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2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质教学案新人教B版选修1-1

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2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件2 新人教B版选修2-1

2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件2 新人教B版选修2-1

与此抛物线相交于P,Q两点，则
11 FP FQ
1 2
2.(201全4 国2)卷 设F为抛物 C： 线 y2 3x的焦点， 过F且倾斜3角 0的为直线 C于 交 A,B两点， O为 ， 坐标原点 A， O的 则 B 面积 __为 _94 __.____
3.过抛物线 y2 2px的焦点F作倾斜角为
2
sin2
25 12
sin224co2s 1 ,又AFBF,（,),
25
25
2
cos -1AF5
5
6
例题讲解：
例3： 过抛物线 y2 4x 的焦点F的直线交
该 抛物线于A,B两点，O为坐标原点，若 AF 3 ,求AB的弦长及 AOB的面积
法一 解 ： AF 3， A2,2 2,又 x1x21 B(1 2,2),
思考
• 若焦点在y轴，AB的弦长 和三角形AOB的面积如何 变化？
2p
|AB|=
cos 2
SAOB
2
p2 cos

例题讲解：
例2.过抛物y2线 2x的焦F 点 作直线交抛物 A,B 线 两于 点，A若 B25，
12 AF BF,则AF_____.__
解：不妨 A在 设 x轴上方 ， ABsi2np2
232 2
2
4
探究2.抛物线焦点弦长和面积的表示方法
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与 这条抛物线相交于A，B两点，其中A在x轴
上方，设直线AB的倾斜角为 ，则有：
（用A直 的 B 线 倾及 斜 p表 角示）
2p |AB|= sin 2
SAOB
p2 2 sin
过焦点的所有弦中时，最何短？ AOB的面积何时最小？

高中数学第二章圆锥曲线与方程2_3_2_1抛物线的简单几何性质课件新人教A版

高中数学第二章圆锥曲线与方程2_3_2_1抛物线的简单几何性质课件新人教A版

又因为点M在抛物线上,所以( 3 )2=-2p(-2 3 ),即
p= 3 .因此所求方程是x2=- 3 y.
4 2
答案:x2=-
3 y 2
类型一
抛物线的性质及其应用
【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的 焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
k x
3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直
的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 ( )
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
B.y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
【解析】选C.设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4,可
得抛物线方程.
4.抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,
(
A. 1
2Hale Waihona Puke )B.1C. 3
2
D.2
(2)已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+
小值为________.
1 2 y +4的最 2
【解题指南】(1)P是两条曲线的交点,先利用抛物线方
程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y= k .
x
(2)将z表示为关于x的二次函数求解,注意x的取值范围.
D. ( 79 , 29 )
8 16
【解析】选B.因为抛物线方程为y=
1 4
x2,所以焦点为
F(0,1),准线为l:y=-1,设所求点的坐标为P(x,y),作 PQ⊥l于Q.根据抛物线定义可知P到准线的距离等于PQ的
长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=±4,故

《2.3.2抛物线的几何性质》2精品PPT课件

《2.3.2抛物线的几何性质》2精品PPT课件

可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
先定型，再定量
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y
x
1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)

2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】

2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】
思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质达

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质达

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质达标练新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质达标练新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质达标练新人教A版选修1-1的全部内容。

2。

3。

2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2—x2=2的上焦点，则a等于（)A。

1 B.4 C.8 D。

16【解析】选C。

根据抛物线方程可得其焦点坐标为（0，），双曲线的上焦点为(0，2），依题意则有=2，解得a=8。

2。

已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，｜PF｜=4,则直线AF的倾斜角等于（)A。

B。

C。

D。

【解析】选B。

设P(x1，y1)（x1>0，y1>0),由题意得，F（1，0），所以｜PF|=x1+1=4⇒x1=3，所以y1=2，所以A(—1,2），k AF==—,所以倾斜角为π。

3。

已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若｜AB｜=4，则AB的中点的纵坐标是( ）A。

1 B。

2 C.D。

【解析】选D.如图所示，设AB的中点为P（x0,y0），分别过A,P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′,Q，B′,由题意得|AA′｜+｜BB′|=｜AB｜=4，｜PQ|==2，又|PQ|=y0+，所以y0+=2,所以y0=。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的几何性质b11b高二11数学

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的几何性质b11b高二11数学

物线上任一点 A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公 式如表所示：
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
焦半 径|AF|
|AF|＝ x0＋p2
|AF|＝ p2－x0
|AF|＝ y0＋p2
|AF|＝ p2－y0
12/7/2021
12/7/2021
第三十五页，共三十九页。
4．抛物线 y2＝4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 3， 则焦点到 AB 的距离为________． 解析：不妨设 A(x，2 3)，则(2 3)2＝4x.所以 x＝3，所以 AB 的方程为 x＝3，抛物线的焦点为(1，0)．所以焦点到 AB 的距离为y2＝2x 上任一点，则 P 到直线 x－y＋3 ＝0 的距离为 d＝|x0－y20＋3|＝y220－y20＋3＝|（y0－21）2 2＋5|， 当 y0＝1 时，dmin＝252＝542， 所以点 P 的坐标是12，1.
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第二十四页，共三十九页。
有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用 抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化， 数形结合，以几何意义解决之；二是利用抛物线的标准方 程，进行消元代换，获得有关距离的含变量的代数关系式， 以目标函数最值的求法解决之．
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第十一页，共三十九页。
焦点弦问题 已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物 线相交于 A，B 两点．若直线 l 的倾斜角为 60°，求|AB| 的值．
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第十二页，共三十九页。
【解】 因为直线 l 的倾斜角为 60°， 所以其斜率 k＝tan 60°＝ 3. 又 F32，0， 所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.

【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)


解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 +x2 = 6, x1x2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径：
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) = 8
解法2
x y
0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4
6.25 … 5 …
o
描点及连线：
思考:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(2， 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，

原创3：2.3.2 抛物线的简单几何性质


∴－1＜k＜13，因此－1＜k＜31且 k≠0.
综上可知，斜率 k 的取值范围为k－1＜k＜பைடு நூலகம்3且k≠0
.
题目类型三、抛物线的焦点弦问题
例 3、 已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过 焦点且倾斜角为π4的直线 l 被抛物线所截得的弦长为 6，求抛 物线方程．
【思路探究】 (1)焦点在 x 轴上的抛物线方程如何设？ (2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线 截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？
3．过抛物线焦点的弦长 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2)
【变式训练】 本例中，若把直线的倾斜角改为 135°，被抛物线截得的 弦长改为 8，其他条件不变，试求抛物线的方程． 【解】 如图，依题意当抛物线方程设为 y2＝2px(p＞0) 时，
抛物线的准线为 l，则直线方程为 y＝－x＋12p.
设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
图形
范围 x≥0，y∈R 性 对称轴 x轴 质 顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 y轴
知识点二、直线与抛物线的位置关系
【问题导思】 1．直线与抛物线有哪几种位置关系？ 【提示】 三种：相离、相切、相交． 2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相 切吗？ 【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的 直线与抛物线相交时，也只有一个交点．

2016_2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.1抛物线的简单几何性质课件


1．抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 到 x 轴的距离是( 17 A. 16 C．1 ) 7 B． 8 15 D． 16
1 1 解析： 抛物线方程可化为 x ＝4y，准线方程为 y＝－16.
2
∵点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离． 15 ∴点 M 到 x 轴的距离是 . 16 答案： D
最小值问题，即代数方法解决几何问题．第(2)问可用点到直线
距离公式求距离，用函数思想求最小值，也可采用求出与已 知直线平行的抛物线的切线，再求出切点，两平行直线的距离 即为距离的最小值．
(1)设抛物上任一点 P 的坐标为(x，y)， 则|PA|
2
22 2 12 1 ＝x－3 ＋y ＝x＋3 ＋3.
1 1 此时 y＝1，x＝2，∴点 P 的坐标是2，1，两平行线间的距
5 离就是点 P 到直线的最小距离，即 dmin＝4 2.
与抛物线最值有关的问题的解题技巧
与抛物线有关的最值问题，除了利用抛物线的定义，使用
几何法求解外，也可根据题目条件转化为求函数的最值问题， 但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧．
答案： B
3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的 距离为7，则抛物线C的方程为________．
p 解析： 依题意得：4＋ ＝7，解得 p＝6. 2 所以抛物线方程为 y2＝12x.
答案： y2＝12x
4 ．已知抛物线 C ： x2 ＝ 2py(p>0) 上一点 A(m,4) 到其焦点的 距离为5.求p与m的值．
抛物线几何性质的应用
已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x
轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积 为4，求此抛物线的标准方程．

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用课件1新人教


2
y
2py 0
y
2 0
p2
(x
p ),
2
(5)
其中
y
2 0
p2.
联立(1)(5)，可得点B的纵坐标为
y p2 .
(6)
y0
由(4)(6)可知(kě zhī)，DB∥x轴.
当
y
2 0
p 2时 ， 结 论 显 然 成 立.
所以，直线(zhíxiàn)DB平行于抛物线的对
第七页，共27页。
【例2】正三角形的一个顶点位于坐标(zuòbiāo)原 点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这 个正三角形的边长．
第三页，共27页。
探究点1 抛物线几何性质(xìngzhì)的基本应用
【例1】过抛物线焦点 F的直线交抛 物线于A,B两点，通过点A和抛物线 顶点的直线交抛物线的准线于点D， 求证(qiúzhèng)：直线DB平行于抛 物线的对称轴.
l
A
OF
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
第四页，共27页。
分析： 我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直
16 2k 2 k 1 .
1 由 0,即 2k 2 k 1 0, 解得k 1, 或k 1 .
于是,当k
1, 或k
1时
,方程
①
2 只有一个解,
2
从而方程组只有一个解.这时,直线 l 与抛物线只
有一个公共点.
第十六页，共27页。
2 由 0,即 2k 2 k 1 0, 解得 1 k 1 . 2
A．8
B．16
C．32 .
D．61
x－y－2＝0或x＋y－2＝0
第二十页，共27页。
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2．3.2 抛物线的几何性质[学习目标] 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．[知识链接]类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？答案(1)范围：x≥0，y∈R；(2)对称性：抛物线y2＝2px (p>0)关于x轴对称；(3)顶点：抛物线y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率．用e 表示，由定义可知e＝1.[预习导引]1标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12．焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b2＝0的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．直线斜率不存在时，依据图象判断公共点个数．要点一 抛物线的几何性质例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪演练1 已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 要点二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在直线的方程及|P 1P 2|.解 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2. 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22.∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×－22＝22303.规律方法 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪演练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝3，又F (32，0)．所以直线l 的方程为y ＝3(x －32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －32消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.要点三 直线与抛物线的位置关系例3 已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x ＋2，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．(2)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，得2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l 与抛物线没有公共点． 综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪演练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∵AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解．∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k2. 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2，∴k BC ＝y B －y Cx B －x C＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C ＝k 8k 2＋2k 2－8－8k k2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( )A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C ．(12，1) D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ⇒4x 2－4x －m ＝0.①设此直线与抛物线相切有Δ＝0，即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1.将m ＝－1代入①式，x ＝12，从而y ＝1，所求点的坐标为(12，1)．4．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0 答案 A解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．。