数列求和的八种重要方法和例题PPT讲稿

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数列求和的常用方法总结归纳PPT

等比数列）的数列，可采用错位相减的方法进行求和.
例6：(1)已知数列{an}的首项a1 2，an 3an1 （2 n 2）,
bn log3(an 1),cn anbn n. ①证明：{an 1}是等比数列； ②求数列{cn }的前n项和S n .
Sn
3 4
(1 2
n
1 )3n1 4
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根.
(2)求和Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1 ).
Sn
1 2n1
2n 2
三、并项求和法：若数列的通项公式中含有形如(1)n，或通项公式
需分奇偶讨论的数列，可采用并项的方法进行求和.
例3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，已知 a1 1,S n 2 2an1. ①求数列{an}的通项公式；
4x 4x
2
, 令bn
g
(
an ), 2021
求数列{bn
}的前2020项和T2020
.
T2020 1010
五、裂项相消法：若通项项公式为分式，可待定系数法对定系数法
对分式进行裂项 .
例5：(1)设数列{an}满足a1 3a2 (2n 1)an 2n.
2
①求数列{an}的通项公式；
D.10200
四、倒序相加法：若数列首末两端等“距离”的两项和相等(通项公式常与
函数有关)，可采用倒序相加的方法进行求和.
例4：(1)已知函数 y f (x)满足f (x) f (1 x) 1,若数列{an}满足

数列求和方法总结(课堂PPT)

数列求和方法总结
主讲人：陈鑫城 1
本节概要数列求和的常用方法公式法分组求和法裂项相消法错位相减法倒序相加法
2
一、公式法
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
①－②得( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n 1221n1
2n
2n1
∴
Sn
4n2 2n1
16
17
五、倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加。
18
例
5.设
f
(x)
a a2
an 1
7
练:习求数 11 2列 ,31 4,51 8,,2n121n,
的n 前项.和
8
三、裂项相消法
“裂项相消法”,此法常用于形如{1/f(n)g(n)} 的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次函数。把数列中的每一项都拆成两项或几项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项
9
例 3 ： Sn求 1 1221 3 n(1 n 1 )
10
练习：
11
12
13
四、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

高三数学一轮复习数列求和的方法总结课件 (共19张PPT)

2 23
3 24
n2n1
n 2n1
由－得
1 2
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
5
1 2 Sn
1 [1 ( 1 ) n ]
2
2
1 1
n 2 n1
2
得：
Sn
2
2n 2n
6
例、求1，数 3， 5列， 7，， 2n1 2 4 816 2n
的前 n项.和解 S n ： 1 2 2 3 2 2 5 3 2 7 4 2 n 2 n 1
1 (1 1 1 1 1 1 )
4 223
n n1
1 (1 1 ) n 4 n 1 4(n 1)
14
五、分组求和法如果一个数列的通项公式可写成 cn=an+bn的形式，而数列{an},{bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法.
15
例、已知等比数{列 an}的前n项和为Sn, a4 2a3, S2 6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{bn}满足:bn an log2 an,求数列 {bn}的前n项和Tn. 解:设数 {an列 }的首项 a1,公为比q(q为 0) 则 a1q32a1q2
.
.
.
.
.②
①
-②
：1 2
Sn
1 2
2 22
+
2 23
+
2 24
+
+
2 2n
2n 1 2 n1
11+ 1 + 1 + 2 2 22 23
+
1 2 n1

数列求和专题PPT优秀课件

87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
一、分组求和法
• 方法点拨：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
一、分组求和法
练习1：求数列 9,99,999,… … ， 10n1 的前n项和 S n
练习2：求{ 1
n

1 }的前n项和
n 1
练习3：求{ 1 }的前n项和 S
n(n 2)
n
；
已知数列{ a n } 的通项公式为 an n12n
变式：(5) 求数列{ a n } 的前n项和 S n
。
三、错位相减法
• 方法点拨：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要
用于求数列{an bn }的前n项和，其中 { a n } 、 { b n } 分别是等差数列和等比数列。
三、错位相减法
练习4：已知数列 { b n } 的通项公式为 bn (1)n n 求 { b n } 的前n项和 S n
小结
• 1、掌握数列求和的常见方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法；
• 2、注意观察数列通项的特点，灵活选用求和方法。

数列求和专题完整ppt课件

①
1 2 S n
1 1 4 2 8 1 3 1 1 6 (n 1 ) 2 1 n n 2 1 n 1 ②
两式相减：1 2Sn1 21 48 1 21nn21n11 2(11121n)2nn1 2
S n2 (1 2 1 n2 n n 1)22 1 n 12 n n
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9
倒序法求和
例3.若 f (x) 1
2x
，则
2
f( 5 ) f( 4 ) f( 5 ) f( 6 )
的值为 3 2。Βιβλιοθήκη 【解析】∵1 f (x)
2x 2
∴ f(1x) 1 2x
1 2 x
2
21x 2 2 22x 2 2 x
1 1 2x
∴ f(x)f(1x) 2 2
完整版PPT课件
12
裂项法求和
练习：求和 111 1
14 47 7 10(3 n2 )3 (n1 )
1
提示：
1 ( 1 1 )
(3n2)(3n1) 3 3n2 3n1
∴
1 1
1
14 47
(3n2)(3n1)
1[(1 1)(1 1)( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
11
n
(1 )
Sn1222 n2 完整16版PnPT(课n件1)(2n1)
4
知识回顾：公式法求和
例1：求和：S n a n a n 1 b a n 2 b 2 a 2 b n 2 a n 1 b n ( n N * )
解：①当a 0时，Sn bn
②当a0且 b 0时，Sn an
③当ab0时，Sn (n1)an

数列求和的八种重要方法与例题【优质PPT】共30页文档

方法与例题【优质PPT】
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒
45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃

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lnim(b1 b2
bn )
lim
n
b1
(1
1 2n
1 1
)
b1 1 1
2(a
1) 4
2
2
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记bn
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
1 an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
（III）求 lnim(b1 b2 b3 L． bn )
（I）a2＝a1+
1 4
=
a+ 1
4
，a3=
1 2
a2=
1a+
2
1 8
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1
1 2 an
an
1 4
n为偶数 n为奇数
,
1
记 bn a2n1 4 ，n＝l，2，3，…·．
既{anbn}型
等差
等比
典例4： 4、裂项相消
1+ 1 + 1 + … + 1 = ?
1×2 2×3
n(n + 1)
变式1：通项改为 1 = 1( 1 - 1 ) n(n + 2)
2 n n+2
变式2：通项改为
2n2 4n2 -
1
= 1 + 1（ 1 - 1 )
2 4 2n -1 2n +1
分裂通项法：
数列求和的八种重要方法和例题课件
几种重要的求和思想方法：
1.倒序相加法.
2.错位相减法.
3 拆. 项法： . 4.裂项相消法：
倒序相加法:
如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.
= 2n(n + 1) S = n(n +1)
2.错位相减
当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和适用错位相减
典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n1=？
错位相减法：如果一个数列的各项是由一
个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
a1
1,故b1
1 1 1
2;
2
a2
7 8
,
故b2
7
1
1
8 3
82
a3
3 4
,
故b3
3
1
1
4; a4
13 20
,
故b4
20 . 3
42
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
1
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记bn
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法. （见到分式型的要往这种方法联想）
拆项分组求和: 典例5：
数列{an}的通项an=2n+2n-1，求该数列的前n项和.
同类性质的数列归于一组，目的是为便于运用常见数列的求和公式.
an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
bn
an
1
1 2
得an
46
bn1bn bn1
3 bn
b1n 012,即, 代b入n1递推2关bn系843an,1aSnn1a612nabn(nb11122bban2n1L5
0,
bn
)
n
bn1
4 3
2(bn
4), 3
b1
4 3
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1
1 2 an
an 1
4
n为偶数 n为奇数
,
1
记 bn a2n1 4 ，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 lnim(b1 b2 b3 L bn ) ．
5.拆项分组求和法 6.并项求和法
深化数列中的数学思想方法：
热点题型1：递归数列与极限. 1
设数列{an}的首项a1=a≠
1
1 ，且 4
an1
2
an
an 1
4
记 bn a2n1 4 ，n＝l，2，3，…·．
n为偶数
,
n为奇数
（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
分组求和法：
把数列的每一项分成两项，或把数
列的项“集”在一块重新组合，或把整
个数列分成两部分，使其转化为等差或
等比数列，这一求和方法称为分组求和
法.
{an+bn+cn} 错位相减
等差
等比或裂项相消
并项求和
典型6：
1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
局部重组转化为常见数列
交错数列，并项求和既{（-1）n bn}
2 3
0,
{bn
4}是首项为 3
2 3
,公比q
2的等比数列
bn
4 3
1 3
2n
,即bn
1 2n 3
4 3
(n
1).
1 (1 2n ) 3
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)
1 2
an (4
（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求 lnim(b1 b2 b3 L bn ) ．
1 1 11
1
因为bn+1＝a2n+1－
1
4
=
2
a2n－ 4 = 2
(a2n－1－4
)
= 2 bn, (n∈N*)
1
1
所以{bn}是首项为a－ 4 , 公比为 2 的等比数列
类型a1+an=a2+an-1=a3+an2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
型
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）
+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+
（=--421）1
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的思考方式：求和看通项（怎样的类型）若无通项，则须先求出通项方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法