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高考数学一轮复习 第七章 数列 7.4 数列求和课件 新人教B版.ppt

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2025届高中数学一轮复习课件《数列求和》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《数列求和》ppt

高考一轮总复习•数学
由③－④得12Tn＝1211－－1212n－n·12n＋1， ∴Tn＝2－(2＋n)·12n.
第19页
高考一轮总复习•数学
第20页
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和 时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
解析：①当 n 为偶数时，an＋2＝an＋2，则偶数项是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 故 a2＋a4＋…＋a100＝50×1＋50×2 49×2＝2 500.②当 n 为奇数时，an＋2＝－an＋2，即 an＋ an＋2＝2，故 a1＋a3＋…＋a99＝2×25＝50.综上，S100＝2 550.
高考一轮总复习•数学
第1页
第七章 数 列
第4讲 数列求和
高考一轮总复习•数学
第2页
01 重难题型 全线突破 02 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第3页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第4页
题型
分组求和法
典例 1(2024·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足a21＋a222＋…＋a2nn＝2nn. 从结构特点分析，属于由 Sn 求 an 的类型，应用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)的运算，求通项公式． (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意的 n∈N*，令 bn＝a2na，n，n为n为奇偶数数，， 求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解：(1)由 2an＋1－an＝16an＋1an 可得an1＋1＝a2n－16，于是an1＋1－16＝2a1n－16，即 bn＋1＝ 2bn，
而 b1＝a11－16＝2，所以{b×2n－1＝2n.

2024年新高考版数学专题1_7.4 数列求和、数列的综合

2024年新高考版数学专题1_7.4 数列求和、数列的综合

1 2
+
1 2
1 3
+…+
1 n
n
1 1
=1-
n
1 1
,
又因为n≥1,所以0< 1 ≤ 1 ,即有 1 ≤Tn<1,
n1 2
2
所以 1 ≤Tn<1 2
≤Tn<1.
解析 (1)选①.因为a4是a3与a5-8的等差中项,所以2a4=a3+a5-8,则16a1=4a1+ 16a1-8,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式是an=2n.
选②.设{an}的公比为q,依题意,有 aS23
a1q 4, a1(1 q
13+23+33+…+n3= n(n 1) 2 .
2
2.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常
数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和.以下为常见的拆项公式:
1) 1 = 1 - 1 ;
n(n 1) n n 1
2)
(2n
1 1)(2n
1)
=
1 2
1 2n 1
1 2n 1
;
3) 1 = n 1- n .
n n1
5.分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,例如:
高考 数学
专题七 数列

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt

跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

数列求和-裂项相消法-PPT课件

数列求和-裂项相消法-PPT课件
步骤： ①展开：将Sn展开
为等b比n 数列
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐④相减⑤解出Sn
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
(教材必修5习题2.3B组第四题)
解：
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3
an1 an
(1- 1）（1 - 1）（1 - 1） （ 1 1） (1 1 ) 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(
1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
数列求和-裂项相消法
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3) ＋…＋( 2 016－ 2 015)＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1. 答案：C
数列求和-裂项相消法
强化练习·扩展延伸
强化练习2
题型3：
2n
11
an (2n 1)(2n1 1) 2n 1 2n1 1
数列求和 数列求和的基本方法
知识回顾

2021版新高考数学人教B版一轮课件：7.4数列求和

2021版新高考数学人教B版一轮课件：7.4数列求和

① 1 1 ( 1 1 )； n(n k) k n n k
②
1 4n2 1
1 2
(
1 2n 1
1 )； 2n 1
③
1
1 ( n k n )；
n nk k
④loga
(1＋ 1 n
)
loga
(n＋1)
log a n（n
0).
(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这 个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
＝ 1
1 2
(
n
1
1
n
1
1
)
.
()
(4)求数列
{
1 2n
＋2n＋3}的前n项和可用分组求和.(
)
(5)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法
求解. ( )
提示:(1)√.因为数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn=
a1(1 qn )＝a1 a1qn ＝a1 an＋1 .
2
运算错误
3
不能进行合理转化
典题索引 考点一、T1,3 考点一、T4 考点二、典例 考点一、T5
【教材·基础自测】
1.(必修5P55自测与评估T4改编
)数列{an}中,an=
1 n(n 1)
为 2 020 ,则项数n为 ( )
2 021
A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021

高三数学一轮复习数列求和的方法总结课件 (共19张PPT)

高三数学一轮复习数列求和的方法总结课件 (共19张PPT)

2 23
3 24
n2n1
n 2n1
由－得
1 2
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
5
1 2 Sn
1 [1 ( 1 ) n ]
2
2
1 1
n 2 n1
2
得：
Sn
2
2n 2n
6
例、求1， 数 3， 5列 ， 7， ， 2n1 2 4 816 2n
的前 n项.和 解 S n ： 1 2 2 3 2 2 5 3 2 7 4 2 n 2 n 1
1 (1 1 1 1 1 1 )
4 223
n n1
1 (1 1 ) n 4 n 1 4(n 1)
14
五、分组求和法 如果一个数列的通项公式可写成 cn=an+bn的形式，而数列{an},{bn}是 等差数列或等比数列或可转化为能 够求和的数列，可采用分组求和法.
15
例、已知等比数{列 an}的前n项和为Sn, a4 2a3, S2 6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{bn}满足:bn an log2 an,求数列 {bn}的前n项和Tn. 解:设数 {an列 }的首项 a1,公 为比q(q为 0) 则 a1q32a1q2
.
.
.
.
.②
①
-②
：1 2
Sn
1 2
2 22
+
2 23
+
2 24
+
+
2 2n
2n 1 2 n1
11+ 1 + 1 + 2 2 22 23
+
1 2 n1

高三数学一轮复习课件：数列求和_高考复习优秀课件


= n 1 -1.
令 Sn=10, 解得 n=120. 故选 C.
考向2 裂项相消法求和 【例2】 (2013·江西高考)正项数列{an}满足：a2n－(2n－ 1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝n＋11an，求数列{bn}的前n项和Tn. 【思路点拨】 (1)通过解关于an的一元二次方程及 an>0，求an； (2)用裂项相消法求Tn.

解析： (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为 an＝2n＋1，所以 an2－1＝4n(n＋1)， 因此 bn＝4nn1＋1＝141n－n＋1 1. 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝141－21＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝141－n＋1 1＝4nn＋1. ∴所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
答案： B
2.已知数列{an}的通项公式是
an=
1
,若 Sn=10,则 n 的值
n n1
是( C )
(A)11
(B)99 (C)120
(D)121
解析:∵an=
1
= n 1 - n ,
n n 1
∴Sn=( 2 -1)+( 3
- 2 )+( 4 - 3 )+…
+( n - n 1 )+( n 1 - n )
一种思路 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项， 然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方 法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

一轮复习-数列求和专题 ppt课件


∴Sn=
1（121
11 +
33
-
1 +……+
5
= 1 （1 - 1 ）= n
2
2n+1
2n+1
1 -
2n-1
1 )
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每
一项拆成二项或多项使数列中的项出现
有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
ppt课件
20
变式探究：
求数列
1111 12 + 2 , 22 + 4 , 32 + 6 , 42 + 8
3 anan+1
3
11 1
= (6n - 5)[6(n +1) - 5] = 2 (6n - 5 - 6n +1).
故Tn=b1+b2+…+bn
=
12〔(1 -
11 )+(
77
-
1
1
)+•••+(
13
6n - 5
-
1 )〕
6n + 1
1
1
= (1 -
)
2 6n + 1
因此，使得
1 (1 -
1
m )<

a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33

n3

n(n 1) 2
2

ppt课件
3
⑥ 2+4+6+…+2n= n2+n

2024届高三数学一轮复习-求数列通项公式的方法 课件(共25张ppt)


再得出 的表达式
例五.2
在数列 中，1 = 1，+1 =

，求通项公式 ？
3 +2
解：由题意，两边同取倒数，得
设
1
an+1
+k=2
1
an
+k
即
1
an+1
1
an+1
=
=
1
2
an
1
2 +3
an
+k
对比原式，得k = 3
∴
1
an
1
an
+ 3 为首项为4，公比为2的等比数列
+ 3 = 4 · 2n−1 = 2n+1
解题思路：设 ，构造等比数列{ + }
具体步骤： 设+1 + = +
即+1 = ⋅ + − 1 ·
对比原式，得k =
q
p−1
得到以1 +为首项，为公比的等比数列{ + }
例四.1
在数列 an 中，a1 = 1，an+1 = 3an + 1，求通项公式an ？
故an =
1
2n+1 −3
六、取对数法
①形如+1 = ⋅
对数运算法则： log ⋅ = log + log
解题思路：等式两边同取对数，构造等比数列
log ⋅= · log
具体步骤： 两边同取以p为底的对数，得log +1 = log + 1
使用条件：已知+1 − =
解题思路： 2 − 1 = 1

2024版高考数学一轮总复习第7章数列第4节数列求和课件

1
1 3
+1
2
−
1
1 2
+1
2
＋…＋
1
1
+1
2
−
1
1
+1
2
−
1
1 1
+1
2
−
1
1 −1
+1
2
1
1 −1
+1
2
1
1 0
+1
2
＝
1
，
＋
1
+1
2
1
1
−
1 2
1 1
+1
+1
2
2
1
2 −1
− ＝
2
2
2 +1
.
+
应用裂项相消法求和的注意点
(1) 用 裂 项 相 消 法 求 和 时 ， 要 对 通 项 进 行 变 换 ， 如 ：
1
2
3Байду номын сангаас
4
5
1
1
1
4．已知数列：1 ，2 ，3 ，…，
2
4
8
+
1
2
，…，则其前n项和为
_______．
+1
2
1
＋1－
2
解析：设所求的数列前n项和为Sn，则
1
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
2
1
+
1
1
+1
＋…＋ ＝
4
2
2
2
3
4
5
1
＋1－ .
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【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn=
a1 a.n(＋1
1 q
)
(2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°可用倒序相加求
和. ( )
(3)当n≥2时,
n
1 2
2n n＋1 C. 2n＋1
2n＋1 n 2
B.
2n
2n＋1 n＋2
D.
2n
【解析】选B.
令S n＝
1＋ 2
2 22
＋
3 23
＋…＋
n 2n
，①
1 2
Sn＝
1 22
＋
2 23
＋…＋
n 2n
1＋
n 2n＋1
，②
①
②得，1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
Sn＝
1＋ 2
1 22
＋
1 23
＋…＋
1 2n
n 2n＋1
＝
1 2
[1 ( 1 2
＝ 1
1 2
(
n
1.
1
n
1(
1
)
)
(4)求数列
{
1 2n
＋2的n＋前3}n项和可用分组求和.(
)
(5)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减
求解. ( )
提示:(1)√.因为数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn=
a1(1 qn )＝a1 a1qn ＝a1 an＋1 .
2
运算错误
3
不能进行合理转化
典题索引 考点一、T1,3 考点一、T4 考点二、典例 考点一、T5
【教材·基础自测】
1.(必修5P55自测与评估T4改编
)数列{an}中,an=
1 n(n
1,)若{an}的前n项和
为 2 02,则0 项数n为 ( )
2 021
A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021
2 n 1 n 1 2 (n 1)(n 1) n2 1
(4)√.因为数列
{
1 2n
＋2是n＋一3个} 等比数列
与一{个21n等} 差数列的和数列,所
以求数列
1 { 2n
＋2n的＋前3}n项和可以用分组求和.
(5)×.要分a=0或a=1或a≠0且a≠1讨论求解.
【易错点索引】
序号 易错警示
1
忽视通项的特征
1 q
1 q
1 q
(2)√.因为sin21°+sin289°=sin22°+sin288°=sin23°+sin287°=1,所以
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°可用倒序相加求和.
(3)√.因为 1 ( 1 1 )＝1gn 1 (n 1)＝ 1 .
1 1
)n
]
n 2n＋1
，所以Sn＝
2n＋1
n 2n
2
.
2
3.(必修5P51练习AT3改编 )数列11，3 1，5 1，7…1,(，2n-1)+
2 4 8 16
,…的1前n
2n
项和Sn的值等于 ( )
A.n2+1-1
2n
B.2n2-n+1-1
2n
C.n2+1- 1
D.n2-n+1-1
2n-1
2n
【解析】选A.Sn=[1+3+5+7+…+(2n-(112)＋]+14＋18＋116＋…＋
1,
a1(1 qn ) ,q 1 ___1___q_______ .
1 q
2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其 和.
常见的裂项技巧
① 1 1 ( 1 1 )； n(n k) k n n k
②
1 4n2 1
1 2
(
1 2n 1
1 )； 2n 1
③
1
1 ( n k n )；
n nk k
④loga
(1＋ 1 n
)
loga
(n＋1)
log a n（n
0).
(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这 个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1 2n
)
n(1
2n 2
1)＋
1 [1 ( 1 22
1 1
)n ]
n 2＋1
1 2n
.
2
第四节 数 列 求 和
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】
1.等差数列、等比数列求和公式法
(1)等差数列的前n项和公式
Sn=n(a1
2
a=n )_____n_a1___n_(_n_2__1_).d
(2)等比数列的前n项和公式
Sn=naa1 1，aqnq
3.几个常用公式
n(n 1)
(1)1+2+3+4+…+n=2_______.
(2)1+3+5+7+…+(2n-n12)=__.
(3)2+4+6+8+…+n22n+=n____.
n(n 1)(2n 1)
(4)12+22+…+n2=____6__________. (5)13+23+33+…+n[312=n_(_n_＋__1_)]_2_____.
【解析】选C.an=n(n11)
1 n
1， n 1
Sn=(1 1 )＋( 1 1 )＋…＋( 1 1 ) 1 1 n 2 020所，以n=2 020.
2 23
n n 1
n 1 n 1 2 021
2.(必修5P51练习AT3改编 )1＋1＋3＋…＋(n )
228
2n
2n n A. 2n