带电粒子在磁场中的多解问题(教师助手)

带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。

一、粒子的带电性质不明的情况【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。

现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.二、磁场方向的不确定带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。

【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0三、临界条件不唯一的情况【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。

有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？四、运动的反复性带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。

【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。

带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问
题
引言
带电粒子在强磁场中的运动问题一直是物理学中的重要研究方
向之一。

在强磁场中，带电粒子在受到洛伦兹力的作用下呈现出多
解和临界现象，这在某些情况下对粒子的运动轨迹和性质产生重要
影响。

多解现象
在强磁场中，由于洛伦兹力的作用，带电粒子的运动方程出现
多解的情况。

这是由于洛伦兹力与粒子运动速度与磁场方向夹角的
正弦函数关系所导致的。

当速度与磁场方向夹角为不同值时，洛伦
兹力的大小和方向也会有所变化，从而使得粒子的运动轨迹不唯一。

临界现象
在某些情况下，带电粒子在强磁场中的运动可能会出现临界现象。

临界现象是指当带电粒子的运动速度与磁场强度达到一定比例
关系时，粒子的运动状态出现急剧变化，其轨迹和动力学性质发生
显著变化。

临界现象在物理学中具有重要的理论和实际意义，在磁共振成像、粒子加速器等领域的研究中得到了广泛应用。

结论
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题是一个复杂而有趣的研究领域。

多解现象使得粒子的运动轨迹不唯一，而临界现象则带来了粒子运动状态的突变。

对这些问题的深入研究和理解将有助于推动物理学和应用科学的发展，为实际应用提供更多的可能性。

考点三带电粒子在磁场中运动的多解问题1．带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解．如图所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b.2．磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解．如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b.3．临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，如图所示，于是形成了多解．4．运动的周期性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．命题点1 电性不确定形成多解7．如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，求粒子入射速率v 的最大值可能是多少．【解析】 题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷．若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的14圆弧，轨道半径：R ＝m v Bq ，又d ＝R －R2解得v ＝(2＋2)Bqdm.若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN ′相切的34圆弧，则有：R ′＝m v ′Bqd ＝R ′＋R ′2，解得v ′＝(2－2)Bqdm .【答案】 (2＋2)Bqd m (q 为正电荷)或(2－2)Bqdm (q 为负电荷)命题点2 磁场方向不确定形成多解8．(2018·商丘模拟)一质量为m ，电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )A.4qBm B ．3qB mC.2qB mD ．qB m【解析】 依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bq v ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bq m；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bq v ＝m v 2R ，v ＝2BqRm ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bqm，应选A 、C.【答案】 AC命题点3 临界状态不唯一形成多解9．长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，板不带电，现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A ．使粒子的速度v ＜Bql4mB ．使粒子的速度v ＞5Bql4mC ．使粒子的速度v ＞BqlmD ．使粒子的速度v 满足Bql 4m ＜v ＜5Bql4m【解析】 带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝(r 1－l 2)2＋l 2，又因为r 1＝m v 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；粒子刚好打在极板左边缘，有r 2＝l 4＝m v 2Bq ，解得v 2＝Bql 4m，故A 、B 正确．【答案】 AB命题点4 运动的周期性形成多解10.(2015·重庆卷，9)如图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN 和M ′N ′是间距为h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O 和O ′，O ′N ′＝ON ＝d ，P 为靶点，O ′P ＝kd (k 为大于1的整数)．极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U .质量为m 、带电量为q 的正离子从O 点由静止开始加速，经O ′进入磁场区域．当离子打到极板上O ′N ′区域(含N ′点)或外壳上时将会被吸收，两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽略相对论效应和离子所受的重力．求：(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P 点所需的磁感应强度大小； (2)能使离子打到P 点的磁感应强度的所有可能值；(3)打到P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间． 【解析】 (1)粒子经电场加速一次后的速度为v 1，由动能定理得qU ＝12m v 21①粒子能打到P 点，则在磁场中的轨道半径r 1＝kd2②由洛伦兹力提供向心力 q v 1B 1＝m v 21r 1③联立①②③式解得B 1＝22Uqmqkd④(2)若粒子在电场中加速n 次后能打到P 点，同理可得 nqU ＝12m v 2 (n ＝1,2,3，…)⑤r n ＝kd 2⑥q v B ＝m v 2r n⑦联立⑤⑥⑦式解得B ＝22nqUmqkd ⑧由题意可得当n ＝1时，2r 1′＞d ⑨ 解得n <k 2⑩故⑧式中n 的取值为n ＝1,2,3，…，k 2－1. (3)当n ＝k 2－1时，打在P 点的粒子能量最大 粒子在磁场中运动周期T ＝2πmqB⑪ 粒子在磁场中运动时间t B ＝⎝⎛⎭⎫n －12T ⑫联立⑧⑪⑫式解得 t B ＝(2k 2－3)πmkd22Uqm (k 2－1)⑬对粒子在电场中由动量定理得 qU h ·t E＝m v ⑭ 联立⑤⑭式解得在电场中运动时间 t E ＝h2(k 2－1)mUq . 【答案】 (1)22Uqm qkd (2)22nqUmqkd (n ＝1,2,3，…，k 2－1)(3)(2k 2－3)πmkd22Uqm (k 2－1)h2(k 2－1)mUq[高考真题]1．(2015·课标卷Ⅰ，14)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的( )A ．轨道半径减小，角速度增大B ．轨道半径减小，角速度减小C ．轨道半径增大，角速度增大D ．轨道半径增大，角速度减小【解析】 由于速度方向与磁场方向垂直，粒子受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，即q v B ＝m v 2r ，轨道半径r ＝m v qB ，从较强磁场进入较弱磁场后，速度大小不变，轨道半径r 变大，根据角速度ω＝v r ＝qBm可知角速度变小，选项D 正确．【答案】 D2．(2014·课标卷Ⅱ，20)图为某磁谱仪部分构件的示意图．图中，永磁铁提供匀强磁场，硅微条径迹探测器可以探测粒子在其中运动的轨迹．宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子．当这些粒子从上部垂直进入磁场时，下列说法正确的是( )错误!错误!错误!A ．电子与正电子的偏转方向一定不同B ．电子与正电子在磁场中运动轨迹的半径一定相同C ．仅依据粒子运动轨迹无法判断该粒子是质子还是正电子D ．粒子的动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越小【解析】 在同一匀强磁场中，各粒子进入磁场时速度方向相同，但速度大小关系未知．由左手定则可知电子与正电子进入磁场时所受洛伦兹力方向相反，故偏转方向必相反，A 正确．因r ＝m vqB ，各粒子虽q 相同但v 关系未知，故m 相同、v 不同时轨迹半径不同，而当r 相同时只能表明m v 相同，不能确定m 的关系，故B 错误、C 正确．由E k ＝12m v 2有r＝2mE kqB，可见当E k 越大时m 不一定大，很难确定粒子的轨迹半径，故D 错误． 【答案】 AC3．(2013·课标卷Ⅰ，18)如图，半径为R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q (q >0)、质量为m 的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为R 2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)( )A.qBR2m B ．qBR mC.3qBR 2mD ．2qBR m【解析】 带电粒子从距离ab 为R2处射入磁场，且射出时与射入时速度方向的夹角为60°，粒子运动轨迹如图，ce 为射入速度所在直线，d 为射出点，射出速度反向延长交ce 于f 点，磁场区域圆心为O ，带电粒子所做圆周运动圆心为O ′，则O 、f 、O ′在一条直线上，由几何关系得带电粒子所做圆周运动的轨迹半径为R ，由F 洛＝F n 得q v B ＝m v 2R ，解得v ＝qBR m ，选项B 正确．【答案】 B[名校模拟]4.(2018·郑州一中高三上学期入学测试)如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，∠a ＝60°，∠b ＝90°，边长ab ＝L .粒子源在b 点将带负电的粒子以大小、方向均不同的速度射入磁场，已知粒子质量均为m ，电荷量均为q .则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是( )A.qBL 2m B ．qBL 3mC.3qBL2mD ．3qBL3m【解析】 由于所有粒子的质量均为m ，电荷量均为q ，则所有粒子在磁场中做圆周运动的周期相等．在磁场中运动时间最长的粒子是垂直bc 边入射并由bc 边射出的粒子，其中轨迹半径最大的粒子的运动轨迹与ac 边相切，由几何关系可知，该粒子的轨迹半径R ＝L tan 30°＝33L ，又由半径公式R ＝m v qB ，解得v ＝3qBL3m，D 项正确． 【答案】 D5.(2018·河北衡水冀州中学质检)如图所示，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m 、电荷量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域．不计粒子重力，也不考虑粒子间的相互影响．带电粒子可能经过的区域的面积是( )A.32π⎝⎛⎭⎫m v Bq 2 B ．12π⎝⎛⎭⎫m v Bq 2C ．π⎝⎛⎭⎫m v Bq 2D ．2π⎝⎛⎭⎫m vBq 2【解析】 根据向心力公式Bq v ＝m v 2R 得R ＝m vBq ，依题意可得出带电粒子可能到达的区域示意图，所以带电粒子可能经过的区域的面积为S ＝12πR 2＋14π(2R )2＝32π⎝⎛⎭⎫m vBq 2，A 正确．【答案】 A6．(2018·山西太原五中高三上学期月考)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷qm＝k ，则质子的速度可能为( )A ．2BkLB ．BkL 2C.3BkL 2D ．BkL 8【解析】 因质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r ＝Ln (n ＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bq v ＝m v 2r ，即v ＝Bqr m ＝Bk ·Ln(n ＝1,2,3，…)，选项B 、D 正确．【答案】 BD课时作业(二十五) [基础小题练]1．(2018·开封高三上学期期末)质子(p)和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为R p 和R α，周期分别为T p 和T α.则下列选项正确的是( )A ．R p ∶R α＝1∶2，T p ∶T α＝1∶2B ．R p ∶R α＝1∶1，T p ∶T α＝1∶1C ．R p ∶R α＝1∶1，T p ∶T α＝1∶2D ．R p ∶R α＝1∶2，T p ∶T α＝1∶1【解析】 由洛伦兹力提供向心力，则q v B ＝m v 2R ，R ＝m v qB ，由此得：R p R α＝m p q p ·q αm α＝m q ·2q 4m ＝12；由周期T ＝2πm qB 得：T p T α＝m p q p ·q αm α＝12，故选项A 正确． 【答案】 A2．(2018·江西赣中南五校高三第一次联考)一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场．粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每一小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量不变)，从图中情况可以确定( )A ．粒子从a 到b ，带正电B ．粒子从a 到b ，带负电C ．粒子从b 到a ，带正电D ．粒子从b 到a ，带负电【解析】 由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小，速度逐渐减小，根据粒子在磁场中运动的半径公式r ＝m vqB 可知，粒子运动的轨迹半径是逐渐减小的，所以粒子的运动轨迹是从b 到a ，选项A 、B 错误；再根据左手定则可知，粒子带正电，选项C 正确，D 错误．【答案】 C3．图甲所示的有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示的圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M 点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角，该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B 1、B 2，则B 1与B 2的比值为( )A ．2cos θB ．sin θ C.cos θD ．tan θ【解析】 设有界磁场Ⅰ宽度为d ，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图1、2所示，由洛伦兹力提供向心力知Bq v ＝m v 2r ，得B ＝m vrq ，由几何关系知d ＝r 1sin θ，d ＝r 2tanθ，联立得B 1B 2＝cos θ，C 正确．【答案】 C4．如图所示，在直线MN 上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，放置在直线MN 上P 点的粒子源(粒子均带负电)，可以向磁场区域纸面内的各个方向发射出比荷k 和速率v 均相同的粒子，PQ 间距离等于粒子的轨道半径R ，则过Q 点的粒子的运动时间为( )A.2πR v B ．πR 3vC.5πR 3vD ．πR v【解析】 弦长PQ 等于轨道半径，因此对应的圆心角为60°或300°，则过Q 点的粒子的运动时间为t ＝16T 或t ＝56T ，运动周期T ＝2πRv ，代入解得B 、C 正确．【答案】 BC5．如图所示，长方形abcd 长ad ＝0.6 m ，宽ab ＝0.3 m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B ＝0.25 T ．一群不计重力、质量m ＝3×10－7 kg 、电荷量q ＝＋2×10－3 C 的带电粒子以速度v ＝5×102 m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域，则( )A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa 边和ab 边D ．从aO 边射入的粒子，出射点分布在ab 边和be 边【解析】 由r ＝m vqB 得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r ＝0.3 m ，从Od 边射入的粒子，出射点分布在be 边；从aO 边射入的粒子，出射点分布在ab 边和be 边；选项D 正确．【答案】 D6．(2018·四川五校高三上学期联考)如图所示，在x >0，y >0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B .现有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，从x 轴上的某点P 沿着与x 轴成30°角的方向射入磁场．不计重力的影响，则下列说法正确的是( )A ．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点B ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为5πm3qBC ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πmqBD ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm6qB【解析】 带正电粒子由P 点与x 轴成30°角入射，则粒子运动轨迹的圆心在过P 点与速度方向垂直的方向上，粒子在磁场中要想到达坐标原点，转过的圆心角肯定大于180°，如图所示，而磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点，A 错误；由于P 点的位置不定，所以粒子在磁场中的轨迹圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角为圆弧与y 轴相切时，偏转角度为300°，运动的时间t ＝56T ＝5πm 3qB ，根据粒子运动的对称性，可知粒子的运动半径无限大时，对应的最小圆心角也一定大于120°，所以运动时间t ′>13T ＝2πm3qB ，故粒子在磁场中运动的时间范围是2πm 3qB <t ″≤5πm3qB，B 、C 正确，D 错误．【答案】 BC[创新导向练]7．实际应用——通过“各种科学实验和电器”考查粒子偏转问题带电粒子在磁场中发生偏转的物理原理可运用于各种科学实验和电器中，下面没有利用到此物理原理的有( )【解析】磁流体发电机中带电粒子在磁场力的作用下发生偏转，电荷打到上下两极板上，故A正确；电子显像管是电子在磁场力的作用下发生偏转，故B正确；回旋加速器中带电粒子在磁场中发生偏转，在电场中加速，故C正确；洗衣机与带电粒子在磁场中的偏转没有关系，故D错误．【答案】 D8．科技研究——利用“气泡室”研究带电粒子的性质在粒子物理学的研究中，经常应用“气泡室”装置．粒子通过气泡室中的液体时能量降低，在它的周围有气泡形成，显示出它的径迹．如图所示为带电粒子在气泡室运动径迹的照片，气泡室处于垂直纸面向里的匀强磁场中．下列有关甲、乙两粒子的判断正确的是() A．甲粒子带负电B．乙粒子带正电C．甲粒子从b向a运动D．乙粒子从c向d运动【解析】根据“气泡室”显示径迹可知，甲粒子从b向a运动，由左手定则可知甲粒子带负电，选项A、C正确；乙粒子从d向c运动，同理可知乙粒子带正电，选项B正确，D错误．【答案】ABC9．方法迁移——用数学方法解决物理问题(2018·福建厦门模拟)如图所示，在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为B2的匀强磁场．一带负电的粒子从原点O以与x轴成30°角斜向上射入磁场，且在上方运动半径为R.则()A．粒子经偏转一定能回到原点OB．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为1∶2C ．粒子完成一次周期性运动的时间为2πm3qBD ．粒子第2次射入x 轴上方磁场时，沿x 轴前进3R【解析】 根据左手定则判断可知，带负电的粒子在第一象限沿顺时针方向旋转，在第四象限沿逆时针方向旋转，不可能回到原点O ，A 错误．由r ＝m vqB 可知，粒子在x 轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为1∶2，B 正确．粒子完成一次周期性运动的时间t ＝16T 1＋16T 2＝πm 3qB ＋2πm 3qB ＝πmqB ，C 错误．粒子第2次射入x 轴上方磁场时沿x 轴前进L ＝R ＋2R ＝3R ，D 正确．【答案】 BD10．科技研究——利用磁偏转研究放射线的性质如图甲所示，纸面内有正方形abcd ，其内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，以正方形中心为原点作坐标系xOy ，其坐标轴分别与ab 、bc 边平行．正方形中心有一放射源，该放射源只能朝第一象限以某一速率放射某种射线，组成该射线的粒子在磁场中运动的直径略大于正方形边长．图乙中四个有关放射线在磁场中出现的位置(图中阴影部分)可能符合事实的是( )【解析】 由于放射线有α射线与β射线，而该题目没有确定是哪一种，故不确定．如果沿x 轴射出的是α粒子，依题意可知其经磁场作用后从c 点附近射出磁场区，同理沿y 轴射出的α粒子经磁场作用后从d 点附近射出磁场区，这两条轨迹之间的区域就是α粒子能到达的区域，选项B 正确；如果沿x 轴射出的是β粒子，依题意可知其经磁场作用后从b 点附近射出磁场区，沿y 轴射出的β粒子经磁场作用后从c 点附近射出磁场区，这两条轨迹之间的区域就是β粒子能到达的区域，选项C 正确．【答案】 BC[综合提升练]11．如图所示，粒子源能放出初速度为0，比荷均为qm ＝1.6×104 C/kg 的带负电粒子，进入水平方向的加速电场中，加速后的粒子正好能沿圆心方向垂直进入一个半径为r ＝0.1 m 的圆形磁场区域，磁感应强度随时间变化的关系为B ＝0.5sin ωt (T )，在圆形磁场区域右边有一屏，屏的高度为h ＝0.6 3 m ，屏距磁场右侧距离为L ＝0.2 m ，且屏中心与圆形磁场圆心位于同一水平线上．现要使进入磁场中的带电粒子能全部打在屏上，试求加速电压的最小值．【解析】 如图所示，根据洛伦兹力公式F ＝q v B 可知，磁感应强度一定时，粒子进入磁场的速度越大，在磁场中偏转量越小．故当磁感应强度取最大值时，若粒子恰好不飞离屏，则加速电压有最小值．设此时粒子刚好打在屏的最下端B 点，根据带电粒子在磁场中运动特点可知：粒子偏离方向的夹角正切值为tan θ＝h2r ＋L代入数据得tan θ＝ 3即粒子偏离方向的夹角为θ＝π3由几何关系可知：此时粒子在磁场中对应的回旋半径为R ＝r ×tan π－θ2代入数据得R ＝0.13m ①带电粒子在电场中加速时由动能定理得Uq ＝12m v 2②带电粒子在磁场中偏转时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得q v B ＝m v 2R ③联立①②③得U ＝q 2mR 2B 2代入数据得U ＝60 V 故加速电压的最小值为60 V. 【答案】 60 V12.如图所示为一方向垂直纸面向里的半圆形匀强磁场区域，O 为其圆心，AB 为其直径．足够长的收集板MN 平行于AB 且与半圆形区域相切于P 点，O 点放置一粒子源．可在OA 与OB 之间180°范围内向磁场内连续射入速度均为v 0的带负电粒子，已知AB ＝2L ，粒子的质量均为m ，带电荷量均为q ，不计粒子的重力以及相互作用．(1)若要使所有粒子均不能被收集板收集，求所加磁场需满足的条件；(2)若所加磁场的磁感应强度为m v 0qL ，求收集板上被粒子击中区域上靠近M 端与P 点的最远距离；(3)若恰有56的粒子能被收集板收集到，求所加磁场的磁感应强度．【解析】 (1)洛伦兹力提供向心力，q v 0B ＝m v 20r由左手定则可知只要沿OA 方向入射的粒子不被收集，则所有粒子均不能被收集，可知r 满足几何关系2r ≤L联立可得B ≥2m v 0qL.(2)若所加磁场的磁感应强度为m v 0qL ，可得半径r ′＝m v 0qB ′＝L沿OA 方向入射的粒子能打到收集板靠近M 端离P 点最远的位置，由几何关系可知，射出磁场时的速度方向为沿左上与水平方向成60°，如图甲所示．图甲由几何关系可得，收集板上被粒子击中区域上靠近M 端与P 点最远的距离l ＝Lsin 60°＝233L . (3)有56的粒子能被收集板收集到，恰被收集到的粒子射入磁场的速度方向与OB 的夹角θ＝30°，粒子射出磁场的速度方向与MN 平行，其几何关系如图乙所示．图乙(r ″sin θ)2＋(r ″－r ″cos θ)2＝L 2，得r ″＝2＋3L 故B ′＝m v 02＋3qL或B ′＝2－3m v 0qL.【答案】 (1)B ≥2m v 0qL (2)233L (3)m v 02＋3qL 或2－3m v 0qL。

适用标准考点周期性与多解问题1．带电粒子电性不确立形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，因为电性不一样，当速度同样时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不一样，形成多解．如图 6 甲所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为 b .2．磁场方向不确立形成多解：有些题目只磁感觉强度的大小，而不知其方向，此时一定要考虑磁感觉强度方向不确立而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如 B 垂直纸面向里，其轨迹为 a，如 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b .3．临界状态不独一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，因为粒子运动轨迹是圆弧状，所以，它可能穿过去，也可能转过180 °从入射界面这边反向飞出，进而形成多解，如图丙所示．4．运动的周期性形成多解：带电粒子在局部是电场、局部是磁场的空间运动时，运动常常拥有来去性，进而形成多解，如图丁所示．一圆筒的横截面以下列图，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感觉强度为B.圆筒下边有相距为 d 的平行金属板M 、N ，此中 M 板带正电荷， N 板带等量负电荷.质量为m、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边沿的P 处由静止开释，经N 板的小孔S 以速度 v 沿半径 SO 方向射入磁场中.粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出.设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的状况下，求：(1)M 、 N 间电场强度 E 的大小；(2)圆筒的半径 R.(3)保持M、N间电场强度 E 不变，仅将M 板向上平移，粒子仍从M 板边沿的P处由静止开释粒子自进入圆筒至从S 孔射出时期，与圆筒的碰撞次数n 。

1.以下列图，在纸面内有磁感觉强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形ABC 为两磁场的理想界限。

三角形ABC 边长为 L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外面的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。

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带电粒子在磁场中的多解问题山东省东营市仙河镇胜利第62中学（257237）高级教师 万洪禄带电粒子在磁场中的运动并不都是唯一解问题。

导致多解的因素比较多。

由于篇幅所限，本文只剖析由于带电粒子的电性、速度和磁场方向不确定引起的多解的问题。

一、带电粒子电性引起的多解带电粒子可能带正电，也可能带负电。

在没指明粒子电性时，就要分别从带正电和负电两种情况分析问题，这样就导致问题两解。

例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。

现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。

解析 由于不知道粒子带的电性，故有带正电和负电两种情况.如果带正电，则粒子向左做圆周运动，图2中左上部分；如果带负电， 则粒子也做圆周运动，图2中右下部分。

根据2v qvB m R =和2R T v π=，解得2m T qB π= 带正电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是1106θπ=，故运动时间 1155263m t T T qBθππ=== 带负电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是213θπ=，故运动时间221263m t T T qBθππ===。

答案533m m qB qB ππ或 点拨 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，要先根据初始条件和洛伦兹力方向并结合是否具有对称性，画出粒子向哪个方向偏转的圆周运动轨迹。

计算粒子在磁场中运动时间时，要先图1找到轨迹对应的圆心角θ，然后在根据2=)22m t T qBθθπππ=（计算时间。

二、带电粒子速度引起的多解 粒子速度大小不确定，或粒子速度大小与其他物理量的关系不确定，或者粒子的速度方向不确定，这三个方面都可能引起多解。

（1） 粒子速度方向引起多解例2 如图3所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面（未画出）。