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第3章 函数逼近3(正交多项式 最小二乘拟合多项式)

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函数逼近

函数逼近

第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n

如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。


n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足

数值分析函数逼近

数值分析函数逼近

阜师院数科院 第六章 函数k 逼 近0
第165-页1，5 本讲稿共44页
正规方程组的几种形式（续）
在(6-4)中打开和式 m 令j=0,1,2,…,m，则 正规方程组为: k 0
j0 j1
10,,00
0,1 1,1
10,,m maa10((yy,,10))
(6-5
jmm,0 m,1 m,mam (y,m)
阜师院数科院 第六章k函 0 数逼近i 1
i 1
(j0 ,1 , ,m )
（紧接下屏） 6- 第9页，9本讲稿共44页
打开和式
m
即：
多项式拟合（续）
nao
n
k 0 xi a1
n
xi2
a2
n
ximam
n
yi
i1 i1
i1
i1
n
i1
xi
n a0 i1
m
证明 : 对任意的 (x) ck k (x) 2 i ( yi ( xi ) ( xi ) ( xi )) 2
i 1
i 1
n
n
i ( yi ( xi )) 2 2 i ( yi ( xi ))( ( xi ) ( xi ))
势？首先要建立好坏的标准。
假定a0，a1已经确定，yi* = a0+a1xi(i =1,2,…,n) 是由近似
函数求得的近似值，它与观测值
y
yi 之差ri = yi yi*=yi a0a1xi
8
(i =1,2,…,n) 称为偏差。显然， 6
图6-1
* *
偏差的大小可作为衡量近似
4
*
函数好坏的标准。偏差向量
{k(x)} 线性无关 系数矩阵非奇异 唯一解:

用正交多项式做最小二乘拟合-文档资料59页

用正交多项式做最小二乘拟合-文档资料59页

(k1 ,2, ,n1 ).
这里 Pk ( x) 是首项系数为1的 k次多项式， 根据 Pk ( x) 的 正交性，得
3
m

( xi ) xi Pk2 ( xi )
k 1
i0 m
( xi )Pk2 ( xi )
(xPk(x),Pk(x)) (Pk (x),Pk (x))

i0

( xPk , Pk )

( Pk , Pk )
（5.11）


m
( xi ) Pk2 ( xi )
i0
k
m
( xi ) Pk21 ( xi )

( Pk , Pk ) ( Pk 1 , Pk 1 )
i0
(k1 ,2, ,n1 ).
(k0 ,1 , ,n 1 ).（6.7）
在（6.6）中，若 nN，则 S ( x) 为 f ( x) 在点
xj(j0 ,1 , ,N1 )上的插值函数， 即 S(xj)f(xj),
于是由（6.6）得
N 1 ik2πj
fj ckeN,
(j0 ,1 , ,N 1 ).（6.8）
就是三角插值多项式，系数仍由（6.4）表示.
17
一般情形，假定 f ( x) 是以 2π为周期的复函数，给定
在 N个等分点
xj
2πj(j0,1, ,N1) N
上的值
fj
f 2π N
j,
由于
e i jx cj o ) x i s sj i) ( x n ( j 0 ( , 1 , ,N 1 ,i 1 ),
如下正交性：
N1 il2πk is2πk

函数逼近的几种算法及其应用汇总

函数逼近的几种算法及其应用汇总

函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。

在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。

下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。

1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。

它在数据拟合和插值中应用广泛。

例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。

2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。

常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。

3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。

最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。

这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。

4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。

正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。

常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。

正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。

5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。

插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。

计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103

计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103

§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘

数值分析习题(含答案)

数值分析习题(含答案)

第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

数值分析第3章

* 3
* f ( x) p3 ( x) 1 1 4 2 4－1 T4 ( X ) x x 2 2 2 8
f ( x) p ( x)
* 3
与零的偏差最小。
所以
* p3 ( x) 2x3 x2 8x 3
38
对区间为［a,b］的情形，
作变换
x=(b-a)t/2+(b+a)/2
41
推论1
设pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一 致逼近元. 若f(n+1)(x)在区间(a,b)上不变号，但 在x=a (或b)处不存在(但为无穷)而符号与(a,b) 内f(n+1)(x)的符号相同，则x=a(或b)属于f(x)pn*(x)的交错点组.
42
例2设f(x)= x. 求在P1［0,1］中对f(x)的最 佳一致逼近元.
n1
Tn ( x )
1 2
n1
max f ( x ) ( n 1,2,)
1 x 1
35
36
考虑两种特殊情形
（1） 当f(x)为［－１，１］上的n+1次多项式时，求 f(x)在Pn［－１,１］中的最佳一致逼近多项式. 不妨记f(x)=b0+b1x+…+ bn+1xn+1,|x|≤1,且设bn+1≠0 ， pn(x)为最佳一致逼近元. 由于首项系数为1的n+1次Chebyshev多项式Tn+1(x)无 穷模最小，
b
如果函数f(x), g(x) 在[a,b]上连续,满
a ( x ) f ( x ) g( x )dx 0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权 ( x ) 正交,如果[a,b] 上的连续函数系 k ( x ) 满足

最小二乘拟合多项式


则法方程系数矩阵为： T 常数项为：
T a y
T
n y i i 1 n x y i i y i 1 n xm y i i i 1
其他类型的拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任何具体给出的 函数形式。特别重要的是有些非线性最小二乘拟合问题通 过适当的变换可以转化为线性最小二乘问题求解。
因此，我们需要一种新的逼近原函数的办法
解决方案：
1. 2. 不要求过所有数据点（可以消除误差影响）； 尽可能地刻画数据点的趋势，靠近这些数据点。
插值与拟合的关系： 问题：给定一组数据点，构造一个函数作为近似（或逼近）。 解决方案：
1. 若要求所求曲线通过给定的所有数据点，就是插值问题； 2. 若不要求曲线通过所有数据点，而是要求它反映数据点的整体变化趋势， 这就是数据拟合，又称曲线拟合，所求出的曲线称为拟合曲线。
a0 sn a1sn 1 an s2 n un
称为正规方程组（或法方程组）。
可以证明：当 x0 , x1, 是最小值问题的解。
法方程组 可写成以 下形式:
m m xk k 1 m n xk k 1
xn , 互异时，该方程组有唯一解，并
k
x
k 1 m k 1
m
2 x k
令
x
k 1
m
n 1 k
n x y i k 1 a0 i 1 m n xy n 1 x a k 1 i 1 i i k 1 an n m 2n xin yi xk k 1 i 1

第三章 函数逼近与计算



其中，H n 表示由所有次数不超过n的代数多项式
构成的线性空间。
这就是
C a,b
空间中的最佳一致逼近问题。
四、C a , b 上最佳一致逼近多项式的存在性
定理2（Borel定理)
对任意的 f x C a , b , 在 H n 中都存在对
* f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn x ,使得
对于函数类 A 中给定的函数 f x ，要求在另一类较简
单的且便于计算的函数类 B A 中寻找一个函数 P x ，使
P x 与
f x 之差在某种度量意义下最小。
A 通常为区间
注：本章中所研究的函数类
a,b
上的连续函数，记做 C a , b ;而函数类 B 通常是代数多项式或三角多项式。
采用

b
a
f x P x dx f x P x
2
2
作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平 方逼近或均方逼近。
§2
定义
最佳一致逼近
对于任意 设函数 f x 是区间 a , b 上的连续函数， 给定的 ，如果存在多项式 P x ，使不等式
4、交错点组
定义 若函数 f x 在其定义域的某一区间 a , b
上存在 n 个点
xk , k
1, 2 , ..., n ,
f
使得
,
1
f
xk
f
max f
f
x
x
k 1, 2,..., n;
2
xk
xk 1 , k

第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法线性最小二乘拟合多项式拟合超定方程组的最小二乘解3.1 曲线拟合与最小二乘法一、拟合问题设变量 x, y 通过观测得 m 对数据我们希望用 m 对数据构造一个近似函数)(xp. 由于观测数据都带有观测误差, 而且一般m 也比较大, 用插值方法要求)(xp严格经过数据点不可取. 于是, 我们希望寻找的近似函数)(xp在各个 xi的函数值)(ixp与观测值yi尽可能接近, 这就是所谓的数据拟合问题. 二、最小二乘法的基本原理从整体考虑近似函数)(xp与所给数据点()),, 2 , 误差的大小，常用的方法有以下三种：一是误差绝对值的最大值imir0max，即误差向量的范数；二是误差绝对值的和=miir0||，即误差向量 r 的 1-范数；三是误差平方和=miir02的算术平方根，即考虑误差向量 r 的 2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和=miir02来度量误差的整体大小。

数据拟合的具体作法：1 / 11对给定数据，在取定的函数类中,求 )(xp, 使误差的平方和最小，即min])([0202==i=i=miimiyxpr 从几何意义上讲，就是寻求与给定点的距离平方和为最小的曲线)(xpy =。

函数)(xp称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(xp的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法. 多项式拟合形式比较规范，方法也比较简单，但在实际应用中，针对所讨论问题的特点，拟合函数可能为其他类型，如指数函数、有理函数、三角函数等，这就是一般最小二乘拟合问题。

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使 I (a0 , a1 , an ) || P ( x ) f ( x ) ||2 2 最小
j =0
即： b = ( , ) ij i j
a0 = an
( 0 , y )
=d
( n , y )
k =0
取 φ j ( x ) = x j , ρ ( x ) ≡ 1, [a , b] = [0, 1]
法方程组(或正规方程组) (a 0 , a1 , ... , a n ) = 法方程组回归系数a n x in y i a 0 + a1或正规方程组 x i + ... + Σ
i =1
[normal equations */ /*
ΣΣ
]
2
=2
Σ Σ
j =0
n
m
aj
x
i =1
j+k i
m
Σ
i =1
性质1 性质1 正交性 性质2 性质2 奇偶性
m≠ n 0 1 P ( x)P ( x)dx = 2 ∫1 n m 2n + 1 m = n
P ( x) = (1)n P ( x) n n
P ( x) = (2x2 1) / 2, 2 P ( x) = (5x3 3x) / 2, 3 P ( x) = (35x4 30x3 + 3) / 8, 4
( f , Pk ) 2 k + 1 1 = = ∫1 f ( x ) Pk ( x )dx . ( Pk , Pk ) 2 || δ || = ∫
2 2 1 1
平方误差为
2 f ( x )dx ∑ ak 2 . k = 0 2k + 1
2
n
x 例：求 f ( x ) = e 在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式. 1,1]上的三次最佳平方逼近多项式 上的三次最佳平方逼近多项式.
若取正交函数族Φ={ 0, 1, … ,n}， ， 就化为对角阵 对角阵！ 则B 就化为对角阵！ ( k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = ( k , k )
§3.4 正交多项式/* Orthogonal Polynomials */
定义： 定义： 次多项式， 设 gn ( x )是首项系数an ≠ 0 的 n次多项式，如果多项式序列 满足 g0 ( x ), g1 ( x ), gn ( x ), b j≠k 0, ( g j , gk ) = ∫ ρ ( x ) g j ( x ) gk ( x )dx = ( j , k = 0,1, ). a Ak > 0, j = k [a,b]上 正交. 则称多项式序列 g0 ( x ), g1 ( x ), 在[a,b]上带权 ρ( x) 正交. 正交多项式的构造： 正交多项式的构造： 多项式的构造 及区间[a,b]给定后，可由 {1, x , x 2 , x n } 给定后， 当权函数 ρ ( x )及区间 给定后 并利用正交化方法构造出正交多项式. 并利用正交化方法构造出正交多项式.
1 dn P ( x) = 1, P ( x) = n {( x2 1)n } (n = 1,2). 0 n 2 n! dxn 1 = n (2n)(2n 1) (n + 1)xn + an1 xn1 +a0 2 n!
最高项系数为1 Legendre多项式为 最高项系数为1的Legendre多项式为 n! d n % Pn ( x ) = [( x 2 1)n ] (2n)! dx n
/* regression coefficients */ 在 的极值点应有 = 0 , k = 0, ... , n ak m n m P ( x i ) = 2 [ a j x ij y i ] x ik 0= = 2∑ [ P ( x i ) y i ] a k a k i =1 i =1 j = 0
但是
①
m 很大； 很大； ② y 本身是测量值，不准确，即 y ≠ f (x ) i 本身是测量值，不准确， i i 太复杂
总体上尽可能小 尽可能小。 这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。 常见做法： 常见做法： 使 max | P ( x i ) y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) y i | 最小 /* Least-Squares method */ i =1
i =1 i =1 4 i =1 i =1 4 i =1 4
( 2 , y) = 622
3 49 1 a0 = , a1 = , a2 = 2 10 2
30 a 0 58 4 10 10 30 100 a1 = 182 30 100 354 a 622 2
2 m
确定多项式 P ( x ) = a0 + a1 x + ... + an x n ，对于一组数 据(xi, yi)
(i = 1, 2, …, n)
达到极小 极小， 使得 = ∑ [ P ( x i ) yi ]2 达到极小，
i =1
m
这里 n << m。 。
m
实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，即 的多元函数，
1 a (φ , f ) 1 0 0 n+1 = 1 1 an (φn , f ) n + 1 2n + 1
v v ( Ba = d ) n 平方误差 || δ ||2 =|| f ||2 ∑ ak (φk , f ). 2 2
( x gk , gk ) ( gk , gk ) , βk = 其中αk+1 = ( gk , gk ) ( gk1 , gk1 )
（3） gn ( x )在区间（a,b）内有n个不同的实零点. 在区间（a,b）内有n个不同的实零点.
Legendre多项式 多项式
当区间[ 1,1]、 当区间[-1,1]、权函数 ρ( x) ≡ 1 时，由 {1, x , x 2 , x n } 多项式， 正交化得到的多项式， Legendre多项式 正交化得到的多项式，称Legendre多项式，并用 P0 ( x ), P1 ( x ) , Pn ( x ), 表示. 表示.
解： 求 ( f , P0 )， ( f , P1 )， ( f , P2 )， ( f , P3 )
最小二乘拟合多项式 §3.6 最小二乘拟合多项式
/* L-S approximating polynomials */
仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易 算的近似函数 P(x) ≈ f(x)。 。
性质3 性质3 递推关系 P ( x) = 1, P ( x) = x, 0 1
性质4 在区间内有n个不同的实零点. 性质4 Pn ( x ) 在区间内有n个不同的实零点. 性质5 在所有最高项系数为1 次多项式中， 性质5 在所有最高项系数为1的n次多项式中，Legendre % 1,1]上与零的平方误差最小 上与零的平方误差最小. 多项式 P ( x )在[-1,1]上与零的平方误差最小.
最佳平方逼近多项式 一次最佳平方逼近多项式 利用Legendre多项式 利用Legendre多项式 Legendre 最佳平方逼近多项式
最小二乘拟合多项式
在 Φ = spaห้องสมุดไป่ตู้{φ0 ,φ1 , φn } 中找
P ( x ) = a 0 0 ( x ) + a 1 1 ( x ) + ... + a n n ( x )
n b I = 2 ∫ ρ ( x )[∑ a jφ j ( x ) f ( x )]φi ( x )dx = 0 ( i = 0,1, n) 令 a a i j =0 n Σ ( k , j )a j = ( k , y) , k = 0, ... , n
2
x y
1 4
2 10
3 18
4 26
，w ≡ 1
解： 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x2 ， ，
( 0 , 0 ) = ∑ 1 1 = 4
i =1 4 4
(1 , 2 ) =∑ xi xi2 = 100
i =1 4
4
( 0 , 1 ) = ∑ 1 xi = 10 (1 , 1 ) =∑ xi2 = 30 ( 0 , 2 ) = ∑ 1 xi2 = 30 ( 2 , 2 ) =∑ xi4 = 354 ( 0 , y) = ∑ 1 yi = 58 (1 , y) =182
n
Legendre多项式 考虑 f ( x ) ∈ C [ 1,1] 按Legendre多项式 { P0 ( x ), P1 ( x ) } 展开的最佳平方逼近多项式 S n ( x ) S n ( x ) = a 0 P0 ( x ) + a1 P1 ( x ) + + a n Pn ( x ), 其中 ak
m
yi xik
记 bk = Σ x , ck = Σ yi xik
i =1 k i i=1
m
b0 + 0 . . . b n+ 0
... . . . ...
b0 + n . . . bn + n
a 0 c0 . . . = . . . a c n n
例：用 y = a0 + a1 x + a 2 x 来拟合
g0 ( x) = 1,
( xn , gk ) gn ( x) = xn ∑ gk ( x), k = 1,2 . k=0 ( gk , gk )
n1
性质: 性质
任一n （1） 任一n次多项式 Pn ( x ) ∈ H n 均可表示为 g0 ( x), g1( x),gn ( x) 的线性组合. 的线性组合. （2） 递推关系 g0 ( x) = 1, g1( x) = ( x α1 )g0 ( x) g k + 1 ( x ) = ( x α k ) g k ( x ) β k g k 1 ( x )