直线与方程(经典例题)

第三章直线与方程一、选择题1．下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是()．A．2x－y＋1＝0 B．2x－4y＋2＝0C．2x＋4y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝02．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于错误!未找到引用源。

，则实数m＝()．A．－1 B．4 C．－1或4 D．－4或13．过点M(－2，a)和N(a，4)的直线的斜率为1，则实数a的值为()．A．1 B．2 C．1或4 D．1或24．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax―By―C＝0不经过的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是()．A．y＝－错误!未找到引用源。

x B．y＝－错误!未找到引用源。

(x－4)C．y＝错误!未找到引用源。

(x－4)D．y＝错误!未找到引用源。

(x＋4)6．直线l：mx－m2y－1＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是()．A．x―y―1＝0 B．2x―y―3＝0C．x＋y－3＝0 D．x＋2y－4＝07．点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是()．A．(2，1)，(－1，－2)B．(－1，2)，(1，－2)C．(1，－2)，(－1，2)D．(－1，－2)，(2，1)8．已知两条平行直线l1 : 3x＋4y＋5＝0，l2 : 6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝()．A．－12 B．48 C．36 D．－12或48 9．过点P(1，2)，且与原点距离最大的直线方程是()．A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝010．a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点()．A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。

30° B。

45° C。

60° D。

90°2.如果三个点A(3,1)。

B(-2,b)。

C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。

2 B。

3 C。

9 D。

-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。

y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。

y - 2 = 3/2(x - 1) C。

3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。

3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。

相交 B。

平行 C。

重合 D。

异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。

(-2,1) B。

(2,1) C。

(1,-2) D。

(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。

第一、二、三象限 B。

第一、二、四象限 C。

第一、三、四象限 D。

第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。

√(23/2) B。

√(2/23) C。

√(23+5) D。

√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。

y = -2x + 4 B。

y = (1/2)x + 4 C。

y = -2x - 3 D。

y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。

2 B。

1 C。

-1 D。

-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。

3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。

直线与直线方程经典题型题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（ ）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条；③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ；④如果两直线平行，则它们的斜率相等A. 0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。

【练习】已知两点()4,3-A ，()2,3B ，过点()1-2，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围。

【例4】若直线l 的方程为2tan +=αx y ，则（ ）A.α一定是直线l 的倾斜角B.α一定不是直线l 的倾斜角C.α—π一定是直线l 的倾斜角D.α不一定是直线l 的倾斜角【练习】设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、满足（ ）A.1=+b aB.1=b a —C.0=+b aD.0=b a —题型二：斜率的应用【例5】若点()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a 的值为_________________.【练习】若三点()()()b C a B A ,0,0,2,2， ()0≠ab 共线，则b a 11+的值为_____________. 【例6】已知实数y x 、满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求x y 的最大值为_______，最小值为_________________ 【练习】1、若45ln ,23ln ,12ln ===c b a ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<2、求函数1212+=x x y —的值域.题型三：两直线位置关系的判断已知，两直线21,l l 斜率存在且分别为21,k k ，若两直线平行或重合则有21__________k k ，若两直线垂直则有21__________k k .【例7】已知直线1l 的倾斜角为 60，直线2l 经过点()3,1，A ，()322—，—B ，判断直线1l 与2l 的位置关系.【练习】1、已知点()3,2P，()5,4Q ,()a A ，—1，()2,2a B 当a 为何值时，直线PQ 与直线AB 相互垂直？2、已知直线1m 经过点()()3,23—，，a B a A ，直线2m 经过点()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，求a 的值.【例8】在平面直角坐标系中，对R a ∈，直线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）.A 互相平行 .B 互相垂直.C 关于原点对称 .D 关于直线x y —=对称【练习】直线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 垂直，求a 的值.题型四：求直线方程（一）点斜式【例9】根据条件写出下列直线的方程：（1）经过点A(1,2),斜率为2；（2）经过点B （—1,4），倾斜角为 135；（3）经过点C （4,2），倾斜角为 90；（4）经过点D （—3，—2），且与x 轴平行.已知直线过一点，可设点斜式【练习】已知ABC ∆中，()()()0,26,241—，，—，C B A ，BC AD ⊥于D ,求AD 的直线方程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列直线的方程：（1）斜率为2，在y 轴上的截距是5；（2）倾斜角为 150，在y 轴的截距为—2；（3）倾斜角为 45，在y 轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式： 【练习】求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程.（三）截距式【例12】根据条件写出下列直线的方程：（1)在x 轴上的截距为—3，在y 轴上的截距为2；（2)在x 轴上的截距为1，在y 轴上的截距为—4；与截距相关的问题，可设截距式【练习】直线l 过点()3,4P ，且在轴轴、y x 上的截距之比为1:2，求直线l 的方程.（四）两点式【例11】求经过下列两点的直线方程：（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)适时应用“两点确定一条直线”【练习】过点()1,0M作直线l ，使他被两条已知直线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB 被点M 平分.求直线l 的方程.【例12】1、已知点A （3,3）和直线l ：2543—x y =.求： （1）经过点A 且与直线l 平行的直线方程；（2）经过点A 且与直线l 垂直的直线方程.2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试求AB 边上的高的直线方程.(思考：如果求AB 边上的中线、角平分线呢？）【例13】已知直线l 的斜率为2，且l 和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l 的方程为________________．【练习】已知，直线l 经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________________【例14】直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（ ）A.00>≤b k 且B.00<≥b k 且C.00><b k 且D.00>>b k 且【练习】两条直线y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）A五、直线的交点坐标与距离公式1、求两条直线的交点（联立方程组）例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+21=0相交于一点，则k=（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。

直线与方程例题一、直线的倾斜角与斜率1．判定(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )(2)一个倾斜角α不能确信一条直线．( )(3)斜率公式与两点的顺序无关．( )【解析】(1)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(2)正确．确信平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(3)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的顺序能够同时调换．【答案】(1)×(2)√(3)√2．斜率不存在的直线必然是( )A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．【答案】B3．假设过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，那么y等于()A．－3 2C．－1D．1【解析】k AB＝y＋34－2＝tan 45°＝1，即y＋32＝1，∴y＝－1.【答案】C4．如图1­1所示，直线l1，l2，l3的斜率别离为k1，k2，k3，那么k1，k2，k3之间的大小关系为________．图1­1【解析】设l1，l2，l3的倾斜角别离为α1，α2，α3，那么由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，因此tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1<k3<k2.【答案】k1<k3<k25．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，那么实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】26．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1x＋1的取值范围.【解】y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，设直线NA，NB的斜率别离为k NA，k NB.∵k NA＝53，k NB＝－16，∴－16≤y＋1x＋1≤53.∴y＋1x＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.2、直线的方程1．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2)．【答案】 (3,2)2．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过必然点，那么那个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，因此直线过定点(－2,3)． 【答案】 B3．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【答案】 B4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，因此所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3、直线的交点坐标和距离公式1．已知点A (－1,2)，点B (2,6)，那么线段AB 的长为__________． 【解析】 由两点间距离公式得|AB |＝(2＋1)2＋(6－2)2＝5. 【答案】 52．假设点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，那么|OP |的最小值是________. 【解析】 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】 223．已知x ＋y －3＝0，那么(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________． 【解析】 设P (x ，y )，A (2，－1)， 那么点P 在直线x ＋y －3＝0上， 且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 【答案】24．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，那么l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1D ．2【解析】 法一：在l 1上取一点(1，－2)，那么点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.法二：d ＝|1－(－1)|12＋12＝ 2. 【答案】 B5．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】设对称点坐标为(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)直线与方程练习题1．直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为() A．30°B．60°C．150° D．120°解析：选C.∵直线的斜率k＝－33，∴tan α＝－33.又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率别离为k1、k2、k3，那么()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，因此0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，应选D.3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：选D.由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是() A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，那么倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象能够是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y －a ＝1.假定l 1，判定a ，b ，确信l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，那么x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54. A ，B ，C 三点共线，因此k AB ＝k AC 即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－37．直线l 通过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．那么直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，那么tan α≤1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α知足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，那么直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原先位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13 B ．－3D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－AB ＝－13，即直线l 的斜率为－13，应选A.10．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，那么直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，因此直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，因此k AB ＝－k OA ＝－3，因此直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)． 11．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要通过第一、第二、第四象限，那么a ，b ，c 应知足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0通过第一、二、四象限，因此直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－ab ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.12．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，那么a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或a ＜－1或a ＞0.综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)。

直线与方程练习题一、填空题1. 直线斜率为2，过点(-1, 3)，则直线方程为__________。

2. 直线过点(2, -5)和点(4, 1)，则直线方程为__________。

3. 直线过点(-3, 4)且与x轴垂直，则直线方程为__________。

4. 直线过点(0, 7)且平行于y轴，则直线方程为__________。

5. 直线过点(3, -2)且平行于直线2x + 3y = 1，则直线方程为__________。

二、选择题1. 斜率为3，过点(1, 2)的直线方程可能是：A. y = 3x + 1B. y = 3x - 1C. y = -3x + 1D. y = -3x - 12. 过原点(0, 0)且垂直于直线2x + 3y = 6的直线方程可能是：A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -23. 过点(2, -5)且平行于直线3x - 2y = 9的直线方程可能是：A. 3x - 2y = 19B. 3x - 2y = -19C. 3x - 2y = 4D. 3x - 2y = -44. 过点(3, 4)且平行于x轴的直线方程可能是：A. x = 3B. x = -3C. y = 3D. y = -35. 过点(-2, 1)且与直线4x + 5y = 10垂直的直线方程可能是：A. 5x - 4y = 10B. 5x - 4y = -10C. 4x + 5y = 2D. 4x + 5y = -2三、应用题1. 设直线L过点(1, 2)和点(4, 7)，求直线L的斜率和截距，并写出直线L的方程。

2. 已知直线L过点(-3, 5)且与x轴垂直，求直线L的方程。

3. 直线L过点(1, -4)且平行于直线2x - 3y = 6，求直线L的方程。

4. 直线L过点(-2, -1)且平行于y轴，求直线L的方程。

5. 直线L过点(3, 2)且与直线3x - 4y = 5垂直，求直线L的方程。

级 名倾斜角α的取值范围： . 角α与斜率 pp 平行的直线方程可设为 ， ⇔PP的距离为 “直线定界，特殊点定域＝－a b x ＋z b ，距z b距zb取距z b取距zb 取距z b取22()()x a y b -+-表示表示22x y +示 示示 示 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 [[3π，)a －2a ＋1＝a ＋，－2≤0，－a ＋＝－2≤0，≤－≤－1. 1.103)线所在的直线方程为0104=+-y x ，求BC 边所在的直线方程。

边所在的直线方程。

答案：得B （10，5），A 的对称点（1，7），故BC 方程为06592=-+y x例6 6 ．设．设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +³ìï-³-íï-£î则则z x y =+（ ）A ．有最小值2,2,最大值最大值3 3B B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3,3,无最大值无最大值无最大值D D D．既无最小值．既无最小值．既无最小值,,也无最大值也无最大值 此题中，y x 的最大值是的最大值是2 最小值是最小值是 0 22x y +的最小值是的最小值是 165例7． 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +³ìï-³-íï-£î，目标函数2z ax y =+仅在点（仅在点（11，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）(A) (A) （（1-，2 2 ）） (B) (B) （4-，2 ） (C) (4,0]- (D) (2,4)-作业：作业：1．已知点A (1(1，－，－，－2)2)2)，，B (m,2)2)，且线段，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是的值是( ( )A ．－．－2B 2 B 2 B．－．－．－7 7 7C C ．3D D．．12．直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点变化时，所有的直线恒过定点 ( ( )A ．(1,3)B (1,3) B．．(－1，－，－3) 3) 3)C C ．(3,1)D D．．(－3，－，－1) 1) 3、直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是所得的直线方程是( ( ) A ．x －2y ＋4＝0 B B．．x ＋2y －4＝0 C 0 C．．x －2y －4＝0 0 D D ．x ＋2y ＋4＝04、在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点内，过点(0,1)(0,1)(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是( ( )A.π6B.B.π4C.π3 D.3π45、已知变量,x y 满足约束条件2823y xx y x y £ìï-£íï+³î,则目标函数62z x y =-的最小值为的最小值为（ ）A ．32B ．4C ．8D ．26、若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-³ìï--£íï-+³î且x y +的最大值为9，则实数m =( )（A ）2- （（B ）1- （（C ）1 （（D ）27．直线l 过点P (－2,3)2,3)，且与，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若点P 恰为AB 的中点，则直线l 的方程为________________．．3x －2y ＋1212＝＝08．在直角坐标系中，若不等式组ïîïíì++££-³1)1(00x k y y x x 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是___（-1，1）__ 9、 给出平面区域如图所示给出平面区域如图所示..若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是围是 （－（－（－ 125，－，－ 310）. .1010．已知直线．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4(4－－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，平行，则k= 3或5 l 1与l 2的距离为的距离为________________________．．55210或1111．已知两条直线．已知两条直线l 1：(3(3＋＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5(5＋＋m )y ＝8.8.当当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)(1)相交？相交？相交？ (2) (2) (2)平行？平行？平行？ (3) (3) (3)垂直？垂直？垂直？[解析] (1)(1)当当m ＝－＝－55时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－≠－55时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m4，k 2＝－25＋m， 它们在y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m . 由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m，即m ≠－≠－77，且m ≠－≠－1. 1.∴当m ≠－≠－77，且m ≠－≠－11时，l 1与l 2相交．相交．(2)(2)由由îïíïìk 1＝k 2，b 1≠b 2，得îïíïì－3＋m 4＝－25＋m，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－＝－7. 7.∴当m ＝－＝－77时，l 1与l 2平行．平行．(3)(3)由由k 1k 2＝－＝－11，得－3＋m 4·(－25＋m)＝－＝－11，m ＝－133.＝－时，11，使得y O A xBP(3, 1)【答案】【答案】AB=AB=22(16)(42)29-+-=，直线AB 的方程为264216y x --=--，即25220x y +-=，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积等于1414，，设C 的坐标为(,)m n ，则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C 到直线AB 的距离为|2522|29m n d +-=，由于三角形ABC 的面积等于1414，则，则11|2522|29142229m n AB d +-××=××=，|2522|28m n +-=，即2550m n +=②或256m n +=-③.联立①②解得13511m =，5611n=；联立①③解得3m =-，0n =.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C 13556(,)1111或(3,0)-，使得三角形ABC 的面积等于14.。

直线与方程一、选择题1.若A －2,3,B 3,－2,C ),21(m 三点共线,则m 的值为A.B ．－C ．－2D ．22.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是3.两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是A.B.C. D. 4.直线l 1：3－ax ＋2a －1y ＋7＝0与直线l 2：2a ＋1x ＋a ＋5y －6＝0互相垂直,则a 的值是A ．－B.C. D.5.直线kx －y ＋1－3k ＝0,当k 变动时,所有直线都通过定点A ．0,0B ．0,1C ．3,1D ．2,16.已知A 2,4与B 3,3直线l 对称,则直线l 的方程为A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝07.已知直线l 过点1,2,且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍,则直线l 的方程为A ．x ＋2y －5＝0B ．x ＋2y ＋5＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －5＝0D ．2x －y ＝0或x －2y ＋3＝08.直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－x ＋1的交点在第一象限,则k 的取值范围是 A.)1,32(- B.)0,32(-C ．)1,0( D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,32 9.经过点2,1的直线l 到A 1,1、B 3,5两点的距离相等,则直线l 的方程A ．2x －y －3＝0B ．x ＝2C ．2x －y －3＝0或x ＝2D ．以上都不对10．直线l 过点P 1,3,且与x ,y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0二、填空题11.直线l 方程为y －a ＝a －1x ＋2,且l 在y 轴上的截距为6,则a ＝________.12.已知点m,3到直线x ＋y －4＝0的距离等于,则m 的值为________.13.经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点,且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．14.已知A ,B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上,且线段AB 的中点为)10,0(aP ,则线段AB 的长为________． 三、解答题15.已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0,l 2：m －2x ＋3my ＋2m ＝0,当m 为何值时,l 1与l 2 1相交；2平行；3重合．16.若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点,经x 轴反射后其反射线所在直线为l ,求l 的方程．17．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的方程为2x ＋k －3y －2k ＋6＝0,k ∈R . 1若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为1,求坐标原点O 到直线l 的距离； 2若直线l 与直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0分别相交于A ,B 两点,点P 0,2到A 、B 两点的距离相等,求k 的值．18.已知△ABC 的顶点B －1,－3,AB 边上高线CE 所在直线的方程为x －3y －1＝0,BC 边上中线AD 所在的直线方程为8x ＋9y －3＝0.1求点A 的坐标；2求直线AC 的方程．直线与方程答案1—5：ACCBC6-10：DCACA11：12：－1或313：2x＋3y－2＝014：1015：解当m＝0时,l1：x＋6＝0,l2：x＝0,∴l1∥l2.当m＝2时,l1：x＋4y＋6＝0,l2：3y＋2＝0,∴l1与l2相交．当m≠0且m≠2时,由＝,得m＝－1或m＝3,由＝,得m＝3.故1当m≠－1且m≠3且m≠0时,l1与l2相交．2当m＝－1或m＝0时,l1∥l2.3当m＝3时,l1与l2重合．16：解直线x－2y＋5＝0与x轴交点为P－5,0,反射光线经过点P.又入射角等于反射角,可知两直线倾斜角互补．∵k1＝,∴所求直线斜率k2＝－,故所求方程为y－0＝－x＋5,即x＋2y＋5＝0.17：解1令x＝0时,纵截距y0＝2；令y＝0时,横截距x0＝k－3；则有k－3＋2＝1k＝2,所以直线方程为2x－y＋2＝0,所以原点O到直线l的距离d＝＝.2由于点P0,2在直线l上,点P到A、B的距离相等,所以点P为线段AB的中点．设直线l与2x－y－2＝0的交点为Ax,y,则直线l与x＋y＋3＝0的交点B－x,4－y,由方程组解得即A3,4,又点A在直线l上,所以有2×3＋k－3×4－2×k＋6＝0,即k＝0.18：解1设点Ax,y,则解得故点A的坐标为－3,3．2设点Cm,n,则解得m＝4,n＝1,故C4,1,又因为A－3,3,所以直线AC的方程为＝,即2x＋7y－15＝0.。

直线与方程习题(带答案)直线与方程题（带答案）一、选择题1.若直线x=1的倾斜角为α，则α()．A。

等于0B。

等于π/2C。

等于πD。

不存在斜率2.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A。

k1＜k2＜k3B。

k3＜k1＜k2C。

k3＜k2＜k1D。

k1＜k3＜k23.已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝()．A。

2B。

－2C。

4D。

14.已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A。

π/3B。

2π/3C。

π/4D。

3π/45.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限6.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()．A。

x＋y－5＝0B。

2x－y－1＝0C。

2y－x－4＝0D。

2x＋y－7＝07.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．A。

19x－9y＝0，19y＝0B。

9x＋19y＝0C。

19x－3y＝0D。

3x＋7y＝08.直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A。

3B。

－3C。

1D。

－19.将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()．A。

a/(a＋1)B。

－a/(a＋1)C。

(a＋1)/aD。

－(a＋1)/a10.点(4，5)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是()．A。

(－6，8)B。

(6，－8)C。

(－6，－8)D。

(6，8)二、填空题11.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为tan(75°)或2＋√3.12.若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)共线，则m的值为－1.13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为D(2，3)。

直线与方程经典例题【考点指要】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求。

解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。

【综合例题分析】例1. 已知圆22440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是__________。

答案：22解析：由题意圆的方程22440x x y --+=可化为()2228x y -+=∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得22)1(1|1-(-1)012|d 22=-+⨯+⨯=例2.若曲线21y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。

答案：k=0且-1<b<1 解析：由y x x x x x 211010=+=+>-+<⎧⎨⎩||，，画出图象得设图象与y 轴的交点分别为()()0101A B -，、，，过点A B 、作平行于x 轴的直线，根据题意，直线y kx b =+与曲线没有公共点，则只能与x 轴平行且在虚线区域内移动。

评述：由于曲线方程中含有绝对值，所以先分情况去掉绝对值符号，若联立方程组2211y x y x y kx b y kx b⎧⎧=+=-+⎨⎨=+=+⎩⎩或，分别利用判别式“△<0”去求解没有公共点的情况，题目会变的非常烦琐。

借助于图象既快捷又直观，利用数形结合是解决这类题目非常有效的方法。

例3. 设过()P x y ，点的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A B 、两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程为（ ） A. )0,0(123x 322>>=+y x y B. )0,0(123322>>=-y x y x Ｃ.)0,0(132322>>=-y x y xＤ.)0,0(132322>>=+y x y x 答案：Ｄ解析：设过点()P x y ，的直线方程为)0,0(><+=b k b kx y ，则(),0,0,b A B b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意知点Q 与点P 关于y 轴对称，得(),Q x y -，又()0,0O∴()()0,2,00,00,01b x y b x y k b x y b k ⎧⎛⎫--=--- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎪---⋅---= ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ 即3231b x k b y b x by k⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪-+=⎩，得223312x y +=0,0,0,0>>∴><y x b k评述：此题体现了直线与向量知识的综合运用，向量的坐标运算和解析几何关系密切。

直线与方程精选50题1、求过点()5,3，倾斜角等于直线13+=x y 的倾斜角的一半的直线方程.★2、已知直线l 的倾斜角为α，53sin =α，且这条直线经过点()5,3P ，求直线l 的一般式方程.★3、已知矩形OACB 的顶点的坐标分别为()()()5,00,80,0B A O 、、，求该矩形的对角线所在直线方程.4、已知直线0632=+-y x ，这条直线的点方向式可以是________________★5、求过点P 且平行于直线0l 的一般式方程：（1）()04:,1,20=+x l P ★（2）()07143:,2,10=++y x l P6、求过点P 且垂直于直线1l 的直线的一般式方程：（1）()03:,1,21=-y l P（2）4231:),1,2(1+=---y x l P ★7、求满足下列条件的直线方程（1）直线l 经过()()7,3,0,2B A 两点★（2）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 平行★（3）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 垂直★8、已知直线()0816:1=--+y t x l 与直线()()01664:2=-+++y t x t l（1）当t 为何值时，21l l 与相交？（2）当t 为何值时，21l l 与平行？（3）当t 为何值时，21l l 与重合？（4）当t 为何值时，21l l 与垂直？★9、已知直线08:1=++n y mx l 与直线012:2=-+my x l .当直线1l 与直线2l 分别满足下列条件时，求实数m 、n 的值（1）直线1l 与直线2l 平行；（2）直线1l 与直线2l 垂直，且直线1l 在y 轴上的截距为1-..★10、根据下列条件，写出满足条件的直线的一般式方程.★（1）经过直线012=+-y x 与直线0122=-+y x 的交点，且与直线05=-y x 垂直.（2）经过直线01=+-y x 与直线022=+-y x 的交点，且与直线1243=+y x 平行.11、已知直线2:1++=k kx y l 与直线42:2+-=x y l 的交点在第一象限，求实数k 的范围.★12、已知集合(){}R y x y x y x A ∈=--=、,01|,,集合(){}R y x y ax y x B ∈=+-=、,02|,,且φ=⋂B A ，求实数a 的值.13、是否存在实数a ，使直线()()0121:1=--+-y a x a l 与直线()03326:2=--+y a x l 平行？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.★14、求过点()3,2P 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程★15、若坐标原点O 在直线l 的射影H 的坐标为()2,4-，求直线l 的方程★16、已知平面内三点()()()2,14,33,1---C B A 、、，点P 满足BC BP 23=，则直线AP 的方程是17、已知()()4,1,1,3--B A ，则线段AB 的垂直平分线方程是★18、已知三点()()()a C B a A 2,4,1,5,2,-共线，则实数a 的值是___________________19、不论m 取何实数，直线()()()01131=--+--m y m x m 恒过什么象限？20、分别写出下列直线的一个方向向量d 和一个法向量n ★（1）0543=-+y x（2）152=+y x （3）()5413+-=-x y （4）1=x（5）01=+y21、已知0,0<<bc ac ，则直线0:=++a cy bx l 不通过_______________象限22、直线l 的倾斜角的正弦值为54，则其斜率为______________★ 23、过()()a B a a A 2,3,1,1+-的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围★24、直线l 的斜率k 满足13<≤-k ，求其倾斜角的取值范围★25、直线l 的倾斜角是()()2,6,1,2--B A 两点连线的倾斜角的两倍，求直线l 的倾斜角的大小26、直线l 过点()2,1且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的方程★27、求直线()R y x ∈=-+αα010cos 的倾斜角的取值范围28、直线()()039372:222=+-++-a y a x a a l 的倾斜角大小是4π，求实数=a __________★29、方程x k y =与方程()0>+=k k x y 的曲线有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是____________________30、过点()()3,0,0,4B A 的直线的倾斜角大小是________________★31、将直线033=++y x 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转︒30后，所得的直线方程是★32、将直线0943=+-y x 绕其与x 轴的交点逆时针旋转︒90后得到直线l ，求直线l 的方程★33、ABC ∆的一个顶点()4,3B ，AB 边上的高CH 所在直线方程是01632=-+y x ，BC 边上的中线AM 所在的直线方程是0132=+-y x ，求边AC 所在直线方程.34、已知直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率k 和倾斜角α★35、过点()4,5-P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5个面积单位，求直线l 的方程★36、直线()()01213:=----y a x a l （其中a 为实数）★（1）求证：不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）已知直线l 不通过第二象限，求实数a 的取值范围37、已知()()2211,,,y x B y x A 为直线()0≠+=k b kx y 上的两点（1）求证：2121x x k AB -+=；（2）根据（1）的形式特征，用21,,y y k 表示AB38、已知ABC ∆中，顶点()7,2-A ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0113=++y x ，AB 边上中线CM 所在的直线方程072=++y x ，求ABC ∆三边所在直线方程39、从点()2,5A 发出的光线经过x 轴反射后，反射光线经过点()3,1-B ，求发射光线所在直线与x 轴的夹角大小★40、求经过0332:01:21=++=++y x l y x l 和的交点且与直线0523=-+y x 的夹角为4π的直线方程★'41、已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点是()2,4，直角边AC 所在的直线方程是02=-y x ，求斜边AB 和直角边BC 所在直线的方程42、光线沿直线052=+-y x 的方向入射到直线0723=+-y x 后反射出去，求反射光线所在的直线方程43、已知()()8,4,3,2-B A 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程★44、已知平行直线21l l 与的距离为5，且直线1l 经过原点，直线2l 经过点()3,1，求直线1l 和直线2l 的方程★45、已知直线l 过点()1,0P ，且被平行直线0243:0843:21=++=-+y x l y x l 与所截得的线段的长为22，求直线l 的方程46、求与直线032012=+-=+-y x y x 和距离相等的点的轨迹47、已知点()4,3P 到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线是___________________★48、过点()2,1P 的所有直线中，与原点距离最大的直线方程是______________49、直线l 经过直线002477=-=-+y x y x 与直线的交点，且原点到直线l 的距离为512，则直线l 的方程为★50、经过直线032=-+y x 和直线0624=--y x 的交点，且与y 轴平行的直线方程为★。

直线与方程练习题一、选择题1. 已知直线l1的方程为\( y = 2x + 3 \)，直线l2的方程为\( x - y + 2 = 0 \)，这两条直线的交点坐标为：A. (-1, 1)B. (1, 3)C. (-2, 0)D. (0, 2)2. 直线\( 3x + 4y - 5 = 0 \)在x轴上的截距为：A. 5/3B. 5C. -5/3D. 03. 直线\( ax + by + c = 0 \)与直线\( dx + ey + f = 0 \)平行，那么：A. \( a/d = b/e \) 但 \( c/f \neq a/d \)B. \( a/d = b/e = c/f \)C. \( a = d \) 且 \( b = e \)D. \( a/d \neq b/e \)二、填空题4. 若直线\( 2x - 3y + 6 = 0 \)与直线\( x + y - 2 = 0 \)平行，则两直线间的距离为______。

5. 直线\( y = kx + b \)经过点(1, 0)和点(0, -1)，求k和b的值，k=______，b=______。

三、解答题6. 已知直线\( 2x - y + 4 = 0 \)与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求点A和点B的坐标。

7. 求直线\( 3x - 4y + 12 = 0 \)的斜率和在y轴上的截距。

8. 已知点P(2, 3)在直线\( 2x + y - 6 = 0 \)上，求直线的斜率和方程。

9. 若直线\( x + y - 2 = 0 \)绕其上的点(1, 1)旋转90度，求旋转后的直线方程。

10. 已知直线\( 2x - y + 5 = 0 \)和点M(1, 2)，求点M到直线的距离。

四、证明题11. 证明：如果两条直线垂直，那么它们的斜率乘积为-1。

12. 证明：直线\( ax + by + c = 0 \)的法向量为\( (a, b) \)。

直线与方程知识点与经典例题一、知识点（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 性质：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=0°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大.（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即 当[)90,0∈时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

1．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的 坐标．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意， 由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 2．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33. 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小．解 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率． 由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a.4．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53， 则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3.5. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ， k PQ ＝2＋t －t1－2t －1＝2－2t＝－1t . ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ .∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形．6．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4，2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)．(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧ k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1 ∴⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85. 综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.7．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程．解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|.解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0 8．△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：△ABC 为等腰三角形．证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．9．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，7∴反射光线与直线l的交点坐标为⎝⎛⎭⎫8，3.。