行驶时，雨滴相对火车的速度为v，已知其倾角为2，所以20vvv

011sinsinovvv (1) ； 001coscosvv (2)

220sinsinovvv (3) ； 002coscosvv (4)

联立（1）（2）式得100100sincosvvtgv， 10010(cossin)vvtg

联立（3）（4）式得000022cossinvvvtg， )sin(cos02002tgvv

所以，火车加速前后速度之比为

010101202020costansintantancostansintantanvv

5.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为342t，的单位为rad，t 的单位为s。问t = 2s时，质点的切向加速度 ；法向加速度 ；等于 rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。

答案：24.8m/sa；2230.4m/s；2.67rad。

解：（1）212dtdt，2224dtdt；24144naRRt，24aRRt。

t = 2s时，2230.4m/sna，24.8m/sa

（2）设t时，a和半径夹角为45°，此时naa，即414424RtRt，得31/6t

所以 38()242.67radrad3tt

6.距河岸(看成直线)500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 r/min转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =__________．69.8 m/s

三 计算题

1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为0a，以后加速度均匀增加，每经过秒增加0a，求经过t秒后质点的速度和位移。

答案：2002avatt；2300126axatt。可编辑修改

精选doc 由题意可知，角速度和时间的关系为 00aaat

根据直线运动加速度定义 dvadt

20000000()2ttaadvvvdtadtatdtattdt

0t时刻，00v 所以 2002avatt

又dxvdt，所以 22300000001()226ttaadxxxdtvdtattdtattdt

0t时刻，00x 所以 2300126axatt

2．一质点以初速度0v作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为0vn(1)n时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。

答案：11n。

解：质点作一维运动。初始条件：0t时，0x，0vv。又由题意，质点的加速度可表示为

akv

式中，k为大于零的常数。

解法一：由加速度的定义有

dvakvdt

分离变量 dvkdtv

由初始条件0t时0vv，有

00vtvdvkdtv

积分得

0e (1)ktvv

所以 0ektdxvvdt

由初始条件0t时0x，积分得

000e(1e)tktktvxvdtk

上式可写为 m(1e) (2)ktxx

其中，0mvxk为质点所能行经的最大距离。

联立式（1）和式（2），得 m00()xxvvv

故

m0(1)xvxv可编辑修改

精选doc 将0vvn代入上式，得

11mxxn

解法二：由加速度的定义，并作变量替换有

dvavkvdx

即 dvkdx

由初始条件0x时0vv，有

00vxvdvkdx

积分得

0 (3)vvkx

由上式得0vvxk。故当0vvn时，

01(1) (4)vxkn

又由dxvdt及式（3），有

0dxdtvkx

由初始条件0t时0x，积分得

00lnvkxktv

即 0(1e)ktvxk

可见，质点所能行经的最大距离为 0mvxk

故当0vvn时，由式（4）及上式得

11mxxn

3．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。

答案：220xvhsvs；2203xhavs。

解：建立如图所示的坐标系。

根据题意可得 0-dlvdt

由上图可得 22xlh

船的速率 22002222()()xdxldllhxvvvdtdtxlhlhxy0vlhxo