高二数学-直线与方程典型习题(教师版)

高中直线与方程练习题及讲解### 高中直线与方程练习题及讲解题目一：直线方程的求解题目描述：已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求经过这两点的直线方程。

解题步骤：1. 首先，我们需要找到直线的斜率。

斜率公式为 \( k = \frac{y_2- y_1}{x_2 - x_1} \)。

2. 将点A和点B的坐标代入公式，得到 \( k = \frac{-2 - 3}{-1 - 2} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \)。

3. 有了斜率，我们可以使用点斜式方程 \( y - y_1 = k(x - x_1) \) 来写出直线方程。

选择点A代入，得到 \( y - 3 = \frac{5}{3}(x - 2) \)。

4. 最后，将方程化为一般形式 \( Ax + By + C = 0 \)，得到 \( 5x - 3y + 1 = 0 \)。

题目二：直线的平行与垂直题目描述：已知直线 \( l_1: 3x - 4y + 5 = 0 \)，求与 \( l_1 \) 平行且与直线 \( 2x + y - 7 = 0 \) 垂直的直线方程。

解题步骤：1. 平行直线的斜率相同，所以 \( l_1 \) 的斜率为 \( k =\frac{3}{4} \)。

2. 垂直直线的斜率互为相反数的倒数，因此 \( l_1 \) 垂直的直线斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。

3. 利用点斜式方程，我们可以选择直线 \( l_1 \) 上的一点，比如\( (0, 5/4) \)，代入 \( y - y_1 = k(x - x_1) \)，得到 \( y - \frac{5}{4} = -\frac{4}{3}(x - 0) \)。

4. 将方程化为一般形式，得到 \( 4x + 3y - 15 = 0 \)。

题目三：直线的交点题目描述：求直线 \( l_1: 2x + 3y - 6 = 0 \) 与直线 \( l_2: x - y + 1 = 0 \) 的交点坐标。

直线与方程练习题及答案详解一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。

4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

高二数学练习——直线的方程一．填空题：1．若三点(2，－2)，(－1，4)，(x ，0)共线，则x ＝ ． 2．过点(－2，4)，方向向量→d ＝(2，4)的点方向式方程为 ．3．经过A (2，3)，B (4，6)两点的直线的点方向式方程为 ．4．直线3x ＋2y ＋6＝0的一个法向量为(a ，a －2)，则a ＝ ．5．已知A (－3，2)，B (1，－4)，则线段AB 的垂直平分线方程是6．若坐标原点在直线l 上的射影点的坐标是(－4，2)，则直线l 的方程为 ． 7．已知平面上三点A (－1，3)，B (3，－4)，C (－1，2)，点P 满足→--BP ＝23→--BC ，则直线AP 的方程为 ．8．直线0123=++y x 的所有单位法向量的坐标为 ．9．已知A （－1，1），B （x ，3）为直线l 上的两点， l 的方向向量为（2，1），则x ＝ ．10．直线1l ：0132=-+y x 与直线2l ：3x －2＝0所成角的大小为 ．11．过点P （3，5）的所有直线中，离原点最远的直线方程是 ．12．直线01cos sin =++ϑϑy x 与02sin cos =+-ϑϑy x (0＜ϑ＜π)的位置关系是： ．二．选择题13．直线m y m x m 2)2()2(=-++在x 轴上的截距为3，则m 的值是（ ）（A ）56； （B ）－56； （C ）6； （D ）－6． 14．若－2π＜ϑ＜0，则直线ϑcot x ＋y ＝0的倾斜角是（ ） （A ）－ϑ； （B ）2π＋ϑ； （C ）π＋ϑ； （D ）2π－ϑ 15．设a 、b 、c 分别是ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线0sin =++c ay A x 与0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是（ ）（A ）平行； （B ）重合； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直．16．不论m 为何实数，直线012)1(=++--m y x m 恒过定点（ ）（A ）（1，－21）； （B ）（－2，0）； （C ）（2，3）； （D ）（－2，3）． 三．解答题：17．三角形ABC 中，已知A (－1，2)，B (3，4)，C (－2，5)．求：（1）BC 边所在的直线方程；（2）BC 边上的高AH 所在的直线方程．解：18．已知直线l 垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为10个单位长度，求直线l 的方程．解：19．已知直线l 过点A （－1，3），它的倾斜角是由B （3，－5）、C （0，－9）确定的直线的倾斜角的两倍，求直线l 的方程．解：20．求一直线l ，使它被两直线1l ：x －3y ＋10＝0与直线2l ：2x ＋y －8＝0所截得的线段平分于P （0，1）点．解：21．已知定点A （0，3），动点B 在直线1l ：y ＝1上，动点C 在直线2l ：y ＝－1上，且∠BAC ＝2，求ΔABC 面积的最小值． 解：高二数学练习一——直线的方程一．填空题：1．若三点(2，－2)，(－1，4)，(x ，0)共线，则x ＝ 1 ．2．过点(－2，4)，方向向量→d ＝(2，4)的点方向式方程为 22+x ＝44-y ． 3．经过A (2，3)，B (4，6)两点的直线的点方向式方程为 22-x ＝33-y ． 4．直线3x ＋2y ＋6＝0的一个法向量为(a ，a －2)，则a ＝ 65．已知A (－3，2)，B (1，－4)，则线段AB 的垂直平分线方程是 2x －3y －1＝0 ．6．若坐标原点在直线l 上的射影点的坐标是(－4，2)，则直线l 的方程为2x －y ＋10＝0．7．已知平面上三点A (－1，3)，B (3，－4)，C (－1，2)，点P 满足→--BP ＝23→--BC ，则直线AP 的方程为 x ＋y －2＝0 ． 8．直线0123=++y x 的所有单位法向量的坐标为 （±13133，±13132） ． 9．已知A （－1，1），B （x ，3）为直线l 上的两点， l 的方向向量为（2，1），则x ＝ 3 ．10．直线1l ：0132=-+y x 与直线2l ：3x －2＝0所成角的大小为32arctan 2-π． 11．过点P （3，5）的所有直线中，离原点最远的直线方程是 3x ＋5y －34＝0 ． 12．直线01cos sin =++ϑϑy x 与02sin cos =+-ϑϑy x (0＜ϑ＜π)的位置关系是：垂直 ．二．选择题：13．直线m y m x m 2)2()2(=-++在x 轴上的截距为3，则m 的值是（ D ） （A ）56； （B ）－56； （C ）6； （D ）－6． 14．若－2π＜ϑ＜0，则直线ϑcot x ＋y ＝0的倾斜角是（ B ） （A ）－ϑ； （B ）2π＋ϑ； （C ）π＋ϑ； （D ）2π－ϑ． 15．设a 、b 、c 分别是ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线0sin =++c ay A x 与0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是（ C ）（A ）平行； （B ）重合； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直．16．不论m 为何实数，直线012)1(=++--m y x m 恒过定点（ D ）（A ）（1，－21）； （B ）（－2，0）； （C ）（2，3）； （D ）（－2，3）． 三．解答题：17．三角形ABC 中，已知A (－1，2)，B (3，4)，C (－2，5)．求：（1）BC 边所在的直线方程；（2）BC 边上的高AH 所在的直线方程．解：（1）x ＋5y －23＝0；（2）5x －y ＋7＝0．18．已知直线l 垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为10个单位长度，求直线l 的方程．解：4x ＋3y ±10＝019．已知直线l 过点A （－1，3），它的倾斜角是由B （3，－5）、C （0，－9）确定的直线的倾斜角的两倍，求直线l 的方程解：→--BC ＝（－3，－4），BC k ＝34＝BC αtan BC α2tan ＝BC BC αα2tan 1tan 2-＝－724， 直线l ：y －3＝－)1(724+x ⇒ 24x ＋7y ＋3＝0．20．求一直线l ，使它被两直线1l ：x －3y ＋10＝0与直线2l ：2x ＋y －8＝0所截得的线段平分于P （0，1）点解：设直线l 交直线1l 于A ，直线l 交直线2l 于B ．∵A ∈1l ，B ∈2l ，∴设A （3a －10，a ），B （b ，8－2b ）， 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=228121030b a b a ⇒ ⎩⎨⎧-=-=+62103b a b a ⇒ ⎩⎨⎧==42b a ， ∴A （－4，2），B （4，0），⇒ →--AB ＝（8，－2）．直线l ：x ＋4y －4＝0．21．已知定点A （0，3），动点B 在直线1l ：y ＝1上，动点C 在直线2l ：y ＝－1上，且∠BAC ＝2π，求ΔABC 面积的最小值． 解：min )(ABC S ∆＝8．。

3.2.3 直线的一般式方程【选题明细表】1.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30°(B)45°(C)60°(D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.2.(2018·陕西延安期末)如果AB<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( D )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:因为直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,又AB<0,BC<0,所以->0,->0,所以直线过第一、二、三象限,不过第四象限.故选D.3.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.4.(2018·郑州调研)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于( C )(A)2 (B)-3(C)2或-3 (D)-2或-3解析:直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C.5.(2018·河南南阳期末)两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,则a的值是( C ) (A)3 (B)-1(C)-1或3 (D)0或3解析:因为两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,所以a(a+1)+(1+a)(3-2a)=0,解得a=-1或a=3.所以a的值是-1或3.故选C.6.(2018·辽宁大连期末)已知直线l经过点P(-2,5),且与直线4x+3y+2=0平行,则直线l的方程为 .解析:设直线l的方程为:4x+3y+m=0,把点P(-2,5)代入可得:-8+15+m =0,解得m=-7.所以直线l的方程为4x+3y-7=0.答案:4x+3y-7=07.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为. 解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t ≤0,得t≥.答案:8.分别求符合条件的直线方程,并化为一般式.(1)经过点(-1,3),且斜率为-3;(2)经过两点A(0,4)和B(4,0);(3)经过点(2,-4)且与直线3x-4y+5=0平行;(4)经过点(3,2),且垂直于直线6x-8y+3=0.解:(1)根据条件,写出该直线的点斜式方程为y-3=-3(x+1),即y-3=-3x-3,整理得其一般式为3x+y=0.(2)根据条件,写出该直线的截距式为+=1,整理得其一般式为x+y-4=0.(3)设与直线3x-4y+5=0平行的直线为3x-4y+c=0,将点(2,-4)代入得6+16+c=0,所以c=-22.故所求直线的一般式为3x-4y-22=0.(4)设与直线6x-8y+3=0垂直的直线为8x+6y+c=0,代入点(3,2)得24+12+c=0,c=-36.从而得8x+6y-36=0,即所求直线的一般式为4x+3y-18=0.9.若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为( D )(A)-3 (B)1(C)0或-(D)1或-3解析:因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2+2a-3=0,故a=1或-3.选D.10.(2018·辽宁沈阳期末)光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上,经反射后沿着直线y=ax+2射出,则有( B )(A)a=,b=6 (B)a=-,b=-6(C)a=3,b=- (D)a=-3,b=解析:在直线y=-3x+b上任意取一点A(1,b-3),则点A关于直线x+y=0的对称点B(-b+3,-1)在直线y=ax+2上,故有-1=a(-b+3)+2,即-1=-ab+3a+2,所以ab=3a+3,结合所给的选项,故选B.11.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都通过A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程的一般式为.解析:由题意得所以(a1,b1),(a2,b2)都在直线2x+y+1=0上,又两点确定一条直线,所以所求直线的方程为2x+y+1=0.答案:2x+y+1=012.已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,分别求满足下列条件的直线l2的方程.(1)l1与l2平行且l2过点(-1,3);(2)l1与l2垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.解:(1)设l2的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),又直线l2过点(-1,3),故3×(-1)+4×3+m=0,解得m=-9,故直线l2的方程为3x+4y-9=0.(2)因为l1⊥l2,所以直线l2的斜率k2=.设l2的方程为y=x+b,则直线l2与两坐标轴的交点是(0,b),(-b,0),所以S=|b|·|-b|=4,所以b=±,所以直线l2的方程是y=x+或y=x-.13.直线过点P(,2),且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A,B 两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线能同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解:设所求的直线方程为+=1(a>0,b>0).由已知,得由①②解得或经验证,只有满足③式.所以存在直线满足题意,其方程为+=1,即3x+4y-12=0.。

高二数学同步检测六直线与直线的方程 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.若直线x=1的倾斜角为α,则α等于( ) A.0° B.45° C.90° D.不存在 答案:C解析:因为x=1是一条与x 轴垂直的直线,所以它的倾斜角为90°. 2.通过点(0,2),且倾斜角为60°的直线方程是( ) A.y=3x+2 B.y=3x-2C.y=33x+2 D.y=33x-2 答案:A解析:∵k=tan60°=3,∴过点(0,2)的直线方程为y=3x+2.3.如右图,已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3,则( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案:D解析:∵90°＜α1＜180°， ∴k 1＜0.又∵0°＜α3＜α2＜90°, ∴k 2＞k 3＞0, 即k 2＞k 3＞k 1.4.经过点A(2,1),在x 轴上截距为-2的直线方程是( ) A.x=-2 B.x-4y+2=0 C.4x+y+2=0 D.x-4y-2=0 答案:B解析:依题意知,直线经过点A(2,1)，B(-2,0), 由两点式,得222010++=--x y ,化简得x-4y+2=0. 5如果AC ＜0,且BC ＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：C解析：直线Ax+By+C=0的斜率k=-BA , 直线在y 轴上的截距b=-BC . ∵AC＜0,BC ＜0, ∴AB＞0,k ＜0,b ＞0.∴直线通过二、四象限和第一象限. ∴直线不通过第三象限.6.已知点A(1,2)，B(3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 答案:B 解析:因k AB =211321-=--,所以线段AB 的垂直平分线的斜率是2.又线段AB 的中点为(2,23), 所以所求直线方程为y-23=2(x-2), 即4x-2y-5=0.7.直线(2m 2-5m+2)x-(m 2-4)y+5m=0的倾斜角是4π，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案：B解析：原方程可化为y=454252222-+-+-m mx m m m . 有tan 4π=425222-+-m m m =1,即m 2-5m+6=0,解之,得m=3,m=2.m=2时原方程不成立，应舍去.8.直线l 1:ax-y+b=0与l 2:bx-y+a=0(其中a≠0,b≠0,a≠b),在同一坐标系中的图象是下图中的( )答案：B解析:同一个选项中的直线反映出的a 、b 的取值应是一致的.排除C ，D. 解方程组⎩⎨⎧+==⎩⎨⎧=+-=+-,,1,0,0b a y x a y bx b y ax 得 即l 1与l 2的交点为(1,a+b),在第一象限,所以选B.9.直线xcosα+y+b=0(α、b∈R )的倾斜角范围是( ) A.［0,π］ B.［4π,2π］∪(2π,43π) C.［4π,43π］ D.［0, 4π］∪［43π,π)答案：D解析：∵直线的斜率k=-cosα,又α∈R , ∴-1≤cosα≤1.又倾斜角的范围为［0，π), ∴-1≤tanα≤1(α为倾斜角).10.当-1≤x≤1时，y=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜0或a ＞1 B.0＜a≤1 C.-1＜a ＜-31 D.a≤-1或a ≥-31 答案:C解析:依题意知a≠0. 当a ＞0时,只需满足(1)0,(1)0,f f -<⎧⎨>⎩即10,310,a a +<⎧⎨+>⎩解得a∈;当a ＜0时,只需满足(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨<⎩即10,310,a a +>⎧⎨+<⎩解得-1＜a ＜-31. 综上可知-1＜a ＜-31. 第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 11.过点(-2,-1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_________. 答案:x-2y=0或x+y+3=0解析:(1)直线过坐标原点时,在两个轴上的截距都为0, 方程为x-2y=0.(2)直线不过坐标原点时,设方程为aya x +=1.∵直线过(-2,-1), ∴aa 12-+-=1,得a=-3. ∴直线方程为x+y+3=0.12.直线的纵截距为-2，其倾斜角的正弦满足方程6x 2+x-1=0，则直线方程为________.答案：y=42x-2或y=-42x-2解析：方程6x 2+x-1=0的解为x 1=31,x 2=-21, ∴sinα=31或sinα=-21(舍去). 由sinα=31,得cosα=322或cosα=-322.∴斜率k=tanα=42或k=tanα=-42.∴满足条件的直线方程为 y=42x-2或y=-42x-2.13.已知A(a,2)，B(3,7)，C(-2,-9a)三点在同一直线上,则a 的值为________. 答案:2或92. 解析:当a=3 时,不适合条件,故a≠3. ∵A、B 、C 三点共线, ∴k AB =k BC ,即2397327++=--aa . 化简,得9a 2-20a+4=0,解得a=2或a=92, 即实数a 的值是2或92. 14.已知直线l 过点P(-1,2)，且与以A(-2，-3)和B(3，0)为端点的线段AB 相交，那么直线l 的斜率的取值范围是_________.答案：(-∞,-21］∪［5,+∞) 解析：∵k AP =2132+-+=5,k BP =213102-=---. 要使过P 点的直线与线段AB 相交，需k≥5或k≤-21. 三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知三角形的三个顶点A(-5,0)，B(3,-3)，C(0,2),求BC 边所在直线的方程以及该边上中线所在直线的方程. 解:如下图,过B(3,-3)，C(0,2)的两点式方程为30232--=---x y ,整理得5x+3y-6=0.这就是BC 边所在直线的方程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段,由中点坐标公式可得点M 的坐标为(223,203+-+),即(21,23-). 过A(-5,0),M(21,23-)的直线的方程为52350210++=---x y , 整理得21x+213y+25=0,即x+13y+5=0.16.(本小题满分8分)如图，在一段直的河岸同侧有A 、B 两个村庄，相距5 km ，它们距河岸的距离分别为3 km 、6 km.现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水.如果预计修建抽水站需8.25万元(含设备购置费和人工费)，铺设输水管每米需用24.5元(含人工费和材料费).现由镇政府拨款30万元，问A 、B 两村还需共同自筹资金多少，才能完成此项工程?(准确到100元)(参考数据：65=8.06，97=9.85，77.10=3.28，13.43=6.57)解：如图所示，建立直角坐标系，则A （0，3）.由|AB|=5，可知B （4，6)，那么点A 关于x 轴的对称点A′(0,-3). 连结A′B 交x 轴于C.由平面几何知识可知，当抽水站建在C 处时，铺设的输水管道最短. ∵|AC|+|BC|=|A′B|,∴|A′B|=97)36()04(22=++-=9.85(km).∴铺设管道所需资金为24.5×9.85×1 000=241 325≈241 400(元)，总费用8.25×10 000+241 400=323 900(元). ∴323 900-300 000=23 900（元).答：需要两村共同自筹资金23 900元.17.(本小题满分9分)已知直线过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线的方程.解法一:显然,直线l 与两坐标轴不垂直,设直线的方程为y-3=k(x+2).令x=0,得y=2k+3;令y=0,得x=-k3-2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为21|2k+3|·|k3+2|=4,即(2k+3)(k 3+2)=±8. 若(2k+3)(k 3+2)=8,则整理得4k 2+4k+9=0,无解;若(2k+3)(k 3+2)=-8,则整理得4k 2+20k+9=0,解之,得k=-21,k=-29.∴所求直线的方程为y-3=-21(x+2)或y-3=-29(x+2),即x+2y-4=0和9x+2y+12=0.解法二:显然,直线在两坐标轴上的截距均不为零.设所求直线的方程为bya x +=1. ∵点P(-2,3)在直线上, ∴ba 32+-=1. ① 又∵直线与坐标轴围成的面积为4, ∴21|a|·|b|=4,即|a|·|b|=8. ② 由①②可得 (1)⎩⎨⎧==-8,823ab b a 或(2)⎩⎨⎧-=-=-.8,823ab b a解(1)得⎩⎨⎧==2,4b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.6,34b a 方程组(2)无解.∴所求直线的方程为24yx +=1或 634-+-yx =1,即x+2y-4=0或9x+2y+12=0. 18.(本小题满分9分)已知函数f(x)=log 2(x+1),且a ＞b ＞c ＞0,试比较cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小. 解:画出函数f(x)=log 2(x+1)的图象(如右图),则点A(a,f(a))，B(b,f(b))，C(c,f(c))在图象上,又()()(),,f a f b f c a b c的值恰好是直线OA ，OB ，OC 的斜率,因为函数f(x)=log 2(x+1)是增函数,且a ＞b ＞c ＞0,所以k OC ＞k OB ＞k OA ,即.()()()f a f b f c a b c<<19.(本小题满分10分)点A 是x 轴上的动点,一条直线经过点M(2,3),垂直于MA,交y 轴于点B,过A 、B 分别作x 、y 轴的垂线交于点P,求点P 的坐标(x,y)满足的关系. 解:如图,因为PA⊥x 轴,点P 的坐标为(x,y),所以设点A 的坐标为(x,0).因为PB⊥y 轴,所以点B 的坐标是(0,y). 由已知,k MA =x -23(x≠2),k MB =23y -. 因为MA⊥MB,所以k MA ·k MB =-1, 即x -23·23y -=-1(x≠2), 化简得2x+3y-13=0.当x=2时,由2x+3y-13=0知y=3,点P 与点M 重合.综合以上知,点P 的坐标(x,y)所满足的条件是2x+3y-13=0.。

高中数学直线与方程精选题目（附答案）高中数学直线与方程精选题目（附答案）1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)，∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1. 设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3mC ．3D ．3m解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.5．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )解析：选B 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距同正负． 6．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( ) A ．无最小值且无最大值 B ．无最小值但有最大值 C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值解析：选D 线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝41－x 3(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x 1－x 3＝－43x －322＋3，显然当x ＝32∈[0,3]时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy 取最小值0.7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A 由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0. 8．若动点A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，故其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2.9．直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：选B 因为直线y ＝2x －3的斜率为2，所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0)，故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3)，选 B.10．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知?k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得 x ＝2，y ＝0或x ＝4，y ＝6.12．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.13．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：114．若x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，则k ＝________. 解析：∵直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，解方程组 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得x ＝－1，y ＝－2，∴直线x ＋ky ＝0过点(－1，－2)，解得k ＝－12.答案：－1215．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<1.<="" p="">答案：(－2,1)16．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝017．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设A ′(a ，b )，则b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．18．(本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为 D.由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5. 由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0，所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)，所以点P 的坐标为(7,0)．19．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 恒过一个定点．(2)当－3<="" 的取值范围．="" 解：(1)证明：由y="" 轴上方，求实数k="" ＋1，得y="" ＋2)．="" ＋2k="" －1＝k="" ＝kx="">(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图)．若当－3<="">f (－3)≥0，f (3)≥0.即－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是－15，1. 20．(本小题满分12分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3.(2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ；②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2，由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.21．(本小题满分12分)直线过点P43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P 43，2，∴43a ＋2b ＝1，联立，得a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b＝1，解得?a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.22．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为 y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线.。

直线与方程复习题 一、知识梳理：1距离公式(1)在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为：|AB |＝__________．（2）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则x=_______________; y=_______________;(3)点到直线的距离公式：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ ．(4)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．2．直线的斜率(1)直线的倾斜角与斜率：___________(2)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝ ．(3)直线的一般式为0Ax By C ++=,则该直线的斜率k =____________3．直线的方程(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．(2)直线方程的主要形式：①点斜式： 斜截式：①一般式： 截距式：4．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1①l 2①____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1①l 2①____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．5．两条直线的交点坐标：两条直线的交点坐标即方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.的解。

直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、兴趣导入（Topic-in ）:夜,末班公交，一白衣女子坐最后一排。

司机看后视镜，女没了，惊！急刹回头，人坐那里。

继续开又看后视镜，女人又没，急刹又回头，女又现。

继续开再看后视镜，女再无！急刹，女缓慢走来头发凌乱满脸是血用低沉的声音说：“老娘和你有仇啊？一绑鞋带你就急刹车，一绑鞋带你就急刹车。

”二、学前测试(Testing):1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：45．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝0三、知识讲解(Teaching)：一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.二、直线方程的形式及适用条件名称 几何条件 方 程 局限性点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)x a ＋y b＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)四、强化练习(Training)直线的倾斜角与斜率典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎡⎦⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤0，π6，当k ∈⎣⎡⎭⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－2，12 解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB .∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.直 线 方 程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1. 则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y－1＝0.[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线． 因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3](2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．[自主解答]法一：设点A(x，y)在l1上，点B(x B，y B)在l2上．由题意知⎩⎨⎧x＋x B2＝3，y＋y B2＝0，则点B(6－x，－y)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x－y－2＝0，(6－x)＋(－y)＋3＝0，得⎩⎨⎧x＝113，y＝163，则k＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(x A，y A)，(x B，y B)，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝k(x－3)，2x－y－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A＝3k－2k－2，y A＝4kk－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝k(x－3)，x＋y＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B＝3k－3k＋1，y B＝－6kk＋1.∵P(3,0)是线段AB的中点，∴y A＋y B＝0，即4kk－2＋－6kk＋1＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则x A＝1，x B＝－3，此时x A＋x B2＝1－32≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－4k )＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA |＝ 1k2＋1，|MB |＝4＋4k 2， ∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2 k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.五、训练辅导(Tutor):1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ， 于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)． 2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( )A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38. 3．(2012·衡水模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率， 将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．(2013·贵阳)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞8．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.六、反思总结(Thinking)：堂堂清落地训练（5-10分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π2解析：选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(2＋3)2＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2. 2．当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________． 解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时， 直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．——————————————————————————————————————————————————— 11 (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.4．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2， ∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 5.若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， 故－2＜a ＜1. 答案：(－2,1) 6.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1. ∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab，即ab ≥24. ∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时， △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y 4＝1. 即2x ＋3y－12＝0。

新人教A版高二2.2.2 直线的两点式方程(2016)1.经过两点(5,0)，(2,−5)的直线方程为（）A.5x+3y−25=0B.5x−3y−25=0C.3x−5y−25=0D.5x−3y+25=02.下列说法中正确的是（）A.经过点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)表示D.不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示3.直线xm −yn=1与xn−ym=1在同一平面直角坐标系中的位置可能是（）A. B. C. D.4.若直线l过点(−1,−1)和(2,5)，且点(1009,b)在直线l上，则b的值为（）A.2019B.2018C.2017D.20165.已知直线xa +yb=1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（）A.|a|<|b|B.√−a>√bC.(b−a)(b+a)>0D.1a >1b6.已知直线l过点P(1,−2)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）A.x−y−3=0B.x+y+1=0或2x+y=0C.x−y−3=0或2x+y=0D.x+y+1=0或x−y−3=0或2x+y=07.过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.无数多条8.已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy（）A.无最小值且无最大值B.无最小值但有最大值C.有最小值但无最大值D.有最小值且有最大值9.已知点A(3，−3)，B(0，2)，则线段AB的中点坐标是.10.已知点A(−3，−2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP=90∘，则直线BP的方程为.11.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l 的截距式方程是.12.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6,−2)，则直线l的方程为.13.已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,2),C(5,4).(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长.14.一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(−1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程.15.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为16.已知△ABC的顶点A(3,−1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y−59=0，∠B的平分线所在直线的方程为x−4y+10=0，求BC边所在直线的方程.参考答案1.【答案】:B【解析】:经过两点(5,0)，(2,−5)的直线方程为y−0−5−0=x−52−5，整理得5x−3y−25=0.故选 B.2.【答案】:C【解析】:因为直线与x轴垂直时不能用点斜式方程或斜截式方程表示，所以选项A，B不正确；因为直线与坐标轴垂直时不能用截距式方程表示，所以选项D不正确.故选 C.3.【答案】:B【解析】:两直线的方程可分别化为y=nm x−n,y=mnx−m,易知两直线的斜率的符号相同,故选 B.4.【答案】:A【解析】:由直线的两点式方程得直线l的方程为y−(−1)5−(−1)=x−(−1)2−(−1)，即y=2x+1，令x=1009，则有b=2×1009+1，即b=2019.5.【答案】:B【解析】:因为直线xa +yb=1经过第一、二、三象限，所以直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0.由直线的斜率小于1可知0<−ba<1，结合a<0可得a< 0<b<−a.由绝对值的性质可知|a|>|b|，选项A错误；由幂函数y=√x的单调性可知√−a>√b，选项B正确；因为b−a>0,b+a<0，所以(b−a)(b+a)<0，选项C错误；因为1a <0,1b>0，所以1a<1b，选项D错误.故选 B.6.【答案】:C【解析】:当直线过原点及P(1,−2)时，直线的方程为2x+y=0;当直线不过原点时，设直线方程为xa +y−a=1，将(1,−2)代入，得a=3，此时直线的方程为x−y−3=0.故选 C.7.【答案】:C【解析】:当直线过原点时，有1条符合题意；当直线在两坐标轴上的截距都为正数时，有1条；当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，有1条，共3条.8.【答案】:D【解析】:线段AB的方程为x3＋y4=1(0⩽x⩽3)，于是y=4(1−x3)(0⩽x⩽3)，从而xy=4x(1−x3)=−43(x−32)2＋3，显然当x=32∈[0,3]时，xy取得最大值3；当x=0或3时，xy取得最小值0.9.【答案】:(32,−12)【解析】:设线段AB的中点为P(x0，y0)，由A(3，−3)，B(0，2)，得x0=3+02=32，y0=−3+22=−12.∴线段AB的中点坐标为(32,−12).10.【答案】:2x−y−11=0【解析】:设点P(0，y)，∵k AB=−2−1−3−6=13，k AP=−2−y−3−0=2+y3，∠BAP=90∘，∴k AP·k AB=−1，即13×2+y3=−1，解得y=−11，∴P(0,−11)，∴直线BP的方程为y−1−11−1=x−60−6，即2x−y−11=0.11.【答案】:x2＋y6=1【解析】:设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m=2，n=6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，则l的截距式方程是x2＋y6=1.12.【答案】:x 2＋y =1或x 3＋y 2=1【解析】:设直线l 在y 轴上的截距为a(a ≠0)，则在x 轴上的截距为a +1，则l 的方程为x a+1＋y a =1，将点A(6,−2)代入得6a+1−2a =1，即a 2−3a ＋2=0，∴a =2或a =1，∴直线l 的方程为x 2＋y =1或x 3＋y 2=1.13(1)【答案】∵k AB =12，∴AB 边上的高所在直线的斜率为−2， 又∵所求直线过点C(5,4)，∴所求直线的方程为y −4=−2(x −5)，即2x +y −14=0. (2)【答案】设直线l 的方程为x a+1+y a =1(a ≠0，a ≠−1)，即y =−a a+1x +a ，∵k AC =34， ∴−a a+1=34，解得a =−37， ∴直线l 的方程为x47+y −37=1， ∴直线l 过点(47,0),(0,−37)， 三角形的斜边长为√(47)2+(37)2=57， ∴直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为57+47+37=127.14.【答案】:易知点A(3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3,−2).由两点式可得直线A ′B 的方程为y−6−2−6=x+13+1，即2x +y −4=0.点B(−1,6)关于x 轴的对称点为B ′(−1,−6).由两点式可得直线AB ′的方程为y+62+6=x+13+1，即2x −y −4=0.故入射光线所在直线的方程为2x −y −4=0，反射光线所在直线的方程为2x +y −4=0.15.【答案】:x +y ±6=0,x −y ±6=0【解析】:∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，可设为a ，则直线方程为x a +y a =1，即x +y −a =0.∵12|a|·|a|=18，即a 2=36，∴a =±6，∴直线方程为x +y ±6=0. 若l 在两坐标轴上的截距互为相反，不妨设横截距为a ，则纵截距为−a ，故直线方程为x a +y −a =1，即x −y −a =0.∵12|−a|·|a|=18，即a 2=36，∴a =±6，∴直线方程为x −y ±6=0.综上所述，直线l 的方程为x +y ±6=0或x −y ±6=0.16.【答案】:设点B 的坐标为(4y 1−10,y 1)，则AB 的中点坐标为(4y 1−72,y 1−12).∵AB 的中点在直线6x +10y −59=0上，∴6×4y 1−72+10×y 1−12−59=0.解得y 1=5，∴B(10,5).设点A 关于直线x −4y +10=0的对称点为A ′(x ′,y ′)，则有{x ′+32−4×y ′−12+10=0,y ′+1x ′−3×14=−1,解得{x ′=1，y ′=7，即A ′(1,7).又BC 边所在的直线经过点A ′,B ，∴BC 边所在直线的方程为y−75−7=x−110−1， 整理得2x +9y −65=0.。

3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.2直线的两点式方程一、单选题（本大题共3小题，共15分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线l过点，且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是( )A. B.C.或 D. 或2.经过，两点的直线的方程是( )A. B. C. D.3.若点在过点，的直线上，则( )A. 2B. 1C.D.二、填空题（本大题共1小题，共5分）4.过点和的直线在x轴上的截距为__________.三、解答题（本大题共7小题，共84分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）5.本小题12分已知的三个顶点分别为、、求AB所在直线的方程;求AC边上的中线BD所在直线的方程;求经过AB和AC的中点的直线的方程.6.本小题12分求过，两点的直线l的方程.7.本小题12分已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是?8.本小题12分求过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.9.本小题12分宜昌大剧院和宜昌奥体中心将是人们健康生活的最佳场所，若两处在同一平面直角坐标系中对应的点分别为，假设至喜长江大桥所在的直线为若，现为方便大家出行，计划在至喜长江大桥上的点P处新增一出口通往两地，要使从P处到两地的总路程最短，求点P的坐标;若BA的延长线交直线l于点，求直线BE与两坐标轴围成的面积的最小值.10.本小题12分直线l过点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，求面积的最小值.11.本小题12分已知在中，，，求BC边所在直线的方程;求BC边上的中线所在直线的方程.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查截距式方程，注意分类讨论，属于易错题.【解答】解：设直线l在x轴上的截距为a，则直线l在y轴上的截距为当时，直线l经过原点，其方程为，即当时，设直线l的方程为，因为直线l过点，所以代入得，解得，所以直线l的方程为，即综上，直线l的方程为或，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线方程的截距式，属于容易题.【解答】解：经过点，，根据截距式直接可得所求直线方程为，故选3.【答案】D【解析】【分析】题主要考查了运用两点式方程求直线方程，根据点A、B的坐标，代入直线的两点式方程即可求解．【解答】解：由两点式方程得l的方程为，化简为，又点在直线上，，即4.【答案】【解析】【分析】本题考查直线的两点式方程，属基础题.由直线的两点式方程可得直线方程为，令，即可求解.【解答】解：过点和的直线方程为，整理得，令，得，直线在x轴上的截距为故答案为5.【答案】解：由，可得AB所在直线的两点式方程为，即设AC边上的中点为，由中点坐标公式可得，，所以BD所在直线的两点式方程为，即易知AB的中点的坐标为，AC的中点的坐标为，所以所求直线的方程为，即【解析】本题考查直线的两点式、一般式方程，属于基础题.利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AB所在直线的方程；利用线段中点坐标公式，算出AC的中点D坐标为，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC上的中线BD所在直线的方程；直接写出AB、AC中点坐标，再利用直线方程的两点式列式化简即可得出所求直线的方程.6.【答案】解析①当时，直线l的方程为②当时，直线l的方程为，即当时，满足上式，直线l的方程为【解析】本题主要考查直线方程的两点式，注意分类讨论，属于易错题.7.【答案】解：当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为，代入得，此时直线l的方程为当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为，把代入得，即综上，所求直线的方程为或【解析】本题主要考查截距式方程，注意分类讨论，属于易错题.8.【答案】解：设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，①当，时，设l的方程为点在直线l上，，若，则，直线l的方程为若，则，，此时直线l的方程为②当时，直线过原点，设直线l的方程为，直线过点，代入得，即直线l的方程为综上，所求直线的方程为或或【解析】本题主要考查截距式方程，注意分类讨论，属于易错题.9.【答案】解：如图，点关于x轴的对称点为，连接AC交x轴于P，此时从P处到两地的总路程最短，为，此时AC所在直线的方程为，即取，得，所以点P的坐标为由题意知BE所在直线的方程为，因为点A在BE上，所以，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以【解析】本题主要考查直线方程的实际应用，属于中档题.10.【答案】解：设直线l的方程为，因为直线l过点，所以又，则，当且仅当，即，时取等号，所以【解析】本题主要考查截距式方程，利用基本不等式求出三角形面积最值，属于基础题.11.【答案】解析由两点式得，即，故BC边所在直线的方程是设BC的中点为，则，，所以，又BC边上的中线过点，所以，即，所以BC边上的中线所在直线的方程为【解析】本题主要考查两点式方程，属于中档题.。

直线的方程一、兴趣导入（Topic-in ）:.弟弟上历史课的时候，老师问他：“路易十四是谁？” 他答：“路易十四不就是路易十加路易四吗！”老师听后没好气地说道：“你怎么不说是路易七乘路易二呢？”哪知道弟弟不假思索便说：“老师，从数学上来说，路易七乘路易二应是路易平方十四，因此你错了。

”弄得老师哭笑不得。

二、学前测试(Testing):1．(人教A 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 解析 k ＝0－23－0＝－23.答案 C2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B3．(2011·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0. 答案 A4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0解析由两点式得：y－31－3＝x－02－0，即x＋y－3＝0.答案 B5．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析∵k AC＝5－36－4＝1，k AB＝a－35－4＝a－3.由于A、B、C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案4三、知识讲解(Teaching)：1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

高中直线与方程练习题及答案详解1.高中直线与方程练题及答案详解一、选择题1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A．a+b=√2/2B．a-b=√2/2C．a+b=0D．a-b=02.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y-1=0B．2x+y-5=0C．x+2y-5=0D．x-2y+7=03.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）A．-8B．2C．10D．无法确定4.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°,1B．135°,-1C．90°，不存在D．180°，不存在6.若方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．m≠1B．m≠-1/2C．m≠1/2D．m≠0二、填空题1.点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是√2/2.2.已知直线.3.若原点在直线l上的射影为(2,-1)，则l的方程为2x-y=0.4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，则x+y的最小值是4.5.直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为y=-3x。

三、解答题1.已知直线Ax+By+C=0。

1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；当C=0时，方程变为Ax+By=0，解得y=-A/B*x，即过原点且斜率为-A/B的直线。

2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；当A≠0且B≠0时，直线与x轴和y轴都相交。

3）系数满足什么条件时只与x轴相交；当B=0且A≠0时，直线只与x轴相交。

4）系数满足什么条件时是x轴；当A=0且B≠0且C=0时，直线是x轴。

1．一条光线从点 A(－1,3)射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1)，求 P 点的坐标．3－0＝－31－ 01解 设 P( x,0) ，则 k PA ＝， k PB ＝＝，依题意，－ 1－ x x ＋ 1 3－ x 3－ x由光的反射定律得k PA ＝－ k PB ，即 3＝ 1，解得 x ＝2，即 P(2,0)．x ＋1 3－ x2．△ ABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上， A 在边 BC 的右侧，∠ BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．解如右图，由题意知 ∠BAO ＝ ∠ OAC ＝ 30°，∴ 直线 AB 的倾斜角为 180°－ 30°＝ 150°，直线 AC 的倾斜角为 30°，∴ k AB ＝ tan 1503＝°－ 3 ，AC3k ＝ tan 30 ＝° 3 .2f a ， f b ， f c的大小． 3．已知函数 f(x)＝ log ( x ＋ 1)， a>b>c>0，试比较a b c解画出函数的草图如图，f xx 可视为过原点直线的斜率．f c f b f a由图象可知：c>b>a.4． (1) 已知四点 A(5,3)， B(10,6)，C(3，－ 4)， D(－ 6,11)，求证： AB ⊥ CD .(2)已知直线 l 1 的斜率 k 1＝ 3，直线 l 2 经过点 A(3a ，－ 2)， B(0， a 2＋ 1)且 l 1⊥ l 2，求实数4 a 的值．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝ 6－ 3 310－5 ＝ 5，11－ － 45 k CD ＝ － 6－ 3 ＝－ 3，则 k AB ·k CD ＝－ 1， ∴ AB ⊥CD .(2)解∵ l 1⊥ l 2，∴ k 1·k 2＝－ 1，3× a 2＋ 1－ － 2即 ＝－ 1，解得 a ＝1 或 a ＝3.40－ 3a5. 如图所示， 在平面直角坐标系中， 四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1， t)、 Q(1－ 2t,2＋ t)、R(－ 2t,2)，其中 t>0. 试判断四边形 OPQR 的形状．解由斜率公式得k OP＝t － 0＝ t，1－ 0QR 2－ 2＋ t＝－t＝ t，k OR2－ 0＝－1，k ＝－ 2t－ 1－ 2t－ 1＝t － 2t－ 0k PQ＝2＋ t －t2＝－1.＝1－ 2t－ 1－ 2t t∴k OP＝k QR， k OR＝ k PQ，从而 OP∥ QR， OR∥PQ .∴四边形 OPQR 为平行四边形．又k OP·k OR＝－ 1，∴ OP⊥ OR，故四边形 OPQR 为矩形．6．已知四边形ABCD 的顶点 A(m， n)， B(5，－ 1)， C(4， 2)， D(2,2) ，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形．解∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情形：(1)AB∥CD ， AB⊥ AD，由图可知： A(2，－ 1)．(2)AD∥ BC， AD ⊥ AB，k AD＝ k BCk AD·k AB＝－ 1n－2＝ 3m－ 2－1?n－ 2 n＋1·＝－ 1m－ 2 m－ 516m＝5.∴8n＝－516m＝ 2m＝5.综上或n＝－ 18n＝－57．已知直线 l1与 l 2的方程分别为7x＋ 8y＋ 9＝ 0,7x＋ 8y－3＝ 0.直线 l 平行于 l 1，直线 l 与 l1的距离为 d1，与 l2的距离为 d2，且 d1∶d2＝ 1∶ 2，求直线 l 的方程．解因为直线 l 平行 l1，设直线 l 的方程为 7x＋ 8y＋ C＝ 0，则 d1＝|C－ 9||C－－ 3 |，d2＝. 72＋ 8272＋82又2d1＝ d2，∴2|C－9|＝ |C＋ 3|.解得 C＝ 21 或 C＝ 5.故所求直线l 的方程为7x＋ 8y＋ 21＝ 0 或 7x＋8y＋ 5＝ 08．△ ABC 中， D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合 ) ，且 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | ·|DC|.求证：△ ABC 为等腰三角形．证明作 AO⊥ BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系 (如右图所示 )．设A(0，a)， B(b,0)， C(c,0)， D (d,0)．因为 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | |DC· |，所以，由距离公式可得b2＋ a2＝ d2＋ a2＋ (d－ b)(c－ d)，即－ (d－ b)(b＋d)＝( d－b)( c－d)．又 d－b≠ 0，故－ b－ d＝ c－ d，即－ b＝ c.所以 |AB|＝ |AC|，即△ ABC 为等腰三角形．9．一束平行光线从原点 O(0,0) 出发，经过直线l：8x＋ 6y＝ 25 反射后通过点 P(－ 4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．解设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 (a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得b4a·－3＝－ 1a＝4，解得，8×a b b＝3 2＋ 6×2＝ 25∴A 的坐标为 (4,3) ．∵ 反射光线的反向延长线过A(4,3) ，又由反射光线过P(－ 4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.y＝ 3x＝78，由方程组，解得8x＋ 6y＝25y＝ 37∴反射光线与直线l 的交点坐标为8，3 .。

1、等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线062=-+y x 上，顶点A 的坐标是)1,1(-，求AC 所在的直线点法向式方程．答案：230x y --=2、已知点()1,2在直线l 上的射影为()2,1-，则直线l的方程为__ _． 题型：点法向式答案：()0132=+--y x3、经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

答案：3条，2y x =，30x y +-=，10x y -+=4、若倾斜角的正弦值为513，则该直线方程的斜率是____________ 直线的方程答案：512± 5. 直线21)10()x a y a R +++=∈（的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0，4π] B ． [43π，π) C ．[0，4π]∪（2π，π) D ． [4π，2π)∪[43π，π) 答案：B6、方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。

答案：27、已知三角形三个顶点分别是A （2，1），B （﹣2，3），C （6，﹣7），求下列直线的一般式方程：（1）过点A 与BC 边平行的直线；（2）过点A 与BC 边垂直的直线；（2）过点B 且平分△ABC 面积的直线．答案：（1）54140x y +-=；（2）4530x y --=（3）10x y +-=8.已知数列{}n a 的通项公式n a n =，它的前n 项和为n S ，设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=*,N n n S a A nn ，若以A 中元素作为点的坐标，这些点都在同一条直线上，求这条直线的斜率 答案：21. 9．已知△ABC 的顶点A （1，3），AB 边上的中线所在直线的方程是1y =，AC 边上的高所在直线的方程是210x y -+=．求（1）AC 边所在直线的方程；（2）AB 边所在直线的方程．答案：（1）25x y +-．（2）20x y -+=关键：10、过点)4,1(P 的直线l 交x 、y 轴的正向于A 、B 两点，求：（1）AOB ∆面积取最小值时直线l 的方程；（2）当OB OA +取最小值时，直线l 的方程；答案：（1）480x y +-=，（2）260x y +-=，。

高中直线方程的综合练习数学班主任整理高中数学直线方程的综合练习1.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：过点P(2,3)，斜率为-2的直线。

解析：已知直线过点P(2, 3)，斜率为-2、直线的方程一般可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

代入已知条件，得到3 = -2*2 + b，解b得到b = 7、所以直线的方程为y = -2x + 7题目二：过点(4,5)，斜率为1/3的直线。

解析：已知直线过点(4, 5)，斜率为1/3、同样地，直线的方程可以表示为y = kx + b。

代入已知条件，得到5 = (1/3)*4 + b，解b得到b = 19/3、所以直线的方程为y = (1/3)x + 19/32.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(-1,2)，且与直线y=x-3垂直，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(-1, 2)，且与直线y = x - 3垂直。

两条直线垂直可以得到斜率的乘积为-1、所以直线的斜率为-1的倒数，即1、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到2 = 1*(-1) + b，解b得到b = 3、所以直线的方程为y = x + 3题目二：已知直线过点(2,4)，且与直线y=-2x+1平行，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(2, 4)，且与直线y = -2x + 1平行。

两条直线平行可以得到斜率相等。

所以直线的斜率与直线y = -2x + 1的斜率相等，即斜率为-2、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到4 = -2*2 + b，解b得到b = 8、所以直线的方程为y = -2x + 83.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(3,1)，且平行于直线y=3x-2，求该直线的方程。

解析：已知直线过点(3, 1)，且平行于直线y = 3x - 2、直线的平行可以得到斜率相等。