3[1].1.3两角和与差的正切2

两角和与差的正弦余弦正切公式下面我们将分别介绍两角和与差的正弦、余弦和正切公式。

1.正弦的两角和与差公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，那么有：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB证明：我们考虑一个单位圆（半径为1），圆心为O，且角A对应的弧与x 轴的交点为点P，角B对应的弧与x轴的交点为点Q。

根据单位圆上的点的坐标表示，我们有：点P的坐标为(cosA, sinA)点Q的坐标为(cosB, sinB)以O为起点，连接OP和OQ，将其延长到圆的边缘，分别交于点M和点N。

由于所有的角度都是以弧度来表示的，因此我们可以使用三角函数的定义来表示OP和OQ的长度。

通过定义我们有：sinA = PMcosA = OMsinB = QNcosB = ON现在我们来计算sin(A + B)。

根据三角形的正弦定理，我们可以得到：sin(A + B) = PN（即三角形OPN的高）通过几何推导我们可以发现，三角形OPN的底边的长度为cosB * cosA。

同样地，通过几何推导我们可以发现，三角形OPN的高为sinA * cosB + cosA * sinB。

因此，我们得到sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB。

同理，可以推导得到sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB。

2.余弦的两角和与差公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，那么有：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB证明：我们考虑一个单位圆（半径为1），圆心为O，且角A对应的弧与x 轴的交点为点P，角B对应的弧与x轴的交点为点Q。

根据单位圆上的点的坐标表示，我们有：点P的坐标为(cosA, sinA)点Q的坐标为(cosB, sinB)以O为起点，连接OP和OQ，将其延长到圆的边缘，分别交于点M和点N。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。

张喜林制3.1.2 两角和与差的正弦 3.1.3 两角和与差的正切考点知识清单1．两角和与差的正弦：=+)sin(βα =-)sin(βα2．旋转公式：已知),(y x P 与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到),,(y x P 则⎩⎨⎧==y x =+=⋅x b x a y cos sin 3 ，其中 ．最大值是 ，最小值是 ，周期是 =+)tan(.4βα =-)tan(.5βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(.6-+=+变形为=+βαtan tan=-+ααtan 1tan 1.7 =+-ααtan 1tan 1,要点核心解读1．推导两角和与差的正弦公式(1)推导公式：).(cos cos sin )sin(βαβαβαβα++=+S ms ])2cos[(]2)(cos[)sin(βπαπβαβα-+-=++-=+βπαβπαsin )2sin(cos )2cos(+-++-=⋅+=βαβαsin cos cos sin(2)推导公式：⋅-=--)(sin cos cos sin )sin(βαβαβαβαS=-+-=-+=-)sin(cos )cos(sin )](sin[)sin(βαβαβαβα⋅-βαβαsin cos cos sin公式βα-S 也可以这样来推导：])2cos[(]2)(cos[)sin(βπαπβαβα++-=+--=-βπαβπαsin )2sin(cos )2cos(+--+-=⋅-=βαβαsin cos cos sin2．正确理解和（差）角的正弦公式 (1)公式对于任意的角αβ都成立．(2)搞清)sin(βα±的意义，例如)sin(βα+是两角α 与β的和的正弦，它表示角βα+终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比．在一般情况下，⋅+=/+βαβαsin sin )sin((3)牢记公式并能熟练地将左、右两边互化．例如：化简,40cos 70sin 50cos 20sin-能迅速观察出此式等于- 20sin(⋅-=-=-=2130sin )30sin()50(4)了解当βα、中有一个角为2π的整数倍时，利用诱导公式较为简便． (5)灵活运用和（差）角公式，例如：化简-+ββαcos )sin(,sin )cos(ββα+不要将)c o s (),sin(βαβα++展开，而应就整个式子，直接运用公式,sin ])sin[(αββα=-+这实际上也是公式的逆用．3．有关点（向量）的一组旋转公式已知点),(y x P 与原点的距离保持不变，绕原点旋转θ角到点),,(///y x P 如图3 -1-2 -1所示，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos //θθθθy x y y x x 公式推导如下：如图3 -1-2 -1所示：设,||,r OP xOP ==∠α则⋅==ry r x ααsin ,cos )sin sin cos (cos )cos(/θαθαθα-=+=∴r r x,sin cos θθy x -=)sin cos cos (sin )sin(/θαθαθα+=+=r r y.cos sin θθy x +=即⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos //θθθθy x y y x x4．形如b a x b x a ,{cos sin +不同时为零）的三角函数式可化为一个角的一个三角函数式 重要结论：),sin(cos sin 22θ++=+x b a x b x a 其中,sin ba b +=θ,cos ba a +=θ推导如下：考察以(a ，b)为坐标的点),,(b a P 如图3 -1-2 -2，设以OP为终边的一个角为θ，则=θc o s 2222s i n ,ba b ba a +=+θ于是.cos sin 22b a x b x a +=+++=+++x b a x b a b x b a a sin (cos )cos sin (222222θ=)cos sin x θ),sin(22θ+⋅+x b a其中⋅+=+⋅=2222cos ,sin ba a ba b θθ5．如何使用两角和与差的正弦(1)和角公式具有双向运用的特征，适时地逆用公式会收到事半功倍的效果．我们一般习惯顺用公式，不习惯逆用公式，应打破这一惯例，多向逆用公式方面想一想． (2)在运用两角和与差的正弦公式时，要善于根据题目的条件和要求进行角的变换，努力寻求待求角与已知角之间的关系，找到最佳的解题切入点． (3)遇到非特殊角的化简求值问题时，将非特殊角化为特 殊角，将未知角化为已知角，以达到解题的目的．如+= 4575 30等．(4)对于求角问题，一般先求该角的某一三角函数值，再求角．根据角在给定区间内哪一函数单调，即求角的哪一函数值．6．推导两角和与差的正切公式 (1)推导公式：).(tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβα+-+=+T,sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(βαβαβαβαβαβαβα-+=++=+把后面一个分式的分子、分母分别除以βαcos cos )0cos (cos =/βα得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+(2)推导公式：).(tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβα-+-=-T=---+=-+=-)tan(tan 1)tan(tan )]([nta )tan(βαβαβαβα βαβαtan tan 1tan tan +-公式βα-T 也可以这样推导：,sin sin cos cos sin 8cos sin )cos()sin()tan(βαβαβαβαβαβαβα+-=--=-co把后面一个分式的分子、分母分别除以、（αβαcos cos cos ）0cos =/β得 ⋅+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(7．关于公式βα±T 要注意的几个问题(1)公式推导思路：两角和与差的正切公式是根据同角三角函数的关系式αααtan cos sin =及正、余弦的和角公式推导出的． (2)公式的适用范围：公式βα±T 只有在+=/±+=/+=/2,2,2πβαππβππαk k )(z k k ∈π时才成立，否则不成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的，当)tan(tan ,tan βαβα±R 的值不存在时，不能使用βα±T 处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简),2tan(βπ-因为2tanπ的值不存在，不能利用公式,βα-T 所以改用诱导公式来解．⋅==+-+-=--=-βββπβπββπβπβπcot sin cos )2cos()2sin()2cos()2sin()2tan( (3)注意公式的灵活运用及变形．①注意公式的逆用，比如：,tan ])tan[(tan )tan(1tan )tan(αββαββαββα=-+=++-+又如).45tan(tan 45tan 1tan 45tan tan 1tan 1ααααα+=-+=-+②除了公式的正用、逆用外，还要注意公式的变形应用．),tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ ),tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-如),tan()tan(tan tan tan tan βαβαβαβα+=+++ ),tan(tan tan tan tan )tan(βαβαβαβα+=--+,)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα++=-⋅--=+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα8．推导)cot(βα±公式用βαcot ,cot 表示 βαβαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin sin cos cos )sin()cos()cot(+-=++=+当0sin sin =/βα时，,cot cot 1cot cot )cot(αββαβα+-=+同理，得αββαβαcot cot 1cot cot )cot(-+=-典例分类剖析考点1βα±s 的直接运用[例1](1)求195sin 165sin 和的值．(2)已知α、β为锐角，且,1010sin ,55sin ==βα求+α（sin)sin()βαβ-与的值． [解析]-==-= 45sin(15sin )15180sin(165sin )1(0030sin 45cos 30cos 45sin )30-==⨯-⨯=21222322⋅-426 ⋅--=-=+=42615sin )15180sin(195sin o ,1010sin ,55sin )2(==βαβα都是锐角，且、,552)55(1sin 1cos =-=-=∴αα ,10103)1010(1sin 1cos 2=-=-=ββ ⨯+⨯=+=+∴5521010355sin cos cos sin )sin(βαβαβα⋅=221010 ⨯-⨯=-=-5521010355sin cos cos sin )sin(βαβαβα⋅=1021010[点拨] (1)已知α、β 角的某种三角函数值，求α±β的正弦，先要根据平方关系求出α、β的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦公式中，求出和角或差角的余弦．(2)非特殊角的求值过程就是把非特殊角转化成特殊角的和（差）再用公式的过程；也要注意使用诱导公式使大角转化为小角再求．母题迁移 1．(1)若,23sin ,21cos -=-=βα),2,23(),,2(ππβππα∈∈则)(βα+ms 的值是( )．23.A 23.-B 1.-C 0.D=-+ 8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin )2(o o考点2βα±T 的直接运用[例2] 已知),23,(,1312cos ππθθ∈-=求)4tan(πθ-的值． [解析] 按差角正切公式展开，需知道θtan 的值，先求θtan 的值．[答案] 由)23,(,1312cos ππθθ∈-=知 ⋅==-=--=125cos sin tan ,135cos 1sin 2θθθθθ故⋅-=+-=+-=-177125111254tan tan 14tan )4tan(πθπθπθat[点拨] 非特殊角（或非巳知三角函数值的角）求三角函数值时，可将其写成两特殊角（或已知函数值的角）的和差形式求解．母题迁移 2．（2006年福建高考题）已知),,2(ππα∈,53sin =α求)4tan(πα+的值. 考点3 公式的逆用[例3] 不查表求值：;101sin 56cos 11sin 34cos )1(+o.62cos 178cos 28cos 88cos )2( o o -[解析] 逆用βα±S 注意到,34sin 56cos =,2sin 88cos ,11cos )1190sin(101sin o o o ==+= .28sin 62cos ,2cos )2180cos(178cos =-=-=o于是(1)原式43sin 11cos 34cos 11sin +=;2245sin )3411sin(==+= (2)原式=28sin 2cos 28cos 2sin +o⋅==+=2130sin )282sin( [点拨] 逆用公式在三角函数恒等变换中经常出现，要求熟练掌握公式且灵活应用诱导公式．[例4] 在△ABC 中，,3tan tan 3tan tan =++C B C B 且,tan tan 1tan 3tan 3B A B A =++ 判断△ABC 的形状．[解析] 本题考查三角形中公式的应用．180=++C B A 这一条件是三角形中的隐含条件．[答案] 由=+-=+-=)tan()](tan[tan C B C B A π .31tan tan tan tan 331tan tan tan tan -=--=-+c B CB C B C B而.120,1800=∴<<A A由=-+=+-=+-=1tan tan tan tan )tan()](tan[t B A BA B A B A anc π⋅=++33tan 3tan 3tan tan BA B A 而.30,30,1800ooooB C C =∴=∴<<∴ △ABC 是顶角为o120的等腰三角形．母题迁移 3．(1)求10sin 55sin 80sin 35sin +o 的值； (2)求20sin 25sin 25cos 70sin -的值； (3)用和、差公式证明⋅=++3318tan 12tan 3318tan 12tan考点4 变角变换[例5] 已知βααβα、,1352cos ,31)cos(-=-=+均为钝角，求).sin(βα- [解析]⋅∈+∴∈)360,180(2),180,90( αβαβα、、,01352cos ,031)cos(<-=<-=+αβα).270,180(2 o ∈+∴αβα、,322)31(1)(cos 1)sin(22-=---=+--=+∴βαβα⋅-=---=--=1312)135(12cos 12n 22ααsi -+=+-=-∴)cos(2sin )](2sin[)sin(βααβααβα=+)sin(2cos βαα⨯-)1312(--)31( =-⨯-)322()135(⋅-3921012 [点拨] ⋅+--=)()1(2βααβα(2)解题时首先要认真观察和分析题目的已知条件和结论中各种角度之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．母题迁移 4．(1)已知,434,40παππβ<<<<,135)43sin(,53)4cos(=+=-βπαπ求)(βα+ms 的值．(2)已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα求⋅+)4tan(πα考点5 ”“ααcos sin b a +的化简[例6] 化下列各式为一个角的一个三角函数形式．;cos 53sin 153)1(x x + ;cos sin )2(x x - ⋅-+-)4cos(46)4sin(42)3(x x ππ[解析] (1)原式)cos sin 3(53x x +=⋅+=)cos 21sin 23(56x x 因式,216sin ,236cos==ππ故原式=⋅+=+)6sin(56)6sin cos 6cos(sin 56πππx x x或因为,213cos ,233sin==ππ故原式=⋅-=+)3cos(56)3coscos 3sin (sin 56πππx x x(2)原式=)cos 22sin 22(2x x - ⋅-=-=)4sin(2)4sincos 4cos(sin 2πππx x x(3)原式=)]4cos(23)4(21[22x x m s -+-ππ]3sin )4cos(3cos )4[sin(22ππππx x -+-=⋅-=+-=)127sin(22)34sin(22x x πππ [点拨] 第(1)问中前者逆用公式,βα+S 后者逆用公式,βα-C 其实6π+x 和x -3π是互余的，所以=+)6sin(πx ⋅-)3cos(x π这里充分体现了三角变换只变其形不变其质这一特点，今后将x b x a cos sin +化为一个角的一个三角函数值时二者选其一即可．母题迁移 5．化简下列各式：;cos 3sin )1(x x + );cos (sin 2)2(x x -考点6)sin(cos sin φ++=+x b a x b x a （其中=φtan )ab的应用[例7] 在锐角三角形ABC 中，三个内角为A ，B ，C 且,21sin =B 求C A sin cos +的取值范围． [解析] 因为20π<<B 且,21sin =B 所以⋅=6πB又,π=++C B A 故.656A A C -=--=πππ -+=-+=+A co A A C ms A cos 65sin .sA )65sin(cos cos ππ A A cos sin 65cos =π23cos 21++A=+=)sin 21.23(3sin A co A )3sincos 3cos(sin 3ππA A +⋅+=)3sin(3πA由△ABC 为锐角三角形知，,6,2ππ=>+B B A 故>>A 2π,3π即,65332πππ<+<A 则 <<+<23,23)3sin(21πA ⋅<+23)3sin(3πA故C A sin cos +的取值范围是⋅)23,23(母题迁移 6．已知定义在R 上的函数+=wx a x f sin )()0(cos >w wx b 的周期为π，且,4)12()(=≤πf x f 求函数)(x f 的表达式和值域．[例8] 设函数--++=)6sin()6sin()(ππwx wx x f ,1cos -wx 其中.0,>∈w R x(1)求函数)(x f 的值域；(2)若函数)(x f y =的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为,2π求函数的单调增区间． [解析] 首先将函数化简为只含一个角的三角函数式．1cos cos 21sin 23cos 21sin 23)()1(---++=wx wx wx wx wx x f 1cos sin 3--=wx wx1)cos 21sin 23(2--=wx wx .1)6sin(2--=πwx因为,R x ∈所以,1)6sin(1≤-≤-πwx 故.11)6sin(23≤--≤-πwx由上可知函数)(x f y =的值域为].1,3[-(2)由题设条件及三角函数图象及性质可知)(x f y =的周期为.22ππ=⨯又,0>w 由ππ=w 2知,2=w 于是.1)62sin(2)(--=πx x f再由),(226222z k k x k ∈+≤-≤-πππππ解得-πk ).(36z k k x ∈+≤≤πππ所以)(x f y =的单调增区间为).](3,6[z k k k ∈+-ππππ[点拨] 先化简再研究性质，这是求解数学问题的通法．在三角函数中，利用三角恒等变换，尤其自然，本题引进辅助角化简x b x a cos sin +是常用的方法．母题迁移 7．已知函数a a x x x f (2cos 2sin 3)(++=为实数）．(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 的单调递减区间；(3)如果当]2,0[π∈x 时，)(x f 的最小值为-2，求a 的值，考点7 与βα±T 有关的综合问题[例9] (1)化简：++⋅+⋅ x x x x 3tan 2tan 2tan tan .tan ])1tan[(nx x n ⋅- (2)是否存在锐角α和β，使得下列两式;322πβα=+①32tan 2tan -=⋅βα②同时成立？ [解析] (1)要求这n 项的和，显然只有用拆项相消才能达到目的，如何拆项才能构成两项的差呢？这就需要用两角差的正切公式，,)1tan(tan 1)1tan(tan ])1(tan[tan x k kx x k kx x k kx x -+--=--= .1tan )1tan(tan tan )1tan(---=-∴xx k kx kx x k ∴ 原式=++-Λ-+-- )1tan 2tan 3tan ()1tan tan 2tan (x x x x x x ]1tan )1tan(tan [---xx n nx )1(tan tan tan ---=n xx nx .tan tan tan n nxco n xnx -=-=α (2)假设存在符合题意的锐角α、β， 由①得,32πβα=+.3tan 2tan 1tan 2tan )2tan(.=-+=+βαβαβα 由②得,32tan 2tan -=βα.33tan 2tan -=+∴βαβαtan ,2tan ∴是方程032)33(2=-+--x x 的两个根，得.32,121-==x x,12tan 0,420,20<<∴<<∴<<απαπα ..322tan ,12tan -==/∴αα又,41tan ,20.πββπβ=∴=<<代入①得⋅=6πα母题迁移 8．如图3 -1-2 -3，某足球赛场，一运动员带球疾进，当他在||PA 为多少时起脚射门最佳？优化分层测讯学业水平测试1．化简ββαββαsin )cos(cos )sin(-+-的结果是( )．1.A αsin .B αcos .C βαcos sin .D2．若),sin(32cos 3sin 3ϕ+=-x x x ),,(ππϕ-∈则ϕ等于( )．6.π-A 6π⋅B 65.πC 65.π-D 3．在△ABC 中，若,2)tan 1()tan 1(=+⋅+B A 则C 等于( )．4π⋅A 2π⋅B 43.πC 6π⋅D ++--<+o o 810cos()51980cos()3630sin )5540sin(.4ααα =)3α=++30tan 15tan 30tan 15tan .5 o o6．不查表求值．;14cos .44sin 14sin 44cos )1( -⋅o);36sin()54cos()36cos()54()2(x x x x ms o +⋅-++⋅- (3)已知,2tan =α求⋅-)4tan(πα高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．已知,20πβπα<<<<又,54)cos(,53sin -=+=βαα则=βsin ( )． 0.A 25240.或B 2524.C 25240.-或D2．（2010年江西高考题、）若函数<≤+=x x x x f 0,cos )tan 31()(,2π则)(x f 的最大值为( )． 1.A 2.B 13.+C 23.+D3．化简29sin 91sin 181sin 119sin o -等于( )． 21.A 21.-B 23.C 23.-D 4．若A 、B 是△ABC 的内角，,135sin ,53c ==B osA 则)sin(B A +⋅等于( )． 6563.A 6516.B 6516563.6或C 65166563.或-D 5．（2007年江苏高考题）函数,[(cos 3sin )π-∈-=<x x x x f ])0的单调递增区间是( )．]65,.[ππ--A ]6,65.[ππ--B ]0,3.[π-C ]0,6.[π-⋅D 6．（2007年江西高考题）若,3)4tan(=-απ则αcot 等于( )．2.-A 21.-B 21.C 2.D 7．已知,22,22πβππαπ<<-<<-且βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两个根，则βα+等于( )．3π⋅A 32.π-B 343ππ或⋅C 323ππ-⋅或D 8．已知,53cos =θ则)6cos(πθ+的值是( )． 10433.+A 10433.-B 10334.±C 10433.±D 二、填空题（5分x4 =20分）9．（2005年重庆高考题）已知α、β均为锐角，且=+)cos(βα),sin(βα-则=αtan10.（2010年浙江高考题）函数x x x f 2sin 22)42sin()(--=π的最小正周期是 11．（2006年陕西高考题） 167cos 43sin 77cos 43s +o co 的值为12．计算：=+-+++)15cos(3)45cos()75sin( θθθo三、解答题（10分×4 =40分）13.已知,53)sin(,1312)cos(,432-=+=-<<<βαβαπαβπ求α2sin 的值．14．(1)求80sin 310sin 1-的值．(2)求+++++1)(44tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1( )45tan o 的值．(3)求 101tan 19tan 3101tan 19tan -+的值．15．（2007年四川高考题）已知,1413)cos(,71cos =-=βαα且,20παβ<<< (1)求αtan 的值．(2)求β．16．（2008年江苏高考题）如图3 -1-2 -4所示，在平面直角坐标系xOy 中，以OX 轴为始边作两个锐角,βα、 它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为,102⋅552 (1)求)tan(βα+的值；(2)求βα2+的值．。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角公式的关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B ．法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.(教材习题改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A ．725B ．－725C ．1625D ．－1625解析：选A ．由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(±35)2＝1－1825＝725.故选A ．(教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)的值为( )A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选A ．因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×(－35)－22×(－45)＝210.(优质试题·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75(教材习题改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________．解析：原式＝2tan 15°(1－tan 15°)(1＋tan 15°)＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33.答案：33三角函数公式的直接应用[典例引领](1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1(2)(优质试题·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________． 【解析】 (1)因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A ．(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 【答案】 (1)A (2)31010三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．[注意] 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．[通关练习]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．解析：因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45. 所以cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α＝－75.答案：－752．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， 所以cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝32， 所以tan α＝－ 3.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 3三角函数公式的逆用与变形应用[典例引领](1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32(2)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( ) A ．23B ．43C ．34D ．32【解析】 (1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.(2)由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 【答案】(1)B (2)D(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[通关练习]1．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B ．22C ．12D ．－12解析：选B ．由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.角的变换[典例引领](1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A ．2525B ．255C ．2525或255D ．55或525(2)对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 【解析】 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π， cos α＞cos(α＋β)．因为45＞55＞－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)由于α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425.【答案】 (1)A (2)－2425利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[注意] 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． [通关练习]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3的值为( ) A ．23B ．12C ．34D ．45解析：选B ．tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C ．14D ．78解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－78.两角和、差及倍角公式的逆用和变用(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)，(3)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：选B ．原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A ． 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C ．原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C ．3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝( )A ．118B ．1718C ．89D ．29解析：选B ．由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos(π2－2α)2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选C ．由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得 sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725，② 由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( )A ．14B ．78C ．±14D ．±78解析：选C ．因为cos [π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x ＋π3)的值为±14，故选C ．6．已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．－cos θsin π6＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－12326.答案：5－123267．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－18．计算sin 250°1＋sin 10°＝________．解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：129．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。