整除1

第一讲数的整除（1）【知识梳理】1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。

a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。

2、一些数的整除特征：①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）；②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数；③被5整除的特征：数的个位上是0、5；④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数；⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数；⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。

【例题精讲】例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。

（1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）；（2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）；（3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。

分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。

解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。

（2）这个数可能是4670、4675。

（3）这个数是4670。

例2、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。

47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。

解答：47382能被3整除，不能被9整除。

例3、判断：1864能否被4整除？分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。

能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。

解答：1864能被4整除，29375能被125整除。

例4、29372能否被8整除？分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。

第一讲数的整除(1)【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。

解析：我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a－1和a＋1，这三个数之和为a－1＋a＋a＋1＝3a，所以我们可以说三个连续的正整数之和一定能被3整除。

【知识点】1、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。

注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.【基本习题限时训练】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3（C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3【解】B2、下列各组数中，均为自然数的是（）（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3（C）23，34，45（D） 2，4，6【解】D3、下列说法正确的是……………………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。

【解】（1）不正确。

零是整数，也是自然数；（2）正确（3）不正确。

应该是32能被4整除；（4）正确5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？【解】四个数中能被2整除的数有24、88，共两个。

6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。

【解】a可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36.【拓展题】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。

【解】设相邻的三个奇数分别为1n（n为大于1的正整数），根据题意-nn,1+,建立方程306nn，求得方程的解102=-nn，这三个自然数为101，102，+1=1++103.点评：此题主要考查的知识点整数的表示方法。

数的整除一一、整除得概念：a÷b=c，整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫a能被b整数，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。

二、例题（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数。

例1；24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数。

（2）如果数a、b都是c的倍数，那么（a+b）与（a－b）也是c的倍数。

例2：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30－24）也是6的倍数。

（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数。

例3：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数。

（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数。

例4：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数。

（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b，那么a就是b的倍数。

例5：60含有因数15，那么60就是15的倍数。

三、例题（1）4（或25）的倍数的特征：如果一个自然数的末两位是4（或25）的倍数，那么这个数就是4（或25）的倍数。

例1：58372的末两位是72，72是4的倍数，那么58372就是4的倍数。

57325得末两位是25，25是25的倍数，那么58325就是25的倍数。

（2）8（或125）的倍数的特征：如果一个自然数的末三位是8（或125）的倍数，那么这个数就是8（或125）的倍数。

例2：58272的末三位是272，272是8的倍数，那么58272就是8的倍数。

58375的末三位是375，375是125的倍数，那么58375就是125的倍数。

（3）7（或11，13）的倍数的特征如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）是7（或11，13）的倍数，那么这个数就是7（或11，13）的倍数。

例3：1059282是否是7的倍数？把1059282分为1059和282两个数。

整除整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除的一些性质为：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1 在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2 把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3 希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．例4 三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数．分析：要使这四个数的平均数是一个整数，说明这四个数的和必是4的倍数．因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，这时2063+997=3060必能被4整除．解：因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，且2063+997必能被4整除，。

学科：初中中数学教材版本：沪教版学员年级：六年级课时数：3课题整数与整除教学目标 1.掌握整数、整除、因数、自然数等概念2.理解整除的定义，掌握整除的两种表示方法3.掌握能被2、5整除数的特征，理解奇偶数的意义教学内容1.零和正整数统称为自然数2.正整数、零、负整数统称为整数正整数整数自然数零负整数3.整数a 除以整除b ,如果除得的商是整除而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a除数、被除数都是整数整除的条件被除数除以除数，商是整数而且余数为零4.整数a 能被b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫做a 的因数5.能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数【例题1】把下列各数填在适当的圈内：100、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9正整数自然数整数【解析】正整数:100、2005、9；自然数100、0、2005、9；整数：100、-6、0、2005、9；【检测1】把下列各数填在适当的圈内：13、﹣5、0、0.6、22、﹣16、86、﹣3.45.【解析】正整数:13、22、86；负整数：-5、-16；自然数：13、0、22、86；整数：13、0、22、86、-5、-16【例题2】有多少个整数呢?又有多少个自然数呢?是否存在最小的自然数?是否有最大的自然数呢?是否有最小的整数?是否存在最大的整数?是否存在最小的正整数?【解析】无数个；无数个；0；没有；没有；没有；1【检测2】判断题(1)一个整数，不是正整数就是负整数；()(2)非负整数是自然数；()(3)最小的自然数是1．（）(4)最小的整数是0．（）【解析】(1)×；(2)√；(3)×；(4)×．【例题3】正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a．【解析】符合条件的正整数为1、2、3、4、6、9、12、18、36.【检测3】能整除12的数有哪些？【解析】能整除12的数有6个：l，2，3，4，6，12【检测4】在算式①9.6÷3，②2÷5，③12÷3，④8÷4，⑤3÷2，⑥5÷2.5中，是除尽是整除。

第一章数的整除1,数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

再例如：判断13574是否是11的倍数？⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.二、例题同类练习1、四位数3AA1能被9整除，求A。

2、从0，1，4，7，9中选四个数字，可组成若干个四位数，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，问第十个数是多少？3、六位数234x67能被3整除，求x的值。

4、六位数A4273B能被72整除，求A与B的值。

数论（一）一：整除1、（1）如果一个数的个位上的数能被2或5整除，那么这个数能被2或5整除.（2）如果一个数末两位能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除.（3）如果一个数末三位能被8或125整除，那么这个数能被8或125整除.（4）如果一个数各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除.（5）如果一个自然数能同时被两个互质的数整除，也能被他们的乘积整除。

2、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除，否则就不能。

3、（1）如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7,11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除，否则就不能。

（2）熟记131171001⨯⨯=（3）100010001,1001,10101⨯=⨯=⨯=abcd cd abcdabcdab abc abcabc ab ababab二：质数与合数1、质数：约数只有1和它本身。

合数：至少有3个约数。

2、（1）1既不是质数也不是合数（2）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；3是最小的奇质数；4是最小的合数。

3、判断质数与合数的方法（1）100以内25个质数：（2）“N 法”：找出大于N 且最接近N 的平方数2k ，用小于k 的所有质数去除N,如果这些质数都不能整除N ，那么N 是质数；如果这些质数中至少有一个能整除N ，那么N 就是合数。

4、分解质因数例一：在□里填上适当的数字，使五位数字5872□能被2整除，这样的五位数有多少个？练习：1、在□里填上适当的数字，使四位数字139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、六位数字16249□能被4整除，这样的六位数有哪几个？例二：在□里填上适当的数字，使六位数字69547□能被4或25整除。

练习：1、在□里填上适当的数字，使五位数字31□26能被3或9整除。

2、□2020□能被8,9整除，这个数是多少？例三：在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能的大。