空间直线异面关系的判定与度量讲解

空间两直线异面的判定方法空间中两直线的位置关系可以分为三种情况：重合、相交和异面。

判断两直线是否相交比较容易，而判断两直线是否异面则需要一定的数学知识和技巧。

本文将介绍空间中两直线异面的判定方法，希望对读者有所帮助。

一、异面直线的定义空间中的两条直线如果既不重合又不相交，则称它们为异面直线。

两条异面直线之间存在一个平面，这个平面称为它们的公共垂直平面。

1. 向量法向量法是判断异面直线位置关系的一种常见方法。

我们可以用两条直线上的向量来求它们的叉积，如果叉积不为零，就说明两条直线不在同一个平面上，也就是异面。

以空间直角坐标系为例，设两条直线分别为：l1: (x1,y1,z1) + t(a1,b1,c1)t和s为参数。

则l1上的向量为(a1,b1,c1)，l2上的向量为(a2,b2,c2)。

这两个向量的叉积为：(a1,b1,c1) × (a2,b2,c2) = [(b1c2-b2c1),(a2c1-a1c2),(a1b2-a2b1)]如果叉积不为零，则说明两条直线不在同一平面上，从而可以判断它们为异面直线。

2. 交点法两条异面直线如果有交点，则交点一定不在任何一个直线所在的平面上。

可以通过求解两条直线的交点来判断它们是否异面。

如果两条直线有交点，则它们一定不是异面的；否则，它们就是异面的。

设两条直线为：它们的交点为P，则有：可以得到一个二元一次方程组：x1 + ta1 = x2 + sa2对它们进行变形，得到：t(b1-sb2)+s(b2-y1)+(y1-y2) = 0写成矩阵形式，有：\begin{bmatrix}a1-sa2 & a2-x1 \\b1-sb2 & b2-y1 \\c1-sc2 & c2-z1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t \\s \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x1-x2 \\y1-y2 \\z1-z2 \\\end{bmatrix}如果该方程组有解，则说明两条直线有交点，即不是异面的；否则，就是异面的。

异面直线的判定用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.两直线平行的判定(1) 垂直于同一个平面的两直线平行②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a ∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.两直线垂直的判定③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b ⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.直线与平面平行的判定②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l ∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.直线与平面垂直的判定②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.两平面平行的判定②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.两平面垂直的判定②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.0°＜θ≤90°.直线和平面所成的角作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ0°≤θ≤90°二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD ⊥β.。

2019年高一年级数学学问重点：空间两直线的位置关系学习是一个边学新学问边巩固的过程，对学学问肯定要多加安排，这样才能进步。

因此，为大家整理了2019年高一年级数学学问重点，供大家参考。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面重视复习和总结：1、刚好做好复习. 听完课的当天，必需做好当天的复习。

复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是实行回忆式的复习：先把书、笔记合起来，回忆上课时老师讲的内容，分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)，尽量想得完整些。

然后打开笔记与书本，比照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就能使当天上课内容巩固下来，同时也检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。

2、做好单元复习。

学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法同刚好复习一样，实行回忆式复习，而后与书、笔记相比照，使其内容完善，而后应做好单元小节。

3、做好单元小结。

单元小结内容应包括以下部分：(1)本单元(章)的学问网络;(2)本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来);(3)自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其缘由及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

做适量的有不少同学把提高数学成果的希望寄予在大量做题上，这是不妥当的。

异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ，那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.(这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n 在平面上，另一条直线m 与该平面相交于P 点，然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD 中，,AC BC AD BD =≠，DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM 和CN 为异面直线，很显然，DM 是在平面ABD 上的，而CN 与平面ABD 交于点N ，所以，根据判定定理，我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =，CN AB ⊥，所以N 为AB 的中点，而AD BD ≠，DM AB ⊥，所以M 不是AB 的中点，也就是说，DM 不会过点N ，所以，DM 和CN 为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）>（三）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,⊥⊥，那么这个平面内，过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误，a、b为异面直线.。

课题：9. 2空间的平行直线与异面直线（一）教学目的：1. 会判断两条直线的位置关系.2. 理解公理四，并能运用公理四证明线线平行•3. 掌握等角定理，并能运用它解决有关问题•4. 了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立+5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；6. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.教学重点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 授课类型：新授课.课时安排：1课时■ 教具：多媒体、实物投影仪 .内容分析：本节共有两个知识点，平行直线、异面直线■以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质.在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念•要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础+ 教学过程：一、复习引入：把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的J你还能举出生活中的相关应用的例子吗？二、讲解新课：1 +空间两直线的位置关系（1）相交一一有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2 -平行直线（1）公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 +推理模式：a//b,b//c= a//c .说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2 ）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形F的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到 F •的位置, 则就说图形F作了一次平移.（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD叫空间四边形的对角线.（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了•在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明•要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等•根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在.已知：.BAC和.BAC ■的边AB//AB , AC//AC，并且方向相同，求证：.BAC 二/B AC •证明：在.BAC和.BAC •的两边分别截取AD =：AD；AE ,•/ AD〃A D；AD =AD ,••• AD DA是平行四边形，••• AA 7/DD ,AA =DD，同理AA 7/EE , AA 二EE ,••• EE // DD ； EE ■二DD •，即D E ED 是平行四边形，• ED = ED ,•：ADE 三A D E:所以，.BAC =/BAC •（4）等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等•指出：等角定理及其推论，说明了空间角通过任意平行移动具有保值性，因而成为异面直线所成角的基础•3. 空间两条异面直线的画法4.异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此 点的直线是异面直线.推理模式：A .-一〉，B •,丨二:z , B ■■ AB 与丨是异面直线. 证明：（反证法）假设 直线AB 与丨共面，B 三：£,丨二,B ，丨，二点B 和丨确定的平面为:-,•••直线AB 与丨共面于〉，••• A"二，与A 「矛盾， 所以，AB 与丨是异面直线.5 •异面直线所成的角：已知两条异面直线 a,b ，经过空间任 点O 作直线a //a,b //b , a,b •所成的角的大小与点 O 的选择 无关，把a ；b ■所成的锐角（或直角）叫异面直线 a,b 所成的角 （或夹角）•为了简便，点 O 通常取在异面直线的一条上. 异面直线所成的角的范围：（0, — h26 .异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂 直.两条异面直线 a,b 垂直，记作a_b •7 •求异面直线所成的角的方法：（1 ）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2 ）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成 的角即为所求- 三、讲解范例：例1已知四边形 ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB AD 的中点，F 、G 分别是边CBCD 上的点，且CF ==-,CB CD 3求证：四边形EFGH 是梯形+分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形 •考虑哪组 对边会平行呢？为什么？ （平行公理）•证明对边不相等可 以利用平行线分线段成比例 ” 证明：如图，连接 BD1•/ EH >△ ABD 的中位线，• EH//BD,EH=—BD.2CF CG 2 c2二—,• •• FG//BD,FG= —CBCD33又在△ BCD 中,'J根据公理4, EH//FG又FG> EH, A 四边形EFGH 的一组对边平行但不相等.例2如图，A 是平面BCD 外的一点G, H 分别是：ABC^ ACD 的重心,求GH // BD .证明：连结 AG, AH 分别交BC,CD 于M , N ，连结MN ,• GH // MN ，由公理 4 知 GH // BD .例3 *如图，已知不共面的直线a, b,c 相交于O 点,M ,P 是直线a 上的两点，N,Q 分别是b,c 上的一点•求证：MN 和PQ 是异面直线一证（法一）：假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为:,••• M ,P a, M , P 三：乂，• a 二：乂，又 o a , • o :-,•/ N ",0 b, N b , • b ：——，同理c 二用,• a, b, c 共面于：•，与已知a,b,c 不共面相矛盾， 所以，MN 和PQ 是异面直线一（法二）：••• aRc = O ，•直线a,c 确定一平面设为 •/ P a,Q c ,• P -Q ,• PQ ［且 M 匸卩,M '' PQ ,••• G, H 分别是 ABC^ ACD 的重心, ••• M ,N 分别是BC,CD 的中点, ••• MN //BD ，又•••AG AH 2AM 一 AN " 3又a,b,c 不共面，N • b ,••• N 弗!■:;，所以，MN 与PQ 为异面直线.例4正方体ABCD _ A B C D •中.那些棱所在的直线与直线 BA 是异面直线？求 BA •与CC •夹角的度数•那些棱所在的直线与直线 AA 垂直？ 解：(1)由异面直线的判定方法可知，与直线BA 成异面直线的有直线 B C : AD,CC,DD ,DC,DC ,(2)由BB7/CC •，可知.BBA •等于异面直线 BA 与CC •的夹角，所以异面 直线BA ■与 CC ■的夹角为45 •(3)直线 AB, BC,CD, DA, A B ,B C ,C D , D A 与直线 AA 都垂直 +例5两条异面直线的公垂线指的是( )(A) 和两条异面直线都垂直的直线 ■ (B) 和两条异面直线都垂直相交的直线 ■(C) 和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段 +(D) 和两条异面直线都垂直的所有直线 ■答案：B 例6在棱长为a 的正方体中，与 AD 成异面直线且距离等于 a 的棱共有() (A) 2 条(B)3 条 (C)4 条 (D)5 条 答案：BB j , CC 1, A 1B 1, C 1D 1共四条*故选C. 例7若a 、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是(A) 与a 、b 都垂直的直线只有一条• (B) a 与b 的公垂线只有一条+ (C) a 与b 的公垂线有无数条■(D) a 与b 的公垂线的长就是 a 、b 两异面直线的距离” 答案：B例8已知正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为a,则棱A 1B 1所在直线与 面对角线BC 1所在直线间的距离是 ()答案：A.四、课堂练习：〖课堂小练习〗 1判断下列命题的真假，真的打(1) 平行于同一直线的两条直线平行 (2) 垂直于同一直线的两条直线平行 (3)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 () (4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条()(A) -a(B) a，假的打“X(5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等( )(6 )若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等•() (7)向量AB与AB j，AC与A1C1是两组方向相同的共线向量，那么答案：(1)V( 2 )X( 3 )V( 4 )X( 5 )X( 6 )V( 7)V2 •选择题(1)"a, b是异面直线”是指①a n b=①且a不平行于b；②a二平面:■, b二平面F：且a n b=Q③a -平面:■, b -平面〉④不存在平面「，能使a -很且b -很成立上述结论中，正确的是()(A)①②(B)①③(0①④(D)③④(2)长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()(A) 2 对(B 3 对(0 6 对(D 12 对(3)两条直线a, b分别和异面直线c, d都相交，则直线a, b的位置关系是()(A) —定是异面直线(B) —定是相交直线(C)可能是平行直线(D)可能是异面直线，也可能是相交直线(4)一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()(A)平行(B)相交(0异面(D)相交或异面答案：(1) C (2) C( 3) A ( 4) D3. 两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面.4. 垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面.5. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为( 1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线.6. 选择题(1)分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()(A)异面(B)平行(C)相交(D)以上都有可能（2）异面直线a, b满足a二二，b二.，:-=1，则丨与a, b的位置关系一定是（）（A）1至多与a，b中的一条相交（B） 1至少与a，b中的一条相交（C）1与a，b都相交（D 1至少与a，b中的一条平行（3 ）两异面直线所成的角的范围是（）（A）（0°,90 °）（B） [0 °,90 °）（ O（0 °,90 °]（D）[0 °,90 °]答案（1）D（2）B（3）：C7•判断下列命题的真假，真的打“V”，假的打“X”（1 ）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）（2 ）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线（）（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）（4 ）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）答案：X，X，"，X .五、小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论.异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作一证一算一答”+六、课后作业：1. 如图，有哪些直线和直线D1C是异面直线，它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小 .2. 如图正方体ABCD - AB1C1D1中，E、F分别为DC1和BC1的中点，P、Q分别为AQ与EF、AC与BD的交点，（1）求证：D B、F、E四点共面；（2 ）若AC与面DBFE交于点R,求证：P、Q R三点共线* 提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？（2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感”3. 如图，空间四边形ABCC中, E、F分别为BC CD的中点，G H分别为AB AD上的点，且AG GB^ AH HD证明：GH与EF为异面直线.提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？考虑：（1）如果直接证明，就必须证明GH和EF不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？（2 ）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑——平行或相交•七、板书设计（略）• 八、课后记: C。

空间两直线异面的判定方法空间中的两条直线可以分为以下四种情况：1.直线平行但不重合：设两直线的方程分别为l1:P1+t1D1=0和l2:P2+t2D2=0。

若直线l1与l2平行，则方向向量D1与D2平行。

我们可以通过计算两个方向向量的叉积来判断它们是否平行。

即D1×D2=0，其中“×”表示叉积运算。

若叉积为零向量，则两直线平行。

2.直线相交：设两直线的方程分别为l1:P1+t1D1=0和l2:P2+t2D2=0。

若直线l1与l2相交，则它们的方向向量D1和D2不平行。

我们可以通过计算两个方向向量的向量积来判断它们是否相交。

即D1×D2≠0，其中“×”表示叉积运算。

若叉积不为零向量，则两直线相交。

3.直线重合：设两直线的方程分别为l1:P1+t1D1=0和l2:P2+t2D2=0。

若直线l1与l2重合，那么它们上的任意两点之间的向量差称为零向量。

即存在点A属于l1，点B属于l2，使得AB=0。

因此，我们只需找到两个满足这个条件的点，即可判断两直线重合。

4.直线异面：若两直线既不平行也不相交，那么它们就是异面的。

这种情况下，我们可以通过判断两直线上的任意两个不共线的向量是否平行来得出结论。

首先，我们可以分别取两直线上的两点，分别计算它们之间的向量差。

若这两个向量差都与两直线的方向向量都不平行，则两直线异面。

综上所述，判断空间中的两条直线是否异面，我们可以使用以下步骤：1.分别求出两条直线的方向向量D1和D22.计算D1×D2、若叉积结果为零向量，则两直线平行。

3.计算D1×D2、若叉积结果不为零向量，则两直线相交。

4.分别找出两条直线上的两个点A和B，计算向量AB。

若AB=0，则两直线重合。

5.若既不平行也不相交，计算任意两个不共线的向量AB和CD。

若AB 与CD都不平行，则两直线异面。

注意：以上判断方法适用于三维空间中的直线。

如果是二维平面上的直线，只需考虑两种情况：平行和相交。

空间判断两直线是否为异面直线的方法
在三维空间中，判断两条直线是否为异面直线可以采用空间向量的方法。

对于两条直线，如果它们不在同一个平面上，则可以认为它们是
异面直线。

假设有两条直线L1和L2，它们的参数方程分别为：
L1: P1 = A1 + t1B1
L2: P2 = A2 + t2B2
其中，A1、A2分别为两条直线上的任意一点，B1、B2分别为两条直线的方向向量，t1、t2为参数。

由于两个不同平面的法向量一定不共线，因此可以用向量计算法线向量，然后通过点乘检验两个法向量是否共线来判断两条直线是否共面。

向量n = B1 × B2即为两条直线所在平面的法向量。

其中，×表示叉
积运算符。

如果n = 0，则两个向量共线，即两条直线在同一平面上；如果n ≠ 0，则两个向量不共线，即两条直线不在同一个平面上。

通过这种方法，可以准确快速地判断两条直线是否为异面直线。

需要注意的是，如果两条直线重合，也可以认为它们在同一平面上。

此时向量n为0，需要进行特判处理。

总之，空间向量法是一种可靠的判断两条直线是否异面的方法，可以在三维空间中进行精准计算，具有很高的实用价值。

《空间直线异面关系的判定与度量》考点动向空间直线的位置关系，除了初中就熟悉的相交与平行外，立体几何中新增加了异面关系，这部分是立体几何的传统重点知识，从客观小题到解答大题都会涉及到，有对异面关系的判定问题，也有对异面程度的度量问题，涉及异面成角与异面直线间的距离，这些问题可以充分考查考生的空间想象能力，解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等，可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度．方法范例例 如图１－１，已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为１和２，4AB =．（Ⅰ）证明PQ ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离． 解析 本题设置的三问，有证有算，由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的，故可以利用几何体的性质，构造空间直角坐标系，借助向量解答，对于求异面直线所成的角，也可利用定义实施平移解答．解法１ （I ）连结AC BD ，，设ACBD O =．因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ．从而P O Q ，，三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD ．（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图１－２）由题设条件，相关各点的CABPDＱ图１－１C图１－２坐标分别是(001)P ，，，0)(002)(0A Q B -，，，，，．所以(2202)(021)AQ PB =--=-，，，，．于是3cos 9AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos9． （III ）由（II ），点D 的坐标是(0-，，(22220)(003)AD PQ =--=-，，，，，， 设()n x y z =，，是平面QAD 的一个法向量，由00n AQn AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y +=+=⎪⎩． 取1x =，得(11n =-，．所以点P 到平面QAD 的距离32PQ n d n==． 解法２ （I ）取AD 的中点M ，连结PM QM ，．因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，所以A D P M ⊥⊥，．从而AD ⊥平面PQM ．又PQ ⊂平面P Q M ，所以P Q A D ⊥．同理PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平面ABCD ．（II ）连结AC BD ，，设AC BD O =，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P A Q C ，，，四点共面．取OC 的中点N ，连结PN ．因为1122PO NO NO OQ OA OC ===，，所以PO NOOQ OA=，从而AQPN BPN ，∥∠（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角．连结BN ．因为3PB ===，PN ===BN ===所以222cos 2PB PN BN BPN PB PN +-===∠．图１－３从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos9． （III ）由（I ）知，AD ⊥平面PQM ，所以平面QAD ⊥平面PQM ．过P 作PH QM ⊥于H ，则PH ⊥平面QAD ，所以PH 的长为点P 到平面QAD 的距离．连结OM ，因为122OM AB OQ ===，所以45MQP =︒∠．又3P Q P O Q O=+=，于是s i n 4P H P Q =︒=P 到平面QAD [规律小结]（１）涉及异面直线的求夹角与距离的问题，求距离在高考最新大纲要求下，只要能解决异面直线的公垂线已知的问题，只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直线即可．因此，求异面直线的夹角是很重要的问题，主要借助异面直线夹角的定义进行，注意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化，常见的有外移，内移，补形等方法．注意平移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角．（２）借助直线的方向向量求异面直线的夹角，注意选取点的坐标要容易确定，向量的夹角可以是钝角，而异面直线的夹角只能是锐角或直角．有时，也可以借助基向量的方法解答，而不是建立空间直角坐标系解答．考点误区分析（１）注意第一步的平移十分重要，不可随意而作，否则往往会带来繁杂的运算，要注意实施多次尝试平移，寻找最佳解题方案，此类问题显然需要构造辅助线解答，充分考查考生的空间想象能力，一般若平移能够很好解决，可以不考虑运用向量的方法．当借助直线的方向向量解决时，若不是特殊角，注意借助反三角函数表示角的基本知识．（２）向量之间的夹角公式cos ||||a ba b θ=求出的可能是钝角，不妨直接利用cos ||||||a ba b θ=．而若成角为直角，有时也用证明代替求解的特殊方法．如对正四面体ABCD ，求直线AB 与CD 所成的角，容易证明它们互相垂直，则成角为90︒．同步训练１．已知二面角l a b --的大小为60°，,m n 为异面直线，且m a ^、n b ^，则,m n所成的角为（ ）.()A 30° ()B 60° ()C 90° ()D 120°２．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形．60DAB =∠，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．３．如图5所示，AFDE ，分别是1O O ，的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =．BC 是O 的直径，6A B A C ==，OE AD ∥．（１）求二面角B AD F --的大小； （２）求直线BD 与EF 所成的角． ４．如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC的中点，2C A C B C D B====，AB AD ==（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （3）求点E 到平面ACD 的距离． ［参考答案］１．［解析］直接作草图或想象，不难得出夹角为60°，注意120°的干扰． ［答案］()B ．２．［解析］对（１），底面菱形的形状确定，实际是两个正三角形拼接成的，求出其面积，再根据已知的线面角求出高，则借助锥体的体积公式13V Sh =可得；对（２），以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．求A 图１－４CFBOAD1O E图１－５E图１－６出DE 与AP 的夹角即为所求．或者，取AB 的中点F ，连接EF DF ，， FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角），在FED △中解出该角即可．［答案］（１）２；（２）arccos4． ３．［解析］对（１），可知BAF ∠即为所求平面角；对（２），可以O 为原点，,,BC AF OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定,BD FE 的坐标即可求出．［答案］（１）45︒；（２）1082arccos． ４．［解析］对（１），可证,AO BD AO OC ⊥⊥；对（２），取AC 的中点M ，直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．对（３），由E ACD A CDE V V --=可得．（２），（３）也可借助向量解答，对（２），以O 为原点，,,BD OC OA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定,BA CD 的坐标即可求出．对（３），可得平面ACD的法向量为(=n ，又102EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，点E 到平面A C D 的距离37EC h ===n n．［答案］（２）．。

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空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的`两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ，那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n 在平面上，另一条直线m 与该平面相交于P 点，然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD 中，,AC BC AD BD =≠，DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM 和CN 为异面直线，很显然，DM 是在平面ABD 上的，而CN 与平面ABD 交于点N ，所以，根据判定定理，我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =，CN AB ⊥，所以N 为AB 的中点，而AD BD ≠，DM AB ⊥，所以M 不是AB 的中点，也就是说，DM 不会过点N ，所以，DM 和CN 为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,⊥⊥，那么这个平面内，过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误，a、b为异面直线.。

1．异面直线定义.2．空间直线与直线的位置关系3．异面直线所成角定义、范围 4．求解异面直线所成角大小(1)平移作角(2)证(说)角(3)平面图形中求角 1、定义：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线. 2、与平行直线、相交直线的区别：相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点. 平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 3、异面直线的画法：过渡：用两张图例说明，分别在两个平面内的直线，并不一定是异面直线.4、异面直线的判定 ：不平行、不相交的直线.5、空间直线的位置关系 （一） 证明异面直线复习：反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾——与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾.复习例题：l 上有且只有一点A α∈，求证：l α⊄证明：假设lα⊂⇒l 上所有的点都属于α，与已知：l 上有且只有一点A α∈矛盾.lα∴⊄通过例题学习如何证明异面直线.（详见例3 ） （三）异面直线所成角1、异面直线a 与b 所成的角：在空间内任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线''a b 和,则''a b 和所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角. 问题1: 理论依据—等角定理.问题2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其他所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.2、异面直线所成角范围 0,2π⎛⎤⎥⎝⎦αaαaαab βb bα aβb αaβb（四）例题分析例1 两条异面直线指的是（ D ）（A ）空间不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面上的两条直线 （C ）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线 （D ）不能同在一个平面上的直线 [例题解析]：异面直线概念掌握例2 若a 、b 是两条异面直线，且分别在平面αβ、内，若l αβ⋂=，则直线l 必定（ B ）A ．分别与a 、b 相交； B. 至少与a 、b 之一相交； C. 与a 、b 都不相交； D. 至多与a 、b 之一相交. [例题解析]：异面直线的概念掌握.例3 书第10页例2：直线l 与平面α相交于点A ，直线m 在平面α上，且不经过点A ，求证：直线l 与m 是异面直线.证明：书第10页[例题解析]学习用反证法证明异面直线.例4（1）正方体1111ABCD A BC D -中，哪些棱所在直线与直线1BC 成异面直线？ 答：共有6条棱.（2）如图所示，空间四边形ABCD 中，H 、F 是AD 边上的点，G 、E 是BC 边上的点.与AB 成异面直线的线段有：HG 、EF 、CD 与CD 成异面直线的线段有：AB 、HG 、EF 与EF 成异面直线的线段有：HG 、AB 、EF 、CD[例题解析]：在空间中能确定异面直线. 例5 书第11页例3（详见书第11页） [例题解析]求异面直线所成角大小和解题规范格式.（四）、问题拓展 1、空间内两直线所成角范围 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦当空间两直线12l l 、所成角为直角时，12l l ⊥当空间两直线12l l 、所成角为零角时，若12l l ⋂=∅，则12l l 若12l l ⋂≠∅，则12l l = 2、异面垂直(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直(2)记法:异面直线a,b 互相垂直,记为a ⊥b (3)分类: ⎧⎨⎩共面垂直（相交）两直线垂直异面垂直3、异面直线所成角例题CA BD EHGF例6在长方体1111ABCD A BC D -中，AB=5，BC=4，1CC =3.（1）11DD B C 和所成角大小. （2）11A BC C 和所成角大小； （3）11AD B C 和所成角大小. 解：（1）11C C D D11B CC ∴∠为异面直线11DD B C 和所成角，在11RT B C C 中，1114,3B C BC C C ===，114tan 3B CC ∴∠= 114arctan3B CC ∠=， ∴异面直线11DD B C 和所成角大小为4arctan 3.（2）11BC B C ，111AC B ∴∠为异面直线11A BC C 和所成角， 在11RT B C C 中，11115,4A B AB B C BC ====，1115tan 4AC B ∴∠=, 1115arctan 4A CB ∠=， ∴异面直线11A BC C 和所成角大小为5arctan 4（3）11AD BC ，设11B C BC 和 相交于O ，11C OB ∴∠为异面直线11A B C D 和所成角（或其补角）在11BOC 中，1111542B C B O C O ===， 利用余弦定理，111177cos arccos 2525B OC B OC π∠=-⇒∠=- 异面直线11A B CD 和所成角大小为7arccos 25例7 在空间四边形ABCD 中，AB=CD=6，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点且MN=5，求异面直线AB 、CD 所成角大小.解：取AD 中点，在ABD 中，11,22NE AB NE AB =在ADC 中， N E M ∠为异面直线AB 、CD 所成角（或其补角）在NEM 中，53MN ME ===，NE ，利用余弦定理，77cos arccos 1818NEM NEM π∠=-⇒∠=- 异面直线CD AB 和所成角大小为7arccos 18ABCD1A 1B 1C 1D[说明]在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题.、选择题：１．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数是（）（A）（B）（C）（D）2．下列命题中，正确的命题是（）（A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角（B）如果∠CBA=∠B AD，那么BC∥AD（C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线（D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（）（A）8 （B）15 （C）24 （D）304．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（）（A） d与a是不互相垂直的异面直线（B） d与a是相交直线（C） d与a是平行直线（D） d与a是互相垂直的异面直线6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（）（A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（）（A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）-1．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与CC1所成角的正切值为＿＿，BD1与CC1的距离为＿＿．2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是的直线有且仅有＿＿＿＿＿条．４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ（），与a的距离为定值m，（m＞０），那么这样的直线b可以有＿＿＿＿＿＿条．三、解答题：1．过一定点与给定的两条异面直线成等角的直线存在吗？如果不存在，说明理由；如果存在，这样的直线有多少条？2．已知平面α∩β=BD，ABα，CDβ，∠ABD=∠CDB,如图2—10，试判断AB和CD的位置关系，并说明你的理由．3．在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=1，AD、BC成角．M、N分别为AB、CD中点．求线段MN的长．一、选择题：１．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数是（）（A）（B）（C）（D）2．下列命题中，正确的命题是（）（A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角（B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD（C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线（D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（）（A）8 （B）15 （C）24 （D）304．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（）（A） d与a是不互相垂直的异面直线（B） d与a是相交直线（C） d与a是平行直线（D） d与a是互相垂直的异面直线6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（）（A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（）（A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）-二、填空题：1．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与CC1所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD1与CC1的距离为＿＿＿＿＿．2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是的直线有且仅有＿＿＿＿＿条．４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ（），与a的距离为定值m，（m＞０），那么这样的直线b可以有＿＿＿＿＿＿条．1．过一定点与给定的两条异面直线成等角的直线存在吗？如果不存在，说明理由；如果存在，这样的直线有多少条？2．已知平面α∩β=BD，ABα，CDβ，∠ABD=∠CDB,如图2—10，试判断AB和CD的位置关系，并说明你的理由．3．在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=1，AD、BC成角．M、N分别为AB、CD中点．求线段MN的长．两条直异面直线所成的角（B）答案一、B D A C C A B C二、1．， 2．； 3．2条； 4．无数多条．三、1．存在无数多条； 2．AB 与CD 异面（判定定理）； 3．提示：取BD 中点G ，连结MG ，NG ，则∠MGN =或∠MGN=，MN=或MN=．异面直线所成的角（教师版）(1) ；(2) ；(3) ； 答案：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角． 一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P，那么α上任意一条不经过点P的直线n 都与m互为异面直线.这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n在平面上，另一条直线m与该平面相交于P点，然后就只需证明P不在直线n上就可以了.实践一下实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD中，,=≠，DM ABAC BC AD BD⊥⊥于M，CN AB 于N，求证DM与CN是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM和CN为异面直线，很显然，DM是在平面ABD上的，而CN与平面ABD交于点N，所以，根据判定定理，我们只需要证明N不在DM上就可以了.这里AC BC⊥，所=，CN AB以N为AB的中点，而AD BD⊥，所以M不是AB的中点，≠，DM AB也就是说，DM不会过点N，所以，DM和CN为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC 都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,AC b BC b⊥⊥，那么这个平面内，过直线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在所以原假设错误，a、b为异面直线.判断题1、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直与另一个平面。