数列的通项公式

求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。

变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。

数列求通项公式方法大全1.等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相同的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d。

其中，n为该数列的第n项。

2.等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相同的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)。

其中，n为该数列的第n项。

3.斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，则其通项公式为an=a1*f1+n*f2，其中，f1和f2分别为斐波那契数列的第一项和第二项。

4.调和数列求通项公式调和数列是指数列中每一项都是它前一项加上一个固定常数的倒数。

设调和数列的首项为a1，差值为d，则其通项公式为an=1/(a1+(n-1)d)。

5.等差几何数列求通项公式等差几何数列是指数列中相邻两项之间既有等差关系又有等比关系的数列。

设等差几何数列的首项为a1，公差为d，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)+d*(q^(n-1)-1)/(q-1)。

6.垂直数列求通项公式垂直数列是指数列中每一项之间的垂直差别相等，且相邻两项之间的垂直和恒定的数列。

设垂直数列的首项为a1，公差为d，垂直和为S，则其通项公式为an=(2a1+(n-1)d)*S/(2+S(n-1))。

7.几何平均数列求通项公式几何平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的几何平均数的数列。

设几何平均数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^((n-1)/2)。

8.调和平均数列求通项公式调和平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的调和平均数的数列。

设调和平均数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=2/(1/a1+(n-1)d)。

9.阿贝尔数列求通项公式阿贝尔数列是指数列中，对于任意正整数k，从第k项开始，其连续k项的和为常数的数列。

数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。

例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。

答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。

例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。

答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。

例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。

答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。

例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。

答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。

例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。

答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。

例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。

答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。

数列所有公式大全数列是数学中一个重要的概念，它是有一定规律的一组数的序列。

数列可以用来解决各种实际问题，也是许多数学领域的基础。

本文将介绍常见的数列及其公式，帮助读者更好地理解和应用数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

它的通项公式为An = A1 + (n - 1) * d，其中An表示第n 项，A1表示第一项，d表示公差。

2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

它的通项公式为An = A1 * r^(n - 1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。

3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项都是1，从第三项起，每一项都是前两项的和。

它的通项公式为Fn = F(n - 1) + F(n - 2)，其中Fn表示第n项。

4. 平方数列平方数列是指数列中的每一项都是一个平方数的数列。

它的通项公式为An = n^2，其中An表示第n项。

5. 立方数列立方数列是指数列中的每一项都是一个立方数的数列。

它的通项公式为An = n^3，其中An表示第n项。

6. 级数数列级数数列是由一组正整数构成的数列，它的每一项都是前面所有项的和。

它的通项公式为An = 1 + 2 + ... + n，其中An表示第n项。

7. 素数数列素数数列是指数列中的每一项都是素数的数列。

素数是只能被1和本身整除的整数。

素数数列没有通项公式，判断一个数是否为素数需要使用素数测试算法。

8. 偶数数列偶数数列是指数列中的每一项都是偶数的数列。

它的通项公式为An = 2n，其中An表示第n项。

9. 奇数数列奇数数列是指数列中的每一项都是奇数的数列。

它的通项公式为An = 2n - 1，其中An表示第n项。

10. 所有正整数数列所有正整数数列是由所有正整数构成的数列。

它的通项公式为An = n，其中An表示第n项。

11. 等差几何数列等差几何数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。

解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。

数列通项公式方法大全很1.等差数列通项公式：等差数列是指数列中每一项与它前一项的差固定的数列。

设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列通项公式为：an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列通项公式：等比数列是指数列中每一项与它前一项的比值固定的数列。

设等比数列为{an}，首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)。

3.斐波那契数列通项公式：斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。

设斐波那契数列为{an}，首项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的通项公式为：an = a1 * f1 + a2 * f2，其中f1和f2分别为斐波那契数列中的两个常数，通常取f1 = (1 + sqrt(5)) / 2，f2 = (1 - sqrt(5)) / 24.等差中项公式：等差中项是指等差数列中任意两项之和的一半。

设等差数列为{an}，第k项为ak，第m项为am，则等差中项公式为：ak+m = ak + am = 2 *a(k + m)/25.等比中项公式：等比中项是指等比数列中任意两项之积的平方根。

设等比数列为{an}，第k项为ak，第m项为am，则等比中项公式为：ak * am = sqrt(ak * am) = sqrt(a(k + m)/2)。

6.递推关系求通项公式：有些数列没有明确的公差或公比，但可以通过递推关系来求出通项公式。

例如，Fibonacci数列的递推关系是an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1，可以通过递推关系求出Fibonacci数列的通项公式。

以上是常见的数列通项公式方法的介绍。

根据数列中的特点和已知条件，选择适合的方法可以更快地求解出任意一项的值。

数列的通项公式数列是数学中常见的一个概念。

在数列中，每个数都按照一定的规律排列，并且数与数之间存在着某种关系。

通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。

本文将介绍数列的通项公式以及如何推导通项公式。

一、数列的定义和表示数列是按照一定的规律排列的一系列数。

数列中的每个数叫做数列的项，用a1, a2, a3, ... 表示。

项与项之间的关系可以通过一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。

二、通项公式的推导方法通项公式的推导方法主要有以下几种：1. 等差数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有：an = a1 + (n-1)d。

这个公式就是等差数列的通项公式。

2. 等比数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an = a1 * q^(n-1)。

这个公式就是等比数列的通项公式。

3. 其他数列的通项公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，其通项公式可以通过其他方法推导得到。

例如斐波那契数列、调和级数等。

三、使用通项公式求解问题通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，例如确定数列中某一项的值、确定数列中的某些特定项、求解数列中的和等。

通过使用通项公式，我们可以更加简洁地解决这些问题。

四、总结数列的通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。

通项公式的推导方法主要有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。

通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，是数列研究中的重要工具。

参考文献：1. 《高等数学》教材；。

数列的通项公式数列，也称为序列，是按照一定规律排列的一串数。

在数学中，数列的通项公式是指能够用一种确定的公式来表示数列中任意一项与其位置之间的关系。

本文将探讨数列的通项公式，以及一些常见的数列类型及其通项公式。

一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与其前一项之间的差值都相等的数列。

设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d。

其中，an表示第n项的值。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，第一项a₁=1，公差d=2，第n项的通项公式为an = 1 + (n-1)×2。

二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与其前一项之间的比值都相等的数列。

设等比数列的第一项为a₁，公比为r，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁×(r^(n-1))。

其中，an表示第n项的值。

例如，对于等比数列2, 6, 18, 54，第一项a₁=2，公比r=3，第n项的通项公式为an = 2×(3^(n-1))。

三、斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

设斐波那契数列的第一、第二项分别为a₁和a₂，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁ + a₂(n-1)。

其中，an表示第n项的值。

例如，对于斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5，第一项a₁=1，第二项a₂=1，第n项的通项公式为an = 1 + 1×(n-1)。

四、几何数列的通项公式几何数列是指数列中每一项与其前一项之间的比值都相等的数列。

设几何数列的第一项为a₁，公比为q，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁×(q^(n-1))。

其中，an表示第n项的值。

例如，对于几何数列2, 4, 8, 16，第一项a₁=2，公比q=2，第n项的通项公式为an = 2×(2^(n-1))。

五、其他数列的通项公式除了上述常见的数列类型外，还存在一些特殊的数列类型，其通项公式亦有不同表示形式。