异面直线所成角定义

异面直线所成角的判定方法异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。

在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。

我们需要了解两条异面直线的基本概念。

两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。

在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。

因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。

接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。

首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。

公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。

我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。

具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。

接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。

需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。

除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。

向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。

具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。

除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。

我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。

三大角一、异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)异面直线所成的角已知两条异面直线a，b，过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角称为异面直线a与b所成的角(或夹角).若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.探究一求异面直线所成的角[知能解读]对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为60°.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．[方法总结]求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法．当题设中有中点时，常考虑中位线；当异面直线依附于某几何体，且平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.[训练1]如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成的角的度数是________．[训练2] 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．[训练3] (教材P147例1改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．[训练4]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成的角为()A．120°B．90°C．60° D．30°[训练5]如图，在三棱锥D-ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练6] 如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为()A．25B．55C．155D．105[训练7](多空题)如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.二、直线与平面所成的角1．定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．2．当一条直线与平面垂直时，它们所成的角是90°．3．当一条直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.4．直线与平面所成的角θ的范围：0°≤θ≤90°．(教材P152例4改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于45°．探究三直线与平面所成的角[知能解读]直线与平面所成的角的理解和判断(1)斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．(2)判断方法：若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°；若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定直线和平面所成的角，然后将这个角转化到直角三角形、等边三角形中求解．三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．解题流程：第一步，泛读题目明待求结论：求SA与底面ABC所成角的余弦值．第二步，精读题目挖已知条件：三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a.第三步，建立联系寻解题思路：设O为△ABC的中心，证∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．第四步，书写过程养规范习惯．[方法总结]求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[训练8]如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．[训练9]如图所示，若斜线段AB的长是它在平面α上的射影BO长的2倍，则斜线AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°[训练10]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．[训练11](多空题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．三、二面角的平面角如右图，若满足下列条件：(1)O∈l，(2)OA⊂α，OB⊂β，(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.6．二面角的平面角α的取值范围：0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．探究二求二面角的大小如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C的大小；(2)求二面角B-P A-C的大小．[方法总结]解决二面角问题的策略(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．(2)求二面角的大小的方法：一作，即作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形求出平面角的三角函数值．其中关键是“作”．[训练12]如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC.求二面角P-BC-A 的大小．[训练13]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．[训练14]如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练15]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 3，CC1＝2，则二面角C1­BD­C的大小为________．三大角答案解 如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥AB 且EG ＝12 AB ， GF ∥CD 且GF ＝12CD . 从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成的角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°.∵AB ＝CD ，∴EG ＝FG . ∴△EFG 为等腰三角形．当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝180°－30°2＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝180°－150°2＝15°. 综上所述，EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.[训练1] 45° [如图，连接B ′D ′，则E 为B ′D ′的中点，连接AB ′，则EF ∥AB ′.又CD ∥AB ，所以∠B ′AB 为异面直线EF 与CD 所成的角．由正方体的性质知，∠B ′AB ＝45°.][训练2] 45° [如图，连接BG ，则BG ∥AH ，所以∠BGF 为异面直线AH 与FG 所成的角.因为四边形BCGF 为正方形，所以∠BGF ＝45°.][训练3](1)90° (2)45° (3)90° [(1)根据正方体的性质可得AC 和DD 1所成的角是90°.(2)∵D 1C 1∥DC ，∴∠ACD 即为AC 和D 1C 1所成的角．由正方体的性质得∠ACD ＝45°.(3)连接BD ，∵BD ∥B 1D 1，BD ⊥AC ，∴B 1D 1⊥AC ，即AC 和B 1D 1所成的角是90°.][训练4]C [如图，连接AD 1，则AD 1∥BC 1.∴∠CAD 1(或其补角)就是AC 与BC 1所成的角．连接CD 1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ＝AD 1＝CD 1，∴∠CAD 1＝60°，即AC 与BC 1所成的角为60°.][训练5]B [如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F ，G 分别是CD ，AB ，BC 的中点，∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12 AC ，EG ＝12BD . ∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角(或其补角).又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG .又∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG .∴∠FGE ＝90°.∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.][训练6]D [如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OE ，BE .因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，所以PC ∥OE .所以∠OED 为异面直线PC 与DE所成的角．不妨设正方形ABCD 中，AB ＝2，则P A ＝2.由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AB ，P A ⊥AD .所以BE ＝DE ＝12＋22 ＝5 ，OD ＝12 BD ＝12 ×22 ＝2 . 因为BE ＝DE ，O 为BD 的中点，所以∠EOD ＝90°.故sin ∠OED ＝OD DE ＝25＝105 .] [训练7]33 306[因为AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角．如图，连接BD .在Rt △D 1DB 中，sin ∠DD 1B ＝DB BD 1 ＝2226 ＝33 ，故异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33. 因为AD ∥BC ，所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角．如图，连接D 1C .因为正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，所以D 1B ＝26 ，BC ＝2，D 1C ＝25 .所以D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2.所以∠D 1CB ＝90°.所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306 . 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306.]解 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO ，则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC .∴AO ＝BO ＝CO .∴O 为△ABC 的外心．∵△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心．∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角．在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23 ×32 a ＝33 a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33. ∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33 . [训练8]解 由题意知，AB 是MB 在平面ABC 内的射影，∴MA ⊥平面ABC .∴MC 在平面ABC 内的射影为AC . ∴∠MCA 即为直线MC 与平面ABC 所成的角．又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°，∴MC ＝BM ·sin ∠MBC ＝5×sin 60°＝5×32 ＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2 ＝52－42 ＝3.在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235. ∴MC 与平面ABC 所成角的正弦值为235. [训练9]A [∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.][训练10](1)45° (2)30° (3)90° [(1)由线面角定义知，∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD所成的角，∠A 1BA ＝45°.(2)如图，连接A 1D ，设A 1D ∩AD 1＝O ，连接BO ，则易证A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1B 在平面ABC 1D 1内的射影为OB .∴A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO .∵A 1O ＝12 A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°. (3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1D ，即A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为90°.][训练11] 45° 45° 0° [∠B 1AB 为AB 1与平面ABCD 所成的角，即45°；∠B 1AA 1为AB 1与平面ADD 1A 1所成的角，即45°；AB 1与平面DCC 1D 1平行，即所成的角为0°.]解 (1)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD . 又P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD . ∴二面角A -PD -C 的大小为90°.(2)∵P A ⊥平面ABCD ， AB ，AC ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AC ⊥P A .∴∠BAC 为二面角B -P A -C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°.即二面角B -P A -C 的大小为45°.[训练12]解 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵AB 是⊙O 的直径，且点C 在圆周上，∴AC ⊥BC .又∵P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC .又PC ⊂平面P AC ，∴PC ⊥BC .又∵BC 是二面角P -BC -A 的棱，∴∠PCA 是二面角P -BC -A 的平面角．由P A ＝AC 知，△P AC 是等腰直角三角形，∴∠PCA ＝45°，即二面角P -BC -A 的大小是45°.[训练13] 45° [根据正方体中的线面位置关系可知，AB ⊥BC ，A 1B ⊥BC ，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA 1 即为二面角A -BC -A 1的平面角. 又AB ＝AA 1，且AB ⊥AA 1，∴∠ABA 1＝45°.][训练14] C [由已知得BD ＝2CD .翻折后，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，则∠BDC ＝60°.而AD ⊥BD ，CD ⊥AD ，故∠BDC 是二面角B -AD -C 的平面角，其大小为60°.][训练15] 30° [如图，取BD 的中点O ，连接OC ，OC 1.∵AB ＝AD ＝2 3 ，∴四边形ABCD 是正方形，BD ＝26 .∴CO ⊥BD ，CO ＝6 .∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B . ∴C 1O ⊥BD .∴∠C 1OC 为二面角C 1­BD ­C 的平面角．∵tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33 ， ∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1­BD ­C 的大小为30°.]。

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异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角或夹角．
2．异面直线所成的角θ的取值范围：(090]︒︒，
3．当θ＝o 90时，a 与b 互相垂直，记作a b ⊥．
【例】设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线（ ）
A ．有无数条
B ．有两条
C ．至多有两条
D ．有一条
【答案】A
【规律总结】异面直线所成的角的大小与O 点的位置无关，即O 点位置不同时，这一角的大小是不会改变的．
1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC CC ==，则异面直线11AC BB 与所成角的大。

高频考点（14）异面直线所成角和线面及面面平行的证明知识点一.异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的，即异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．常见方法如下：本节课用到的定理：1．余弦定理：在∆ABC中，有a=b+c-2bccosA，b=a+c-2accosB，222222c2=a2+b2-2abcosC．b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c22．余弦定理的推论：cosA=，cosB=，cosC=．2bc2ab2ac一、抓异面直线(或空间图形)上的已知点和特殊点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标；或抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，（1）求BA1与CC1夹角的度数. （2）求BA1与CB1夹角的度数． (3)求A1E与CB1夹角的余弦值．AA1DD1（4）若E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为等于解：（1）由BB'//CC'，可知∠B'BA'等于异面直线BA'与CC'的夹角，所以异面直线BA'与CC'的夹角为45（2）连结CD，BD，则BA'// CD，∠BCD等于异面直线BA'与CB的夹角，由∆CBD 为等边三角形，∠B/CD/=60O ，BA'与CB/的夹角为60O//////（3）连结AD，DE，则AD// CB，∠DAE等于异面直线AE与CB的夹角。

/////////A/D2+A/E2-DE2设AA=2，AE=1，AE=DE=，AD=22，在三角形DAE中，cos∠DAE==， //52AD.AE/////（4）取A1B1的中点F，∠AEF为所求角，设棱长为2，则AE=3,AF=EF=2，AE2+EF2-AF22cos∠AEF==.2AE⨯EF32．长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=3,AA1=4A1①求异面直线A1B和AD1所成角的余弦值．②求异面直线B1D与DD1A高频考点（14）异面直线所成角和线面及面面平行的证明BC1所成角的余弦值。

补充构造异面直线所成角的几种方法一. 异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。

（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，]90︒ 2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。

（2）求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。

②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。

③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。

EF1A 1B 1C 1D BCDGEF1A 1B 1C 1D ABCDG例2已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．例3长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

BM AN CS B M ANC SM ANCS例4如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC所成角的正切值等于_____．练习：1.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是()31032()()()()21055A B C D2.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015()()()()1021510A B C D 3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 4.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ；②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面(第2F 1 ABCD 1 C 1A 1B 1B 1(第1题)A 1ABC 1D 1CD MNN MFEDCB A在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 5.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条6.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）① ② ③ （B ）② ④ （C ）③ ④ （D ）② ③ ④8．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则求MN 和BD 所成角的正切值为 。

空间的平行直线与异面直线（一）异面直线所成的角异面直线所成角的定义：过空间任意一点O ，与异面直线a 和b 分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O 的位置选取无关；②两条异面直线所成的角θ∈（0,2］; ③因为点O 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上；④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；（二）两直线互相垂直当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b 互相垂直，也记作a ⊥b ;【注】以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形。

一、 例题讲解【例1】 设图中正方体的棱长为a .（1）求直线BA ′和CC ′所成角的大小； （2）求直线BA ′和B ′D ′所成角的大小；【例2】 在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且12AE BF ED FC ==，AB=CD=3，，求AB 与的大小.【例3】 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2a ，AA 1=a ,E 和F 分别是A 1B 1和BB 1的中点。

求：(1)EF 和AD 1所成的角的正弦值；(2)AC 1和B 1C 所成角的余弦值.(图1) (图2)(2)延长D 1A 1到F 使A 1F=D 1A 1,则AF ∥DA 1∥CB 1.所求角为AF 与AC 1的夹角.二、 课堂练习一、选择题1、 下列命题中，正确的是（ ） A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案：C2、已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：B3、直线a、b相交于点O，且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：C4、异面直线a、b所成的角为80°，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：D5、若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是（）A.1B.最多为1C.2D.1或2答案：B6、已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是（）A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案：C7、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是（）A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA 1与BC 的公垂线段的长是a 答案：D 二、填空题8、 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与BD 1成异面直线的有_______条. 答案：69、 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点，则（1）MN 与PQ 的位置关系是_______，它们所成的角是_______. （2）MN 与B 1D 的位置关系是_______，它们所成的角是_______. 答案：（1）相交 60° （2）异面 90° 10、在空间四边形ABC D 中，对角线AC =BD =2a ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，若MN =2a ，则AC 和BD 所成的角为_______，MN 和AC 所成的角为_______. 答案： 90° 45°11、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是DC 的中点，AD =AA 1AB =2，那么（1）AA 1与BC 1所成角的度数是_______； （2）DA 1与BC 1所成角的度数是_______； （3）BC 1与D 1M 所成角的余弦是_______.答案：（1）45° （2）90° （312、在空间四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，若AC =6，BD =4，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN =_______，MN 与BD 所成角的正切值为_______. 答案：23 13 13、空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1，点P 在边AB 上移动，点Q 在边CD 上移动，则点P 和点Q 的最短距离为_______.14、如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.答案： 8 cm。

异面直线所成角的定义
异面直线是指不在同一平面内的两条直线，它们的交点是一个点，这个点不在它们所在的平面内。

而异面直线所成角则是指这两条异面直线之间的夹角。

在三维空间中，我们可以通过向量的概念来理解异面直线所成角。

两条异面直线可以看作是两个不同的向量，它们的夹角就是这两个向量之间的夹角。

这个夹角可以通过向量的点积来计算，公式为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a和b分别是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。

需要注意的是，由于异面直线不在同一平面内，因此它们之间的夹角是没有方向的。

也就是说，无论我们从哪个方向来看这两条直线，它们之间的夹角都是相同的。

异面直线所成角在几何学中有着广泛的应用。

例如，在计算两个物体之间的夹角时，我们可以将它们的边界看作是由异面直线组成的，然后计算它们之间的夹角。

这个夹角可以帮助我们判断两个物体之间的相对位置，从而更好地进行设计和制造。

在计算空间中的角度时，异面直线所成角也是一个重要的概念。

例
如，在计算两个平面之间的夹角时，我们可以将它们的法向量看作是两条异面直线，然后计算它们之间的夹角。

这个夹角可以帮助我们判断两个平面之间的相对位置，从而更好地进行建模和渲染。

异面直线所成角是一个重要的几何概念，它在三维空间中有着广泛的应用。

通过理解和掌握这个概念，我们可以更好地理解和应用空间几何学的知识。

异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法高中数学　1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的求法．一、异面直线所成的角例1　如图，已知在三棱锥A －BCD 中，AD ＝1，BC ＝，且AD ⊥BC ，对角线3BD ＝，AC ＝，求异面直线AC 与BD 所成的角的大小．13232解　取AB ，AD ，DC ，BD 的中点分别为E ，F ，G ，M ，连接EF ，FG ，GM ，ME ，EG .则MG 綊BC ，EM 綊AD .1212因为AD ⊥BC ，所以EM ⊥MG .在Rt △EMG 中，有EG ＝＝1.(12)2＋(32)2由作图可知，∠EFG 为异面直线AC 与BD 所成的角(或补角)．在△EFG 中，因为EF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，121341234所以EF 2＋FG 2＝EG 2，所以EF ⊥FG ，即AC ⊥BD .所以异面直线AC 与BD 所成的角等于90°.反思感悟　求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．跟踪训练1　如图，在每个面都为等边三角形的四面体S －ABC 中，若点E ，F 分别为SC ，AB 的中点，试求异面直线EF 与SA 所成的角．解　如图，连接CF ，SF ，设四面体S －ABC 的棱长为a ，则SF ＝CF ＝a .32因为E 为SC 的中点，所以EF ⊥SC .在Rt △SEF 中，SE ＝SC ＝a ，1212所以EF ＝＝a .SF 2－SE 222取SB 的中点为D ，连接ED ，FD .则∠DFE 为异面直线EF 与SA 所成的角(或补角)．因为BC ＝SA ＝a ，而FD ∥SA ，且FD ＝SA ，ED ∥CB ，且ED ＝CB ，1212所以FD ＝ED ＝a ，所以FD 2＋ED 2＝EF 2.12故△DEF 是等腰直角三角形，可得∠EFD ＝45°，即异面直线EF 与SA 所成的角是45°.二、直线与平面所成的角例2　如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝AC ＝BC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，O 为PB 的中点，求直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值．解　如图，取PC 的中点为E ，连接EO ，则OE ∥BC .∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .又OE ∥BC ，∴OE ⊥平面PAC ，∴∠OCE 为直线CO 与平面PAC 所成的角．设PA ＝AC ＝BC ＝2，则OE ＝1，CE ＝，OC ＝，23∴cos ∠OCE ＝＝.CE OC 63∴直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值为.63反思感悟　求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成的角的余弦值．解　如图，设正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，则侧棱长为2a .设O 为底面△ABC 的中心，则∠SAO 为SA 和平面ABC 所成的角．在Rt △SOA 中，因为AO ＝×a ＝a ，233233所以cos ∠SAO ＝＝＝，AO SA 33a 2a 36即侧棱和底面所成的角的余弦值为.361．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成角的求解方法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角．1.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线D ′A 与BB 1所成的角可以表示为( )A ．∠DD ′AB ．∠AD ′C ′C ．∠ADB ′D ．∠DAD ′答案　A2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案　C解析　如图，连接BC 1，A 1C 1.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案　2解析　因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在△PAC 中，因为AC ＝AB ＝PA ，所以tan ∠PCA ＝＝2.1212PA AC 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角的大小为________．答案　π6解析　如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1O .又因为A 1O ⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以∠A 1BO 就是A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为a ，则A 1B ＝a ，A 1O ＝.22a2又因为∠A 1OB ＝90°，所以sin ∠A 1BO ＝＝，A 1O A 1B 12又∠A 1BO ∈，所以∠A 1BO ＝，[0，π2]π6所以A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角是.π6课时对点练1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与CD 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.32331263答案　B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，则异面直线EF 与C 1D 所成角的大小是( )A. B. C. D.π6π4π3π2答案　D解析　如图，在正方体中，连接A 1B ，CD 1，且CD 1∩C 1D ＝O .因为E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，所以EF ∥A 1B .又A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1，所以∠COD 即为异面直线EF 与C 1D 所成的角(或补角)．因为平面CDD 1C 1为正方形，所以∠COD ＝，所以异面直线EFπ2与C 1D 所成角的大小为.π23.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝，则异面直2线A 1C 与B 1C 1所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．90°D ．45°答案　A 解析　因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，连接BA 1(图略)，∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴BA 1＝，CA 1＝.22∴△BCA 1是等边三角形，∴异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.4．若斜线段AB 的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案　A解析　斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段AB 与平面α所成的角．因为AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝＝，BO AB 12所以∠ABO ＝60°.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1和平面ACD 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.23332363答案　D解析　如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O 1，O ，则OO 1∥BB 1，O 1O 和平面ACD 1所成的角就是BB 1和平面ACD 1所成的角，即∠O 1OD 1，则cos ∠O 1OD 1＝＝＝.O 1O OD 1132636．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成角的正切值为( )A. B. C. D ．2122332答案　A解析　延长D 1E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线为AF ，而C 1D 1∥CD ，∴∠AFD 为平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成的角，∵E 是棱CC 1的中点，且DD 1∥CC 1，∴CD ＝CF ，∴tan ∠AFD ＝＝.AD DF 127.如图，在三棱锥D －ABC 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB，CD 的中点，EF ＝，则3AD 与BC 所成的角的大小为______．答案　60°解析　如图(1)，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝AD ＝1.12因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝BC ＝1.12所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝(如图(2))，3取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝EF ＝，1232所以sin ∠EGO ＝＝，EO EG 32所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角为180°－120°＝60°.8．如图，正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 和平面PAC 所成的角为________．答案　60°解析　如图，在正四棱锥P －ABCD 中，连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则在正四棱锥中，BO ⊥平面PAC .连接OE ，DE ，则∠BEO 是直线BE 和平面PAC 所成的角．∵正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，∴V ＝×6×PO ＝2，则高PO ＝1.13∵底面积为6，∴BC ＝，OC ＝OB ＝，63则侧棱PB ＝PC ＝＝＝2.1＋(3)24∵E 为侧棱PC 的中点，∴取OC 的中点H ，连接EH ，则EH ⊥OC ，则EH ＝PO ＝，OH ＝OC ＝，12121232则OE ＝＝＝1.EH 2＋OH 2(12)2＋(32)2在Rt △BOE 中，tan ∠BEO ＝＝＝，OB OE 313则∠BEO ＝60°.9.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝，M ，N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．π2解　如图所示，连接CM ，设Q 为CM 的中点，连接QN ，则QN ∥SM .∴∠QNB 是异面直线SM 与BN 所成的角或其补角．连接BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中，BN ＝a ，NQ ＝SM ＝a ，BQ ＝a ，521224144∴cos ∠QNB ＝＝.BN 2＋NQ 2－BQ 22BN ·NQ 105即异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10510．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解　如图，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而直线BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2a ，则EM ＝AD ＝2a ，BE ＝＝3a .(2a )2＋(2a )2＋a 2于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝＝，EM BE 23即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.2311.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为( )A. B.101035C. D.2245答案　D解析　如图，连接A 1C 1，BC 1，则BC 1∥AD 1，那么∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．又|A 1B |＝|C 1B |＝＝，|A 1C 1|＝，12＋2252由余弦定理可得cos ∠A 1BC 1＝＝.5＋5－22×5×54512．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角BC︵ 的余弦值为( )A. B. C. D.335530666答案　D解析　如图，取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，∠EHA ＝90°.不妨设AB ＝2，则BH ＝HE ＝1，AH ＝，所以AE ＝.连接ED ，ED ＝.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE566与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝＝.6＋4－62×2×66613．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.62223363答案　D解析　如图所示，取BC 的中点F ，连接EF ，OF ，BC 1.因为E 为CC 1的中点，EF ∥BC 1∥AD 1，故∠OEF 即为异面直线OE 与AD 1所成的角(或其补角)，不妨设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在△OEF 中，EF ＝，OE ＝，OF ＝1，23故∠OFE ＝90°，故cos ∠OEF ＝＝.EF OE 6314.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体OAEF 中，下列结论错误的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体OAEF 的内切球的表面积为πD ．异面直线OH 与AE 所成角的余弦值为1010答案　C解析　翻折前，AB ⊥BE ，AD ⊥DF ，故翻折后，AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，又OE ∩OF ＝O ，∴AO ⊥平面EOF ，故A 正确；连接OH ，AH ，如图，则∠OHA 为AH 与平面EOF 所成的角．∵OE ＝OF ＝1，∴EF ＝＝，∴OE ⊥OF ，又H 是EF 的中点，∴OH ＝EF ＝.12＋1221222又OA ＝2，∴tan ∠OHA ＝＝2，故B 正确；OAOH 2设四面体OAEF 的表面积为S ，体积为V ，内切球半径为r ，则V ＝S ·r .又V ＝S △OEF ·OA ＝1313××1×1×2＝，S ＝2××1×2＋×1×1＋××＝4，∴r ＝，解得r ＝，∴1312131212122322431314内切球的表面积为4πr 2＝，故C 错误；π4取AF 的中点，连接OP ，HP .∵点P 是AF 的中点，点H 是EF 的中点，∴PH ∥AE ，∴∠OHP 为异面直线OH 与AE 所成的角或其补角．∵OE ＝OF ＝1，OA ＝2，∴OP ＝AF ＝，PH ＝AE ＝，OH ＝，1252125222再取OH 的中点M，连接PM ，则PM ⊥OH ，∴cos ∠OHP ＝＝＝，故D 正确．MH PH 12OH PH 101015．(多选)如图，设E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且AB ＝2，EF ＝1，则下列说法中正确的是( )A ．异面直线D 1B 1与EF 所成的角为60°B ．三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值C ．平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的大小为45°D ．直线D 1B 1与平面B 1EF 所成的角为30°答案　BCD解析　由于EF ∥C 1D 1，因此异面直线D 1B 1与EF 所成的角就是D 1B 1与C 1D 1所成的角，为45°，A 错误；△D 1EF 的面积不变，B 1到平面D 1EF 即平面D 1DCC 1的距离不变，因此三棱锥B 1－D 1EF 的体积不变，即三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值，B 正确；平面B 1EF 即为平面A 1B 1CD ，∠D 1A 1D 为平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的平面角，∠D 1A 1D ＝45°，C 正确；连接AD 1交A 1D 于M ，连接B 1M (图略)，由正方体性质知A 1B 1⊥AD 1，A 1D ⊥AD 1，而A 1B 1∩A 1D ＝A 1，因此AD 1⊥平面A 1B 1CD ，因此∠D 1B 1M 是直线B 1D 1与平面A 1B 1CD 即平面B 1EF 所成的角，在Rt △MB 1D 1中，D 1M ＝D 1B 1，所以∠D 1B 1M ＝30°，D 正确．1216.如图，点P 为平面ABC 外一点，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥平面ABC ，且ED ＝1，PA ＝2，AC ＝2，连接BP ，BE ，多面体B －PADE 的体积是.33(1)画出平面PBE 与平面ABC 的交线，并说明理由；(2)求BE 和平面PADE 所成的角的正切值．解　(1)如图，延长PE 交AC 于点F ，∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面ABC .∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ∥PA ，∴＝＝，∴F 与C 重合．DF AF DE PA 12∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ，∴C 是平面PBE 与平面ABC 的公共点．又B 是平面PBE 与平面ABC 的公共点，∴BC 是平面PBE 与平面ABC 的交线．(2)如图，连接AE .∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴∠BEA 为BE 和平面PADE 所成的角．∵V B －PADE ＝S 梯形ADEP ·AB13＝××(1＋2)×1×AB ＝，131233∴AB ＝.233又∵AE ＝＝，AD 2＋DE 22∴tan ∠BEA ＝＝.AB AE 63。

两异面直线所成的角的范围
两异面直线所成的角的范围，一般来说是介于0度到180度之间。

而如果两条直线平行，也就是说它们是同面的，那么它们之间所成的
夹角就是0度。

而当两条直线垂直的时候，也就是它们是垂直的异面
直线，所以它们之间所成的夹角就是90度。

因此，两条异面直线之间
所成的夹角一般都是在0度到180度之间。

另外，在数学上，所谓的“异面直线”其实指的是起点不同，方
向相同的两条直线，因此这两条直线是有可能重合的，即它们所成角
度可能大于180度，甚至是360度，但是它们依然是异面直线。

再比如，如果两条异面直线为AB和CD，它们之间所成的夹角可以
通过以下几种方法来进行求解：
1、求出AB和CD的各自斜率，然后用两个向量的数量积求出其夹角；
2、把AB和CD分别看作两个向量，并且求出它们的向量积；
3、先求出AB和CD的向量积，再将其转化为弧度，最后将弧度转
化为角度；
4、使用三角函数进行求解。

因此，总结而言，两异面直线之间所成的角度一般都是介于0度
到180度之间，但也有可能大于180度，甚至是360度，而如果两条
异面直线重合，那么它们之间所成的夹角就是360度，而且它们也是
异面直线，只是它们的起点相同，方向也相同而已。

【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。

如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。

求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。

b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。

特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。

当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。

c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

第1页（共1页）异面直线所成角的范围你注意了吗？陈庆新异面直线所成的角是指过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条平行直线所成的锐角或直角就是这两条异面直线所成的角。

根据这个定义可知异面直线所成角的取值范围为02，π⎛⎝ ⎤⎦⎥。

然而许多同学在求解异面直线所成的角或在使用异面直线所成的角解决有关问题时，往往忽视其取值范围，从而导致解题错误，下面举例说明。

例：如图所示，已知在空间四边形ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别为BC 、AD 上的点，并且BE ：EC=AF ：FD=1：2，EF=7，求AB 与CD 所成的角的大小。

错解：取BD 上一点H ，使得BH ：HD=1：2。

连结FH 、EH ，由题意知FH//AB ，EH//CD ，则∠EHF 为异面直线AB 与CD 所成的角。

又AF ：FD=BH ：HD=BE ：EC=1：2所以FH AB HE CD ====232131， 在△EFH 中，由余弦定理知：cos ∠·EHF EH FH EF EH FH =+-=+-⨯⨯=-22222212721212∵∠0<<EHF π∴∠°EHF =120，即异面直线AB 与CD 所成的角为120°。

错因剖析：上述解答忽视了异面直线所成角的取值范围：02，π⎛⎝ ⎤⎦⎥。

在解答过程中有同学认为“∠EHF 即为异面直线AB 与CD 所成的角”，这一论断是不正确的。

当∠EHF 为锐角或直角时，即为两条异面直线AB 与CD 所成的角；而当∠EHF 为钝角时，它为异面直线AB 与CD 所成角的补角。

正确答案为：异面直线AB 与CD 所成的角是60°。

练一练：空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别为4cm 和6cm ，它们所成的角为60°，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，求线段MN 的长。

异面直线所成角概念&性质：在三维空间中，当两条直线不在同一个平面上时，它们所成的角称为异面直线所成角。

异面直线所成角与二维平面中直线所成角有着一定的区别。

在二维平面中，直线之间只能是相交或平行，而在三维空间中，两条直线可能相交，也可能平行，因此在考虑两条异面直线所成角的问题时，需要考虑两条直线是否平行，如果平行则不存在所成角。

我们可以通过斜线与平面的关系来确定两条直线是否平行，具体方法有以下两种：1. 方向向量法：设异面直线L1和L2分别由向量a1和a2表示，判断直线是否平行可以通过检查两个向量的数量积是否为零。

当a1·a2=0时，L1和L2平行。

2. 法向量法：设L1过点P1(x1, y1, z1)，方向向量为a1=(a, b, c)；L2过点P2(x2, y2, z2)，方向向量为a2=(d, e, f)。

设L1所在平面的法向量为n1=(m, n, p)，L2所在平面的法向量为n2=(q, r, s)。

要判断L1和L2是否平行，可以检查两个法向量的数量积是否为零，即m·q + n·r + p·s=0。

如果两条异面直线不平行，则它们所成的角可以通过以下步骤计算：1. 找到两条直线的公共点，并将其命名为点O。

2. 分别取一条直线上的两个点，分别命名为A和B；再分别取另一条直线上的两个点，分别命名为C和D。

其中，A、C在直线L1上，B、D在直线L2上。

3. 计算向量OA和OD的数量积，记为a，计算向量OB和OD的数量积，记为b。

则两条直线所成的角θ可通过以下公式计算：θ= arccos(a / |OA|·|OD|) = arccos(b / |OB|·|OD|)。

4. 由于计算角度时需要使用反余弦函数arccos，所以角度θ的范围在[0, π]之间。

结论：异面直线所成角是三维空间中的一个重要概念，在几何学和物理学中起着重要的作用。

立体几何之所成角1 异面直线所成的角①范围(0∘ ,90∘]；②作异面直线所成的角：平移法.如图,在空间任取一点O,过O作a′ // a ,b′ // b,则a′ ,b′所成的θ角为异面直线a ,b所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.2 线面所成的角①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.②范围[0∘ ,90∘]3 二面角①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB 构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②范围[0° ,180°].【题型一】异面直线所成的角【典题1】如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E ,F分别是AA1,AD的中点，则CD1与EF所成角为()A．0°B．45°C．60°D．90°【解析】连结A1D、BD、A1B,∵正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E ,F分别是AA1,AD的中点，EF∥A1D,∵A1B∥D1C,∴∠DA1B是CD1与EF所成角,∵A1D=A1B=BD ,∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选 C．【点拨】①找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线；②平移时常利用中位线、平行四边形的性质；【典题2】如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1 ,AD 的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【解析】取BC的中点G．连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则∵E是CC1的中点,∴GC1∥EH,∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中,OE=√3,HE=√52,OH=√52．由余弦定理,可得cos∠OEH=OE 2+EH2−OH22OE⋅EH=3⋅√2=√155．故答案为√155【点拨】本题利用平移法找到异面直线所成的角(∠OEH)后,确定含有该角的三角形(△OEH),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角∠OEH最终求出来.【典题3】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB ,PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN=BC=4 ,PA=4√3,求异面直线PA与MN所成的角的大小．【解析】(1)证明：取PD中点Q,连AQ、QN,则AM∥QN,且AM=QN,∴四边形AMNQ为平行四边形∴MN∥AQ又∵AQ在平面PAD内,MN不在平面PAD内∴MN∥面PAD；(2)解方法一∵MN∥AQ∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角∵MN=BC=4 ,PA=4√3,∴AQ=4,设PQ=x,根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0即16+x 2−488x +16+x2−168x=0,解得x=4在三角形AQP中,AQ=PQ=4 ,AP=4√3∴cos∠PAQ=2×4×4√3=√32,即∠PAQ=30°∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°方法二过点A作AH⊥PD交PD于H,如图∵MN=BC=4,∴H是QD的中点设HD=x,则QH=x,PQ=2x,在Rt△AQD和Rt△APH利用勾股定理可得AH2=16−x2=48−9x2,解得x=2∴cos∠PAQ=PHAP =4√3=√32,即∠PAQ=30°∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°【点拨】本题中所成角∠PAQ找到后,无法在一个三角形里求出,此时把问题转化为平面几何问题, 再利用解三角形的方法进行求解.【题型二】线面所成的角【典题1】如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD,AB⊥BC,AB= 2CD=2BC,EA⊥EB．(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：取AB中点O,连接EO,DO．∵EB=EA,∴EO⊥AB．∵四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,∴四边形OBCD为正方形,∴AB⊥OD．又∵EO∩OD=O,∴AB⊥平面EOD．∴AB⊥ED．(2)∵平面ABE⊥平面ABCD,且AB⊥BC,∴BC⊥平面ABE．则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．设BC=a,则AB=2a,BE=√2a,∴CE=√3a,在直角三角形CBE中,sin∠CEB=CBCE =√3=√33．即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为√33．【点拨】本题中的“直线EC与平面ABE所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的,在含所求角∠CEB的直角三角形CBE中求出角度！【典题2】如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为G点,E点在AB边上,平面PEC⊥平面PDC．(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求BE的长；(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．【解析】(1)证明：∵CD ⊥AD,CD ⊥PA∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AG,又PD ⊥AG∴AG ⊥平面PCD作EF ⊥PC 于F,因面PEC ⊥面PCD∴EF ⊥平面PCD∴EF ∥AG,又AG ⊄面PEC,EF ⊂面PEC,∴AG ∥平面PEC(2)由(1)知A 、E 、F 、G 四点共面,又AE ∥CD ∴AE ∥平面PCD∴AE ∥GF ∴四边形AEFG 为平行四边形,∴AE =GF∵PA =3,AD =AB =4 ∴PD =5,AG =125, 在Rt △PAGP 中,PG 2=PA 2−AG 2=8125 ∴PG =95 又GF CD =PG PD∴GF =3625 ∴AE =3625,故BE =6425(3)∵EF ∥AG,所以AG 与平面PAC 所成角等于EF 与平面PAC 所成的角,过E 作EO ⊥AC 于O 点,易知EO ⊥平面PAC,又EF ⊥PC,∴OF 是EF 在平面PAC 内的射影∴∠EFO 即为EF 与平面PAC 所成的角EO =AEsin45°=3625×√22=18√225,又EF =AG =125,∴sin∠EFO=EOEF =18√225×512=3√210故cos∠EFO=√1−sin2∠EFO=√8210所以AG与平面PAC所成角的余弦值等于√8210.【点拨】①若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,比如下图中,求直线AP与平面α所成的角,具体步骤如下：(1) 如图,过点P作平面α的高PO,垂足为O,则AO是线段AP在平面α上的投影；(2) 找到所求角θ；(3) 求解三角形APO进而求角θ.(此方法关键在于找到垂足O的位置,证明到PO⊥平面α,如本题中EO⊥平面PAC的证明)②本题若直接求“AG与平面PAC所成角”,过点G做高有些难度,则由EF∥AG,能把“AG与平面PAC所成角”转化为“EF与平面PAC所成的角”,这方法称为“间接法”吧.【典题3】如图,正四棱锥S－ABCD中,SA=AB=2,E,F,G分别为BC,SC,CD的中点．设P为线段FG上任意一点．(Ⅰ)求证：EP⊥AC；(Ⅰ)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．【解析】证明：(Ⅰ)连接AC交BD于O,∵S－ABCD是正四棱锥,∴ SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AC,又∵AC⊥BD,SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD,∴AC⊥SD,∵F,G分别为SC,CD的中点,∴SD∥FG,∴AC⊥GF,同理AC⊥EF,∴AC⊥平面GEF,又∵PE⊂平面GEF,∴EP⊥AC．(Ⅰ) 方法一过B作BH⊥GE于点H,连接PH,∵BD⊥AC,BD∥GF,∴BH∥AC,由(Ⅰ)知：AC⊥平面GEF,∴BH⊥平面GEF,∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角,∵SA=AB=2,∴在Rt△BHP中,解得BH=√22,PH=√132,PB=√152,(易知△BHE是等腰直角三角形,又由斜边BE=1,∴BH=√22；在三角形PGH中,PG=12,GH=3√22,∠PGH=π4,用余弦定理可得PH=√132)则cos∠BPH=PHPB =√19515,故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为√19515.方法二设过点B作平面EFG的垂直,垂直为T,则∠BPT就是直线BP与平面EFG所成的角,BT是点B到平面PGE的距离,由已知条件可求GF=EF=1,GE=√2,则∠GFE=90°,∴S△PEG=12S△GFE=12×12=14,由于P、F是中点,易得点P到平面ABCD的距离ℎ1=14SO=√24,而S△GEB=12S△GCB=12×1=12,对于三棱锥P−GEB,由V B−PEG=V P−GEB⇒13×BT×S△PEG=13×ℎ1×S△GEB⇒112BT=√224⇒BT=√22,在正四棱锥S－ABCD中可求PB=√152,(方法较多,提示过点P作平面ABCD的高PI)∴sin∠BPT=BTBP =√3015∴cos∠BPT=√1−sin∠BPT=√19515,故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为√19515.【点拨】①本题第二问中方法一就是用“做高法”,计算量有些大；方法二是觉得垂足H的位置难确定,可设点B到平面EFG的投影为T(即垂足),再用“等积法”求高BT,则sin∠BPT=BTBP,可求所求角∠BPT,这种方法称为“等积法”；②思考：上一题试试用“等积法”！【题型三】二面角【典题1】如图,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,AC 与BD相交于点O．求二面角 A1－BD－A 的正切值．【解析】在正方体中BD⊥平面A1ACC1，∴AO⊥BD,A1O⊥BD，∴二面角A1－BD－A的平面角为∠A1OA由题中的条件求出：AO=√22a ,AA1=a∴tan∠A1OA=√22a=√2,所以二面角 A1－BD－A 的正切值为√2．【点拨】本题根据二面角的定义找到二面角二面角A1－BD－A的平面角为∠A1OA,再在三角形AOA1内用解三角形的方法求解角∠A1OA.【典题2】如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=√6,点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD=√3,求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．【解析】(1)在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,可得△PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,∵BC⊥AB,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB ∴BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,在Rt△PAB中,PA=AB=√6,所以AE=12PB=12√PA2+AB2=√3(2)过点D作DF⊥CE于F,过点F做FG⊥CE,交AC于G,连接DG,则∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥AE,又AD∥BC,得AD⊥AE,从而DE=√AE2+AD2=√6在Rt△CBE中,CE=√BE2+BC2=√6,由CD=√6,所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD•sinπ3=3√22因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG∥AE．∴G点为AC的中点,FG=12AE=√32,则在Rt△ADC中,DG=12√AD2+CD2=32,所以cos∠DFG=DF 2+FG2−DG22DF⋅FG=√63【点拨】若在题目中不能直接得到所求二面角,就需要构造出二面角,比如本题求二面角A－EC－D,解题具体步骤如下(1) 过点D作DF⊥EC,过点F作FG⊥EC交AC于点D,则二面角∠DFG为所求的二面角的平面角；(2) 确定含角∠DFG的三角形DFG,利用解三角形的方法求出角∠DFG,常见的是求出三角形三边再用余弦定理.【典题3】如图,已知三棱锥P－ABC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∠BAC=60°,PA=AC,M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC．(2)求二面角M－AC－B的大小．【解析】(1)证明：由PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又因为∠ACB=90°,即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC,∴PC⊥BC．(2)取AB中点O,连结MO、过O作HO⊥AC于H,连结MH,∵M是PB的中点,∴MO∥PA,又∵PA⊥面ABC,∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M－AC－B的平面角．设AC=2,则BC=2√3,MO=1,OH=√3,在Rt△MHO中,tan∠MHO=MOHO =√3=√33．二面角M－AC－B的大小为30∘．【点拨】求二面角也可以转化为线面角,比如求二面角D－AB－C,解题思路如下过点D作DE⊥AB,则二面角D－AB－C等于直线ED与平面ABC所成的角或其补角,若过点D作DF⊥平面ABC,则二面角D－AB－C是锐角,等于角∠DEF；二面角D－AB－C是钝角,等于角∠DEF的补角.1(★)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,点P在线段AD′上运动,则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是()A．0 <θ <π2B．0 <θ≤π2C．0≤θ≤π3D．0 <θ≤π3【答案】D【解析】∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为π3，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0 <θ≤π3．故选D．2(★★)如图所示的几何体,是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1,O2,O2′分别为AB ,BC ,DE的中点,F为弧AB的中点,G为弧BC的中点．则异面直线AF与GO2′所成的角的余弦值为．【答案】√1010【解析】如图，连接AF、FB、BG、GC，∵F为半圆弧AFB的中点，G为半圆弧BGC的中点，由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且AF=CG，FB=GB，AB=BC，∴△AFB≌△CGB，∴AF∥CG，则∠CGO2′即为所求的角或其补角，又∵半径为1，高为2，且△AFB，△CG B都是等腰Rt△，∴CG=√2，CO2′=GO2′=√1+22=√5，∴在△CGO2′中，cos∠CGO2′=√52√22√522√2⋅√5=√1010，即异面直线AF与GO2′所成的角余弦值√1010．故答案为√1010．3 (★★)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC．(1)求证：AD1⊥平面A1DC；(2)求MN与平面ABCD所成的角．【答案】(1) 见解析(2)π4【解析】(1)证明：由ABCD－A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1∴CD⊥AD1，又AD1⊥A1D，且A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC；(2)解：∵MN⊥平面A1DC，又由(1)知AD1⊥平面A1DC，∴MN∥AD1，∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，，由正方体可知∠D1AD=π4∴MN与平面ABCD所成的角为π．44(★★★) 如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P ,Q分别为AE,AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．【答案】(1) 见解析(2)√55【解析】(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ 平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝√5，DP＝1，sin∠DAP＝√5，即AD与平面ABE5。

异面直线所成角的求法
1. 异面直线所成角的定义：
2. 异面直线所成角的范围：
3. 典型例题：
例1：在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是四边长为1的菱形，4π
=∠ABC , ⊥OA 面
ABCD , 2=OA ,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
例2：如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC 是⊙O 的直径，AB=AC=6，OE ∥AD.求直线BD 与EF 所成的角的余弦值.
N
B
练习：1如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .
2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3， BC=1，
PA=2，E为PD的中点.求直线AC与PB所成角的余弦值；。