中考数学总复习第五章基本图形一第19讲等腰三角形练本课件

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4. (202X龙岩5月质检8题4分)三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，
则∠1＋∠2的度数为( B )
A. 90°
B. 120° C. 270°
D. 360°
第4题图
No
B. ∠AEF＝ 12∠ABC D. ∠AEB＝∠ACB
No
第1题图
第19课时 等腰三角形
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2. (202X莆田5月质检14题4分)如图，△ABC中，AB＝3 5 ，AC＝4 5 ，点F在
AC上，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E.若点D为BC中点，则DE的长为 5
____2____．
第2题图
例题图①
例题图②
No
第19课时 等腰三角形
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类型一 等腰三角形的判定及计算(202X.5)
1. (202X宁德5月质检10题4分)如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，D是AC上一点，
线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF.则下列关
系正确的是( B ) A. ∠AFE＋∠ABE＝180° C. ∠AEC＋∠ABC＝180°
第1题图
No
第19课时 等腰三角形
解：在△BAD和△CAD中，
AB＝AC
BD＝CD ，
AD＝AD
△BAD≌△CAD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，AD⊥BC，
即AD是底边BC的高．
∴BC边上的中线、高以及∠BAC的平分线互相重合
No
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第19课时 等腰三角形
No
第19课时 等腰三角形
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类型二 等边三角形性质的相关计算(202X.5)

特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。

AD＝BC， ∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD 与△DBC 中，∵∠FAD＝∠DBCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∴△FAD≌
AF＝BD，
△DBC(SAS)，∴FD＝DC，∴△CDF 是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠ FDA＝∠DCB，∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，∴△CDF 是等腰直角三角形
1．(2018·预测)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形 的周长是_______1_0_． 【解析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底
边长2，即可求得周长．
2．(2017·绥化)在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D，若 AD＝12BC， 求△ABC 的顶角的度数．
(2)作 AF⊥AB 于 A，使 AF＝BD，连结 DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠
ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD 与△DBC 中，∵∠ADF＝ADB＝C，∠DBC， AF＝BD，
【解析】等腰三角形角分锐角、直角和钝角三种情况．
解：①BC 为腰，∵AD⊥BC 于点 D，AD＝12BC，∴∠ACD＝30°，如图 1， AD 在△ABC 内部时，顶角∠C＝30°，如图 2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB
＝180°－30°＝150°，②BC 为底，如图 3，∵AD⊥BC 于点 D，AD＝12BC， ∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180 °＝90°，∴顶角∠BAC＝90°，综上所述，等腰三角形 ABC 的顶角度数为 30 °或 150°或 90°
解 ： 设 BD ＝ x ， ∵△ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 60° ， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB于点G，∴∠BDF＝∠DEA＝ ∠EFC＝90°，∴BF＝2x，∴CF＝12－2x，∴CE＝2CF＝24－4x，∴AE＝ 12－CE＝4x－12，∴AD＝2AE＝8x－24，∵AD＋BD＝AB，∴x＋8x－24＝ 12，∴x＝4，∴AD＝8

等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。

失分盲点 分类讨论防漏解 (1)遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角 有底角和顶角之分； (2)遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．
考点聚焦 归探究四
等边三角形的判定与性质的综合应用
命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
例4 [2014· 温州] 如图19－3，在等边三角形ABC中，点 D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE， 交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．
图19－3
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
例2 [2014· 襄阳] 如图19－2，在△ABC中，点D，E分 别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件： ①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等 腰三角形(用序号写出所有成立的情形)? (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°. ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F， ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE， ∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD. ∵CD＝2， ∴DF＝4.

D )
A．44°
B．66°
C．88°
D．92°
难点突破
3、如图所示，等边三角形 OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为( D A．(1，1) B．( 3，1) C．( 3， 3) D．(1， 3) )
知识梳理 考点3
性质 判定
角平分线的性质与判定
相等 角平分线上的点到这个角两边的距离______ 平分线 上 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的________
难点突破
4、如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，且交 BC 边于点 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E.若 BC＝3，则 DE 的长为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
知识梳理 考点4 线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离________
知识梳理 考点2
定义
等边三角形
三 边都相等的三角形叫做等边三角形 ________
等边三角形是轴对称图形，有____ 3 条对称轴
性质
相等 ，且等于____ 60° 等边三角形的内角都______
三 个角都相等的三角形是等边三角形 ____
判定
等腰 三角形是等边三角形 有一个角等于 60°的______
到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线 __________ 上
难点突破
5、如图所示，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， 且 AD＝AE，连结 BE，CD 交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.
第21讲:等腰三角形

第二十页，共26页。
等边三角形 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，利用等边三角形的轴对 称性，构造(gòuzào)含有30°的直角三角形，来计算解题．
第二十一页，共26页。
线段(xiànduàn)的垂直 平分线
1．(2014·钦州)如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线
MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC＝n，则△DBC
解：设∠DCE＝x°，∠ACD＝y°，则∠ACE＝x°＋y°， ∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x°－y°. ∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x°＋y°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE ＝90°－x°－y°＋x°＝90°－y°. 在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°， ∴x＋(90－y)＋(x＋y)＝180，解得x＝45，∴∠DCE＝45°
第五章 基本(jīběn)图形(一) 第19讲 等腰三角形
第一页，共26页。
1．了解(liǎojiě)等腰三角形的概念、等腰三角形的性质定理；底边上 的高、中线及顶角平分线重合． 2．掌握等腰三角形的判定定理，等边三角形的性质定理，以及等边 三角形的判定定理． 3．掌握线段垂直平分线的性质及判定，角平分线的性质及判定． 4．能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 同理：∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA. 设∠B为x°，则∠C＝x°，∠BAD＝x°， ∴∠ADC＝2x°，∠CAD＝2x°. 在△ADC中，∵∠C＋∠CAD＋∠ADC＝180°， ∴x°＋2x°＋2x°＝180°，∴x°＝36°
第七页，共26页。
等腰三角形的边、角 1．等腰三角形是两边相等的特殊三角形，以顶角平分线所在的直线 (zhíxiàn)为对称轴． 2．等腰三角形两________相等简称为“等边对等角”．

【解析】选B.∵∠B=60°, ∴∠BAP+∠APB=120°. ∵∠APD=60°,∴∠CPD+∠APB=120°, ∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,
∵AB=3,BP=1,PC=2,∴CD2= .
3
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3.(2010·宁波中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
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13．(12分)如图，等边三角形ABC边长为4，E是边BC上动点，
EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点
P，使PE=EB.设EC=x(0＜x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条
线段(不再另外添加辅助线)；
(2)Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是
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【解析】第1次折叠，即图2的一条腰长是 2，第2次折叠，
2
即图3的一条腰长是( 2)2，第3次折叠，即图4的一条腰长是
2
( )23，以此类推，第n次折叠后的等腰直角三角形的一条腰
2
长是( )2n.
2
答案：
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何图形的基本性质把复杂作图拆
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.


∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.

∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.


∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.


∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.



∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠


A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成

由(1)知 BA＝BC＝BE，
∴∠EAB＝∠AEB.
∴∠BAG＝∠BEF＝∠BCF.
课堂精讲
又∵BA＝BC， ∴△GAB≌△FCB(SAS)． ∴∠GBA＝∠FBC，BG＝BF. ∴∠GBF＝∠GBA＋∠ABF＝∠FBC＋∠ABF＝∠ABC＝120°.
GF ∴BF＝ 3. ∵AE＝5，EF＝CE＝CF＝2，∴GF＝9. ∴BF＝ GF3＝ 93＝3 3.
答案图 ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD.∴BDDC＝AEBC. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＝∠E.∴AC＝CE.∴BDDC＝AACB.
课堂精讲
例 8 下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答： 探究 1：如图 1，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现：∠BOC＝90°＋12∠A.理由如下： ∵BO 和 CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB. ∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)． 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A. ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－90°－12∠A＝90°＋12∠A.
课堂精讲
考点一 等腰三角形的性质和判定 例1 (1)(2018·成都)等腰三角形的一个底角为50°， 则它的顶角的度数为________． 【答案】80°
课堂精讲
(2)(2018·湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB＝ AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( )
知识回顾
二、线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线定义： 垂直于 一条线段且 平分 这 条线段的直线叫作线段的垂直平分线． 2．性质：线段垂直平分线上的点到 线段两端点 的距离相 等． 3．判定：到一条线段两端点距离相等的点在__这__条__线__段__的___