高中物理带电粒子在磁场中运动的多解问题 人教版

习题课三 带电粒子在磁场中运动的多解问题教学目标1.了解多解问题的常见成因，逐步熟悉处理多解问题的方法；2.强化“全圆”、“动圆”的概念，学会用好绘图工具快解问题。

教学过程：一．速度方向不变，大小改变【例题1】长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端两班正中间以平行于金属板的方向射入磁场。

欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是 ( )A.m qBL v 4<B.m qBL v 45>C.m qBL v >D.mqBL v m qBL 454<< 【解析】：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r 1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r 2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r 的最小值r1以及粒子在左边穿出时r 的最大值r 2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有：r 12＝L 2+（r 1-L /2）2得r 1=5L /4，又由于r 1=mv 1/Bq 得v 1=5BqL /4m ，∴v >5BqL /4m 时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ＇点，有r 2＝L /4，又由r 2＝mv 2/Bq =L /4得v 2＝BqL /4m∴v 2<BqL /4m 时粒子能从左边穿出。

答案：AB【解后小结】本题只问带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180o 从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。

【例题2】正离子从矩形磁场的D 点沿DA 方向、以各种不同的速率射入磁场，那么，这些正离子可能从矩形边界的什么位置射出？已知AD=a ，AB=1.5a 。

【解析】【解后小结】二．速度大小不变，方向改变【例题3】(05河北高考)如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。

适用标准考点周期性与多解问题1．带电粒子电性不确立形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，因为电性不一样，当速度同样时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不一样，形成多解．如图 6 甲所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为 b .2．磁场方向不确立形成多解：有些题目只磁感觉强度的大小，而不知其方向，此时一定要考虑磁感觉强度方向不确立而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如 B 垂直纸面向里，其轨迹为 a，如 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b .3．临界状态不独一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，因为粒子运动轨迹是圆弧状，所以，它可能穿过去，也可能转过180 °从入射界面这边反向飞出，进而形成多解，如图丙所示．4．运动的周期性形成多解：带电粒子在局部是电场、局部是磁场的空间运动时，运动常常拥有来去性，进而形成多解，如图丁所示．一圆筒的横截面以下列图，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感觉强度为B.圆筒下边有相距为 d 的平行金属板M 、N ，此中 M 板带正电荷， N 板带等量负电荷.质量为m、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边沿的P 处由静止开释，经N 板的小孔S 以速度 v 沿半径 SO 方向射入磁场中.粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出.设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的状况下，求：(1)M 、 N 间电场强度 E 的大小；(2)圆筒的半径 R.(3)保持M、N间电场强度 E 不变，仅将M 板向上平移，粒子仍从M 板边沿的P处由静止开释粒子自进入圆筒至从S 孔射出时期，与圆筒的碰撞次数n 。

1.以下列图，在纸面内有磁感觉强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形ABC 为两磁场的理想界限。

三角形ABC 边长为 L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外面的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。

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知识回顾1．带电粒子在磁场中做圆周运动引起多解的原因(1)带电粒子的电性不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹．(2)磁场方向不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹．(3)临界状态不唯一形成多解，需要根据临界状态的不同分别求解．(4)圆周运动的周期性形成多解．2．带电粒子在磁场中运动临界问题的特点(1)带电粒子进入磁场时的速度方向不同，射出磁场的位置就会不同．(2)带电粒子在磁场中运动的速度大小不同，粒子的轨迹半径和运动时间就会不同．(3)粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切．规律方法1．多解问题的解题方法和技巧(1)找出多解的原因．(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心半径的可能情况．(3)对于周期性形成的多解问题，注意n的可能限定范围．2．临界问题常用的结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长．3.处理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的技巧带电粒子进入有界磁场区域，其轨迹往往是一残缺圆，存在临界和极值问题，处理的方法是根据粒子的运动轨迹，运用动态思维，作出临界轨迹图，寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律求解，分析临界问题时应注意：(1)从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律；(2)数学方法和物理方法的结合，如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值．利用“三角函数、不等式的性质、二次方程的判别式”等求极值．例题分析【例1】 (2017年石家庄毕业检测)如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，求粒子入射速率v 的最大值可能是多少．【答案】v ′＝－2Bqdm若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN ′相切的34圆弧，则有：R ′＝mv ′Bq，d ＝R ′＋R ′cos45°，解得v ′＝－2Bqdm .【例2】 如图所示，两垂直纸面向里的匀强磁场以MN 为边界，MN 边界上方磁场的磁感应强度大小B 1大于下方磁场的磁感应强度大小B 2(未知)．有一长为l 的平直挡板与MN 重合，一比荷为c 的带正电粒子从挡板的中点O 处沿垂直挡板方向以速度v ＝cB 1lk (k 为偶数)进入上方磁场中，假设粒子与挡板发生碰撞并反弹过程没有能量损失，且粒子在下方磁场中运动时不会与挡板发生碰撞，粒子最终能回到出发点O ，不计粒子重力．若k ＝4，则粒子从挡板边缘进入下方磁场中．(1)试画出k ＝10时粒子的运动轨迹； (2)求两磁场的磁感应强度大小的比值B 1B 2.【答案】B 1B 2＝k2＋1【解析】 (1)粒子在上方磁场中运动时，有qvB 1＝mv 2R 1得轨迹半径R 1＝v cB 1＝lk当k ＝10时，R 1＝l10【例3】 如图所示，在xOy 平面内，有一个圆形区域，其直径AB 与x 轴重合，圆心O ′的坐标为(2a,0)，其半径为a ，该区域内无磁场．在y 轴和直线x ＝3a 之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子从y 轴上某点射入磁场．不计粒子重力．(1)若粒子的初速度方向与y 轴正向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B 点，求粒子的初速度大小v 1；(2)若粒子的初速度方向与y 轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为Δt ＝πm3Bq ，且粒子也能到达B 点，求粒子的初速度大小v 2；(3)若粒子的初速度方向与y 轴垂直，且粒子从O ′点第一次经过x 轴，求粒子的最小初速度v min .【解析】 (1)因要求粒子不经过圆形区域就能到达B 点，故粒子到达B 点时速度方向竖直向下，则其轨迹的圆心必在x 轴正半轴上，如图 (1)所示．设粒子做圆周运动的半径为r 1，由几何关系得r 1sin30°＝3a －r 1，又qv 1B ＝m v 21r 1，解得v 1＝2qBa m(3)设粒子从C 点进入圆形区域，如图 (3)所示，O ′C 与O ′A 的夹角为θ，轨迹半径为r ，由几何关系得2a ＝r sin θ＋a cos θ，故当θ＝60°时，半径最小为r min ＝3a 又qv min B ＝mv 2minr min ，解得v min ＝3aBq m 。

带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。

带电粒子在磁场中运动的多解问题知识要点带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解。

多解的形成原因一般包含4个方面:带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同初速度时,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。

如图所示,带电粒子以速度v垂直匀强磁场进入,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度大小,而未说明磁感应强度方向,则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。

如图所示,带正电的粒子以速度v垂直匀强磁场进入,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去了,也可能转过180°后从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多解,如图所示难题解析1.【2022苏北七市三检】如图所示，xoy竖直平面坐标系中，x轴上方有垂直于xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

下方有沿+y 方向的匀强电场，电场强度大小为E 。

粒子源在坐标平面内从O 处发射速度大小、方向各不相同的粒子，粒子初速度方向与+x 方向夹角范围是[0，90°]，初速度大小范围是005,4v v ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

已知粒子的质量为m 、电荷量为+q ，不计粒子重力及粒子间相互作用。

（1）求粒子到达x 轴下方的最远距离d ；（2）求粒子第一次在磁场中运动时可能到达区域的面积S ；（3）若粒子源只沿+y 方向发射粒子，其它条件不变，发现x 轴上P 点左侧所有位置恰好均有粒子通过，求粒子从O 点运动到P 点所需的最短时间t 。

【答案】（1）202532mv d Eq=；（2）2222(5932)32m v S q B π+=；（3）064mv m t qB Eq π=+ 【解析】（1）当粒子的速度大小为054v ，且沿y 轴正向射出时粒子到达x 轴下方有最远距离d ，根据动能定理得：201524Eqd m v ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得：202532mv d Eq=（2）设速度大小为0v 的粒子在磁场中做圆周运动的半径为1r ，速度大小为054v 的粒子在磁场中做圆周运动的半径为2r ，粒子第一次在磁场中运动时可能到达区域如下图所示，1s 为粒子不能到达的区域面积。

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动1、匀速直线运动若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动。

2、匀速圆周运动若带电粒子垂直射入匀强磁场，粒子所受洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，因此不改变速度的大小，但不停地改变速度的方向，所以带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力。

知识点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期1、观察带电粒子的运动径迹（1）实验装置下图是洛伦兹力演示仪的示意图。

电子枪可以发射电子束。

玻泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。

励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。

（2）实验现象①不加磁场：电子束的径迹为直线。

②在玻璃泡中施加沿两线圈中心连线方向、指向纸面的磁场：电子束的径迹为圆周。

③保持出射电子的速度不，改变磁感应强度，发现磁感应强度越大，圆周运动的轨迹半径越小。

④保持磁感应强度不变，改变出射电子的速度大小，发现电子的出射速度越大，圆周运动的轨迹半径越大。

（3）实验结论当带电粒子以一定的速度垂直进入匀强磁场时做圆周运动，在强磁场中做匀速圆周运动，且磁感应强度越大，半径越小；运动速度越大，半径也越大。

2、公式推导（1）轨道半径由于洛伦兹力提供向心力，则有2vqvB mr=，可知带电粒子做圆周运动的轨道半径mvrqB=。

（2）周期由轨道半径与周期之间的关系2rTvπ=，得到带电粒子做圆周运动的周期2mTqBπ=。

带电粒子在匀强磁场中运动的分析1、带电粒子在不同边界磁场中的运动（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）2、圆心的确定圆心一定在与速度方向垂直的直线上。

（1）圆心在速度的垂线上（两垂法）如图a ，已知粒子的入射方向和出射方向时。