3.2 正交多项式

正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。

正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。

定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。

性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。

例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。

常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。

勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。

切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。

前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。

正交回归（正交多项式回归）多项式回归虽然是一种有效的统计方法，但这种方法存在着两个缺点：一是计算量较大，特别是当自变量个数较多，或者自变量幂较高时，计算量迅速增加；二是回归系数间存在着相关性，从而剔除一个变量后还必须重新计算求出回归系数。

当自变量x的取值是等间隔时，我们可以利用正交性原理有效地克服上述缺点。

这种多项式回归方法就是本节将要介绍的正交多项式回归。

一、正交多项式回归的数学模型设变量y和x的n组观测数据服从以下k次多项式(2-4-17)令(2-4-18)…分别是x的一次、二次,…k次多项式，a ij是一些适当选择的常数，如何选择将在下面讨论(i=1,2,…，n)。

将(2-4-18)式代入(2-4-17)式，则有(2-4-19)比较(2-4-19)和(2-4-17)式可知，二者系数间存在简单的函数关系，只要求出，就可以求出。

若把…看作新的自变量，则(2-4-19)式就成为一个k元线性模型，其结构矩阵为(2-4-20) 正规方程为(2-4-21)(2-4-22) 其中在上节中我们遇到的困难是解正规方程系数矩阵的工作量太大，如果我们有办法使其对角线上的元素不为零，而其余元素均为零，那么计算就大大简化了，而且同时消去了系数间的相关性。

对于…我们可以通过选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-,…,a k0使得i(2-4-23)（2-4-24）则正规方程组为(2-4-29)回归系数为(2-4-30)满足(2-4-23)和(2-4-24)式的多项式组…我们称之为正交多项式。

显然这里关键的问题是如何找出一组正交多项式。

换言之，就是如何选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使(2-4-23)和(2-4-24)式成立。

在正交多项式回归中自变量的选择是等间隔的，设间隔为h,x0=a, 则(2-4-31)(2-4-32)则(2-4-33)由此可见，是1至n的正整数。

只要我们用代替x作为自变量，问题就变得简单了。

正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族.正交多项式是数学研究领域热点之一.许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。

现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。

因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫(Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。

关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Applicationin Scientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory，such as proof of the conjecture of Bieberbach，data fitting，mathematical physics，theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials。

线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。

本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。

一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。

具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。

二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。

2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。

3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。

三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。

通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。

2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。

可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。

3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。

它们具有计算效率高、精度较高的特点。

4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。

２００６．２３计算机工程与应用正交多项式拟合在ＥＭＤ算法端点问题中的应用朱金龙邱晓晖（南京邮电大学，南京２１０００３）Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈｕｊｉｎｌｏｎｇ０３０５１６＠１６３．ｃｏｍ摘要经验模态分解（ＥＭＤ）是由Ｈｕａｎｇ等人提出的一种全新的针对非线性非平稳信号处理的算法．通过ＥＭＤ，可以把一个信号分解为若干个固有模态函数（ＩＭＦ），再将这些ＩＭＦ进行希尔波特变换，从而得到具有真正意义的瞬时频率，因此解决了传统信号处理方法的不足之处。

与此同时，ＥＭＤ算法是一个全新的算法，本身也存在不足，如端点问题。

文章在现有的解决方法的基础上，提出了用正交多项式拟合的方法来解决ＥＭＤ的端点问题，并通过和已有算法的比较来证明这种方法的有效性。

关键词ＥＭＤ多项式拟合正交多项式拟合文章编号１００２－８３３１－（２００６）２３－００７２－０３文献标识码Ａ中图分类号ＴＰ３９３ＤｅａｌｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅＥｎｄＩｓｓｕｅｏｆＥＭＤＢａｓｅｄｏｎＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＦｉｔｔｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍＺｈｕＪｉｎｌｏｎｇＱｉｕＸｉａｏｈｕｉ（ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓ＆Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１０００３）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅＥｍｐｉｒｉｃａｌＭｏｄｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＥＭＤ）ｈａｓｂｅｅｎｄｅｖｅｌｏｐｅｄｂｙＨｕａｎｇｅｔｃ，ｗｈｉｃｈｉｓａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｆｏｒａｎａｌｙｚｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｓｉｇｎａｌ．ＡｓｉｇｎａｌｃａｎｂｅｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄｉｎｔｏｓｏｍｅＩｎｔｒｉｎｓｉｃＭｏｄｅＦｕｎｃｔｉｏｎ（ＩＭＦ），ｗｈｉｃｈｉｓｐｒｏｃｅｓｓｅｄｂｙＨｉｌｂｅｒｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｆｏｒｏｂｔａｉｎｉｎｇｍｅａｎｉｎｇｆｕｌｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓｆｒｅｑｕｅｎｃｙ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓｎｅｗｍｅｔｈｏｄｈａｓｒｅｓｏｌｖｅｄｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｂｅｌｏｎｇｉｎｇｔｏｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｓｉｇｎａｌ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｉｓｎｅｗｍｅｔｈｏｄｈａｓｓｏｍｅｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｄｕｅｔｏｈａｖｅｂｅｅｎｄｅｖｅｌｏｐｅｄｌａｔｅｌｙ．Ｏｎｅｏｆｔｈｅｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｉｓｅｎｄｉｓｓｕｅ．Ｉｎｏｕｒｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄｏｎｅｘｉｓｔｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓ，ｗｅｐｕｔｆｏｒｗａｒｄＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＦｉｔｔｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｉｓｉｓｓｕｅ．Ｗｅｈａｖｅｐｒｏｖｅｄｏｕｒｍｅａｎｉｓａｖａｉｌａｂｌｅｖｉａｃｏｍｐａｒｉｎｇｉｔｗｉｔｈｏｔｈｅｒｍｅａｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＥＭＤ，ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔｔｉｎｇ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔｔｉｎｇ基金项目：江苏省教育厅高校自然科学研究基金资助项目（编号：０２ＳＪＤ５１０００８，０４ＫＪＢ５１００９３）；江苏省图象通信重点实验室开放课题（编号：ＫＪＳ０３０３７）作者简介：朱金龙（１９７４－），男，硕士，研究方向：通信中的信号处理。

正交的名词解释1. 引言在数学和工程领域，正交是一个重要的概念。

它不仅仅用于描述数学和几何中的关系，还被广泛应用于各种实际问题的求解和优化。

本文将详细介绍正交的定义、特性、应用以及相关的数学概念。

2. 正交的定义正交是指两个或多个对象之间相互垂直或互不相关的关系。

在数学中，我们通常将正交用于描述向量、函数、矩阵等的关系。

如果两个向量的内积为零，我们可以称它们为正交向量。

同样地，如果两个函数的积分为零，我们可以称它们为正交函数。

在线性代数中，我们还可以将正交扩展到更高维度的矩阵和向量空间。

3. 正交的特性正交具有许多重要的特性和性质，下面我们将介绍其中的几个：3.1 正交向量的性质•正交向量的内积为零：如果两个向量是正交的，它们的内积为零。

即对于向量a和向量b，如果a·b=0，则称向量a和向量b正交。

•正交向量的线性无关性：如果两个向量是正交的，它们是线性无关的。

也就是说，一个向量不能表示为另一个向量的线性组合。

•正交向量的长度相等：如果两个向量是正交的，并且它们的长度相等，我们可以称它们为单位正交向量。

3.2 正交函数的性质•正交函数的积分为零：如果两个函数是正交的，它们的积分为零。

即对于函数f(x)和函数g(x)，如果∫f(x)g(x)dx=0，则称函数f(x)和函数g(x)正交。

•正交函数的线性无关性：如果两个函数是正交的，它们是线性无关的。

也就是说，一个函数不能表示为另一个函数的线性组合。

•正交函数的归一性：如果一个函数是正交的，并且它的平方积分为1，我们可以称它为归一正交函数。

4. 正交的应用正交在许多领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个：4.1 信号处理在信号处理中，正交函数被广泛用于信号的表示和分解。

正交函数可以将一个信号分解成一组正交基函数的线性组合，从而方便地进行信号分析和处理。

例如，傅里叶级数和小波变换就是基于正交函数展开的信号分解方法。

4.2 图像处理在图像处理中，正交变换被广泛用于图像的压缩和特征提取。