诸暨中学2019学年高二(实验班)期中考试数学试题Word版含答案

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试时间：上午 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则=⋂B A ( ) A ．]2,2[- B ．)1,2[- C ．]2,1( D ．),2[+∞- 2.在空间中，下列命题正确的是（ ）A.三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B 若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βC 若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//mD 若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥3.直线03=+y x 被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A 1B 2C 3D 324．在ABC ∆中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“ 90=C ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．2 6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）A.34 B.32C. 3 D ．2 37、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A 、1000N P =B 、 41000N P =C 、1000MP =D 、41000MP =8.在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若7321...a a a a a k ++++=，则k =( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．259.已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A,B 两点，且-=+,其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2或-2 D 6或6-10．若()f x 是R 上的减函数,且(0)3,(3)1f f ==-，设{}1()3P x f x t =-<+<，{}()1Q x f x =<-，若“”x P x Q ∈∈“” 是的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．0t ≤B ．0t ≥C ．3t ≤-D ．3t ≥-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.若数据组821,...,,k k k 的平均数为3，方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k +++的方差为______。

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市诸暨中学（实验班）高二上学期期中数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A 在xOy 平面上的射影的坐标为( ) A ．()1,2,0B ．()1,0,3C ．()0,2,3D ．()12,0--， 【答案】A【解析】过点()1,2,3A 作平面xOy 的垂线，垂足即为射影，横、纵坐标不变，竖坐标为0，结合图象，从而可求出射影坐标.【详解】空间直角坐标系中，点()1,2,3A ，过点()1,2,3A 作平面xOy 的垂线AQ ， 垂足Q 即为射影，则点Q 的坐标为()1,2,0.故选：A【点睛】本题考查空间中点的射影的求法，属于基础题.2．椭圆221925x y +=的焦点为1F ，2F ，AB 是过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长为( ) A ．20B ．12C ．10D ．6【答案】A【解析】根据椭圆的标准方程求出a ，再利用椭圆的定义即可求解.【详解】由椭圆的方程221925x y +=得椭圆的焦点在y 上， 225,a = 故5a =，根据椭圆的定义可知：12210F A AF a +==12210F B BF a +==∴2ABF ∆的周长为:22121220AB AF BF F A AF F B BF ++=+++=.故选：A【点睛】本题考查了焦点三角形周长，考查了椭圆的定义，属于基础题.3．设曲线1-1x y x +=在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=垂直,则a 等于( ) A ．2B ．-2C ．12D ．-12 【答案】B【解析】函数的导函数为y′＝()221x --，所以函数在(3,2)处的切线斜率为k ＝－12，直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a·(－12)＝－1，解得a ＝－2，选B ． 4．已知平面α⊥平面β，直线m 满足m α⊄，则“m αP ”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用空间线面、面面垂直与平行的关系即可判断出结论．【详解】平面α⊥平面β，则“m αP ”⇒“βm P 或m ⊂β或m 与β相交”，反之，平面α⊥平面β，令平面α⊥平面β=l ，在l 上任取一点A ，在α内过A 作AB ⊥l ，则AB ⊥平面β，又m ⊥β，可得m AB P ，∴m αP ；则“m αP ”是“m ⊥β”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了空间线面面面垂直与平行的关系、简易逻辑的判定方法，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了推理能力，属于基础题．5．已知函数()ln cos2f x x =，则()f x 的导函数()f x '=( )A ．1cos 2xB ．2tan 2x -C ．tan 2xD ．cos 22sin 2x x- 【答案】B【解析】根据复合函数求导法则即可求解.【详解】由函数()ln cos2f x x =，令2x μ= 则()()11()cos sin 222tan 2cos cos 2f x x x xμμμ''=⋅⋅=⋅-⋅=-'. 故选：B【点睛】本题考查了复合函数的导数求法，解题的关键是掌握基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则，属于基础题. 6．已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c ，E 的一条渐近线被圆222()3x c y a -+=截得的弦长为2a ，则E 的离心率是( )A ．B ．2CD ．3【答案】C【解析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆222()3x c y a -+=截得的弦长为2a ，可得=，即可求出双曲线的离心率.【详解】双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为 0bx ay +=，Q 渐近线被圆222()3x c y a -+=截得的弦长为2a ，222232bc a a a b a ∴=-=+，2b a ∴=，即222b a =，2222c a a ∴-=，解得3e =.故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，同时考查了双曲线渐近线方程的求法以及点到直线的距离公式，属于基础题.7．若二面角为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线,m n 所成角的取值范围是 （ ）A ．(0,)2πB ．[,]62ππC ．[,]32ππD ．[,]63ππ 【答案】C【解析】如图，设m 上一点P 在平面,αβ内的垂足为,A B ，过点A 作,αβ交线l 的垂线，垂足为C ，连接BC ，则可得ACB ∠是二面角l αβ--的平面角，故56ACB π∠=，则6ACD π∠=．因为异面直线所成角最大为2π，而m l ⊥，所以当//n l 时，,m n 所成角取到最大值2π．而β所在平面内的直线与m 所成的角中最小的角是线面角，所以当n 为直线BC 或//n BC 时，因为6ACD π∠=，所以此时,m n 所成角为3π，,m n 所成角的最小值为3π．所以,m n 所成角的取值范围为[,]32ππ，故选C 8．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于A B ，两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，则p =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】设过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于()()1122,,A x y B x y ，两点，则12AB x x p =++，又因为以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，所以1268AB x x p p =++=+=，解得2p =.故选B. 点睛：涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.9．已知在矩形ABCD 中，2AD AB =，沿直线BD 将△ABD 折成A BD 'n ，使得点A '在平面BCD 上的射影在BCD n 内（不含边界），设二面角A BD C '--的大小为θ，直线A D ' , A C '与平面BCD 中所成的角分别为,αβ，则（ ）A ．αθβ<<B ．βθα<<C ．βαθ<<D ．αβθ<<【答案】D【解析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD 上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．【详解】如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴BA′⊥A′D ，当A′点在底面上的射影O 落在BC 上时，有平面A′BC ⊥底面BCD ，又DC ⊥BC ，可得DC ⊥平面A′BC ，则DC ⊥BA′， ∴BA′⊥平面A′DC ，在Rt △BA′C 中，设BA′=1，则2，∴A′C=1，说明O 为BC 的中点；当A′点在底面上的射影E 落在BD 上时，可知A′E ⊥BD ，设BA′=1，则'A D =∴， 要使点A′在平面BCD 上的射影F 在△BCD 内（不含边界），则点A′的射影F 落在线段OE 上（不含端点）．可知∠A′EF 为二面角A′﹣BD ﹣C 的平面角θ，直线A′D 与平面BCD 所成的角为∠A′DF=α，直线A′C 与平面BCD 所成的角为∠A′CF=β，可求得DF ＞CF ，∴A′C ＜A′D ，且'13A E =，而A′C 的最小值为1， ∴sin ∠A′DF ＜sin ∠A′CF ＜sin ∠A′EO ，则α＜β＜θ．故选D ．【点睛】本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，考查了正弦函数单调性的应用，是中档题．10．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-??C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A【解析】【详解】 构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f x g x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e =，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题11．双曲线2212x y -=的渐近线方程是____；焦点坐标____.【答案】2y x =± (0) 【解析】直接根据双曲线的简单性质即可求出．【详解】 解：在双曲线222x y -=1中，a 2＝2，b 2＝1， 则c 2＝a 2+b 2＝3，则a =b ＝1，c =故双曲线222x y -=1的渐近线方程是y ＝，焦点坐标（0），故答案为：y ＝±2x ，（0） 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ；体积是______3cm .【答案】845+ 4【解析】根据几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，由三视图求出几何体中的各个边的长度，利用柱体的表面积公式及体积公式求得结果即可．【详解】根据几何体的三视图得：该几何体是如图所示的直三棱柱，其底面三角形ABC 是正视图中的三角形，底边为2cm ，高为2cm ，由俯视图知直三棱柱的高为2cm ，所以该几何体的体积V 12222=⨯⨯⨯=4（cm 3）， 则该几何体的表面积S 表面积＝21222522⨯⨯⨯+⨯⨯+2×2＝845+（cm 2）， 故答案为845+，4．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13．函数2ln 2x y x =-的单调递增区间为________；最小值为________. 【答案】(1,)+∞ 12【解析】首先求出函数的定义域，然后再求出导函数，令导函数大于零解不等式即可求出单调增区间，再利用函数的单调性即可求出最小值.【详解】函数2ln2xy x=-的定义域为()0,∞+，1y xx'=-，令0y'>，即1xx->，解得1x>，故函数的单调递增区间为(1,)+∞，令0y'<，即1xx-<，解得01x<<，所以函数的单调递减区间为()0,1，所以2min1ln1221y=-=.故答案为：(1,)+∞；12【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、最值中的应用，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14．已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设OP xOA yOB zOC=++u u u r u u r u u u r u u u r，则x y z++=________；x=________.【答案】112【解析】利用向量加法的平行四边形法则即可求解.【详解】如图，()()111222OP OA OD OA OB OC⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦uu u r uu r uuu r uu r uu u r uuu r111244OA OB OC xOA yOB zOC=++=++uu r uu u r uuu r uu r uu u r uuu r,所以111,,244x y z ===，所以1x y z ++=，12x =. 故答案为：1；12 【点睛】本题考查了向量加法的几何意义，需掌握平行四边形法则，属于基础题.15．已知函数32()f x x x x a =--+有三个零点，则实数a 的取值范围为________. 【答案】5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据题意求出函数的导函数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于0，极小值小于0，即可得到答案.【详解】由题意可得：函数32()f x x x x a =--+，所以()2321f x x x '=--， 令()0f x '>，则1x >或13x <-， 令()0f x '<，则113-<<x ， 所以函数的单调增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以当13x =-时函数有极大值，15327f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 当1x =时函数有极小值，()11f a =-，因为函数32()f x x x x a =--+有三个零点， 所以150327f a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭且()110f a =-<， 解得5127a -<<，故实数a 的取值范围为5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：5,127⎛⎫-⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了函数的零点个数求参数的取值范围，属于基础题.16．已知抛物线2y x =上存在两点M ，N 关于直线3y x =+对称，则||MN =________.【答案】【解析】设抛物线2y x =上关于直线3y x =+对称两点为M ()11,,x y N ()22,x y ，中点为()00,P x y ，所以1201202,2x x x y y y +=+=，将点代入抛物线两式相减求出中点P ，然后再求出直线MN 的方程，将方程与抛物线联立求出M ，N ，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设抛物线2y x =上关于直线3y x =+对称两点为M ()11,,x y N ()22,x y ，中点为()00,P x y ，所以1201202,2x x x y y y +=+=，211222y x y x ⎧=∴⎨=⎩，两式相减得()()()1212120122y y x x x x x x x -=+-=-， 所以1201221y y x x x -==--，解得012x =-，将012x =-代入3y x =+，可得052y =， 所以直线MN 的方程为：51122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即2y x =-+， 由22y x y x ⎧=⎨=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=⎩，所以||MN ==故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线相交求弦长，属于基础题. 17．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 【答案】3【解析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126AO AO ==，易知232sin 6θ==3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.三、解答题18．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，点()()114,0A y y <在抛物线上，且||5AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知(1,2)P ，点B 在抛物线C 上，且PA PB ⊥，求B 点坐标. 【答案】（1）24y x =；（2）(9,6)B .【解析】（1）利用抛物线的定义，建立方程即可求出p 的值，进而确定答案. （2）设出点B ，利用向量的数量积即可求解. 【详解】 （1）由题可知452p+=，2p ∴=， 故抛物线C 的方程为：24y x =.（2）将4x =代入抛物线方程，由10y <可得14y =-，故()4,4A -，点B在抛物线C上，不妨设20 ,4yB y⎛⎫⎪⎝⎭，所以()3,6PA=-u u u r，21,24yPB y⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u r，因为PA PB⊥，所以0PA PB⋅=u u u r u u u r,即()()2316204yy⎛⎫-+--=⎪⎝⎭，解得02y=或6y=，又因为B与P不能重合，故06y=，故B点坐标(9,6).【点睛】本题考查了抛物线的定义，同时考查了向量数量积的坐标运算，属于中档题.19．如图，正三棱柱111ABC A B C-中，1AA AB=，D为AC中点.（1）求异面直线1AB与BD所成角的余弦值；（2）求直线1A B与平面1BC D所成角的正弦值.【答案】（1）64（2）105.【解析】（1）取11A C的中点E，连接1,B E AE,可得1AB E∠为异面直线1AB与BD所成角，设正三棱柱的棱长为1，在1AB E∆中，利用余弦定理即可求解.（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，求出平面1BC D的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）取11A C 的中点E ，连接1,B E AE ,根据题意可得1//BD B E ，1AB E ∠为异面直线1AB 与BD 所成角， 设正三棱柱111ABC A B C -的底边边长为1，则11AA AB ==，所以12AB =,13B E =,215122AE ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 在1AB E ∆中，由余弦定理可得1352644cos 3222AB E +-∠==⨯⨯. （2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则11,0,1 2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0D，11,0,12C⎛⎫-⎪⎝⎭，所以113,,12A B⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u r，30,,0DB⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，11,0,12DC⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u u r，设平面1BC D的一个法向量(),,n x y z=r，则1n DBn DC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vvu u u u vv，即3212yx z⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x=，则1z=，所以()2,0,1n=r，设直线1A B与平面1BC D所成角为θ，1110sin131544A B nA B nθ⋅===++⋅u u u r ru u u r r【点睛】本题考查了异面直线所成的角、空间向量法求线面角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.20．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且2AD=，1AB=，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB、BC的中点.（1）证明：PF FD⊥；（2）点G在线段PA上，且//EG平面PFD，求PGGA【答案】（1）证明见解析；（2）3；【解析】（1）连接AF，根据勾股定理可得AF DF⊥，利用线面垂直的性质可得PA DF⊥，再利用线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，从而证出PF FD⊥. （2）取AD的中点O，连接OB，过点E作//EH DP交AD于点H，过点H作//HG DP交PA于点G，//HG平面PFD，利用面面平行判定定理可得平面//EHG平面PFD，进而可得//EG平面PFD，由上可知14AG AP=，从而可证出PGGA.【详解】（1）连接AF，Q底面ABCD是矩形，且2AD=，1AB=，F是线段BC的中点，2AF DF∴==，222AF DF AD∴+=，AF DF∴⊥又PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，PA DF∴⊥，又PA AF A⋂=，DF⊥∴平面PAF，∵PF⊂平面PAF，∴PF FD⊥（2）取AD的中点O，连接OB，则//OB FD，过点E作//EH DF交AD于点H，则//EH平面PFD.EQ为AB的中点，14AH AD∴=，再过点H作//HG DP交PA于点G，则//HG平面PFD且14AG AP=，所以平面//EHG平面PFD，进而可得//EG平面PFD，所以34PG AP=，所以34314APPGGA AP==【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、性质定理，属于基础题.21．已知函数2()1xe f x ax=+，a R ∈. （1）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （2）当43a =时，求()f x 的极值点； （3）若()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1y x =+；（2）极大值点为12，极小值点为32；（3）01a ≤≤【解析】（1）首先求出切点()0,1，再求出()0f '，利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.（2）先求导数，再讨论满足()0f x '=的点附近的导数的符号的变化情况，通过列表来确定极值点即可.（3）根据导函数，由()f x 为R 上的单调函数，若()f x 为R 上的单调增函数，故()0f x '≥恒成立，根据二次函数的性质，得到00a >⎧⎨∆≤⎩，()f x 为R 上的单调递减函数时，则()0f x '≤恒成立，得到0a <⎧⎨∆≤⎩，进而可求解.【详解】()()()()()222222122111x x xe ax e axax ax e f x ax ax +-⋅-+'==++（1）()01f =Q ，所以切点为()0,1，()01f '=∴曲线()y f x =在0x =处的切线方程：()110y x -=⨯-，即1y x =+，故曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+.（2）当43a =时，()2222248413133322441133x x x x e x x e f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()0f x '=，得112x =，232x =，当x 变化时，()f x '与()f x 的相应变化如下表：，所以12x =是()f x 的极大值点，32x =是()f x 的极小值点.（3）当()f x 为R 上的单调递增函数时，则()0f x '≥恒成立，即2210ax ax -+≥恒成立， 当0a =时，则10≥恒成立， 当0a ≠时，2440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得01a <≤， 当()f x 为R 上的单调递减函数时， 则()0f x '≤恒成立，即2210ax ax -+≤， 当0a =时，则10≤不恒成立， 当0a ≠时，2440a a a <⎧⎨∆=-≤⎩，a 无解. 综上所述，01a ≤≤. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、有导数求函数的极值点以及由函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.22．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 10，不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于A,B 两点，且线段AB 被直线OP 平分. （1）求椭圆C 的方程； （2）求k 的值；（3）求ABP △面积取最大值时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）32k =-；（3）3172y x =-+. 【解析】（1）利用两点间的距离公式以及离心率求出,a c ，再由2223b a c =-=，即可求解.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元利用韦达定理求得线段AB 的中点，再根据线段AB 的中点M 在OP 上，可求出解.（3）由（2）求出AB ，P 到直线AB 的距离，即可求得ABP △的面积，从而问题得解. 【详解】（1）由题意可得()2211012c c a ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由直线l 不过原点，可得0m ≠.由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，消元可得()2223484120k x kmx m +++-=①, ∴21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++, ∴线段AB 的中点M 2243,3434kmm k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭， Q M 在OP 上，易知直线OP 的解析式为12y x =， 22323434m kmk k ∴=-++，32k ∴=-.（3）由（2），将①化为223330x mx m -+-=， 又Q 直线l 与椭圆相交，0∴∆>，212123,3m x x m x x -+== ()(m ∴∈-⋃，126AB x =-=又P 到直线AB 的距离d =，APB ∴∆的面积12S AB d =⋅⋅=，令()()()22412m m mμ=--，则()()(4411m m m m μ'=----，()(m ∈-⋃Q ，1m ∴=()m μ取得最大值，即S 取得最大值，∴所求直线的方程为312y x =-+. 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线与椭圆中围成三角形面积范围问题，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.。

2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（实验班）上学期10月阶段性考试数学试题一、单选题1．设复数z 满足32z i i +=-，则z =( )A ．BC ．13D ．【答案】D【解析】先求出z ，然后求出z 的模即可. 【详解】∵复数z 满足32z i i +=-，∴33z i =-，则z = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数求模问题，考查复数的基本运算，属于基础题. 2．下列导数运算正确的是（ ） A ．211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x =D ．1(ln )x '=x【答案】D【解析】根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断. 【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴A 错；∵'(sin )cos x x =，∴B 错；∵'(3)3ln 3x x =，C 错；D 正确. 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数. 3．设ϕ∈R ，则“2ϕπ=”是“()sin()()f x x x R ϕ=+∈为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】若()sin()()f x x x R ϕ=+∈为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈；故“2ϕπ=”是“()sin()()f x x x R ϕ=+∈”为偶函数的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的性质是解决本题的关键，属于基础题.4．设,,(0,)a b c ∈+∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C【解析】由基本不等式2a b ab +≥，a ，b 都是正数可解得． 【详解】由题a ，b ，c 都是正数，根据基本不等式可得1112226a b c b c a+++++≥++=， 若1a b +，1b c +，1c a +都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2； 当1a b +，1b c +，1c a+都等于2时，选项A ，B 错误，都等于3时，选项D 错误．选C.【点睛】本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题．5．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据图象：分1x <-，10x -<<，01x <<，1x >，四种情况讨论()f x 的单调性. 【详解】根据图象：当()1,0x f x '<->，所以()f x 递增， 当()10,0x f x '-<<<，所以()f x 递减， 当()01,0x f x '<<<，所以()f x 递减， 当()1,0x f x '>>，所以()f x 递增， 故选：C 【点睛】本题主要考查导数与函数的图象间的关系，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于常考题.6．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( )A ．30B ．9C ．36D ．6【答案】C【解析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】由()(27)39nf n n =+⋅+，得(1)36f =，(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

诸暨中学2019学年高二阶段性考试数学试卷（实验班） 2019.10注：考试时间120分钟，请考生将试题答案统一做在答题纸上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的。

1.准线方程为y ＝2的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝－16y D ．x 2＝－8y2. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是( )13. 已知a,b 是平面内的两条直线.则“直线⊥且l ⊥b ”是“⊥”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥.则命题p 的否定是 ( )A ．p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ B.p ⌝：∈∃0x R, 020≤xC.p ⌝：x ∀∈R,20x < D.p ⌝：∈∃0x R,020<x5.直线 与抛物线交点的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 0或16. 设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线.则下列说法正确的是（ ）A.若,αββγ⊥⊥，则//αγB. 若,//m αββ⊥，则m α⊥C. 若,m n αα⊥⊥，则//m nD. 若//,//m n αα，则//m nESACB7．如图，在三棱锥ABC S -中，E 为棱SC 的中点.若2,32======BC AB SC SB SA AC .则异面直线AC 与BE 所成的角为（ ）A. 030B. 045C. 060D. 0908．设21F F ，分别为椭圆的左、右焦点.椭圆上存在一点P 使得则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.9. 在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，已知四棱锥S-ABCD 为阳马，且AB=AD ， SD ⊥底面ABCD.若E 是线段AB 上的点含端点，设SE 与AD 所成的角为，与底面所成的角为，二面角S-AE-D 的平面角为.则A.B.C.D.10.已知双曲线:的一个焦点为.点是 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交 的左支于两点。

浙江省诸暨中学2018-2019学年高二数学期中试题（实验班）一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若复数满足的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限2．某个命题与正整数有关，已知由时命题成立，可推得当时命题也成立.现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得（ ）A ． 当n=7时该命题不成立B ． 当n=7时该命题成立C ． 当n=9时该命题不成立D ． 当n=9时该命题成立 3．已知函数xe xf =)(在点))0(,0(f 处的切线为l ，动点在直线l 上，则ba -+22的最小值是 （ ）A ． 4B ． 2C ．D ．4．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动。

若甲，乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为 （ ） A ． 2160 B ． 1320 C ． 2400 D ． 4320 5．如果6)1)(43(xx x ax +-的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为 （ ） A ．239 B ．239- C ． 221- D ．221 6．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中不放回地往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则=≤)6(ξP （ ）A ．149 B ． 5625 C ． 5637 D ． 2823 7．从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法.在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法.于是得到，即有等式：成立.试根据上述想法，下面式子（其中）应等于 （ ）A ．B ．C ．D ．8．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种. A ． 19 B ． 26 C ． 7 D ． 129．已知函数,,)(ln )(2R t x t x x x f ∈-+=若存在],2,21[∈x 使得0)()('>+x xf x f ，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数,)(xxe x f =要使函数1)()]([)(2+-=x f x f k x g 的零点个数最多，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．2e k -< B ．e e k --<2C ．e e k -->2D ．2e k -> 二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知k x f =)(0'，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()2(lim000＝__________.12．若复数i a z 3)2(--=为纯虚数（R a ∈），则aii a ++12007的值为________.13．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_________________．14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为______.15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是1a ∈ ． 16．已知函数.0,ln ,,2)(2⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=a x x a x e x x f 若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00)(kx x f =成立，则实数a 的值为 ．17．定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，有)()('x f x f >，且2018)()(π+=x f x g 为奇函数，则不等式0)(2018<+xe xf π的解集是 ．三、解答题（本题共5小题，总分52分）18．（本题10分）在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量为摸出的3个球上的数字和． （1）求概率；（2）求随机变量的分布列．19．（本题10分）设函数.)1ln()(x x x f -+=. （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若1->x ，证明：x x x ≤+≤+-)1ln(111.20.（本题10分）已知函数).(,ln )(3R a x a x x f ∈-= （1）讨论函数)(x f 的极值；（2）若函数)(x f 在区间],1(e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围.21.（本题10分）已知数列}{n a 是等差数列，且321,,a a a 是mx )211(+展开式的前三项的系数.（1）求的值以及mx )211(+的展开式中系数最大的项； （2）当时，用数学归纳法证明：.3111...11122121>+++++-++n n n n n a a a a a22．（本题12分）已知函数)1(ln 2)(+=x x x f . （1）求函数)(x f 的最值．（2）若斜率为k 的直线与)(x f 的导函数)('x f y =的图象交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，其中21x x <，求证：212x kx <<.参考答案1．A 【解析】 【分析】由求得，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果. 【详解】 因为数满足，所以，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 2．A 【解析】 【分析】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以选A.【详解】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以当时命题不成立，则命题也不成立，故答案为：A3．D【解析】由题得所以切线方程为即，故选D.4．B【解析】【分析】依题意，分和两组，先分组，后排列，最后求和即可.【详解】依题意，6名同学可分为两组，第一组为，利用间接法，有种，第二组为，利用间接法，有,所以分类计数原理，可得种，故选B.5．D 【解析】 【分析】 令，由系数之和求出参数a ，由二项展开式公式将后面式子展开得与项，分别与前面括号中两式相乘，最后相加求出项，进而求出系数. 【详解】令，可得：，解得：，由二项展开式公式将后面式子展开可得：，，分别与前面括号中、相乘后求和可得：.6．D【解析】k =ξ表示前k 个为白球，第1+k 个恰为红球.18135)(+⋅==k k A A A k P ξ（=k 0，1，2，…，5）， ∴分布列为∴=≤)6(ξP 4623(0)(1)(2)5628P P P ξξξ=+=+===. 考点：离散型随机变量及其分布列. 7．A【解析】分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法。

诸暨中学 2018 学年高二期中考试数学试卷（实验班）一．选择题：本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1. 函数 f ( x) log 2 (x 1)1的定义域为（）xA. ( 1,0) (0, )B.( 1, )C.(0, ) D. (1, )2. 已知函数 f ( x)x 2 5x 2 ln x ，则函数 f ( x) 的单一递减区间是（ ）A. (0, 1) 和 (1,) B. (0,1) 和 (2, ) C.(0,1) 和 (2, )D. (1,2)24 sin() tan()223. 已知 sin(（ ）)，则5sin()2 A.5B.5 C. 16 D. 1688 994. 已知函数 f ( x) lg( xx ) ，此中 x 表示不超出 x 的最大整数，则对于函数f (x) 的性质表述正确的选项是（）A. 定义域为 (,0)(0, ) B.在定义域为增函数 C. 周期函数 D. 偶函数 5. 假如直线 l ,m 与平面, , 知足 l ,l // ,m, m那么必有（）A. m // ，且 l mB. ，且 l mC.// ，且 lmD //，且6. 函数 fxln 1）x的图象大概为（x7. 已知直三棱柱 C 1 1C 1 中， C 120 ，2，C CC 1 1 ，则异面直线1 与C 1 所成角的余弦值为（）A ． B．C．D ．8. 已知函数 f ( x) x ln x x2a ，若函数 yf (x) 与 yf ( f ( x)) 有同样的值域， 则 a的取值范围是（）A. ( ,1]B.(1,1] C.[1, 3)D.[1,)9. 已知椭圆 C :x 2y 2 221(a b 0) 的焦半距为 c ， F 1 ,F 2 分别为椭圆的左、 右焦点， Ma 2b 2为椭圆 C 上一动点，过点 F 2 作F 1MF 2 的外角均分线 l 的垂线，交 l 于点 N ，且 ON 1，则 bc 的取值范围为（）A. (0, 2 ]B.(1,2] C.[1, 2] D.[1,2]10. 如图，已知正方体ABCD1 1C 1D 1 ，空间一动点P 知足A BA 1P AB 1 且 APB 1ADB 1，则点 P 的轨迹为 ( )A. 直线B.抛物线C. 椭圆D.圆二．填空题 : 本大题共 7 小题，多空题每题 4 分，单空题每题 3 分， 共25分.22 11. 椭 圆xy1 的 长 轴 长 为， 焦 点 坐 标54为.12. 正方体截去一部分后节余部分获得一个新的几何体，其三视图如下图（单位：cm ），则该几何体的体积为cm 3 .A( 2,1)13. 已 知 角 的终边经过点， 则s i n _ _ _ c_ o_2s, ( ) _ _ _. _ _2x 2 414. 函数 f (x)(3 a) x 1, x [ 1,1] 为偶函数，则 a , f ( x) 的值域为 .15. 已知函数f ( x)log 2 x m , x 0f ( 4) ，则实数 m_____, 不等式x 2 2x1, x ，且 f (1)f ( x)2 的解集为 _______.16. 已知P 是椭圆x 2 y 2 1( a 1 10) 与双曲线x 2 y 2 1( a 2 0,b 2 0) 的一个a 12b 1 2 ba 22b 2 2交点， F 1, F 2 为椭圆与双曲线的公共焦点， e 1,e 2 分别为椭圆与双曲线的离心率，且F 1 PF 2则 1的最大值为 ______.3 e 1e 217. 函数 f ( x)e x |e x a | a 2 a 的最小值为 2，若函数f (x) 在区间 [m, n] (m n) 的值域为 [ 2,3] ，则 m n 的取值范围为.三．解答题：本大题共 5 小题，共 65 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.( 此题满分 12 分）已知在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ， S 为 ABC 的面积，且 2Sbc cos A .（1）求角 A 的大小；（2）若 a2, a b ，求 b2c 的取值范围 .219.( 此题满分 12 分）设函数 f x ax 2 2x e x , 此中 a 0（1）若 a 1 时 , 求 yf x 在 (1, f (1)) 处的切线方程 ;（2）若 f x 在 1,1 上为单一函数 , 求 a 的取值范围．20.(此题满分13 分）如图，五面体ABCD， ABCD 为矩形，EA面 ABC，AB4, AE3, EF1，BC 3 .（1）求证：面AEFB面BE;（2）求BF与面BEC所成角的余弦值 .21.(此题满分14 分）如图，不垂直于坐标轴的直线l 与抛物线y 2 2 px p0有且只有一个公共点M.（1）当M的坐标为(2,2)时，求p 及直线l 的方程；（2）若直线l 与圆x2y 2 1 相切于点N，求MN的最小值.22. ( 此题满分14分）已知函数f (x)ln x 1(x21). 2m（1）议论函数 f (x) 的极值；（2）能否存在实数m ，使得不等式11在 (1,) 上恒建立？若存在，求出 m 的f ( x)e x1x最小值；若不存在，请说明原因.。

绝密★启用前诸暨中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷（实验班）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

一 、选择题（每题4分，共40分）1.如果全集U R =，A ={y|y =x 2+2,x ∈R } ,B ={y|y =2x ,x >0},则(C U A )∩B =( )A ．[１，２]B ．(１，２)C ．(１，２］D ．[１，２）2.设复数Z 的共轭复数为Z ，且232Z Z i +=-+，则Z =（ ） A ．2 B ．2C ．5 D ．53.已知等比数列{a n }的各项均为正，且5a 3,a 2,3a 4成等差数列，则该数列{a n }的公比是（ ）A. 12 B ．2 C ．13 D ．3 4.已知,a b 是正实数，则“26a b +≤”是“()13a b +≤”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若平面向量,a b 的夹角为60o ，且|2|=|a b |，则（ ）A.()⊥+a b aB.()⊥-b b aC.()⊥+b b aD.()⊥-a b a6..如图，已知函数()f x 的图像关于坐标原点对称，则函数()f x 的解析式可能是( )A ．()2ln f x x x = B.()ln f x x x = C ．()xe f x x =D ．()ln x f x x =7. 已知43log 3,log 25p q ==，则lg 5=（ ） A.pq p q + B ．p q pq + C ． 1pq p q ++ D ．1pq pq+ 8. 已知,a b r r 夹角为60°，且2a =r ，若()12c a tb t R =-+∈r r r ，则c c a +-r r r 的最小值( )A．4 C．．49. 定义域为R 的偶函数()f x 满足：x R ∀∈，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()log (||1)a y f x x =-+至少存在6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(0,)2B．C．5D ．(0,)610.已知数列{a n }满足1212,51,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-≥⎩L ，若正整数(5)k k ≥使得2221212k k a a a a a a +++=L L 成立，则k 的值（） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19二、填空题（单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11.计算：cos870︒=；若cos 2α≥，则α∈． 12．已知函数)0()3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期是π4，则=ω；53)3(=+πθf ，则=θcos ． 13. 设函数()2,2{ 1,2x a x f x ax x +>=+≤，若1a =,则((2))f f =；若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是.14.四边形ABCD 中，1,2,3,4,120AB BC CD DA ABC ︒====∠=,则AC ＝，cos BCD∠＝．15.在△ABC 中，3,4,BC AC D E AB AC BC ==边的中垂线分别交、于、，P DE AP BC=u u u r u u u r g 点是的中点，则 ．16. 已知实数,,a b c ，满足22221a b c ++=，则2ab c +的最小值是．17.已知函数f (x )=lnx −ax −b ,对于任意的a <0,b ∈R,都存在x 0∈[1,m ]使得|f (x 0)|≥1成立，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5题，总分74分）18.已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到的()y g x =图象．若()g x 在()0,m 内是单调函数，求实数m 的最大值． 19.已知n S 是正项数列}{n a 的前n 项和，满足112,62n n n a a a S +==-，*∈N n ． （Ⅰ）求证：}{n a 是等差数列；（Ⅱ）记2n n b =，求数列{}n n a b -的前n 项和n T ． 20.在△ABC 中，内角C B A ,,对边分别是c b a ,,，已知3,1π==C c . （Ⅰ）若3sin()5C θ+=,πθ<<0,求θcos ； （Ⅱ）若B B A C 2sin 3)sin(sin =-+，求△ABC 的面积.21.已知公差不为零的等差数列{}n a 满足31243,a a a a =、、依次成等比数列，{}n b 数列满足1222n n b b nb a +++=L .(Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)求证：1n a ++>L 22.已知函数2().f x x ax a b =+-+(Ⅰ)若3b =，函数[]lg ()y f x =在区间[]1,4上有意义且不单调，求a 的取值范围； (Ⅱ)若{}{}()0,(()1)1M x f x N x f f x =≤=+≤且M N =≠∅，求a 的取值范围. 诸暨中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷（实验班）参考答案一、选择题：BCCAB ；DDABB二、填空题：()11.2,2244k k k Z ππππ⎡⎤--++∈⎢⎥⎣⎦ 1712.,225- 13.9,3a ≥715.2 916.8- 217.m e ≥ 三、解答题18.（Ⅰ）化简的()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；实数m 的最大值为3π 19.（Ⅰ）11162(1)262(2)n n n n n n a a S n a a S +--=-≥=-当时，，可得；116n n a a +--=，因为122,5a a ==所以13n n a a +-=，即31n a n =-（Ⅱ）记123+123,2n n n n n n c n c c n c +=--=-∴≥，则当时，单调递增1230,1,0,40n c c c c ==-=>从第项起，10,11,21,312(31),42n n n n T n n n n +=⎧⎪-=⎪⎪∴=⎨-=⎪⎪-+≥⎪⎩ 20.（Ⅰ）cos cos 33ππθθ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

2019-2020学年绍兴市诸暨中学实验班高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|(x−1)(x−3)>0}，B={x|0<x<2}，则(∁R A)∩B=()A. (0,1)B. (0,3]C. [1,2)D. (−∞,1)∪[2，+∞)2.已知复数z满足z(1+i)=|1−√3i|，则其共轭复数z−=()A. −1+iB. −1−iC. 1−iD. 1+i3.已知数列{a n}为等比数列，若a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则a1⋅a2⋅a3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n的最大值为()A. 5B. 512C. 1024D. 20484.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A. B. C. D.5.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗−b⃗ |=√6，a⃗⋅b⃗ =1，则|a⃗+b⃗ |=()A. √6B. 2√2C. √10D. 106.设函数f(x)=x2+ax为偶函数，则a=()A. 1B. 2C. 3D. 07.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)A. 2B. 3C. 4D. 58.若点O和点F分别为椭圆x29+y25=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为()A. 114B. 3C. 8D. 159.若x0是函数f(x)=()x−的零点，则x0属于区间()A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)10. 数列{a n }满足a 1=2016，a 2=1，a n+1=a n +a n+2，则前2017项和S 2017=( )A. 2016B. 1C. 0D. −2015二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 若非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足：a ⃗ 2=(5a ⃗ −4b ⃗ )⋅b ⃗ ，则cos <a⃗ ，b ⃗ >的最小值为______． 12. 函数f(x)=3x +1+12x 2(x >0)的最小值为______ ．13. 已知A ，B 是圆C ：x 2+y 2−8x −2y +16=0上两点，点P 在抛物线x 2=2y 上，当∠APB 取得最大值时，|AB|=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知tanα=2，则sinα−3cosαsinα+cosα= (1) ，sin 2α+2sinαcosα= (2) ． 15. 当时，函数的最小值是 ，最大值是 ．16. 设[x]表示不超过x 的最大整数，(如[2]=2，[54]=1)对于给定的n ∈N ∗，定义T nx=n(n−1)−(n−[x]+1)x(x−1)−(x−[x]+1)，则T 332= (1) .当x ∈[32,3)时，函数T 8x的值域为 (2) ． 17. 如图所示，在△ABC 中，D 是边BC 中点，且cos∠ADC =cosC =13，则ACCD 的值等于 (1) .若AD =3，则AB = (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数y =12sin(2x +π6)+54，x ∈R ．(1)当函数值y 取最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数图象可由y =sinx ，x ∈R 的图象经过怎样变换得到？19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1；数列{b n }满足b n−1−b n =b n b n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，b 1=1．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列的前n 项和T n ．20. 已知sinα=35，α∈(π2,π)，tan(π−β)=12，求：(1)tanα和tanβ的值； (2)tan(α−2β)的值．21. 已知数列{a n }是公比为12的等比数列，数列{b n }满足a 1=√2b 1=1，且a n+12=(a n +b n )2a n 2+b n2，b n+1=1+b n a n，n ∈N +，若c n =b n 2a n2； (1)求证：数列{c n }是等差数列，并求出{c n }的通项公式；(2)记数列{c n }的前n 项和为S n ，若对于∀n ∈N +，不等式∑a i n i=1√S i ≤k −√2n2n 恒成立，求实数k的取值范围．22.是否存在这样的实数a，使函数f(x)=x2+(3a−2)x+a−1在区间[−1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x <1，或x >3}； ∴∁R A ={x|1≤x ≤3}； ∴(∁R A)∩B =[1,2)． 故选：C ．可解出集合A ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的概念及运算．2.答案：D解析：解：因为z(1+i)=|1−√3i|=2， 所以z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，则z −=1+i ， 故选：D ．根据复数的基本运算法则进行化简求出z ，进而求出其共轭复数z −即可． 本题考查了复数模的求法及除法法则，考查了复数共轭复数的定义，是基础题．3.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2⋅a 3=2a 1，所以a 2a 3=a 1q ⋅a 1q 2=2a 1，所以a 4=2， 因为a 4与2a 7的等差中项为54，则有a 4+2a 7=2×54，即a 4+2a 4⋅q 3=2×54，解得q =12，所以a 1=a4q 3=16，故a n =16×(12)n−1=25−n ，则a 1=16，a 2=8，a 3=4，a 4=2，a 5=1，a 6=12<1，所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为16×8×4×2=1024． 故选：C ．用a 1和q 表示出a 2⋅a 3=2a 1，从而求出a 4，再根据a 4与2a 7的等差中项为54，求出q 的值，进而求出数列的通项公式，得到数列各项的数值，分析求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，主要考查了等比数列通项公式的应用、等差中项定义的应用，考查了学生的化简计算能力，属于中档题．4.答案：A解析：试题分析：通过举出反例，a=−5、b=−4.5，可得BC都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知A正确；而D给出的是一个充要条件，也不符合题意．考点：本题考查点评：本题以充分必要条件的判断为载体，考查了两个实数比较大小、不等式的性质和充要条件等知识点，属于基础题．5.答案：C解析：解：由已知得|a⃗−b⃗ |2=(a⃗−b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗=a⃗2+b⃗ 2−2=6，即a⃗2+b⃗ 2=8，即有|a⃗+b⃗ |2=(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8+2=10，即|a+b|=√10．故选C．运用向量的平方即为模的平方和完全平方公式，计算即可得到．本题考查向量的数量积，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6.答案：D=0，∴a=0．解析：解：二次函数为偶函数，则其对称轴：x=−a2×1故选：D．由题意结合二次函数的性质和偶函数的对称性得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果．本题考查偶函数的对称性，二次函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．7.答案：C解析：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由题意可利用等比数列的求和公式可得：蒲草和院草的前n 天的高度，由题意列出等式，进而求出n 的值．设蒲草每天长的高度为数列{a n }，莞草每天长的高度为数列{b n }，由题意得：{a n }为等比数列，求首项为3，公比为12，所以通项公式a n =3⋅(12)n−1， 前n 项和S n =3·[1−(12)n ]1−12=6[1−(12)n ]，{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n =2n−1，前n 项和T n =1−2n 1−2=2n −1；由题意得设n 天莞草是蒲草的二倍，即2n −1=2⋅6[1−(12)n ]⇒(2n )2−13⋅2n +12=0⇒2n =12或1(舍)两边取以10为底的对数， n =lg12lg2=2lg2+lg3lg2=2+lg3lg2由相关数据可得，n =4，故选：C ．8.答案：A解析：解：椭圆x 29+y 25=1的中心和左焦点为O(0,0)，F(−2,0)∵x 29+y 25=1，∴y 2=5−59x 2(−3≤x ≤3)设P(x,y)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)⋅(x +2,y)=x 2+2x +y 2=x 2+2x +5−59x 2=49(x +94)2+114∵−3≤x ≤3∴x =−94时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为114 故选：A ． 求得椭圆x 29+y 25=1的中心和左焦点，利用坐标表示向量，借助于椭圆方程，利用配方法，即可求得最小值．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查配方法，解题的关键是用坐标表示向量，建立函数关系式．9.答案：B解析：∵f(−1)=2+1=3>0，f(0)=1>0，f(1)=−1=−<0，∴x0∈(0,1)．10.答案：A解析：解：由题可得a n+2=a n+1−a n，所以a n+3=a n+2−a n+1=−a n，所以a n+3+a n=0,a n+6=−a n+3=a n，故数列{a n}是以6为周期的周期数列，又a1+a2+a3+a4+a5+a6=2a2+2a5=0，则前2017项和S2017=(a1+a2+⋯+a6)×336+a1=0+a1=2016．故选：A．利用递推关系、数列的周期性即可得出．本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：45解析：解：非零向量a⃗，b⃗ 满足：a⃗2=(5a⃗−4b⃗ )⋅b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =15(a⃗2+4b⃗ 2)=15(|a⃗|2+4|b⃗ |2)≥15⋅2√|a⃗|2⋅4|b⃗ |2=45|a⃗|⋅|b⃗ |，即有cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|≥45⋅|a⃗ |⋅|b⃗||a⃗ |⋅|b⃗|=45，当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |，取得最小值45．故答案为：45．由题意可得a⃗⋅b⃗ =15(a⃗2+4b⃗ 2)，由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用基本不等式和向量的夹角公式，即可得到所求最小值．本题考查向量的数量积的定义和夹角公式，以及性质：向量的平方即为模的平方，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．12.答案：10解析：解：f(x)=3x+1+12x2=(3x2+3x2+12x2)+1(x>0)≥3√3x2·3x2·12x23+1=9+1=10，当且仅当3x2=3x2=12x2，即x=2时，取得等号．则f(x)的最小值为10．故答案为：10．将3x拆成3x2+3x2，再由三元均值不等式，即可求得最小值，求出等号成立的条件．本题考查函数式的最小值，主要考查三元均值不等式的运用，注意拆项，属于中档题．13.答案：4√55解析：解：圆C：x2+y2−8x−2y+16=0的圆心(4,1)，半径为1，设抛物线上的点P(m,n)，则m2=2n，|PC|=√(m−4)2+(n−1)2=√m2−8m+m44−m2+17=√m44−8m+17，令g(m)=m44−8m+17，可得g′(m)=m3−8，令g′(m)=m3−8=0，解得m=2，m<2，g′(m)=m3−8<0，m>2，g′(m)=m3−8>0，所以g(m)的最小值为：4−16+17=5．|PC|≥√5，所以切线长为：|PA|=2，如图：|PC|⋅12|AB|=|PA|⋅|AC|，γ√52|AB|=2×1|AB|=4√55．故答案为：4√55．求出圆C：x2+y2−8x−2y+16=0的圆心与半径，设出抛物线x2=2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．14.答案：−1385解析：解：∵tanα=2，∴sinα−3cosαsinα+cosα=tanα−3tanα+1=2−32+1=−13；sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=4+44+1=85．故答案为：−13,8 5．把要求值的式子化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15.答案：782解析：本题主要考查三角函数的性质和值域问题．解：由正弦函数的性质可知，，．故答案为．16.答案：−4(−∞,−48]∪(494，49]解析：解：根据定义可知，T 332=3(3−1)−(3−[32]+1)32(32−1)−(32−[32]+1)=−4；T 8x=8×7−(9−[x])x(x−1)−x+[x]−1=47+[x]x 2−2x−1+[x]，当32≤x <2时，[x]=1，x 2−2x −1+1=(x −1)2−1∈[−1,0)，故T 8x≤−48， 当2≤x <3时，[x]=2，x 2−2x −1+2=(x −1)2∈[1,4)，故494<T 8x≤49， 故答案为(−∞,−48]∪(494,49]．根据定义计算出T 332的值，建立函数T 8x的函数关系式，再讨论求出其值域．本题考查新定义下函数的值域，属于中档题目．17.答案：32√17解析：本题考查的知识要点：三角函数的变换，余弦定理和三角形面积公式的应用． 直接利用三角函数的定义和余弦定理求出结果．解：①在△ABC 中，D 是边BC 中点，且cos∠ADC =cosC =13， 则：作△ACD 的高线AE ，设AD =AC =3x ， 所以：CE =x ，ED =x 所以：CD =2x 解得：ACCD =32．②设AC =3x ，CD =2x ， 在△ACD 中，利用余弦定理得：9=9x 2+4x 2−2⋅3x ⋅2x ⋅13， 解得：x =1，所以：AC =3，BC =4，则：AB 2=AC 2+BC 2−2⋅AC ⋅BC ⋅cosC ， =17，所以：AB =√17． 故答案为32，√17．18.答案：解：(1)由于函数y =12sin(2x +π6)+54，x ∈R ，故当2x +π6=2kπ+π2，k ∈z ，即x =kπ+π6时，函数y 取得最大值为12+54=74，故要求的自变量x 的集合为{x|x =kπ+π6,k ∈z}．(2)把y =sinx 的图象向左平移π6个单位，可得y =sin(x +π6)的图象； 再把所得图象的各点的横坐标变为原来的12倍，可得y =sin(2x +π6)的图象； 再把所得图象的各点的纵坐标变为原来的12倍，可得y =12sin(2x +π6)的图象； 再把所得图象向上平移54个单位，可得y =12sin(2x +π6)+54的图象．解析：(1)由条件根据正弦函数的最值条件求得函数值y 取最大值时，自变量x 的集合． (2)由条件根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查正弦函数的最值，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．19.答案：(1)a n =2n−1，b n =(2)(n −1)·2n +1．解析：(1)由S n =2a n −1，得S 1=2a 1−1，∴a 1=1． 又S n =2a n −1，S n−1=2a n−1−1(n ≥2)，两式相减，得S n −S n−1=2a n −2a n−1，a n =2a n −2a n−1． ∴a n =2a n−1，n ≥2.∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． ∴a n =1·2n−1=2n−1．由b n−1−b n =b n b n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，得−=1．又b 1=1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．∴=1+(n −1)·1=n.∴b n =．(2)由(1)可知=n ·2n−1，∵T n =1·20+2·21+⋯+n ·2n−1，∴2T n =1·21+2·22+⋯+n ·2n ． 两式相减，得−T n =1+21+⋯+2n−1−n ·2n =−n ·2n =−1+2n −n ·2n ．∴T n =(n −1)·2n +120.答案：解：(1)∵sinα=35，α∈(π2,π)，∴cosα=−√1−sin 2α=−45，∴tanα=sinαcosα=−34， ∵tan(π−β)=12， ∴−tanβ=12， ∴tanβ=−12．(2)∵tan2β=2tanβ1−tan β=2×(−12)1−(−12)2=−43，∴tan(α−2β)=tanα−tan2β1+tanαtan2β=(−34)−(−43)1+(−34)(−43)=724．解析：(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用诱导公式可求tanβ的值． (2)利用两角和的正切函数公式可求tan2β的值，进而根据两角差的正切函数公式即可计算得解． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21.答案：(1)证明：递推关系可变形为：1a n+12=a n 2+b n 2(a n +b n )2，b n+12=(a n +b n )2a n2(n ∈N ∗)，两式相乘得：b n+12a n+12=a n 2+b n 2a n2=b n2a n2+1(n ∈N ∗)，即c n+1=c n +1(n ∈N ∗)，又a 1=2b 12，∴c 1=b 12a 12．∴数列{c n }是首项为12，公差为1的等差数列，故{c n }的通项公式：c n =c 1+(n −1)d =12+(n −1)×1=n −12；(2)解：由(1)知道，S n =(12+n−12)n2=n 22，a n =a 1×(12)n−1=12n−1，∴∑a i n i=1√S i =∑12ni=1⋅√2=√2∑i2n i=1． 记T n =∑i2i n i=1=12+222+323+⋯+n2n ①12T n=122+223+324+⋯+n2n+1 ② 由①−②得：12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1 =12(1−(12)n )1−12−n 2n+1=1−2+n 2n+1．∴T n =2−2+n 2n．∴√2(2−2+n 2n)≤k −√2n2n， 即对于任意的正整数n ，不等式k ≥2√2−2√22n恒成立，∴k ≥(2√2−2√22n )max， 当n =1时，(2√2−2√22n )max=√2．∴k 的范围是[√2,+∞).解析：(1)把b n+1=1+b na n 右边通分后两边平方，与a n+12=(a n +b n )2a n 2+b n2两边作积即可证得数列{c n }是等差数列，由等差数列的通项公式求其通项公式；(2)求出数列{c n }的前n 项和为S n ，代入∑a i n i=1√S i 整理，利用错位相减法求其和，由不等式∑a i n i=1√S i ≤k −√2n2n分离k 后求得函数的最大值得答案．本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，属中高档题．22.答案：解：若实数a 满足条件，则只需f(−1)⋅f(3)≤0即可．f(−1)⋅f(3)=(1−3a +2+a −1)⋅(9+9a −6+a −1)=4(1−a)(5a +1)≤0.所以a ≤−15或a ≥1．检验：(1)当f(−1)=0时，a =1.所以f(x)=x 2+x.令f(x)=0，即x 2+x =0.得x =0或x =−1． 方程在[−1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠1．(2)当f(3)=0时，a =−15，此时f(x)=x 2−135x −65.令f(x)=0，即x 2−135x −65=0，解之得x =−25或x=3.方程在[−1,3]上有两根，不合题意，故a≠−1．5或a>1．综上所述：a的取值范围为a<−15解析：此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在a符合题意，然后将问题转化为函数零点存在性的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答，注意验证．此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、零点存在性知识以及结果验证的技巧．值得同学们体会反思．。

2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x -2y -a =0的两侧，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. (‒24,7)(‒∞,‒24)∪(7,+∞)C. D. (‒7,24)(‒∞,‒7)∪(24,+∞)2.已知椭圆的标准方程为=1，则椭圆的焦点坐标为（ ）x 29+y 210A. ， B. ，(1,0)(‒1,0)(0,1)(0,‒1)C. ， D. ，(19,0)(‒19,0)(0,19)(0,‒19)3.已知x ＞0，y ＞0，且x +y =10，则xy 有（ ）A. 最大值25B. 最大值50C. 最小值25D. 最小值504.如图，△A 'B 'C '是△ABC 的直观图，其中A ′B ′=A ′C ′，A ′B ′∥x ′轴，A ′C ′∥y ′轴，那么△ABC 是（ ）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形5.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z =4x +2y 的最大值为（ ）{x +y ≤3x ‒y ≥‒1y ≥1A. 12B. 10C. 8D. 26.过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成二面角为45°，则此截面的形状为（ ）A. 三角形或五边形B. 三角形或四边形C. 正六边形D. 三角形或六边形7.已知a 、b 为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，，，则a ⊂αb ⊂βα⊥βa ⊥bB. 若，，则a ⊥b b ⊥αa//αC. 若，，、不平行，则a 、b 为异面直线a ⊂αb ⊂βαβD. 若，，，则a//αb ⊥βα//βa ⊥b8.异面直线l 与m 成60°，异面直线l 与n 成45°，则异面直线m 与n 成角范围是（ ）A. B. C. D. [15∘,90∘][60∘,90∘][15∘,105∘][30∘,105∘]9.已知椭圆，过椭圆右焦点F 的直线L 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于P 点．设，x 225+y 29=1⃗PA =λ1⃗AF ，⃗PB =λ2⃗BF 则λ1+λ2等于（ ）A. B. C. D. ‒925‒50950992510.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，E ，F 分别是棱AD ，BP 上的动点，且满足AE =2BF ，则线段EF 中点的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一段圆弧C. 抛物线的一部分D. 一个平行四边形二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的表面积为________，体积为________.12.双曲线的实轴长为______，渐近线方程是______．x 24‒y 23=113.与圆C 1：（x +3）2+y 2=1外切，且与圆C 2：（x -3）2+y 2=81内切的动圆圆心的轨迹方程为______．14.双曲线=1的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=2，则△PF 1F 2的周长为x 23‒y 25______，面积为______．15.若x ，y ∈R +，且2x +8y -xy =0，当且仅当______时，x +y 取得最小值______．16.已知S ,A ,B ,C 是球O 表面上的点，平面ABC ，，，，则球O 的体积等于SA ⊥AB ⊥BC SA =AB =1BC =2________.17.已知函数f （x ）=x |x -a |-a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3，5]，f （x ）≥0恒成立，则实数a 的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共54.0分）18.（1）若双曲线的一条渐近线方程为2x +3y =0，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线y =2x +b 与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．x 212+y 29=119.如图，四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，E 为CD 的中点，∠ABC =60°．（I ）求证：直线AE ⊥平面PAB ；（II ）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．20.已知函数f （x ）=|x +1|+2|x -a |，a ∈R ，（1）当a =1时，解不等式f （x ）＞5；（2）当a ＞0时，若不等式f （x ）＞3恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a ＜0时，若关于x 的方程2x [f （x ）-1]=a 在（1，+∞）上的解集为空集，求实数a 的取值范围．21.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，P 、Q 分别是AA 1、A 1C 1的中点．（1）设棱BB 1的中点为D ，证明：C 1D ∥平面PQB 1；（2）若AB =2，AC =AA 1=AC 1=4，∠AA 1B 1=60°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，求二面角Q -PB 1-A 1的余弦值．22.已知椭圆C ：=1（a ＞0，b ＞0）的两个顶点分别为A （-a ，0），B （a ，0），点P 为椭圆上异于A ，Bx 2a 2+y 2b 2的点，设直线PA 的斜率为k 1，直线PB 的斜率为k 2，k 1k 2=-．12（1）求椭圆C 的离心率；（2）若b =1，设直线l 与x 轴交于点D （-1，0），与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 的面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x-2y-a=0的两侧，∴（-9+2-a）（12+12-a）＜0，化为（a+7）（a-24）＜0，解得-7＜a＜24．故选：C．根据点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x-2y-a=0的两侧，可得（-9+2-a）（12+12-a）＜0，解出即可．本题考查了线性规划的有关问题、一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，椭圆的标准方程为=1，则其焦点在y轴上，且c==1，则椭圆的焦点坐标为（0，1）和（0，-1），故选：B．根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，解题时注意该椭圆的焦点在y轴上．3.【答案】A【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y=10；∴；∴，当x=y=5时取“=“；∴xy有最大值25．故选：A．根据x＞0，y＞0即可得出，从而得出，带入x+y=10即可得出xy≤25，即xy 有最大值25．考查基本不等式及基本不等式的变形应用．4.【答案】D【解析】解：根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，∴直观图△A'B'C'的原来图形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故选：D．根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，即可判断出结果．本题考查了斜二测画法与应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解6.【答案】D【解析】解：过棱AB、BC的中点E、F作正方体AC1的截面，∵二面角D1-EF-D，二面角B1-EF-B都大于450，∴当截面为EFHJIG时，如下图所示时，为六边形，当截面为EFM时，如下图所示时，为三边形，故选：D．画出过棱AB、BC的中点E、F作正方体AC1的截面的所有情况，分析截面的形状，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查了正方体的几何特征，二面角问题，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：对于A，若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b不一定成立，a、b可能平行，也可能相交，也可能异面，A错误；对于B，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，∴B错误；对于C，若a⊂α，b⊂β，α、β不平行，则a、b可能为异面直线，也可能为相交或平行，∴C错误；对于D，当b⊥β，α∥β时，b⊥α，又a∥α，∴b⊥a，即a⊥b，D正确．故选：D．根据空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系，对选项中的命题真假性判断即可．本题考查了空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：如图，在直线l任取一点O，过O作m′∥m，作n′∥n，当m′、n′、l三线共面时，m′与n′所成角最小为15°，即异面直线m与n成角最小为15°；当n′不在l与m′所确定的平面α内时，过O作平面β，使m′⊥β，则l为平面β的一条斜线，在β内存在与l成45°角的直线n′，∴m′与n′所成角最大为90°，即异面直线m与n成角最小为15°．故选：A．由题意画出图形，通过直线的平移，可得过直线l上的任意一点作m，n的平行线，若m，n的平行线与l共面，可得异面直线m与n成角最小为15°；否则，可得到m，n能够构成两条异面直线所成的最大角90°．本题考查异面直线所成的角，考查学生的空间想象能力和思维能力，属中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，-4k），因为，所以（x1，y1+4k）=λ1（4-x1，-y1）因为，所以（x2，y2+4k）=λ2（4-x2，-y2）．得λ1=，λ2=．直线l方程，代入椭圆，消去y可得（9+25k2）x2-200k2x+400k2-225=0．所以x1+x2=，x1x2=．所以λ1+λ2====故选：B．设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设EF的中点为O，取AB中点M，作EG平行于AB交BC于G，连结FG，取GF中点N，则OMBN为平行四边形，从而MO∥BN．作CH∥GF于H，取CH中点K．因为AE=2BF，所以BG=2BF，而∠CBP是确定的角，故△BGF与△BCH 相似，从而N在BK上．所以O在平行于直线BK的一条直线上，E，F分别是棱AD，BP上的动点，则线段EF中点的轨迹是一条线段；故选：A．根据题意，设EF的中点是O，取AB中点M，作EG平行于AB交BC于G，连结FG，取GF中点N，根据AE=2BF ，判断中点O 满足的关系式，即可得到结论．本题主要考查空间直线的位置关系的判断，根据AE=2BF ，利用辅助线，建立中点满足的关系是解决本题的关键．11.【答案】4+6π 83+415+433π【解析】解：根据三视图得知：该几何体是由一个三棱锥和一个半圆锥构成，正视图是边长为4的正三角形，该几何体的高为：2，圆锥的底面半径为：2，三棱锥的底面边长为4的正三角形，AB=AD=BD=BC=CD=4，AC=2，几何体的表面积为：×+2×××=4+6π．几何体的体积为：=8，故答案为：4+6π；8．直接利用三视图的复原图求出几何体的体积以及表面积即可．本题考查的知识要点：三视图的应用．几何体的表面积以及体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12.【答案】4 y =±32x 【解析】解：双曲线，可得a=2，b=，双曲线的实轴长为：2a=4；渐近线方程是：y=±x ．故答案为：4；y=±x ．利用双曲线方程求解实轴长以及渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13.【答案】x 225+y 216=1【解析】解：由题意，设动圆的半径为r，圆心为（x，y），与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，可得圆心距=r+1；即（x+3）2+y2=（r+1）2，……①动圆与圆C2：（x-3）2+y2=81内切，可得圆心距=9-r，（x-3）2+y2=（9-r）2，……②由①②消去r，可得：即动圆圆心的轨迹方程；；故答案为：．由题意，设动圆的半径为r，圆心为（x，y），与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，可得圆心距=r+1；与圆C2：（x-3）2+y2=81内切，可得圆心距=9-r，消去r，可得动圆圆心的轨迹方程；本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．514.【答案】2+4 1【解析】解：双曲线=1的a=，b=1，c=2，|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的周长为：2+2c=+4；可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2，又|PF1|+|PF2|=2，两式平方相加可得，|PF1|2+|PF2|2=16，而|F1F2|2=4c2=16，则有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有△PF1F2为直角三角形，即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×（+）×（-）=1．故答案为：2+4；1．求出双曲线的a，b，c，可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2，由条件可得|PF1|，|PF2|，结合勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是双曲线的定义，同时考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，属于基本知识的考查．15.【答案】x=12，y=6 18【解析】解：∵x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，∴2x+8y=xy即，∴x+y=（x+y）（）=10+=18，当且仅当且时取等号，此时x=12，y=6时x+y取得最小值18．故答案为：x=12，y=6；18由已知可得，，从而x+y=（x+y）（），展开后利用基本不等式可求本题主要考查了利用1的代换，配凑积为定值，利用基本不等式求解最值，属于基础试题16.【答案】4 3π【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，判断SC为球O的直径，由已知求得SC=2，球O的半径R=1，代入球的体积公式得答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥面SAB，∵BS⊂面SAB，∴SB⊥BC，取AC的中点O，∴OS=OA=OB=OC，∴SC为球O的直径，由SA=AB=1，BC=，可得SC=2，∴球O 的半径R=1，则体积V=．故答案为：．17.【答案】（-]∪[）∞，94254，+∞【解析】解：f （x ）=x|x-a|-a ；∴①若a ＜3，则x=3时，f （x ）在[3，5]上取得最小值f （3）=3（3-a ）-a=9-4a ；∴9-4a≥0，a≤；∴a≤；②若3≤a≤5，则x=a 时，f （x ）取得最小值f （a ）=-a ；-a ＜0，不满足f （x ）≥0；即这种情况不存在；③若a ＞5，则x=5时，f （x ）取得最小值f （5）=5（a-5）-a=4a-25；∴4a-25≥0，a≥；∴a≥；综上得a 的取值范围为：（-∞，]∪[，+∞），故答案为：（-∞，]∪[，+∞），讨论a 的取值：a ＜3，3≤a≤5，a ＞5，三种情况，求出每种情况下的f （x ）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a 的取值范围本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．18.【答案】解：（1）若焦点在x 轴上，易得双曲线的标准方程为…2x 29‒y 24=1若焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为…4y 29‒y 2814=1（2）设y =2x +b 与椭圆的两交点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的中点为M （x ，y ），x 212+y 29=1则，{x 2112+y 219=1x 2212+y 229=1两式相减得：(x 1+x 2)(x 1‒x 2)12=‒(y 1+y 2)(y 1‒y 2)9即-=即3x +8y =0 (8)9122⋅y x 又，消去y 得x =± (9){x 212+y 29=13x +8y =085719所以弦的中点M 的轨迹方程为3x +8y =0（-＜x ＜+ (10)8571985719【解析】（1）讨论焦点位置，再由顶点间的距离，即可得到双曲线方程（2）设y=2x+b 与椭圆的两交点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 的中点为M （x ，y ），利用点差法，可得M 的轨迹方程．本题考查双曲线方程和性质，直线与椭圆的综合应用，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于基础题和易错题19.【答案】证明：（I ）∵∠ADE =∠ABC =60°，ED =1，AD =2，∴AE ⊥CD ，又∵AB ∥CD ，∴AE ⊥AB又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ∩AB =A ，∴直线AE ⊥平面PAB ．解：（II ）（方法一）连接PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点．∵CD ⊥EA ，CD ⊥PA ，EA ∩PA =A ，∴CD ⊥平面PAE ，∴CD ⊥AH ．又∵AH ⊥PE ，∴AH ⊥平面PCD ．∴∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成的角．在Rt △PAE 中，，∴，PA =2，AE =3sin∠AEP =PA PE =27=277∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为．277（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A -xyz ，．P(0，0，2)，E(0，3，0)，C(1，3，0)，D(‒1，3，0)设平面PCD 的法向量，⃗n =(x ，y ，z)，{⃗PC ⋅⃗n=0⃗DC ⋅⃗n =0⇒{x +3y ‒2z =02x =0⇒⃗n =(0，1，32)．cos ＜⃗AE ，⃗n ＞=⃗AE ⋅⃗n⃗|AE|⋅|⃗n |=277直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为．277【解析】（I ）推导出AE ⊥CD ，AE ⊥AB ，从而PA ⊥AE ，由此能证明直线AE ⊥平面PAB ．（II ）（方法一）连接PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点，推导出∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成的角，推导出直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．（方法二）建立所示的空间直角坐标系A-xyz ，由此利用向量法能求出直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）f （x ）=|x +1|+2|x -1|=，{1‒3x ，x ≤‒13‒x ，‒1＜x ＜13x ‒1，x ≥1由解得，x ＜-；由解得，x ∈∅；{1‒3x >5x ≤‒143{‒1<x <13‒x >5由解得，x ＞2．{3x ‒1>5x ≥1则不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，-）；43（2）当a ＞0时，f （x ）=，{‒3x +2a ‒1，x ≤‒12a +1‒x ，‒1＜x ＜a3x +1‒2a ，x ≥a 当x ≤-1时，f （x ）≥2a +2，当-1＜x ＜a 时，1+a ＜f （x ）＜2+2a ；当x ≥a 时，f （x ）≥1+a ．即有f （x ）的值域为[1+a ，+∞）．当a ＞0时，若不等式f （x ）＞3恒成立，即有3＜1+a ，解得，a ＞2；（3）当a ＜0且x ＞1时，关于x 的方程2x [f （x ）-1]=a ，即为2x （x +1+2x -2a -1）=a ，即为2x （3x -2a ）=a ，上式左边大于0，右边小于0，显然方程无解．则a ＜0．【解析】（1）通过绝对值的含义，去绝对值符号，得到f （x ），再解f （x ）＞5，最后求并集即可；（2）通过去绝对值，求得f （x ）的值域，得到最小值，由最小值大于3，即可；（3）通过a ＜0，x ＞1去掉绝对值，化简方程，分析方程左右两边，即可得到a 的范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．21.【答案】证明：（1）连接AD ，∵D 是BB 1的中点，P 是AA 1的中点，可由棱柱的性质知AP ∥DB 1，且AP =DB 1，∴四边形ADB 1P 是平行四边形，∴AD ∥PB 1，∵P 、Q 分别是AA 1、A 1C 1的中点，∴AC 1∥PQ ，∴平面AC 1D ∥平面PQB 1，∴C 1D ∥平面PQB 1．解：（2）以P 为原点，在平面ABB 1A 1内过P 作AA 1的垂线为x 轴，以PA 1为y 轴，PC 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系面A 1B 1P 的一个法向量为=（0，0，1），⃗n P （0，0，0），Q （0，1，），B 1（，0），33，1=（0，1，），=（），⃗PQ 3⃗PB 13，1，0设平面PQB 1的法向量=（x ，y ，z ），⃗m 则，取x =1，得=（1，-，1），{⃗m ⋅⃗PQ =y +3z =0⃗m ⋅⃗PB 1=3x +y =0⃗m 3设二面角Q -PB 1-A 1的平面角为θ，则cosθ==．|⃗m ⋅⃗n ||⃗m |⋅|⃗n |55故二面角Q -PB 1-A 1的余弦值为．55【解析】（1）连接AD ，推导出四边形ADB 1P 是平行四边形，从而AD ∥PB 1，再求出AC 1∥PQ ，从而平面AC 1D ∥平面PQB 1，由此能证明C 1D ∥平面PQB 1．（2）以P 为原点，在平面ABB 1A 1内过P 作AA 1的垂线为x 轴，以PA 1为y 轴，PC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-PB 1-A 1的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.【答案】解：（1）设P （x 0，y 0）代入椭圆方程，则，x 20a 2+y 20b 2=1整理得：y 02=（x 02-a 2），b 2a 2又k 1=，k 2=，所以k 1k 2==-，y 0x 0+a y 0x 0‒a y 20x 20‒a 212联立两个方程则k 1k 2=-=-，解得：e ===．b 2a 212ca 1‒b 2a 222（2）由（Ⅰ）知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为．x 22+y 2=1设直线l 的方程为：x =my -1，代入椭圆的方程有：（m 2+2）y 2-2my -1=0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=，y 1y 2=-，2m m 2+21m 2+2则△OMN 的面积S =丨OD 丨丨y 1-y 2丨===，1212(y 1+y 2)2‒4y 1y 2128m 2+8丨m 2+2丨2m 2+1丨m 2+2丨令=t ，（t ≥1），则有m 2=t 2-1，m 2+1代入上式有S ===≤2m 2+1丨m 2+2丨2t 丨t 2+1丨2t +1t 22当且仅当t =1，即m =0时等号成立，所以△OMN 的面积的最大值为．22【解析】（1）设P 点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得=，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．（2）由（1）求得椭圆方程，设直线l 的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求得△OMN 的面积，利用基本不等式的性质即可求得△OMN 的面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．。

高二数学试卷（理科实验班）本卷完成时间90分钟，满分100分，答案请写在答题卡上一、选择题（每小题4分，共40分）1． 抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为 ( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．14 2．函数sin cos xy x=的导数为( )A ．222cos sin cos x x x -B ．222cos sin cos x x x -+C ． 222cos sin cos x x x +D ．222cos sin cos x x x-- 3．下列命题中，真命题是 ( ) A ．,sin cos 1.5x R x x ∃∈+=B ．(0,),x ∀∈πsin cos x x >C ．2,1x R x x ∃∈+=- D ．(0,)x ∀∈+∞，1>+xe x4．给定三个向量1(1,0,1)v =，2(1,1,0)v =，23(1,1,1)v k k =+-，其中k 是一个实数，若存在非零向量同时垂直这三个向量，则k 的取值为 ( )A B ． C ． D ． 5．已知二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtan 的值等于 ( ) A ．43 B ． 53 C ．77 D ．773 6．已知两相交平面,αβ，则必存在直线l ，使得 ( ) A ．//,l l αβ⊥ B ．,l l αβ⊥⊥ C ．,l l αβ⊥⊂ D ． //,//l l αβ7．已知正数,a b 满足1ab =，则“1a b ==”是“222a b +=”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．四棱锥SABCD ，底面正方形ABCD E 为SA 中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C．60°D ．90°9．()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，且满足()()0xf x f x '->，对任意的正数a b 、，若a b >，则必有 ( )A ．()()af b bf a <B ．()()bf a af b <C ．()()af a bf b <D ．()()bf b af a <10．已知21,F F 分别是双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，6021=∠PF F ，21PF F ∠的角平分线PA 交x 轴于A ，213AF F =，则双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ．27C ．5D ．3 二、填空题（每小题4分，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递减区间为_____________；12．已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是 __________；13．已知椭圆1162522=+y x 与双曲线13622=-y x 在第一象限的交点为P ，则点P 到椭圆左焦点的距离为_________________； 14．如图，在边长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别是CD D D D C CC ,,,1111的中点，N 是BC 的中点，M 在四边形EFGH 上及其内部运动，若//MN 平面BD A 1，则点M 轨迹的长 度是_________；15．设曲线(0)xy e x -=≥在点(,)tM t e -处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积为()S t ，则()S t 的最大值为_________________．三、解答题16（本题10分）．已知p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．17 （本题10分）．如图，已知过点(0,1)A 的直线l 与抛物线2:C y x =交于,M N 两点，又抛物线C 在,M N 两点处的两切线交于点B ， ,M N 两点的横坐标分别为12,x x ． （1）求12x x 的值；（2）求B 点的纵坐标t 的值．18（本题10分）．如图，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//AD BC ，122BA AD BC ===，60ABC ∠=，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，M 是PC 中点．（1）求证：//DM 平面PAB ；（2）求直线BM 与平面PAB 所成角的大小．19（本题10分）．已知函数32()23(,)f x x x mx n m n R =--+∈，若函数在点(0,(0))f 处的切线方程为12y x =-． （1）求,m n 的值；（2）求函数)(x f 在区间[,]a a -（0a >）上的最大值．诸暨中学2012学年第一学期期中考试高二数学（理实）参考答案1-10、 DCDBD DCCABxyA BM Nl11、1(0,)e 12、32 13、5+ 14、2 15、2e16、 p 真则2m > q 真则13m << ……………………………………6分因,p q 一真一假，所以213m m m >⎧⎨≤≥⎩或或213m m ≤⎧⎨<<⎩所以3,m m ≥≤或1<2………10分17（1）设直线l 的方程为1y kx =+，代入2y x =，则210x kx --=，所以121x x =-………………………分（2）因为2y x '=，所以抛物线在M 处的切线方程为：21112()y x x x x -=-，化简得到2112y x x x =-，同理抛物线在N 处的切线方程为：2222y x x x =-，联立方程组可知两切线的交点B 纵坐标为121t x x ==-18．解：（1）取PB 中点N ，连NA NM ,，BC AD BC NM BC AD BC NM 21,21,//,//==，AD NM AD NM =∴,//， ∴四边形NMDA 为平行四边形，从而AN DM //，又⊂AN 平面PAB ，⊄DM 平面PAB ，∴//DM 平面PAB ；………………4 （2）底面ABCD 为梯形，连接AC ，,4,2==BC AB 60ABC ∠=，计算可得32=AC ，AB AC ⊥， 平面PAB ⊥平面ABCD ，⊥∴AC PAB ，取PA 中点G ，连MG ，则AC MG //，从而MG ⊥平面PAB ， 连接GB ，则MBG ∠即直线BM 与平面PAB 所成的角，321==AC MG ，又在正三角形PAB 中，323==AB BG ， 1tan ==∠∴BGMGMBG ，即直线BM 与平面PAB 所成角为45…………………10分 19 解：（1）由题意知，m x x x f --='66)(2，函数在点(0,(0))f 处的切线方程为12y x =-，∴⎩⎨⎧-='=2)0(0)0(f f ，即⎩⎨⎧-=-=120m n ，得⎩⎨⎧==012n m …………………………………………4分（2）由（1）知x x x x f 1232)(23--=，)2)(1(61266)(2-+=--='x x x x x f 由0)(>'x f 得1-<x 或2>x ，由0)(<'x f 得21<<-x ，∴)(x f 在)1,(--∞内单调递增，在)2,1(-内单调递减，在),2(+∞内单调递增，分∴)(x f 的极大值为7)1(=-f ，由7)1()(=-=f a f 得7123223=--a a a ，07123223=---a a a0)752)(1(2=--+∴a a a ，27,0=∴>a a ， 结合)(x f 的图象可得：○1当10≤<a 时，)(x f 在区间[,]a a -上的最大值为=-)(a f a a a 123223+--， ○2当271<<a 时，)(x f 在区间[,]a a -上的最大值为7)1(=-f ， ○3当27≥a 时， )(x f 在区间[,]a a -上的最大值为=)(a f a a a 123223--………10分。

、：，，．诸暨中学2019学年高二期中考试（实验班）数学试卷命题教师：2019.11第Ⅰ卷（选择题，共40分）一选择题本大题共10小题每小题4分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(A 在xoy 平面上的射影的坐标为（▲）A．)0,2,1(B．)3,0,1(C．)3,2,0(D．)0,2,1(--2.椭圆221925x y +=的焦点为12,F F ，AB 是过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长为（▲）A.20B.12C.10D.63.设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=垂直,则a =（▲）A.2 B.-2 C.12 D.12-4.已知平面α⊥平面β，直线m 满足m α⊄，则“α//m ”是“m β⊥”的（▲）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数x x f 2cos ln )(=，则)(x f 的导函数)('x f =（▲）A.x 2cos 1 B.-2x 2tan C.x 2tan D.xx2sin 22cos -6.已知双曲线E ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的焦距为c 2，E 的一条渐近线被圆2223)(a y c x =+-截得的弦长为a 2，则E 的离心率是（▲）A.2 B.2 C.3 D.37.若二面角βα--l 大小为65π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线,m n 所成角的取值范围是（▲）A ．(0,)2πB ．[,]62ππC ．[,63ππD ．[,32ππ8.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于A,B 两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，则p =（▲）A.1B.2C.3D.49.已知在矩形中，，沿直线BD 将△ABD 折成，使得点在平面上的射影在内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（▲）A．B．C．D．10.设定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（▲）A．(,1)(0,1)-∞- B．(1,0)(1,)-+∞ C．(,1)(1,0)-∞-- D．(0,1)(1,)+∞ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共80分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.双曲线1222=-y x 的渐近线方程是▲；焦点坐标为▲.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是▲3cm ；表面积是▲2cm .13.函数x x y ln 22-=的单调递增区间为▲；最小值为▲.14．已知三棱锥O-ABC,点D 是BC 中点，P 是AD 中点，设OC z OB y OA x OP ++=，则=++z y x ▲；=x ▲.15．已知函数a x x x x f +--=23)(有三个零点，则实数a 的取值范围为▲.16．已知抛物线2x y =上存在两点N M ,关于直线3+=x y 对称，则MN =▲.17.已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则θsin =▲.三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

诸暨中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷（实验班）一 、选择题（每题4分，共40分）1.如果全集U R =，,则( )A ．B ．(１，２)C ．D ．2.设复数Z 的共轭复数为Z ，且232Z Z i +=-+，则Z =（ ）A ．2B ．2C ．5D ．53.已知等比数列的各项均为正，且成等差数列，则该数列的公比是（ ）A. B ．2 C ． D ．34.已知,a b 是正实数，则“26a b +≤”是“()13a b +≤”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若平面向量,a b 的夹角为60o ，且|2|=|a b |，则（ ）A.()⊥+a b aB.()⊥-b b aC.()⊥+b b aD.()⊥-a b a6..如图，已知函数()f x 的图像关于坐标原点对称，则函数()f x 的解析式可能是( )A ．()2ln f x x x = B.()ln f x x x = C ．()x e f x x =D ．()ln x f x x= 7. 已知43log 3,log 25p q ==，则lg 5=（ ）A.pq p q + B ．p q pq + C ． 1pq p q ++ D ．1pq pq + 8. 已知,a b r r 夹角为60°，且2a =r ，若()12c a tb t R =-+∈r r r ，则c c a +-r r r 的最小值( ) A ．13 B ．4 C ．23 D ．9349. 定义域为R 的偶函数()f x 满足：x R ∀∈，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()log (||1)a y f x x =-+至少存在6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．2(0,)2B ．3(0,)C ．5(0,)D ．6(0,) 10.已知数列满足1212,51,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-≥⎩L ，若正整数(5)k k ≥使得 2221212k k a a a a a a +++=L L 成立，则k 的值（） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19二、填空题（单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11.计算：cos870︒=；若2cos α≥，则α∈． 12．已知函数)0()3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期是π4，则=ω；53)3(=+πθf ，则=θcos ． 13. 设函数()2,2{ 1,2x a x f x ax x +>=+≤，若1a =,则((2))f f =；若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是.14.四边形ABCD 中，1,2,3,4,120AB BC CD DA ABC ︒====∠=,则AC ＝，cos BCD ∠＝．15.在△ABC 中，3,4,BC AC D E AB AC BC ==边的中垂线分别交、于、，P DE AP BC=u u u r u u u r g 点是的中点，则 ．16. 已知实数,,a b c ，满足22221a b c ++=，则2ab c +的最小值是．17.已知函数,对于任意的都存在使得成立，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5题，总分74分）18.已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，得到的()y g x =图象．若()g x 在()0,m 内是单调函数，求实数m 的最大值．19.已知n S 是正项数列}{n a 的前n 项和，满足112,62n n n a a a S +==-，*∈N n ． （Ⅰ）求证：}{n a 是等差数列；（Ⅱ）记2n n b =，求数列{}n n a b -的前n 项和n T ．20.在△ABC 中，内角C B A ,,对边分别是c b a ,,，已知3,1π==C c . （Ⅰ）若3sin()5C θ+=,πθ<<0,求θcos ；（Ⅱ）若B B A C 2sin 3)sin(sin =-+，求△ABC 的面积.21. 已知公差不为零的等差数列{}n a 满足31243,a a a a =、、依次成等比数列，{}n b 数列满足1222n n b b nb a +++=L .(Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)求证：1n a +>L .22. 已知函数2().f x x ax a b =+-+(Ⅰ)若3b =，函数[]lg ()y f x =在区间[]1,4上有意义且不单调，求a 的取值范围； (Ⅱ)若{}{}()0,(()1)1M x f x N x f f x =≤=+≤且M N =≠∅，求a 的取值范围.诸暨中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷（实验班）参考答案一、选择题：BCCAB ；DDABB二、填空题：()11.2,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 1712.,225- 13.9,3a ≥715.2 916.8- 217.m e ≥ 三、解答题18.（Ⅰ）化简的()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （¡é¨°）()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；实数m 的最大值为3π 19.（Ⅰ）11162(1)262(2)n n n n n n a a S n a a S +--=-≥=-当时，，可得；116n n a a +--=，因为122,5a a ==所以13n n a a +-=，即31n a n =-（¡é¨°）记123+123,2n nn n n n c n c c n c +=--=-∴≥，则当时，单调递增1230,1,0,40n c c c c ==-=>从第项起，10,11,21,312(31),42n n n n T n n n n +=⎧⎪-=⎪⎪∴=⎨-=⎪⎪-+≥⎪⎩ 20.（Ⅰ）3cos cos 3310ππθθ⎡⎤+⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（¡é¨°）cos 0,3,628B S a b S ====当当 21.（Ⅰ）2,n n a n b n==； （¡é¨°）数学归纳法证明（略）22.（Ⅰ）62a -<<-；-≤≤（¡é¨°）a。