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人教A版高中数学必修1第三章《函数
的应用》思维导图
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高中数学必修和选修课本共计13本，通常两年内学完，平均一年6本，每学期3本。
每本平均三到四章，每学期5个月，大约半月学完一章。
而高考总复习的时间则更为宝贵，如果高考一轮复习的时候，在基础知识模块，大家还需要消耗大量时间去翻看教材显然得不偿失。
当然，我们并不是说教材不重要，相反，教材非常重要。
而是希望大家在平时的学习过程中，养成总结梳理的习惯，尤其是在高一高二的时候。
只要大家学会使用思维导图梳理，这样在高三的时候就可以快人一步，将更多的宝贵时间拿来突破自己的弱项，争取取得更好的成绩。
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本文，我们主要梳理了人教版A版高中数学必修1（也就是高一数学）第三章《函数的应用》。
主要内容大纲如下：
其中重点在于零点问题、函数模型及函数的应用。
下面我们逐一展开回忆下。
一、函数与方程
二、函数模型及其应用
到本文为止，有关人教版A版高中数学必修一（也就是高一数学必修1）的内容，我们就在前面三篇文章给大家梳理完了，至于第一章《集合与函数的概念》及第二章《基本初等函数（I）》，请大家查阅我们前面两天的文章即可。
大家如果觉得这种方式好，可以自己下载思维导图软件尝试下。
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人教a版高中数学必修一函数的应用(一)教学设计课程名称：高中数学必修一-函数的应用（一）适用对象：高中一年级学生课时数：8课时教学目标：1.理解函数的概念及其应用领域；2.掌握函数的应用方法，解决有关函数的实际问题；3.培养学生解决实际问题的数学建模能力；4.培养学生合作学习和探究精神。
教学重点：1.函数的概念及其应用领域；2.函数应用问题的转化和解决方法。
教学难点：1.实际问题的数学建模，将问题转化为函数应用问题；2.函数应用问题的解决方法及其灵活运用。
教学准备：1.教师准备：教学课件、教学素材、实际问题应用案例；2.学生准备：教材、笔、纸等。
教学过程：第一课时：函数的概念及其应用1.导入新课：教师出示一张世界各国人均寿命表格，引导学生思考：为什么有些国家的人均寿命较短而有些国家的人均寿命较长？这背后是否存在着某种规律或关系？2.介绍函数的概念：-教师简要介绍函数的概念，引导学生了解自变量、因变量和函数值的概念；-学生展示函数的图象，让学生感受函数与图象之间的关系。
3.探究函数的应用领域：-教师列举一些函数的应用领域，如物理学中的速度函数、经济学中的利润函数、人口统计学中的增长函数等；-学生小组讨论一个他们感兴趣的应用领域，并展示出来。
第二课时：函数应用问题的转化1.复习函数的概念与应用领域：老师复习第一课时的内容，让学生能够回答与函数相关的问题。
2.引入实际问题：教师提供一个实际问题，如某电商公司销售额与广告费用的关系问题，带领学生思考如何用函数来描述与解决这个问题。
3.讨论与转化：学生自由讨论如何将实际问题转化为函数应用问题；教师引导学生讨论并总结出问题转化的关键点。
第三课时：函数应用问题的解决方法1.引导学生思考解决问题的方法：教师提问：如何找到函数的解析式？如何求解函数的最值？如何解决在一定条件下的函数问题？2.示范解决实际问题：教师提供一个实际问题，带领学生使用已学方法解决；学生分组完成解决问题的过程。
函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
高中数学函数应用教案人教版
课题：数学函数应用
教材版本：人教版
教学目标：
1. 了解函数的概念及其特点；
2. 掌握函数的图像和性质；
3. 能够应用函数解决实际问题。
教学重点：
1. 函数的概念及特点；
2. 函数图像和性质；
3. 函数的应用。
教学难点：
1. 函数的图像绘制；
2. 函数解决实际问题的应用。
教学准备：
1. 教师准备PPT、教案、试卷等教学资料；
2. 学生准备纸笔、计算器等学习工具。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾函数的基本概念，并谈论函数在日常生活中的应用。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解函数的定义和特点；
2. 介绍函数的常见符号表示及函数图像；
3. 分析函数的性质，如奇偶性、周期性等。
三、示范（10分钟）
教师通过实例演示如何绘制函数的图像，并讲解如何利用函数解决实际问题。
四、练习（15分钟）
学生进行练习，绘制函数的图像并解决相关问题。
五、讨论（10分钟）
学生互相讨论解题思路，分享解题经验。
六、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点知识，巩固学生所学内容。
七、作业布置（5分钟）
布置作业，要求学生进一步练习函数的应用问题。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够深入了解函数的概念和特点，掌握函数的图像及性质，并能够灵活应用函数解决实际问题。
同时，教师需要及时对学生的学习情况进行评估，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。
《函数的应用（一）》教学设计0.x1）设小王的专项扣除比例、专项附加扣依法确定的其他扣除金额与全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为146700x时，税所得额t关于综合所得收入额0,0146700,117360,xx x-寻找y关于0,0146700,117360,x x x -3.1.2例8的解析式③，可得：146700x 时，146700191700x <时，36 000t ，所以3%0.0243520.8y t x =⨯=-当191700326700x <时，36000144000t <，所以10%25200.0814256t x ⨯-=-326700521700x <时，300000t <，所以20%169200.16x -=-521700671700x <时，420000t ，所以25%319200.2x -=-671700971700x <时，660000t ，所以30%529200.24x -=-9717001346700x <时，960000t ，所以35%859200.28x -=50,01,80,12,23,75,34,45.t t t t t <<<< 你能理解阴影部分面积0,0146700,0.0243520.8,146700191700,0.0814256,191700326700,0.1640392,326700521700,61260,521700671700,0.2488128,671700971700,0.28126996,9717001346700,0.36234732,x x x x x x x x x x x x x x ------<-1346700.249600=时5712.所以，小王全年需要缴纳的综合所得解：（1）阴影部分的面积为501801901751651360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.阴影部分的面积表示汽车在这5h 内行驶的路程为360 km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t t t t s t t t t t t +<⎧⎪-+<⎪⎪-+<⎨⎪-+<⎪-+⎪⎩ 这个函数的图象如图所示：学生自主观察上图，写出路程1s 关于时间t 变化的函数解析式.150,01,80(1),12,90(2),23,75(3),34,65(4),4 5.t t t t s t t t t t t ⎧⎪-<⎪⎪=-<⎨⎪-<⎪-<⎪⎩教师提问：上述结果是汽车里程表读数与时间的函数解析式吗？指导学生调整解析式，并利用作图软件画出里程表读数关于时间的函数图象.教学研讨本案例的内容为两道例题，解答过程中，相关问题的设置细致入微，能较好地帮助学生体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.通过多媒体辅助教学，较精确、直观地刻画了函数关系，同时也提升了学生的直观想象素养.本案例还有一些地方值得商讨，比如在例题之后是否需要设置变式训练，是否需要补充一道幂函数模型的应用题等.。
第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
学习必备欢迎下载必修1 第三章函数的应用3.1 .1 函数的根与方程的零点1.课本先描述了几个一元二次方程与对应二次函数的图像：分别是（一元二次方程：只有一个未知数，未知数最高次不超过2的方程；）A.一元二次方程03-x 2-x 2=与二次函数y=3-x 2-x 2；B.一元二次方程01x 2-x 2=+与二次函数y=1x 2-x 2+；C.一元二次方程03x 2-x 2=+与二次函数y=3x 2-x 2+；A B C2.A ：方程03-x 2-x 2=，为21-x ）（=4，有两个根x1=3，x2=-1，看图像我们就知道实际就是二次函数y=3-x 2-x 2与x 轴的两交点的横坐标；B ：方程01x 2-x 2=+，为21-x ）（=0只有一个根（也可理解为2个相等的根)x1=1；实际就是函数的图像与x 轴只有一个交点；C ：方程3x 2-x 2+=0，为21-x ）（+2=0，无解（找不到这样的实数x 使21-x ）（+2会等于0，因为一个数的平方式大于等于0的，那么21-x ）（+2肯定是≥2的，所以肯定找不到）；实际看图像就是对应着函数在x 轴上方与x 轴无交点；且函数的图像显示最小值在2以上；------Victory belongs to the most persevering.3.通过上面的例子我们知道了一元二次方程0bxax2=c+成立（方程有解）；+那么对应的二次函数y=cax2+bx+与x轴有交点；通过研究我们得到以下：设acb24-△为判别式：=A:当acb24-++有2个不相等的实数根；二次函ax2=c=△>0时表示方程0bx数y=cax2+bx+，与x轴有2交点；B.当acb24-ax2=++有2个相同的实数根；二次函数bxc=△=0时表示方程0y=cax2+bx+，与x轴有1个交点；且这个交点为顶点，要么是最大值（a>0开口向上时），要么是最小值（a<0开口向下）；C.:当acb24-ax2=bx++没有实数根；二次函数c=△<0时表示方程0y=cax2+bx+，与x轴无交点；（自己可以用1.的例子算一下△的值判断一下）❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤重点知识❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤4.A.如果函数y=f（x）=0有解，也就是函数图像与x轴有交点，如果此时交点为（m，0），那么我们就把（m，0）叫做函数的零点；（理解：其实就是某一个x=m（m为常数），能够使得f（x）的解析式为0）；B.得到以下结论：方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点；C.怎么判断零点的范围：①二次函数的判断可以用判别式法②非二次函数我们可以得到以下结论：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像时连续不断地曲线，并且有f（a）×f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，x=c也是f（x）=0的根；x2，我们可以得到这个函数的图像例如：二次函数y=3-x2-------Action speak louder than words通过计算知道f （-2）×f(1)=5×（-3）<0，所以(-2，1)区间存在数c 使得f （x ）=0，即就是x=-1时；同理还可以计算f （1）×f （4）也可以计算为小于0；❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀学后练习❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀（1）函数零点与图像关系的理解： 函数y=1x 2x 2+-；当x=1时候y=1-2+1=0所以（1,0）就是此函数的零点；我们再画图如下可以看到就是函数图像与x 轴的交点（1,0）处；此函数的0114-2-ac 4-b 22=⨯⨯==）（△，证明有2个相等的实根，图像与x 轴只有1个交点；函数只有一个零点；（2）（2014•北京）已知函数f （x ）=x6-x 2log ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） ；A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）解：我们可以用判断零点的定理来做，那么我们就得让这个区间的2端的函数值得乘积f （x1）×f （x2）<0；通过计算：f （2）=3-22log =2；f （4）=23-222log =-21<0； 所以f （2）×f （4）<0，答案为C（3）（2014•贵州模拟）已知函数f （x ）=x-)1x ln +（-1，函数零点的个数是：解：①求函数的零点个数就是函数f （x ）=0时，看函数与x 轴交点的个数，那么我们可以得到 f （x ）=x-)1x ln+（-1=0 ② f （x ）=x-)1x ln +（-1=0，化简为)1x ln+（=x-1；我们把两边都看成一个函数，就是：左边为常用对数函数)1x ln +（=右边为一次函数（x-1），当2个函数的值相等时→→这2个函数在图像上面有交点→→他们的差值为0→→就是f （x ）=0；所以这2个函数有几个交点f(x ）就有几个零点。
③画图，可以看到明显有2个交点所以f （x ）零点数为2。
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤重点知识❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤5.用二分法求方程的近似解：课本通过：①f （x ）=6-x 2ln x + 在区间（2,3）有零点（∵f(2)=2-ln 6-22ln 22=⨯+=2e 2ln -ln =2e 2ln e=2.71（常数函数）所以f （2）=2e 2ln <1ln =0； ∵f （3）=33ln 6-32ln =⨯+>0；所以在（2,3）上有零点），②然后我们取区间（2,3）的中点2.5，我们用计算器求得f （2.5）≈-0.081，所以f （2.5）×f （3）<0，所以进步确定零点在（2.5,3）中间；③再取区间（2.5,3）中点2.75，用计算器求得f （2.75）≈0.512因为f （2.5）×f （2.75）<0，所以零点在区间（2.5,2.75）内④从区间（2,3）→（2.5,3）→（2.5,2.75）区间一步步减小了，当我们无限取区间的中间值得时候，可以确定这个零点的近似值；⑤二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f（a） f（b）<0，不断地把零点所在的区间1分为2，得到新区间，使这个区间的2端无限逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀3.2函数模型及其应用：①例题1：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案给你选择，这三种方案的回报，问你会选择哪种投资方案？A:每天可以回报10元；B:第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；C:第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天番一番；解答：A:每天都可以回报10元，过了N天还是每天40元，为y=40；B:第一天回报10元，第二天10+10=20，第三天20+10=30；所以x天为y=10x（x属于正整数）C:第一天0.4元，第二天0.4×2，第三天0.4×2×2=0.4×22，第四天0.4×2×2×2=0.4×23，第x天0.4×21-x；图像如下：分析：我们通过函数知道第一种方案每天收入一直为40元，这样的不变叫做常数函数特点为图像一直平行于x轴，B方案呈倾斜的直线上涨，而C方案开始很小但是后来越来越大呈指数形态上升并且增长的越来越快；（通过图像我们知道C方案到后面比一次函数增长要快的多，也叫做指数爆炸）答案：因此：投资时间为1~6天，应该选择方案1；投资时间为7天选择方案一或者二；投资8~10天选择方案二；投资时间11天（含11天）以上选择方案3；（这样的通过建立函数的模型来解决现实的应用问题，就是函数模型的利用了）❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀重点知识❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀②在区间（0，∞+）上，尽管函数指数函数y=a x（a>1)、对数函数y=xlog（a>1)、a幂函数y=x n（n>0）都是增函数；但是它们的增长速度不同，指数函数的增长是越来越大的，远大于幂函数的增长速度；对数函数增长确越来越慢；（看课本的图像可以比较出来）；所以总会存在一个相同的x，使得a x>x n>xlog；a ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤主讲例题❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤3.2函数模型及其应用例题1：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图下；（1）求图下阴影部分的面积大小，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路前的读书为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读书s(km)与时间t（h）的函数解析式，并作出相应的图像；----- A friend is never known till a man has need.解答：（1）阴影部分的面积可以求得：S=1×50+1×80+1×90+1×75+1×65=360km；我们知道每段时间的汽车的速度不同，而速度与时间的乘积就是路程的大小，所以他们每段的和就是汽车在这5h时间内行驶的路程；（2）我们可以根据上面的图写出每段时间内，汽车行驶的路程与时间的关系式得到：t∈[0,1）h内，S=50×t+2004；t∈[1，2)h内，S=80（t-1）+50×1+2004=80（t-1）+2054；t∈[2，3)h内，S=90（t-2）+50×1+80×1+2004=90（t-2）+2134；t∈[3，4)h内，S=75（t-3）+2224；t∈[4，5)h内，S=65（t-4）+2299；（3）然后我们可以描绘出这个分段函数的图像：（分成一段一段描绘，注意每一段的定义域，就行啦）备注：我们例题一讲到了分段函数，就是在不同的定义域内函数有不同的解析式，那么就有不同的图像，这就是分段函数得分段求的道理；------输了，并不意味着你比别人差；输了，也不意味着你永远不会成功。
即使生活有一千个理由让你哭泣，你也要拿出一万个理由笑对人生！做最好的自己，管别人呢？例题2（基础题）（2014•赣州二模）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=⎩⎨⎧>≤））（）（）（0x (1-x f 0x log x -162，则f （2014）为多少？解析：这样把函数分2段来写，不同的区间对应不同的解析式叫做分段函数，分段函数的解法就是分段来求，要求的x 在那个定义里我们就带到那个解析式里面求得函数的值；答案：当x>0时，f(x)=f(x-1) ，由于2014>0，所以f(2014)=f(2014-1）=f （2013）；f （2013）=f （2013-1）=f(2012);同理一直到f(2014)=f （2013）=f（2012）.....=f(1);而1>0，有f(1)=f(1-1)=f(0);所以f （2014）=f （0）；而f （0）=log 0-162=log 422=4，所以f （2014）=4； ❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀ 例题3（中等题）（2013•成都一模）某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万 元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该 产品的年需求量为500台，每生产m 百台的实际销售收入近似满足函数R （m ）=5000m-500m 2（0≤m ≤5，m ∈N*）；（I ）试写出第一年的销售利润y （万元）关于年产量x 单位：百台，x ≤5，x ∈N*）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收人一成本）（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u （x ）（万元）与年产量x （百台）的关系满足u （x ）=500x+500（x≤3，x∈N*），问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？解析：首先看懂题目是：已知什么？要求什么？（I ）要求销售利润 y 关于年常量x 的关系式；我们知道销售利润=实际销售收入-成本； 此题的成本还有增加成本，所以成本=固定成本+增加成本；（II ）工厂的纯利润收入=工厂销售利润-工人人员的支出费用；得到函数的解析式后我们利用解析式求纯利润的最大值；答案：（I ）：设第一年的销售利润为y ，年常量为x （单位百台）；实际销售收入近似为5000x-500x 2，成本=500（固定成本）+1000x （每百台多1000万，为增加成本），所以y=5000x-500x 2-（500+1000x ）；化简得：y=-5002x +4000x-500 （x ≤5，x ∈N*）（II ）工厂的纯利润收入=工厂销售利润-工人人员的支出费用；销售利润y=-5002x +4000x-500；人员的年支出费用u （x ）=500x+500（x ≤3，x ∈N*）设工厂的纯利润收入h(X),所以h(X)=-5002x +4000x-500-u （x ）=-5002x +3500x-1000 =−500(x−27)2+5125（x ≤3，x ∈N*）； （关于二次函数-5002x +3500x-1000的配方：①-5002x +3500x-1000=-500（2x -7x ）-1000=-500（2x -2*x*27+227）（）+500×227）（-1000 =−500(x−27)2+125×49-1000=−500(x−27)2+5125） 由于h(X)=−500(x−27)2+5125（x ≤3，x ∈N*）的x 是属于N*（正整数的）那么x=3时取得最大值，h （3）=5000；所以利润的最大值是5000万元； ❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀ ----所谓优雅，并不是训练出来的气质，而是人生的一种阅历。
