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第十三章轴对称13.2 画轴对称图形第2课时用坐标表示轴对称一、教学目标1.理解在平面直角坐标系中, 已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标的变化规律.2.掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法.3.能根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.二、教学重难点重点：已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标的变化规律;在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法.难点：根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.什么是轴对称变换？（由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形, 这个图形与原图形的大小、形状完全相同.）2.轴对称变换的性质是什么？（①新图形上的每一点都是原图形的某一点关于直线l的对称点；②连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.）3.画轴对称图形的步骤？（找：在原图形上找特殊点（如线段端点等）；画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；连：依次连接各对称点.）4.如何画点A关于直线l的对称点A′.（作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l 的对称点.可简记为：作垂线；取等长）教师带领学生复习旧知，鼓励学生积极的投入到活动中，为本节课做准备.【新知探究】知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标规律[引出课题]如图是一幅老北京城的示意图, 其中西直门和东直门是关于中轴线对称的,如果以天安门为原点, 分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系, 根据如图所示的东直门的坐标, 你能说出西直门的坐标吗？跟着老师学了今天的内容，你就能解答出来了.[提出问题]问题1 （1）根据“作已知点关于对称轴的对称点”的方法，你能在如图所示的平面直角坐标系中画出点A关于x轴的对称点，并求出它的坐标吗?[课件展示]教师利用多媒体展示如下过程：[提出问题]（2）点B和点C关于x轴的对称点呢?[课件展示]教师利用多媒体展示如下过程：[提出问题]（3）分别求出点D和点E关于x轴的对称点的坐标, 并把它们的坐标填入表格中.[动手操作]学生在已经画好的坐标系中描出点D和点E，作图，找出这两点关于x轴对称的点，之后举手回答，教师纠正，并将最终答案填到表格中，得到如下表格:[提出问题](4)看看每对对称点的坐标有怎样的规律, 再和同学讨论一下.[小组讨论]学生之间讨论.之后代表回答小组间讨论的结果.教师纠正.最后得到”横坐标相等，纵坐标互为相反数.”[提出问题]问题2 （1）根据“作已知点关于对称轴的对称点”的方法，你能在如图所示的平面直角坐标系中画出点A关于y轴的对称点，并求出它的坐标吗?[课件展示]教师利用多媒体展示如下过程：[提出问题]（2）点B和点C关于y轴的对称点呢?[课件展示]教师利用多媒体展示如下过程：[提出问题]（3）分别求出点D和点E关于y轴的对称点的坐标, 并把它们的坐标填入表格中.[动手操作]学生在已经画好的坐标系中描出点D和点E，作图，找出这两点关于y轴对称的点，之后举手回答，教师纠正，并将最终答案填到表格中，得到如下表格:[提出问题](4)看看每对对称点的坐标有怎样的规律, 再和同学讨论一下.[小组讨论]学生之间讨论.之后代表回答小组间讨论的结果.教师纠正.最后得到”纵坐标相等，横坐标互为相反数.”[归纳总结]关于坐标轴对称的点的坐标规律1.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）.2.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）.并强调：简记为“横轴横相同, 纵相反；纵轴纵相同, 横相反”.关于谁对称谁不变[提出问题]现在你能说出西直门的坐标了吗？学生集体回答.（-3.5,4）[课件展示]跟踪训练1.(2021•雅安)在平面直角坐标系中,点A(-3,-1)关于y轴的对称点的坐标是( C )A.(-3,1)B.(3，1)C.(3,-1 )D.(-1,-3)2.（2021•杭州萧山区二模）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则（ A ）A．m＝3，n＝﹣2 B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2 D．m＝﹣2，n＝3知识点2 在坐标系中作已知图形的对称图形[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5,1）, B（-2,1）, C（-2,5）, D（-5,4）, 分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），因此四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于y轴对称的点分别为A′（ 5,1 ），B′（ 2,1 ），C′（ 2,5 ），D′（ 5,4 ），依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D ′.四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于x轴对称的点分别如下表格:依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于x轴对称的四边形A′′B′′C′′D′′.[归纳总结]在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法：计算：求出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；描点：根据对称点的坐标描点；连接：按原图对应点连接所描各点得到对称图形.并提醒学生：所找的特殊点一定要能确定原图形, 否则画出的图形与原图形不一定成轴对称.[课件展示]跟踪训练已知△ABC的三个顶点的坐标分别为分别为A (-5,-1),B(3,3),C(-2,3) ,作出△ABC关于x轴对称的图形.解：△A′B′C′即为所求.【课堂小结】【课堂训练】1.(2021•成都)在平面直角坐标系xOy中,点M(-4,2)关于x轴对称的点的坐标是( C )A. (-4,2)B. (4,2)C. (-4,-2)D. (4,-2)2.(2021•泸州)在平面直角坐标系中,将点A(-3,-2 )向右平移5个单位长度得到点B ,则点B关于y轴对称点B'的坐标为( C )A.(2,2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,-2)3.已知点P关于x轴对称的点的坐标是（1，-2），则它关于y轴对称的点的坐标是（ A ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，1）D.（1，-2）【解析】∵点P关于x轴对称的点的坐标是（1，-2），∴点P的坐标是（1，2）.∴点P关于y轴对称的点的坐标是（-1，2）.4.( 2021•丽水)四盏灯笼的位置如图所示.已知A,B,C,D的坐标分别是(-1 ,b)，(1,b)，(2,b),(3.5,b),平移y轴右侧的一盏灯笼,使得y轴两侧的灯笼对称,则平移的方法可以是( C )A.将B向左平移4.5个单位B.将C向左平移4个单位C.将D向左平移5.5个单位D.将C向左平移3.5个单位5.(2021•荆州)若点P(a+1，2-2a)关于x轴的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示为( C ）【解析】点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点的坐标为(a+1,2a-2).∵该点在第四象限，∴a+1＞0，2a-2＜0.解得-1＜a＜1.故选C.6.平面直角坐标系内的点A（-1，2）与点B（-1，-2）关于 x 轴对称.7.若|a-2|+(b-5)2=0，则点P (a，b)关于y轴对称的点的坐标为___（-2,5）_____.8.平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-5,4），B（-3,0），C（-2，2）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若△ABC与△DEF关于y轴对称，画出△DEF，并写出D、E、F的坐标.解：（1）A、B、C三点如图所示.（2）△DEF如图所示，D、E、F的坐标分别为（5,4）、（3,0）、（2,2）.9.已知点A(2a-b，5＋a)，B(2b-1，-a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求点C（a，b）在第几象限；(2)若点A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2022的值．解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴2a-b=2b-1，5＋a-a＋b=0，解得a=-8，b=-5.∴点C（-8，-5）在第三象限；(2)∵点A、B关于y轴对称，∴2a-b＋2b-1=0，5＋a=-a＋b，解得a=-1，b=3，∴(4a＋b)2022=1.【教学反思】本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，强烈地吸引了学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣.由于学生已经系统学过平面直角坐标系的相关知识，并研究了用坐标表示平移,拥有了一定的在平面直角坐标系中研究图形的能力和方法，加上在本章之前的学习中，学生已经非常熟练地掌握了轴对称图形、图形的轴对称的概念、轴对称的基本性质、线段的垂直平分线的性质等内容，因此，本节课的教学采用教师组织引导，给学生留足空间和时间，以学生自主学习为主，付之以尝试学习、探究学习、合作交流学习，教师进行适当帮助、指导和适时的点拨、点评的教学方式.通过教学，基本达到了教育教学目标，但我觉得自己还存在以下几个不足:1.对于没有举手发言的同学的关注度不够；2.总结变化规律应该让学生尝试进行，而不是教师代劳;3.部分学生对规律的记忆还不是十分清晰，课堂上还是没有强调到位.。
13.2 光的折射、全反射知识目标一、光的折射1．折射现象：光从一种介质进入另一种介质，传播方向发生改变的现象．2．折射定律：折射光线、入射光线跟法线在同一平面内，折射光线、入射光线分居法线两侧，入射角的正弦跟折射角的正弦成正比．3．在折射现象中光路是可逆的．二、折射率1．定义：光从真空射入某种介质，入射角的正弦跟折射角的正弦之比，叫做介质的折射率．注意：光从真空射入介质．2．公式：n=sini/sinγ，折射率总大于1．即n＞1．3.各种色光性质比较：红光的n最小，ν最小，在同种介质中（除真空外）v最大，λ最大，从同种介质射向真空时全反射的临界角C最大，以相同入射角在介质间发生折射时的偏折角最小（注意区分偏折角．．．）。
．．．和折射角4．两种介质相比较，折射率较大的叫光密介质，折射率较小的叫光疏介质．【例1】一束光从空气射向折射率n=的某种玻璃的表面，如图所示，i表示入射角，则（） A．无论入射角i有多大，折射角r都不会超过450B．欲使折射角r＝300，应以i＝450的角度入射C．当入射角i＝arctan时，反射光线与折射光线恰好互相垂直D．以上结论都不正确解析：针对A：因为入射角最大值i max=900，由折射定律sini/sinγ=n，0，故A正确．sinγ=sini/n=sin900/=/2 所以γ针对B：由sini/sinγ=n知，当r＝300时sini=sinγn=×sin300=/2 所以，I=450，即选项B正确针对c：当入射角i＝arctan 时，有sini/cosi=，由折射定律有sini/sinγ=n＝所以cosi＝sinγ，则i＋r=900所以在图中，OB⊥OC．故选项C也正确．答案：ABC【例2】如图所示，一圆柱形容器，底面直径和高度相等，当在S处沿容器边缘的A点方向观察空筒时，刚好看到筒底圆周上的B点．保持观察点位置不变，将筒中注满某种液体，可看到筒底的中心点，试求这种未知液体的折射率是多大？解析：筒内未装液体时，S点的眼睛能看到B点以上部分，注满液体后，由O点发出的光线经液面折射后刚好进入眼睛，根据折射定律知：n=sini/sinγ=/2=1.58 即这种未知液体的折射率n=1．58．三、全反射1．全反射现象：光照射到两种介质界面上时，光线全部被反射回原介质的现象．2．全反射条件：光线从光密介质射向光疏介质，且入射角大于或等于临界角．3．临界角公式：光线从某种介质射向真空（或空气）时的临界角为C，则sinC=1/n=v/c 【例3】潜水员在折射率为的透明的海水下hm深处，向上观察水面，能看到的天穹和周围的景物都出现在水面上的一个圆形面积为S的区域内，关于圆面积S和深度h的关系正确的是（ C ）A、S与水深h成正比B、S与水深h成反比C、S与水深h的平方成正比D、S与水深h的平方成反比【例4】完全透明的水中某深处，放一点光源在水面上可见到一个圆形的透光平面，如果透光圆面的半径匀速增大，则光源正在（ D ）A、加速上升B、加速下沉C、匀速上升D、匀速下沉四、棱镜与光的色散1.棱镜对光的偏折作用一般所说的棱镜都是用光密介质制作的。
2021-2022年高考数学复习点拨 异面直线定义释疑与判定一、定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
二、对定义的理解异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其 中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件。
不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一个平面内”，如图1，直线，不能由m ，n 不同在平面上就误认为m ，n 异面，实际上，因可知，m 与n 共面，它们不是异面直线。
也不能误解为“分别在某两个平面内的两条直线”，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者的直线只是画在某两个平面内，并不能确定这两条直线异面，它们可以是平行直线，也可以是相交直线，如图2所示。
三、判定方法1、由定义判定两直线不可能在同一平面内；2、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。
3、反证法：反证法是立体几何中证明的一种重要方法，反证法证题的步骤是：（1）提 出与结论相反的假设；（2）由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；（3）推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论。
四、典例分析例1、如图，已知A b a b a =⊂= ,,ββα，且，求证：b ，c 为异面直线。
证明：（1）因为，所以b 与只有一个公共点，而，，所以c 与b 无公共点。
（2）因为，b 上只有一个点在平面内，又，，所以c ，b 不在同一平面内。
结合（1）、（2）知，b ，c 是异面直线。
点评：“异面直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”含义不同，前者是指不可能找到一个平面同时包含这两条直线，后者的两条直线只是位于两个平面内，他们有可能同时在第三个平面内，利用定义重在证明无公共点又不在同一平面内。
例2、如图，已知直线a 、b 是异面直线，A 、B 是a 上相异两点，C 、D 是b 上相异两点，求证：AC 、BD 是异面直线。
第2课时异面直线学习目标 1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.2.理解异面直线所成的角的概念．知识点一异面直线的判断方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线知识点二异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b1．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．(×)2．异面直线所成的角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点．(√) 3．过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线．(√)4．如果三条直线两两相交，这三条直线一定共面．(×)一、异面直线的判断例1(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的侧棱都有两条，故共有异面直线4×2＝8(对)．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示．反思感悟判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内．(2)利用异面直线的判定定理．(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．跟踪训练1如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法：①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线．其中说法正确的是________．(填序号)答案①②③④解析因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确．二、异面直线所成的角例2如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角的大小；(2)FO与BD所成的角的大小．解(1)∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.延伸探究在本例中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．解如图，连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，则OP∥AF，又CD∥AB，∴∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，∵△ABF是等腰直角三角形，∴∠BAF＝45°，∴OP与CD所成的角为45°.反思感悟求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．跟踪训练2如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD 的中点，求EF与AB所成的角的大小．解如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是EF 与AB 所成的角，且EG ＝GF ，因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°，所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.1．异面直线是指( ) A ．空间中两条不相交的直线B ．分别位于两个不同平面内的两条直线C ．平面内的一条直线与平面外的一条直线D ．不同在任何一个平面内的两条直线 答案 D解析 对于A ，空间中两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A 应排除．对于B ，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，∴B 应排除．对于C ，如图的a ，b 可看作是平面α内的一条直线a 与平面α外的一条直线b ，显然它们是相交直线，∴C 应排除．D 符合定义．2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱所在的直线与直线BA 1是异面直线的条数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，这6条直线与直线BA1是异面直线，故选C.3．(多选)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()答案BD解析A中，直线GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，且N∉GH，因此直线GH与MN异面；C中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此，GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，且G∉MN，所以GH与MN异面．4．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________．异面直线AD′与BC所成的角的大小为________．答案90°45°解析∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，且∠D′AD＝45°. 5．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成的角的大小为________．答案60°解析依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.1．知识清单：(1)异面直线的定义及其判定．(2)异面直线所成的角．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：忽略异面直线所成的角的范围导致出错．1．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A．2对B．3对C．6对D．12对答案 C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条答案 A解析 如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角．3．点E ，F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP ，BC 的中点，AB ＝6，PC ＝8，EF ＝5，则异面直线AB 与PC 所成的角的大小为( ) A ．90° B ．45° C ．30° D ．60° 答案 A解析 如图，取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥AB 且EG ＝12AB ，GF ∥PC 且GF ＝12PC ，则∠EGF (或其补角)即为AB 与PC 所成的角，在△EFG 中，EG ＝12AB ＝3，FG ＝12PC ＝4，EF ＝5，所以∠EGF ＝90°.4.在如图所示的正方体中，M ，N 分别为棱BC 和CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．60°答案 D解析 连接AD 1，D 1C ，BC 1(图略)，因为M ，N 分别为BC 和CC 1的中点，所以C 1B ∥MN ，又C 1B ∥AD 1，所以AD 1∥MN ，所以∠D 1AC 即为异面直线AC 和MN 所成的角．又△D 1AC 是等边三角形，所以∠D 1AC ＝60°，即异面直线AC 和MN 所成的角为60°.5．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若CD ＝2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45° C. 60° D ．90° 答案 A解析 取AD 的中点H ，连接FH ，EH ，则HE ＝12CD ，HF ＝12AB ，HE ∥CD ，HF ∥AB ，所以∠FEH (或其补角)即为EF 与CD 所成的角，在△EFH 中，∠EFH ＝90°，HE ＝2HF ， 从而∠FEH ＝30°.6．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，E 为C 1D 1的中点，AE ＝32，则异面直线AE 与A 1B 1所成角的余弦值为________．答案 13解析 因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1(或其补角)就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角．在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.7．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是________． 答案 4解析 正方体共有8个顶点，若选出的k 条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，∴k 的最大值为4.8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与B 1D 1所成的角的大小为________，AC 与D 1C 1所成的角的大小为________．答案 90° 45°解析 B 1D 1与AC 是异面直线，连接BD (图略)，交AC 于点O ，易知BD ∥B 1D 1， 所以∠DOC 或其补角为B 1D 1与AC 所成的角． 因为BD ⊥AC ，所以∠DOC ＝90°， 所以B 1D 1与AC 所成的角是90°.因为DC ∥D 1C 1，所以∠ACD 是AC 与D 1C 1所成的角， 又∠ACD ＝45°，所以AC 与D 1C 1所成的角是45°.9.如图所示，在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝AD ＝23，AE ＝2.(1)求直线BC 和EG 所成的角的大小； (2)求直线AE 和BG 所成的角的大小．解 (1)连接AC (图略)．∵EG ∥AC ，∴∠ACB 即是BC 和EG 所成的角． ∵在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝AD ＝23， ∴∠ACB ＝45°，∴直线BC 和EG 所成的角是45°.(2)∵AE ∥BF ，∴∠FBG 即是AE 和BG 所成的角． 易知tan ∠FBG ＝3， ∴∠FBG ＝60°，∴直线AE 和BG 所成的角是60°.10．在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB 与CD 所成的角为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角的大小.解 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥AB ，EG ＝12AB ，GF ∥CD ，GF ＝12CD ，由AB＝CD，知EG＝FG，∴∠GEF(或其补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或其补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为60°，∴∠EGF＝60°或120°.由EG＝FG，知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝60°时，∠GEF＝60°；当∠EGF＝120°时，∠GEF＝30°.∴EF与AB所成的角为60°或30°.11.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是()A．AB⊥EFB．AB与CM所成的角为60°C．EF与MN是异面直线D．MN∥CD答案AC解析把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确．12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A．0°<θ<60°B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60°D．0°<θ≤60°答案 D解析如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤60°.13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．答案90°解析如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a.所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°. 14．已知在正四面体A－BCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成的角的余弦值为_____________．答案3 6解析如图，取AD的中点F，连接EF，CF，因为E是AB的中点，则EF∥BD，∠CEF(或其补角)就是异面直线CE与BD所成的角，设正四面体的棱长为1，则CE＝CF＝32，EF＝12，cos∠CEF＝12×1232＝36.15.如图所示，圆锥的底面直径AB＝4，高OC＝22，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝120°，则直线AD与BC所成的角的大小为________．答案60°解析如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE，所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角(或其补角)．在△AOD中，AD＝2OA sin 60°＝23，在△CBE中，CB＝CE＝BE＝23，所以△CBE为正三角形，所以∠CBE＝60°.16．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝23，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长．解如图所示，连接CD1，AC.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角，∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.又易知AD1＝D1C，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC.∵AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin 60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。
