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实验题目：用正交多项式做小二乘曲线拟合实验题目： 用正交多项式做最小二乘的曲线拟合 学生组号： 6 完成日期： 2011/11/27 1 实验目的针对给定数据的煤自燃监测数据中煤温与NO 22,之间的非线性关系，用正交多项式做最小二乘曲线拟合。
2 实验步骤2.1 算法原理设给定n+1个数据点：（yx kk,），k=0,1,···,n ，则根据这些节点作一个m 次的最小二乘拟合多项式pm（x ）=a+x a x a a mm x +++ (2)21=x a jmj j ∑=0①其中，m ≤n,一般远小于n.。
若要构造一组次数不超过ｍ的在给定点上正交的多项式函数系｛)(x Qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）｝，则可以首先利用｛)(x Qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）｝作为基函数作最小二乘曲线的拟合，即pm（x ）＝)(...)()(11x x x Qq Q q Q q mm+++ ②根据②式，其中的系数qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）为∑∑===nk kjnk kjkjx Q x Q y q2)()(，ｊ＝０，１，．．．，ｍ ③将④代入③后展开就成一般的多项式。
构造给定点上的正交多项式)(x Qj（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）的递推公式如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-==-+1,...,2,1),()()()()()(1)(11010m j x x x x x x x QQ Q Q Q j jj j j βαα ④其中αj＝dx x jk j=0，ｊ＝０，１，．．．，ｍ－１ ⑤βj＝dd j j1-，ｊ＝１，２，．．．，ｍ－１ ⑥∑==nk k jjx Q d2)(，ｊ＝０，１，．．．，ｍ－１ ⑦则实际计算过程中，根据⑤式逐步求出个正交多项式)(x Qj，并用公式④计算出q j，并将每次计算展开后累加到拟合多项式①中。
2.2 算法步骤用三个向量Ｂ,Ｔ,Ｓ,存放多项式)(1x Qj -，)(x Q j，)(1x Qj +的系数。
一、实验3.1编制以函数{}n kk x=危机的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表3.11中的数据作3次取权数1i w ≡，求拟合曲线3*kk k a xφ==∑中的参数{}k a 、平方误差2σ，并作离散数据{},i i x y 的拟合曲线*()y x φ=的图形。
程序代码： x0=-1:0.5:2;y0=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552]; n=3;alph=polyfit(x0,y0,n) %参数{a k } y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y)' %平方误差2σ=r y=polyval(alph,x); x=-1:0.01:2; y=plot(x,y,'k--'); xlabel('x');ylabel('y0 * and polyfit.y--'); hold on;plot(x0,y0,'*');title('离散数据的3项拟合') gridon;实验结果：拟合函数*()y x φ=的图形：拟合曲线3*kkka xφ==∑中的参数{}k a中3210,,,a a a a依次为alph中的四个数值。
alph =1.9991 -2.9977 -0.0000 0.5491平方误差2σ=r。
r =2.1762e-005实验分析：最小二乘曲线拟合是在离散情形下的最佳平方逼近，拟合的曲线很光滑，而且所有的7个数值点均在曲线上，拟合效果很好；拟合的平方误差很小，为10-5量级。
二、实验3.2编制正交化多项式最小二乘拟合程序，并用于求解上题中的3次多项式最小二乘拟合问题，作拟合曲线的图形，计算平方误差，并与上题结果进行比较。
程序代码：x=-1:0.5:2;y=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552];n=3;result=inputdlg({'请输入权向量w:'},'charpt-3',1,{'[1 1 1 1 1 1 1]'});w=str2num(char(result));m=length(x)-1;s1=0;s2=ones(1,m+1);v2=sum(w);d(1)=y*w';c(1)=d(1)/v2;for k=1:nxs=x.*s2.^2*w';a(k)=xs/v2;if(k==1)b(k)=0;elseb(k)=v2/v1;ends3=(x-a(k)).*s2-b(k)*s1;v3=s3.^2*w';d(k+1)=y.*s3*w';c(k+1)=d(k+1)/v3;s1=s2;s2=s3;v1=v2;v2=v3;endr=y.*y*w'-c*d'alph=zeros(1,n+1)T=zeros(n+1,n+2);T(:,2)=ones(n+1,1);T(2,3)=-a(1);if(n>=2)for k=3:n+1for i=3:k+1T(k,i)=T(k-1,i)-a(k-1)*T(k-1,i-1)-b(k-1)*T(k-2,i-2);endendendfor i=1:n+1for k=i:n+1alph(n+2-i)=alph(n+2-i)+c(k)*T(k,k+2-i);endendxmin=min(x);xmax=max(x);dx=(xmax-xmin)/(25*m);t=(xmin-dx):dx:(xmax+dx);s=alph(1);for k=2:n+1s=s.*t+alph(k);endplot(x,y,'x',t,s,'-');xlabel('x');ylabel('y');grid on;disp(alph);disp(r);实验结果：拟合曲线图形：参数{}k a 中3210,,,a a a a 依次为alph 中的四个数值：1.9991 -2.9977 -0.0000 0.5491 平方误差2σ=r ：2.1762e-005实验分析：比较实验3.1和3.2的结果发现：对于同一个数据表，两种方法的拟合参数、误差均是相等的，表示这两种方法的拟合效果是一样的。
利用正交多项式作最小二乘拟合的应用及其QBASIC程序方玲;易红岩
【期刊名称】《农业网络信息》
【年(卷),期】2004(000)004
【摘要】本文介绍了利用正交多项式作最小二乘拟合的方法及其 QBASIC,并对用该方法解出的二次多项式进行了拟合效果分析.
【总页数】2页(P40-41)
【作者】方玲;易红岩
【作者单位】河南省信阳市农业科学研究所,信阳,464000;河南省信阳市农业科学研究所,信阳,464000
【正文语种】中文
【中图分类】S115
【相关文献】
1.提纲教学法在《QBASIC程序设计》上机课中的应用 [J], 马泽波;
2.测量Basic／QBasic源程序VB化方案及共应用 [J], 邓军红;宋中杰;王清华
3.论任务驱动教学法在《QBASIC语言程序设计》课程中的应用 [J], 周爱珍
4.利用Qbasic语言和AutoCad实现程序化绘图 [J], 赵振江
5.论任务驱动教学法在《QBASIC语言程序设计》课程中的应用 [J], 周爱珍
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第32卷第3期2007年5月测绘科学Science of Surveying and Mapp ingVol 132No 13May 1作者简介:丁克良(1968Ο),男,河南淮阳人,工程师,博士,主要从事现代测量数据处理和GPS 卫星导航教学和研究工作。
E Οmail:hyiding@1631com收稿日期:2006Ο11Ο07基金项目:国家自然科学基金项目(40504003)正交最小二乘曲线拟合法丁克良①,欧吉坤②,赵春梅③(①北京建筑工程学院测绘和城市信息学院测绘工程系,北京 100044;②中国科学院测量与地球物理研究所,武汉 430077;③中国测绘科学研究院大地测量与地球动力学研究所,北京 100039)【摘 要】在最小二乘曲线拟合中,自变量的误差常常被略而不计,提出采用正交最小二乘法拟合曲线。
该方法以正交距离残差平方和极小为准则,同时顾及了因变量和自变量的误差;基于间接平差原理详细推导了相关模型和算法。
实际计算表明,采用正交最小二乘法拟合曲线,拟合效果整体上优于普通最小二乘法。
【关键词】最小二乘;曲线拟合;正交最小二乘;精度评定【中图分类号】P22 【文献标识码】A 【文章编号】1009Ο2307(2007)03Ο0018Ο031 引言曲线拟合问题是诸多试验和工程实际中广泛应用的数据处理方法。
测量工作中,通常根据测定的一系列坐标点,选取一定的数学模型拟合直线、二次曲线或者其他高次曲线。
拟合的目的是根据测量点寻求曲线的特征,求解曲线的相关参数,为工程建设管理提供必要的基础信息。
如在既有铁路工程、又有公路工程测量中,常常根据一系列的测量点和线路工程的特点求解线路工程的线形特征,为线路工程维修养护、二线工程建设、行车安全分析等提供必要的基础信息[1Ο4]。
在GI S 数据获取中,通常根据一系列的实际测量点或者是地图数字化点拟合道路、水系、等高线等曲线[5,6]。
这类问题的做法通常是根据线形的特点选取一定的数学模型,以待求的线形参数作为未知参数,以测点的纵坐标或者横坐标为观测值,采用最小二乘法处理。
《MATLAB 程序设计实践》课程考核 一、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。
（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年） “正交多项式最小二乘法拟合”正交多项式最小二乘法拟合原理正交多项式做最小二乘法拟合：不要求拟合函数y=f(x)经过所有点（x i ,y i )，而只要求在给定点x i 上残差δi=f(x i )-y i 按照某种标准达到最小，通常采用欧式范数||δ||2作为衡量标准。
这就是最小二乘法拟合。
根据作为给定节点x 0，x 1，…x m 及权函数ρ(x)>0,造出带权函数正交的多项式{P n （x ）}。
注意n ≤m,用递推公式表示P k （x ），即()()()()()()()01101111,,(1,2,,1)k k k k k P x P x x P x P x P x P x k n ααβ++-=⎧⎪=-⎨⎪=--=...-⎩ 这里的P k (x)是首项系数为1的k 次多项式，根据P k (x)的正交性，得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2i 012i 02i 0211i 10x ,,x ,0,1,1,x ,0,1,1,x mi k i k ki k mk k k i i k k mk k k i k k i k mk k k i i x P x xP x P x a P x P x P x xP P k n P P P x P P k n P P P x ρρρβρ=+==---=⎧⎪⎪==⎪⎪⎪==⋅⋅⋅-⎨⎪⎪===⋅⋅⋅-⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑ 根据公式(1)和(2)逐步求P k （x ）的同时，相应计算系数()()()02()(),(0,1,n (,)()mi j i k i k i kmk k iki i x x x f P a k P P x x ρϕϕρϕ=====⋅⋅⋅,∑∑）并逐步把*k a P k （x ）累加到S （x ）中去，最后就可得到所求的拟合函数曲线 ***0011n n y=S x =a P x +a P x ++a P x ⋅⋅⋅（）（）（）（）.流程图（2）（1）M文件function [p] = mypolyfit(x,y,n)%定义mypolyfit为最小二乘拟合函数%P = POLYFIT(X,Y,N)以计算以下多项式系数%P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1). if ~isequal(size(x),size(y))error('MATLAB:polyfit:XYSizeMismatch',...'X and Y vectors must be the same size.')end%检验X Y维数是否匹配x = x(:);y = y(:);if nargout > 2mu = [mean(x); std(x)];x = (x - mu(1))/mu(2);end%利用范德蒙德矩阵构造方程组系数矩阵V(:,n+1) = ones(length(x),1,class(x));for j = n:-1:1V(:,j) = x.*V(:,j+1);end% 对矩阵进行QR分解以求得多项式系数值[Q,R] = qr(V,0);ws = warning('off','all');p = R\(Q'*y);warning(ws);if size(R,2) > size(R,1)warning('MATLAB:polyfit:PolyNotUnique', ...'Polynomial is not unique; degree >= number of data points.')elseif condest(R) > 1.0e10if nargout > 2warning('MATLAB:polyfit:RepeatedPoints', ...'Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points.') elsewarning('MATLAB:polyfit:RepeatedPointsOrRescale', ...['Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points\n'...' or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.']) endendr = y - V*p;p = p.'; % 将多项式系数默认为行向量.5、运行流程图过程：clearx =[ 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000] y=[1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60]x1=0.5:0.05:3.0;p=mypolyfit(x,y,2)y1=p(3)+p(2)*x1+p(1)*x1.^2;plot(x,y,'*')hold onplot(x1,y1,'r')二、编程计算以下电路问题[例8-1-3]如图所示电路，已知R=5Ω，ωL=3Ω，C1ω=5Ω,Uc=100∠0,求I .R ,I .C ,I .和U .L ，U .S ，并画其相量图。
基于正交多项式的数据拟合方法常锦才;赵龙;杨倩丽【摘要】在一般多项式曲线拟合的基础上,讨论了关于数据点集的正交多项式的定义、性质及构造方法,并将这一类正交多项式用于原始数据缺失及基函数缺项时的数据拟合问题.数值实验表明正交多项式拟合与一般多项式拟合可以得到同样的结果,而正交多项式拟合的计算更为简便.【期刊名称】《河北联合大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(033)004【总页数】6页(P79-84)【关键词】数据拟合;最小二乘法;正交多项式;数据缺失【作者】常锦才;赵龙;杨倩丽【作者单位】河北联合大学理学院,河北唐山063009;河北联合大学理学院,河北唐山063009;河北联合大学理学院,河北唐山063009【正文语种】中文【中图分类】O241.51 问题的提出拟合作为函数逼近的一种方法，有着极其广泛的应用。
然而在科学研究和工程实践中经常遇到如下问题，经过试验或观测得到物理量x与y的一组离散数据对(xi，yi)(i=1，2，…，m)，其中xi互异，我们希望用简单的函数y=f(x)反映物理量y与x之间的依赖关系，即函数逼近问题。
本文主要讨论正交多项式对一元函数的拟合问题。
一般多项式拟合时，法方程组往往是病态的，计算不稳定，选用正交多项式作为拟合工具可以得到与一般多项式拟合相同的结果，而且有效的避免病态问题。
文献［4］给出了用最小二乘法求形如y=ax2+c的经验公式的方法，本文选取缺项的正交基函数也得出相同的结果。
对原始数据缺失的拟合问题，本文采用曲线拼接的思想和方法，得到满足一定光滑度的分段拟合曲线，数据预测结果表明方法是可行的。
2 正交多项式定义2.1 设φn(x)是［a，b］上首项系数an≠0的n次多项式，ρ(x)为［a，b］上的权函数，如果多项式序列{φn(x)满足则称多项式序列{φn(x为在［a，b］上带权ρ(x)正交，称φn(x)为［a，b］上的带权ρ(x)的n次正交多项式。
