人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率习题(3)

§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【教学目标】1.理解并掌握两直线平行与垂直的条件，能运用条件判断两直线是否平行或垂直。

2.通过对两直线平行或垂直的条件的探究推导，培养学生运用旧知识探讨新知识，学会数形结合的思想。

【教学重难点】1.教学重点：两直线平行或垂直的条件，掌握并熟练运用。

2.教学难点：把两直线平行或垂直的问题转化为两直线之间斜率的问题，注意运用时所需满足的斜率存在的条件。

【教学过程】（一）知识回顾同学们好，在学习今天的新内容之前，我们先来回顾一下上次课学习的内容。

提问：有哪位同学来给大家回忆一下上次课的内容？将倾斜角，斜率的有关知识简单写在黑板上，并提醒倾斜角的范围是0≤α＜180º,当倾斜角等于90°时，斜率不存在。

（二）引入初中的时候我们判断两直线平行，是看它们有没有交点，后来又学习了两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等。

两直线垂直夹角为90°，在这里我们看到两直线平行垂直可以用角度关系来判断，我们上次课学习了斜率可以用倾斜角的正切值来表示。

那么我们可不可以用斜率来表示两直线平行或垂直的关系呢？这就是我们今天要学习的两直线平行与垂直的判定，请同学们先思考一下，不妨大胆假设它们的斜率之间存在怎样的关系。

（三）探究新知1.两直线平行的判定在黑板上坐标系中画出两条互相平行的直线从这个图我们可以看到，这两条平行线是不重合的，并且它们的倾斜角都不等于90°，所以他们的斜率都是存在的。

我们都知道两直线平行，同位角相等，也就是它们的倾斜角是相等的，既然倾斜角相等，它们的正切值是相等的，也就是说它们的斜率是相等的。

所以我们由两直线平行堆到了它们的斜率相等，那么斜率相等能不能得到它们平行呢？我们来看一下，由k 1=k 2 我们知道12tan tan αα=，因为1α和2α的取值范围都是0°到180°，所以我们能得到1α,2α相等，也就得到了 l 1 平行l 2 。

§3.1 .2两条直线平行与垂直的判定【学习目标】（2）利用直线的平行与垂直解决有关问题【知识回顾】1、直线的倾斜角的定义和倾斜角α范围：定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准， 与 之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.直线的倾斜角α范围是： .2、直线的斜率的求法：(1) 已知直线的倾斜角α： .(2) 已知直线上两点坐标),(11y x A 、),(22y x B 21x x ≠且： .3、若两条直线12,l l 的斜率都不存在，则1l 的倾斜角=1α ，2l 的倾斜角=2α ；此时1l 2l ；4、若1l 的斜率为0，直线2l 斜率不存在，则1l 的倾斜角=1α ，2l 的倾斜角=2α ；此时1l 2l ；约定：若没有特别说明，说“两条直线12,l l ”时，一般是指两条不重合的直线【自主学习要求】1、研读教材8786P P -（1）教材中如何利用代数方法研究两直线平行？（2）对教材中利用代数方法研究直线平行的结论：2121//k k l l =⇔ ，你有何补充?2、研读教材8988P P -（1）教材中如何利用代数方法研究两直线垂直？（2）对教材中利用代数方法研究直线垂直的结论：12121-=⋅⇔⊥k k l l ，你有何补充?（3）总结一下几何、代数两种方法是如何研究两直线平行的【自主学习、合作交流】自主学习指导及探究内容：（阅读教材86—89页，完成下列问题）知识探究（一）：两条直线平行的判定思考1、（如图1）若两条不重合直线1l 与2l 的倾斜角1α与2α- 2 -这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？思考2、设两条不重合直线1l 与2l 的斜率分别为1k 、2k ，若21k k =，则这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？思考3、平面内有A 、B 、C 三点，若K AB =K AC 能得到A 、B 、C 三点共线吗？提炼总结:知识探究（二）：两条直线垂直的判定思考1、（如图2） 设直线1l 与2l 的倾斜角分别为1α与2α,且（1α， 902≠α），若1l ⊥2l ，则1α与2α之间有什么关系？思考2、已知ααtan 1)90tan(0-=+,据此，你能得出1l 与2l 的斜率21,k k 之间的关系吗？反之成立吗？提炼总结:应用1例1、已知A （2，3），B （-4，0），P （-3，1），Q （-1，2），试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论变式1、已知A (-6,0), B (3,6), P (0,3), Q (6,-6), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系？应用2例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为 A （0，0）， B （2，-1）， C （4，2）， D （2，3），试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明变式2、已知A (5,-1), B (1,1), C(2,3)三点, 试判断△ABC 的形状【反馈练习】1．下列说法正确的是（ ）A ．若12l l ⊥，则121-=⋅k k ；B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥；D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2．点(1,2)M 在直线l 上 的射影是(1,4)H -，则直线l 的斜率是（ ）A ．-1B ．1C ．1或-1D ．不存在3．过点(1,2)A 和(3,2)B -的直线与直线0y =的位置关系是（ ）A ．相交不垂直B ．平行C ．垂直D ．重合4．直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α且12l l ⊥，则（ ）A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．1290αα-=︒D ．1290αα+=︒5．判断下列各对直线平行还是垂直：①经过两点A （2,3），B （-1,0）的直线l 1，与经过点P （1,0）且斜率为1的直线l 2；②经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点M（1,-4）且斜率为-5的直线l4；6．试确定m的值，使过点(2,3)Q-的直线：-的直线与过点(2,3)P和(1,4)A m和(1,)B m（1）平行；（2）垂直．7．已知点(1,1),(2,2),(3,0)A B C-三点，求点D的坐标，使得直线CD ABCB AD．⊥，且//【思维拓展】1．已知△ABC的顶点坐标分别为m)A(5,-1),，若△ABC为直角三角形，试C(2,B(1,1),求m的值．2．已知点(1,2)N，点P在x轴上，且MPNM-和(4,3)∠为直角，求点P的坐标．- 4 -。

3.1 直线的倾斜角与斜率3．1.1 倾斜角与斜率[新知初探]1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.[点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率 (1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α( ) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．若直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135°D ．－45°解析：选B 作出直线l ，如图所示，由图易知，应选B.3．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B. 3C ．1 D.22解析：选A 由题意可知，直线l 的斜率k ＝tan 30°＝33.[典例] 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图)．[答案] D[活学活用]已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α＜90° B ．90°≤α＜180° C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－－＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.[活学活用]1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：选C 斜率k ＝0－23－0＝－23.2．已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．k AB ＝1－11－－＝0，k AC ＝－1－11－－＝－1.∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在.1．如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值．解：由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项由斜率公式，得k AB ＝52＋12m －4＝74m －8，k BC ＝－1＋m 4＋4＝m －18. ∵点A ，B ，C 在同一条直线上，∴k AB ＝k BC . ∴74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0， 解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.∴m 的值是3＋572或3－572.题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解：如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.层级一 学业水平达标1．直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( )A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：选C 作出图象，故C 正确．2．给出下列说法：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α＜180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．75°D ．45° 解析：选B ∵直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)， ∴其斜率k ＝3－0－5－－＝－1.设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)， 则tan θ＝－1，∴θ＝135°.4．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．(－1,0] B ．[0,1] C ．[1,2]D ．[0,2]解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.6.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°7．一束光线射到x 轴上并经x 轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________.解析：作出入射光线和反射光线如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角等于60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.答案：150°8．已知点A (2，－1)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线PA 的倾斜角为45°，则点P 的坐标为________．解析：设x 轴上点P (m,0)或y 轴上点P (0，n )．由k PA ＝1，得0＋1m －2＝n ＋10－2＝1，得m ＝3，n ＝－3.故点P 的坐标为(3,0)或(0，－3)．答案：(3,0)或(0，－3)9．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝－m ＋－4m ＋1，k BC ＝m －－42－－.∴－m ＋－4m ＋1＝3·m －－42－－.整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)， 即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.10．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间．当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PA .∵k PA ＝－1－42－－＝－1，k PB ＝－1－22－3＝3，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．层级二 应试能力达标1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0 C. 3D ．2 3解析：选B 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B.2．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率等于2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D.43解析：选D 由直线的斜率公式，得m ＋23－m ＝2，∴m ＝43.3.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0＜k 3＜k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1＜0，所以k 1＜k 3＜k 2.4．若点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析：选D 根据已知的条件，可知点P (x ，y )是点A ，B ，C 围成的△ABC 内一动点，那么所求y －2x －1的几何意义是过动点P (x ，y )与定点M (1,2)的直线的斜率．由已知，得k AM ＝14，k BM＝1，k CM ＝23.利用图象，可得y －2x －1的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.故选D.5．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为________．解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即2－02－a ＝2－b2－0.∴2(a ＋b )＝ab ，∴a ＋b ab ＝12，∴1a ＋1b ＝12. 答案：126．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．解析：k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线， 即k AB ≠k AC ，∴1－k5≠0.∴k ≠1.答案(－∞，1)∪(1，＋∞)7．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图象上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明：∵A ，B ，C 是三个不同的点， ∴x 1，x 2，x 3互不相等． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，即y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 3x 1－x 3， ∴x 31－x 32x 1－x 2＝x 31－x 33x 1－x 3， 整理，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝x 21＋x 1x 3＋x 23， 即(x 2－x 3)(x 1＋x 2＋x 3)＝0. ∵x 2≠x 3， ∴x 1＋x 2＋x 3＝0.8．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解：如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k .由已知条件，可得A (1,1)，B (－1,5)． 易知k PA ≤k ≤k PB .由斜率公式得k PA ＝43，k PB ＝8，所以43≤k ≤8.故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[新知初探]1．两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. [点睛](1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，则l 1∥l 2. 2．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[点睛] l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0. 答案：0[典例] 判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)； (2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． [解] (1)k 1＝1－－2－－＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54.∵k 1≠k 2，∴l 1与l 2不平行．(2)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，且l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.[活学活用]1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．解析：根据AB ∥DC ，AD ∥BC ，利用平行直线的斜率相等求解．设点D (x ，y )，则由AB ∥DC ，AD ∥BC 可得k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即86－－＝y －6x －8，yx －－＝8－66－8，解得x ＝0，y ＝－2.答案：(0，－2)2．在△ABC 中，A (0,3)，B (2，－1)，E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2.答案：－2[典例] 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－3，－4)，B (1,3)，l 2经过点M (－4，－3)，N (3,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)． [解] (1)k 1＝3－－1－－＝74，k 2＝1－－3－－＝47，k 1k 2＝1， ∴l 1与l 2不垂直．(2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.[活学活用]1．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．解析：由过两点的直线的斜率公式可得k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.答案：－12．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1,2)，B (－1,1)，C (0,2)，求BC 边上的高所在直线的斜率与倾斜角．解：设BC 边上的高所在直线的斜率为k ， 则有k ·k BC ＝－1. ∵k BC ＝2－10－－＝1，∴k ＝－1.∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为135°.[典例] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． [解] 设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－a ＋1－－＝－a3.(1)若l 1∥l 2，则l 1的斜率k 1＝－a3.∵k 1＝2－a a －4，∴2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2.①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 1k 2＝－1可得2－a a －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.∴当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2.[活学活用]已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解：∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知，A (2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC ，k AD ·k AB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1，n －2m －2·n ＋1m －5＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝165，n ＝－85.综上可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝165，n ＝－85.层级一 学业水平达标1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行，①②④正确，故选C.2．直线l 过(m ，n )，(n ，m )两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则( ) A ．l 与x 轴垂直 B ．l 与y 轴垂直 C ．l 过原点和第一、三象限 D ．l 的倾斜角为135°解析：选D 直线的斜率k ＝m －nn －m＝－1，∴直线l 的倾斜角为135°. 3．经过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是( ) A ．4 B ．1 C ．1或3D ．1或4解析：选B 由题意，知4－m m －－＝1，解得m ＝1.4．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3解析：选D ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3.5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直，所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝________；若直线l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：l 1∥l 2时，a －22－1＝3，则a ＝5；l 1⊥l 2时，a －22－1＝－13，则a ＝53.答案：5 537．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________.若l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m2，若l 1⊥l 2，则m2＝－1，∴m ＝－2.若l 1∥l 2则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2. 答案：－2 28．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2＋22)，B (0，2－22)，C (4,2)，则△ABC 是________．(填△ABC 的形状)解析：因为AB 边所在直线的斜率k AB ＝－22－＋220－2＝22，CB 边所在直线的斜率k CB ＝－22－20－4＝22，AC 边所在直线的斜率k AC ＝2－＋224－2＝－2，k CB ·k AC＝－1，所以CB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解：(1)由k AB ＝m －32m2＝－1，得2m 2＋m －3＝0， 解得m ＝－32或1.(2)由－7－20－3＝3及垂直关系，得m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1. 10．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m 的值为－7，－2,2或3.层级二 应试能力达标1．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则有( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α2－α1|＝90°D ．α1＋α2＝180°解析：选C 由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°. 2．已知四点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D 当m ＝0时，直线AB 与直线CD 的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，k AB ＝m ＋1m ，k CD ＝2m ，由m ＋1m ＝2m，解得m ＝1.综上，m 的值为0或1. 3．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，其中l 1∥l 2，且k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，则k 1＋k 2＋k 3的值是( )A ．1 B.32 C.72D ．1或72解析：选 D 由k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，解方程得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12，k 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 3＝－12.又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，所以k 1＋k 2＋k 3＝1或72.4．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为( ) A ．(－19，－62) B ．(19，－62) C ．(－19,62)D ．(19,62)解析：选A 设A (x ，y )，由已知，得AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，且直线AH ，BH 的斜率存在，所以⎩⎪⎨⎪⎧k AH ·k BC ＝－1，k BH ·k AC ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－1，y －3x ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62，即A (－19，－62)．5．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0)6．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a，1，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析：由题意得l 1∥l 2，∴k AB ＝k MN . ∵k AB ＝2－4a＝－a 2，k MN ＝－2－10－1＝3， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.答案：－67．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解：由斜率公式，得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－＋t －2t －－2t ＝－t－1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t.∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ， ∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 为平行四边形． 又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ， ∴四边形OPQR 为矩形．8．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m,2)，试求m 的值．解：如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.当m ＝1时，直线AB 的斜率不存在，此时l 2的斜率为0，不满足l 1∥l 2.当m ≠1时，直线AB 的斜率k AB ＝m －1－21－m ＝m －31－m，∴线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为k 2＝m －1m －3. ∵l 1与l 2平行， ∴k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。

第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率A级基础巩固一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A．0B．1C．2D．3解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错，不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．答案：A2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝()A．－32 B.32C．－1D．1解析：tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即y＋34－2＝1，所以y＝－1.答案：C3．若直线过点M(1，2)，N(4，2＋3)，则此直线的倾斜角为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：因为直线过点M (1，2)，N (4，2＋3)，所以该直线的斜率为k ＝2＋3－24－1＝33， 即tan α＝33，0°≤α＜180°， 所以该直线的倾斜角为α＝30°.答案：A4．如图所示，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．答案：A5．斜率为2的直线经过点A (3，5)、B (a ，7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值分别为( )A ．4，0B ．－4，－3C ．4，－3D ．－4，3解析： 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2. 解得a ＝4，b ＝－3.答案：C二、填空题6．直线l 的斜率为k ，倾斜角是α，－1＜k ＜1，则α的取值范围是________．解析：由题意即已知－1＜tan α＜1，0°≤α＜180°，求出α即可．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π 7．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________．解析：两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角互补． 答案：互补8．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0，2]．答案：[0，2]三、解答题9．已知交于点M (8，6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．解：因为k 2＝k MN ＝6－38－5＝1， 所以l 2的倾斜角为45°，又l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°.10．求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．解：当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°.当m≠1时，由斜率公式可得k＝3－2m－1＝1m－1.①当m＞1时，k＝1m－1＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°.②当m＜1时，k＝1m－1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°.B级能力提升1．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为() A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°解析：由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；又0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图所示)，故选D.答案：D2．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是________．解析：设P (a ，b )为l 上任一点，经过平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)，此时直线PQ 与l 重合，故l 的斜率k ＝k PQ ＝（b ＋1）－b （a －3）－a＝－13. 答案：－133．点M (x 、y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2，5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． 解：y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1）的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2，5]， 所以设该线段为AB 且A (2，4)，B (5，－2)，如图．因为k NA ＝53，k NB ＝－16所以－16≤y ＋1x ＋1≤53. 所以y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。

3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。

理解直线倾斜角的唯一性。

理解直线斜率的存在性。

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。

（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。

难点：倾斜角与斜率的关系的探究。

三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。

即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。

于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。

桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。

（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向 （3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。