广东省揭阳市第三中学2017届高三上学期第3次月考数学(理)试题+Word版含答案

广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A B U =⊆，，则满足{1,2}A B =I 的集合B 有( ) （A ）1个（B ）3个 （C ）4个 （D ）8个（2）若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于( )（A ）12（B ）2 （C ）12- （D ）－2（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为{}n S ，若36a =，312S =， 则公差d 等于( ) （A ）1（B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，则输出的的值为( ) （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7（5）定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π(0]2x ∈，时， .()cos f x x =.，则5π()3f 的值为( ) （A ）12-（B ）12（C ）32- （D ）32（6）已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( )（A ）49π9（B ）7π3（C ）28π3（D ）28π9（7）下列叙述中，正确的个数是( )①命题p ：“2R 20x x ∃∈-，≥”的否定形式为p ⌝：“2R 20x x ∀∈-，＜”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，则O 是△ABC 的垂心；③“M N ＞”是“22()()33M N >”的充分不必要条件；④命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”． （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4（8）有以下四种变换方式：k 开始是 否输出k 结束s ＜100?k =k ＋1s =s +2sk =0 s =0 （第4题）2222 正视图 侧视图俯视图（第6题）①向左平行移动π4个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12；②向右平行移动π8个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12；③每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平行移动π8个单位长度；④每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平行移动π8个单位长度．其中能将函数3πcos()2y x =+的图象变为函数πsin(2)4y x =+的图象是（ ）（A ）①和④（B ）①和③ （C ）②和④ （D ）②和③（9）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( ) （A ）144（B ）120 （C ）108 （D ）72（10）已知函数2 0 ()()ln 0kx x f x k x x +⎧=∈⎨⎩R ，≤，＞，若函数|()|y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是( )（A ）2k ≤（B ）10k -＜＜ （C ）21k --≤＜（D ）2k -≤（11）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为( ) （A ）4（B ）8 （C ）16 （D ）32（12）已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c ＜＜，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论： ①(0)(1)0f f ＞； ②(0)(1)0f f ＜； ③(0)(3)0f f ＞； ④(0)(3)0f f ＜； ⑤4abc ＜； ⑥4abc ＞． 其中正确结论的序号是( ) （A ）①③⑤（B ）①④⑥ （C ）②③⑤ （D ）②④⑥第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

揭阳市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(一)第I 卷（60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

A .1+iB. -iC. 1-iD. i2.设全集为U,则如图所示的阴影部分所表示的集合为 A. B C A U B. A C B U C. )(B A C U <0} D. )(B A C UA 1 B.－3 C. 3 D.－14. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为5.高等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 则{a n }的值为6. 已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，是z =3x +y 的最大值为A, -1 B.3 C.11D.127. 算法如图，若输入m=210,n = 117，则输出的n 为 A.2 B.3C,7 D.118. 函数f (x )= )sin(ϕω+x A (其中A>0, 2||πϕ<)的图象如图 所示，为了得到g(x=cos 2x的图象,则只需将f(x)的图象9.如图，OA是双曲线实半轴，OB是虚半轴，F是焦点，且10.已知点G是ΔABC的重心，A ∠ = 1200，= -2,则的最小值是A.4311.已知正方形AP 1P 2P 3的边长为2，点B，C是边P 1P 2，P 2P 3的中点，没AB，BC，CA拆成一个三棱锥P－ABC（使P 1，P 2，P 3重合于点P）则三棱锥P－ABC的外接球表面积为A. π9B. π8C. π6D. π412.已知f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧≥<---)0()0(2|1|2x e x x x a x ,且函数y=f(x)－1恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是A. (－1，∞+]B. (－2,0]C. (－2，∞+]D. (0,1]第II 卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省揭阳三中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U2．（5分）已知下列各角（1）787°，（2）﹣957°，（3）﹣289°，（4）1711°，其中在第一象限的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）3．（5分）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sin2x B．y=cosC．y=sin2x+cos2x D．y=|cosx|4．（5分）若，则sin（2π﹣α）等于（）A．﹣B．C．D．±5．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．（5分）把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（）A．B．y=﹣2sin2x C．y=2cos（x+）D．y=2cos（+）7．（5分）已知0≤x≤π，且﹣＜a＜0，那么函数f（x）=cos2x﹣2asinx﹣1的最小值是（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a﹣1 D．2a8．（5分）已知函数f（x）=log a（x2﹣ax+3）（a＞0且a≠1）满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．（2，）D．（1，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若θ满足cosθ＞﹣，则角θ的取值集合是．10．（5分）已知=2，则sinαcosα=．11．（5分）设m＜0，角α的终边经过点P（﹣3m，4m），那么sinα+2cosα的值等于．12．（5分）sin15°cos30°sin75°的值等于．13．（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为．14．（5分）定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．已知f（x）=lgx，x∈，则函数f（x）=lgx在x∈上的均值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．16．（12分）已知f（x）=x（+）（x≠0）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）＞0．17．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B都是锐角，a=6，b=5，sinB=．（1）求sinA和cosC的值；（2）设函数f（x）=sin（x+2A），求f（）的值．18．（14分）已知函数f（x）=A（sinωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，求f（x）的取值范围．19．（14分）二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）（Ⅰ）若方程f（x）=0无实数根，求证：b＞0；（Ⅱ）若方程f（x）=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f（﹣a）=；（Ⅲ）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f（k）|≤．20．（14分）已知函数（1）试判断f（x）的单调性，并说明理由；（2）若恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：2＞（n+1）•e n﹣2，（n∈N*）．广东省揭阳三中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合U={1，2，3， 4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U考点：补集及其运算．专题：集合．分析：直接根据集合的补集的定义以及条件，求出∁U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M={2，4，6}，故选A．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．2．（5分）已知下列各角（1）787°，（2）﹣957°，（3）﹣289°，（4）1711°，其中在第一象限的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：利用终边相同角的概念即可得到答案．解答：解：（1）787°=1=720°+67°，在第一象限；（2）﹣957°=﹣1080°+123°，在第二象限；（3）﹣289°=﹣360°+71°，在第一象限；（4）1711°=1800°﹣89°，在第四象限．故选：C．点评：本题考查了象限角和轴线角，是基础的会考题型．3．（5分）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sin2x B．y=cosC．y=sin2x+cos2x D．y=|cosx|考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先对函数一一说明它的周期和奇偶性，进一步确定结果．解答：解：A，函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数．B，函数y=cos是最小正周期为4π的偶函数．C，函数y=sin2x+cos2x=six（2x+）的最小正周期为π，非奇非偶函数．D，函数y=|cosx|的最小正周期为π的偶函数．故选：D点评：本题考查的知识要点：函数的最小正周期和奇偶性的应用，属于基础题型．4．（5分）若，则sin（2π﹣α）等于（）A．﹣B．C．D．±考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：通过诱导公式，求出cosα的值，进而求出sin（2π﹣α）=sinα的值．解答：解：∵∴sin（2π﹣α）=﹣sinα==故选B．点评：本题考查了诱导函数的应用，注意角的范围的应用，属于基础题型．5．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．解答：解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．6．（5分）把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（）A．B．y=﹣2sin2x C．y=2cos（x+）D．y=2cos（+）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用三角函数图象的平移得答案．解答：解：把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，得到图象对应的函数解析式为y=cos2x；再把纵坐标扩大到原来的两倍，得到图象对应的函数解析式为y=2cos2x；然后把图象向左平移个单位，则所得图形表示的函数的解析式为y=2cos2（x）=﹣2sin2x．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题．7．（5分）已知0≤x≤π，且﹣＜a＜0，那么函数f（x）=cos2x﹣2asinx﹣1的最小值是（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a﹣1 D．2a考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：0≤x≤π，可得sinx∈．由于函数f（x）=cos2x﹣2asinx﹣1=﹣sin2x﹣2asinx=﹣（sinx﹣a）2﹣a2．利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵0≤x≤π，∴sinx∈．∴函数f（x）=cos2x﹣2asinx﹣1=﹣sin2x﹣2asinx=﹣（sinx﹣a）2﹣a2．∵﹣＜a＜0，∴当sinx=1时，f（x）取得最小值，f（1）=﹣2a﹣1．故选：C．点评：本题考查了正弦函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=log a（x2﹣ax+3）（a＞0且a≠1）满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．（2，）D．（1，）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）在（﹣∞，）上是减函数．令t=x2﹣ax+3，则函数t在（﹣∞，）上是减函数，由复合函数的单调性规律可得a＞1，且﹣a•+3＞0，由此求得a的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）在（﹣∞，）上是减函数．令t=x2﹣ax+3，则函数t在（﹣∞，）上是减函数，且f（x）=log a t．由复合函数的单调性规律可得a＞1，且﹣a•+3＞0．解得 1＜a＜2，点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性规律，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若θ满足cosθ＞﹣，则角θ的取值集合是（﹣+2kπ，+2kπ）（k∈Z）．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数的图象即可得到结论．解答：解：根据余弦函数的图象可知，由cosθ＞﹣，则﹣+2kπ＜x＜+2kπ，（k∈Z），故答案为：（﹣+2kπ，+2kπ）（k∈Z）点评：本题主要考查三角不等式的求解，根据余弦函数的图象是解决本题的关键．10．（5分）已知=2，则sinαcosα=．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：把原式去分母，两边平方，化简即可求出．解答：解：由已知得：sinα+cosα=2（sinα﹣cosα），平方得：1+2sinαcosα=4﹣8sinαcosα，∴sinαcosα=．故答案为：点评：此题是一道基础题，考查学生会进行三角函数中的恒等变换，灵活运用同角三角函数间的基本关系．11．（5分）设m＜0，角α的终边经过点P（﹣3m，4m），那么sinα+2cosα的值等于．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：由题意可得x=﹣3m，y=4m，r=﹣5m，可得 sinα=及cosα=的值，从而得到sinα+2cosα的值．解答：解：∵m＜0，角α的终边经过点P（﹣3m，4m），x=﹣3m，y=4m，r=﹣5m，∴sinα==﹣，cosα==，∴sinα+2cosα=，点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，求出 sinα和cosα的值，是解题的关键．12．（5分）sin15°cos30°sin75°的值等于．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：将所求关系式变形为：sin15°cos30°sin75°=，反复利用二倍角的正弦公式，即可求得答案．解答：解：sin15°cos30°sin75°====，故答案为：．点评：本题考查二倍角的正弦，考查转化思想，属于中档题．13．（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得：所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═（﹣）|01=，故答案为：．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题．14．（5分）定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．已知f（x）=lgx，x∈，则函数f（x）=lgx在x∈上的均值为．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义，令x1•x2=10×100=1000当x1∈时，选定选定x2=∈，可得C的值解答：解：根据定义，函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．令x1•x2=10×100=1000当x1∈时，选定x2=∈可得：C=lg（x1x2）=，故答案为：点评：这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．解答：解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．16．（12分）已知f（x）=x（+）（x≠0）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）＞0．考点：函数奇偶性的判断；不等式的证明．专题：计算题；综合题．分析：（1）根据函数的解析式化简f（﹣x），注意通分变形，结合函数奇偶性的定义即可；（2）先证明x＞0时，利用指数函数的性质可证2x＞1，进而证得x＞0时成立，再利用偶函数的性质即可证明结论．解答：解：（1）f（x）的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，下面只要化简f （﹣x）．f（﹣x）=﹣x=﹣x（+）=﹣x（+）=x（+）=f（x），故f（x）是偶函数．（2）证明：当x＞0时，2x＞1，2x﹣1＞0，所以f（x）=x（+）＞0．当x＜0时，因为f（x）是偶函数所以f（x）=f（﹣x）＞0．综上所述，均有f（x）＞0．点评：本题考查函数奇偶性的定义、判断方法以及偶函数的性质，注意化简变形是解题的关键，属于基础题．17．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B都是锐角，a=6，b=5，sinB=．（1）求sinA和cosC的值；（2）设函数f（x）=sin（x+2A），求f（）的值．考点：正弦定理；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）由a，b，sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由A与B都为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA与cosB的值，根据cosC=﹣cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）将x=代入f（x）中利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式，把cosA的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵a=6，b=5，sinB=，∴由正弦定理，得sinA===，∵A、B是锐角，∴cosA==，cosB==，∵C=π﹣（A+B），∴cosC=cos=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=；（2）由（1）知cosA=，∴f（）=sin（+2A）=cos2A=2cos2A﹣1=﹣1=．点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=A（sinωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，求f（x）的取值范围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的图象确定A，ω，φ的值，从而求出函数的解析式．（2）利用整体思想求出函数的单调区间．（3）根据函数的图象，利用函数的定义域求函数的值域．解答：解：（1）由图象知A=2，，∴∴ω=2由图象过点，得到：，观察图象取，得∴（2）利用整体思想：令：解得故函数的单调递增区间为（3）∴∴f（x）的取值范围为．点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数的图象求解析式，正弦型函数单调区间的确定，利用定义域求函数的值域．属于基础题型．19．（14分）二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）（Ⅰ）若方程f（x）=0无实数根，求证：b＞0；（Ⅱ）若方程f（x）=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f（﹣a）=；（Ⅲ）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f（k）|≤．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）方程f（x）=0无实根时，由判别式△＜0即可证出b＞0；（Ⅱ）设f（x）=0的两实根为x1，x2，且x1＜x2，则根据韦达定理及x1，x2是相邻整数可得到，所以得到a2﹣4b=1，f（﹣a）=；（Ⅲ）根据f（x）=0有两个实数根，所以判别式△=a2﹣4b≥0，b．并且设m＜x1，x2＜m+1，m∈Z，并且二次函数对称轴满足，f（m）==，所以需求m+的范围，根据前面对称轴的范围得到﹣1，这样会得到f（m）＜1，而要证的是|f（k）|．所以可以想着将分成这两种情况再去求的范围即可证得该问．解答：证明：（Ⅰ）若方程f（x）=0无实根，则△=a2﹣4b＜0，即b＞，，∴b＞0；（Ⅱ）设两整根为x1，x2，x1＜x2，则；∴；∴；（Ⅲ）设m＜x1，x2＜m+1，m为整数，则：a2﹣4b≥0，∴；（1）若，即；f（m）==；（2）若，即；f（m+1）=（m+1）2+a（m+1）+b=；∴存在整数k，使得|f（k）|．点评：考查一元二次方程取得实根的情况和判别式△的关系，以及韦达定理，二次函数的对称轴．20．（14分）已知函数（1）试判断f（x）的单调性，并说明理由；（2）若恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：2＞（n+1）•e n﹣2，（n∈N*）．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；对数函数的单调性与特殊点．专题：综合题．分析：（1）求导函数，根据函数的定义域，即可确定函数的单调性；（2）如果当x≥1时，不等式恒成立，把k分离出来，再利用导数法确定函数的单调性，再求出函数最值即可；（3）由（2）可得，令x=n（n+1），则，写出n个式子，叠加即可证明结论．解答：（1）解：求导函数，可得=∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0，∴函数f（x）在令h（x）=x﹣lnx，则，∵x≥1，∴h′（x）≥0．∴h（x）在min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0故g（x）在min=g（1）=2，所以k≤2（3）证明：由（2）知：恒成立，即，令x=n（n+1），则，所以，，，…，．叠加得：ln=则1×22×32×…×n2×（n+1）＞e n﹣2，所以2＞（n+1）•e n﹣2，（n∈N*）．点评：本题考查应用导数研究函数的极值最值问题，考查不等式的证明，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法．。

广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（五）第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题．本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中与函数||y x =相等的是（ ） A．2y =B．y =C．yD ．2x y x=2．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知定义在复数集C 上的函数i,x R ()1,x f x x R x-∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩，则((1))f f 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设甲为：05x <<，乙为：|2|3x -<，那么乙是甲的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是（ ） A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)6．设函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 的切线方程为（ ） A ．y x =-B ．2y x =-C ．12y x =-D ．32y x =-7．在数列{}n a 中，1111,ln(1),n n n a a a a n+=-=+=则（ ） A ．1ln n n ++B ．1ln n n +C ．1(1)ln n n +-D ．1ln n +8．函数cos sin y x x x =-在下面区间中是增函数的区间为（ ） A ．π3π(,)22B ．(π,2π)C ．3π5π(,22） D ．(2π,3π)9．某加工厂用同种原材料生产出A 、B 两种产品，分别由此加工厂的甲、乙两个车间来生产，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两个车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱10．与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大的圆的方程为（ ） A ．222()x y a a +-=B ．22211()()x y a a +-=C ．22211()()22x y a a+-= D ．22211()()44x y a a+-=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上． 11．已知任意两个非零向量、m n ，向量OA =+m n ，2OB =+m n ，3OC =+m n ，则A B C 、、三点________构成三角形（填“能”或“不能”）． 12．若20132013012013(12)(R)x a a x a x x -=+++∈，则20131222013222a a a +++=________． 13．若函数lg |1|y ax =-的图像关于2x =对称，则非零实数a =________．14．双曲线2213x y -=的两个焦点为12,,F F P 是双曲线上的点，当12F PF △的面积为2时，12PF PF 的值为________．15．已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数且(1)=1f ，当12[1,1]x x ∈-、，且120x x +≠时，有1212()()0f x f x x x ++＞，若2()21f x m am -+≤对所有[1,1]x ∈-、[1,1]a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内． 16．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，112a =，公比12q =． （Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ； （Ⅱ）设21222log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．17．（本小题满分12分）已知函数π()sin()cos sin cos(π)2f x x x x x =--+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）在ABC △中，若A 为锐角，且()1f A =，2BC =，π3B =，求AC 边的长． 18．（本小题满分12分）某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课，每名学生必须且只需选修1门选修课，有3名学生A B C 、、选修什么课相互独立．（Ⅰ）求学生A B C 、、中有且只有一人选修课程甲，无一人选修课程乙的概率； （Ⅱ）求课程丙或丁被这3名学生选修的人数ζ的数学期望． 19．（本小题满分12分） 设1()(0)x x f x ae a ae=++＞ （Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在轴上，离心率为12，短轴长为． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）(2,)P n ，(2,)Q n -是椭圆C 上两个定点，A 、B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点．①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 两点在椭圆上运动，且满足APQ BPQ ∠=∠时，直线AB 的斜率是否为定值，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数321()1(,)3f x x ax bx x R a b =+-+∈，为实数有极值，且在1x =处的切线与直线10x y -+=平行． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得函()f x 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设函数()21()2ln f x ax b g x x x'-+-=-，试判断函数()g x 在(1,)+∞上的符号，并证明：*1111ln (1)(N )2ni n n n i=++∈∑≤．x20题广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷(八)（Ⅰ）=(cos m B ，=(cos sin n C ,，且12m n =-sin sin B -，即cos(B +（3分）A 又0π,3A =∴π6x ∴+∈）x 、y 可能的取值为，||y x -≤BO CO O = BCO DOAO O =，AD ⊆平面分）113，则(,OP x =，(,0)OQ x =，(2OM OP OQ x =+=2200,x x y +=）设向量OP 与OM 的夹角为2||||4x OP OMOP OM =1(2243≥（8分）12=6t -．1244t t -=2132x =， 123x x +-210．（103)(4,)+∞；（2|x m -+≥x R ∈时，恒有不等式|x。

广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（二）答 案一、选择题（1）~（5）DBCAA （6）~（10）CCACD （11）~（12）DC 二、填空题 （13）135 （14）3 （15）6- （16）37(,]6-∞ 三、解答题（17）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 依题意，有31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩；又由已知{}n a 单调递增，∴122q a =⎧⎨=⎩，∴2n n a = ………………4分（Ⅱ）依题意，, 122log 22n n n n b n ==-g g∴23122232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++g ①， ∴23121222...(1)22n n n S n n +-=⨯+⨯++-⨯+g ②， ∴①－②得，2112(12)22 (22)212n nn n n S n n ++-=+++-=--g g11222n n n S n ++=--g ………………12分 （18）解：（Ⅰ）第3组的频率为0.3，第4组的频率为0.2，第5组的频率为0.1.……………2分（Ⅱ）（i ）设事件A学生甲和乙同时进入第二轮面试，则1283301()145C P A C ==（ii ）由分层抽样的定义知：6名学生有3名来自第3组，2名来自第4组，1名来自第5组，所以X 的可能取值为0，1，2，且21124242222666281(0),(1),(2)51515C C C C P X P X P X C C C ========= ………………10分分布列如下：X 0 1 2P25815151 所以2812()012515153E X =⨯+⨯+⨯= ………………12分（19）解：（Ⅰ）ΘD 、E 分别为AB 、AC 中点， DE BC ∴∥．DE PBC BC PBC ⊄⊂Q 平面，平面，∴DE PBC ∥平面 ………………2分（Ⅱ）连结PD ， PA PB =Q ， PD AB ∴⊥．DE BC BC AB ⊥Q ∥，， DE AB ∴⊥． 又ΘPD DE D =I ，∴AB PDE ⊥平面． ΘPE PDE ⊂平面，∴AB PE ⊥． ………………6分（Ⅲ）ΘPAB ABC PAB ABC AB PD AB ⊥=⊥I 平面平面，平面平面，， ∴PD ABC ⊥平面．…………………7分 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系∴(1,0,0)B ，(0,0,3)P ，3(0,,0)2E ,∴(1,0,3)PB =-u u u r，3(0,,3)2PE =-u u u r． 设平面PBE 的法向量1(,,)x y z =n ， ∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z = PABCEDPA B C ED xyz得1=n ． Q DE PAB ⊥平面，∴平面P AB 的法向量为2(0,1,0)=n ． 设二面角的A －PB －E 大小为θ， 由图知，1212121cos cos()2θg g ,n n =n n ==n n ，所以60θ︒=，即二面角的A －PB －E 的大小为60︒． ………………12分解之得224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分（Ⅱ）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-＞ ①设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++． ………………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=．从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足①式． 又||OP ===因为1||2k ≤，得23434k ≤＋≤，有2331443k +≤≤||OP …………12分 （21）解：（Ⅰ）由已知得01x x ≠＞，．因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故()2ln 1()0ln x f x a x -'=-≤在()1,+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．又222ln 111111()()()ln ln ln 24(ln )x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ………………4分（Ⅱ）命题“若存在212,[e,e ],x x ∈使12()()f x f x a '+≤成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有min max ()()f x f x a '+≤”．由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴max 1()4f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”．①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则222min1()()24f x f a ==-e e e ≤，故21124a -≥e ． ………………8分②当14a ＜时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[e,e ]上为增函数，故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．（i ）0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是， min 1()()4f x f a ==-e e e ≥e ＞，矛盾．（ii ）0a -＜，即104a ＜＜，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '＜，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '＞，()f x 为增函数； 所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ---=≥＞＞，与104a ＜＜矛盾．综上，得21124a -≥e ． ………………12分 （22）解：（Ⅰ）PE Q 切⊙O 于点E ，A BEP ∴∠=∠PC Q 平分A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠Q ，，,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴= ………………5分（Ⅱ）,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠Q,BPD EPC PBD ∴∠=∠∴∆∽PEC ∆，PE PCPB PD∴=同理PDE △∽PCA △，PC CAPD DE∴=PE CAPB DE∴=,CA PEDE CE CE PB=∴=Q ………………10分 （23）解：（Ⅰ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得221x y +=，又∵()2cos 3cos ρθθθ==+π， ∴2cos sin ρρθρθ-=.∴220x y x +-=+，即221()(12x y -+= ………………5分（Ⅱ）圆心距12d =＜，得两圆相交由222210x y x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得，(1,0)A ，B 1(,2-，∴||AB ………………10分（24）解：（Ⅰ）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧⎪⎨⎪++-⎩＞≤或1322(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪++-⎩≤≤≤或12(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪-+--⎩＜≤ 解之得32,2x ＜≤或13,22x -≤≤或11,2x --≤＜即不等式的解集为{|12}x x -≤≤ ………………5分 （Ⅱ）∵()|21||23||(21)(23)|4f x x x x x =++-+--=≥，∴|1|4a -≥解此不等式得 3a -≤或5a ≥ ………………10分。

揭阳市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(十)第Ⅰ卷一.选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1.如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0x B yy x ==>，则A *B =（ ） A ．(2,)+∞ B ．[)0,1(2,)⋃+∞ C ．[]0,1(2,)⋃+∞ D ．[]0,1[2,)⋃+∞ 2. 给出以下结论： （1）命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是：“不存在02,00>∈xR x ； （2）复数iz +=11在复平面内对应的点在第二象限 （3）l 为直线，βα,为两个不同平面，若βαβ⊥⊥,l ，则α//l （4）已知某次高三模拟的数学考试成绩ξ～())0(,902>σσN ,统计结果显示()6.011070=≤≤ξp ，则()2.070=<ξp .其中结论正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.13. 若()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=21 ,211 ,sin 3x x x x x f ，则()=⎰-dx x f 21( ) A.0 B.1 C.2 D.34. 对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（ ） A.92 B.92- C.41D.-45.已知已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为（ ）A.2B. 3C. 22D. 32 6.若(x ＋1x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．1207.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++的取值范围是（ ）A ．[]1,5B ．[]2,6C ．[]3,10D ．[]3,118. 设曲线21y x =+在其上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 （ ） A ． B ． C ． D ．9．某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A. 48种B. 42种 C . 35种 D. 30种10. 已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足=+（O 为坐标原点），0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于22, 则直线AB 的方程是 ( ) A ．y x B．y = C．y x = D．y11. 在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ 则点Q 的坐标是（ ）A. (2)--B.(-C.(-D. (-12．设集合]2,1[),1,0[==B A ，函数=)(x f {),(,24),(,2B x x A x x ∈-∈,0A x ∈且,)]([0A x f f ∈则0x 的取值范围是 ( ) A ．(1,32) B ．[0，43] C ．(1,23log 2) D ．(1,2log 3)第Ⅱ卷（非选择题90分）二.填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 .14．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得 到y 关于x 的线性回归直线方程：yˆ=0．254x +0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增 加l 万元.年饮食支出平均增加 __________ 万元．15. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°, E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上 折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的 体积为________.1. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，设122,n n n n b a b b b =+++则的结果为 。

揭阳市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(七)(卷面分值：150分考试时间：120分钟）第I卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题,每小题5分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A={x||x|>1}，B={x|x<m}，且=R，则m的值可以是A. -1B.O C 1 D. 22. 复数的共轭复数是a + bi(a，b R)，i是虛数单位，则点（a，b)为A. (1，2)B. (2，-i)C.(2,1)D.(1，-2)3. “a〉0”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数，则是A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数5. 已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围是A. B.C D.6. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若，则k的值为A.8B. 7C. 6D.57. 函数的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是A. B.C. D._8. 执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为A.B.C.D9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F是AB的三等分点，G、H是CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱锥A1 -FMGN的侧视图为10. 设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部）.若点（x，y)∈ D,则x + y的最小值为A. -1B.0C. 1D.311.如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A1, A2, B1, B2，焦点分别为F1 ,F2，延长B1F2 与A2B2交于P点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为A. B.C D.12. 中，若，则的值为A.2B.4C.D.第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ .14. 如图，单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P-ACD1的体积为______15. 点A(x，y)在单位圆上从出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周.则经过时间t后，y关于t的函数解析式为______16. 设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面积的最小值为______三、解答题：第17〜21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演 算步骤..17. (本小题满分12分）已知数列{a n}、{b n}分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且(I) 求数列{a n}、{b n}的通项公式；(II )求使a bn<0.001成立的最小的n值.18. (本小题满分12分）PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）(I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；(II) 以这15天的PM2. 5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.19. (本小题满分12分）在正四棱锥V - ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点，点M在边BC上，且BM: BC = 1：3，AB =，VA = 6.(I )求证CQ丄AP;(I I)求二面角B-A P-M的余弦值.20. (本小题满分12分）已知点F( 1，0)，与直线4x+3y + 1＝0相切，动圆M与及y轴都相切.(I )求点M的轨迹C的方程；(II)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向各引一条切线，切点分别为P，Q，记.求证是定值.21. (本小题满分12分）已知函数.(I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与X轴平行，求函数f(x)的单调区间；(II)若对一切正数x，都有恒成立，求a的取值集合.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. (本小题满分K)分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB是的直径，AC是弦，直线CE和切于点C，AD丄CE，垂足为D.(I) 求证:AC平分；(II) 若A B=4A D，求的大小.23. (本题满分10分)选修4 －4：坐标系与参数方程将圆上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.(I)求直线l与曲线C的方程；(II)求C上的点到直线l的最大距离.24. (本题满分10分)选修4 - 5：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.选D.【解析】11x x >⇔>或1x <-，由A B =R ，得1m >．2.选C.【解析】122+=-ii i，其共轭复数为2+i ，即2+=+a bi i ，所以2,1==a b . 3.选A.【解析】0a >⇒20a a +≥；反之20a a +≥⇒0,1a a ≥≤-或，不能推出0a >．4.选A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -21log 1xx+=-，则 ()F x -=21l o g 1x x -+121l o g 1x x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭21l o g 1x x +=--()F x =-，故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，作出(),0(),0x x x h x f x x e x x ≤⎧=+=⎨+>⎩的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时，或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点.6.选A.【解析】由11a =，35a =，解得2d =，再由：221k k k k S S a a +++-=+12(21)4436a k d k =++=+=，解得8k =.7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=，所以3A B x x -=，即32T =，所以26T πω==， 3πω=由()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭过点()2,2-，即22sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0ϕπ≤≤， 解得56πϕ=，函数为()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由5222362k x k ππππππ-≤+≤+， 解得 6461k x k -≤≤-，故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z .8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=- nn S ，有121127+-=n ，故6=n .9.选C.【解析】（略）.10.选B.【解析】双曲线的渐近线为12y x =±，抛物线的准线为2x =，设z x y =+，当直线过点()0,0O 时，min 0=z .11.选D.【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=，直线12B F 的方程为0bx cy bc --=，联立可得()2,b a c ac P a c a c -⎛⎫⎪++⎝⎭，又()()21,0,0,A a B b -，∴122,ac ab PB a c a c --⎛⎫= ⎪++⎝⎭ ，()()2,a a c b a c PA a c a c ---⎛⎫= ⎪++⎝⎭，∵12B PA ∠为钝角∴210PA PB ⋅<，即()()()()2222220a c a c ab a c a c a c ---+<++， 化简得2b ac <，22a c ac -<，故210c c a a⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即210e e +->，e >或e <01e <<1<<e . 12.选B.【解析】设ABC ∆中， ,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，由()235CA CB AB AB +⋅= 得235CA AB CB AB AB ⋅+⋅=即()23cos cos 5bc A ac B c π-+=，∴3cos cos 5a Bb Ac -= ∴2222223225a cb bc a a b c ac bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=， ∴22222222222222223tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c c bc+-++-=⋅=⋅===+-+--+. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50305=x =，由ˆ0.67+54.9y=x 过()x,y 得0.6730+54.9=75⨯y = ∴62++75+81+89=755m ，故68=m .14.填16．【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ，∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面1ACD间的距离，等于113B D =，而1111sin 602ACD S AD CD ∆=⋅︒=， ∴三棱锥1P ACD -的体积为1136=. 15.填sin 63y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．【解析】03xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=，所以t 秒旋转6t π，06A OA t π∠=，63xOA t ππ∠=+，则sin y xOA =∠sin 63t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.16.填2222a b b a-．【解析】设直线OA 的方程为y kx =，则直线OB 的方程为1y x k =-， 则点()11,A x y 满足22221y kxx y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩故222222*********,a b a b k x y b a k b a k ==--， ∴()222222112221k a b OA x y b a k+=+=-，同理()22222221k a b OBk b a+=-，故()()2222222222222211k a b k a b OA OBb a k k b a ++⋅=⋅--()()44222222221a b k a b a bk=-++⋅+∵()22222111412k k k k=≤+++（当且仅当1k =±时，取等号） ∴()44222224a b OA OB ba⋅≥-，又0b a >>，故12AOBS OA OB ∆=⋅的最小值为2222a b b a-. 三、解答题：共6小题，共70分.17.（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，依题意()2422226d qd q +=⨯⎧⎪⎨+⋅=⎪⎩解得212d q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或538d q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍） ∴212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n b n =； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22212n n b n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2210.0010.0012n n b a -⎛⎫<⇔< ⎪⎝⎭2221000n -⇔>，所以2210n -≥，即6n ≥，∴最小的n 值为6. …12分18.（Ⅰ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()35103150,1,2,3k kC C P k k C ξ-⋅===.…6分（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~360,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴13601203E η=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. …12分19．设正方形ABCD 的中心为O ，N 为AB 的中点，R 为BC 的中点，分别以ON ，OR ，OV 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，在Rt VOB ∆中，可得OV =则(,V ),A)B，(),C(),D,M ⎫⎪⎪⎝⎭,P ⎝⎭Q ⎛ ⎝⎭.于是(),0,,AP AB ⎛== ⎝⎭,3AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,222CQ ⎛=- ⎝⎭.（Ⅰ）∵,,0222222AP CQ ⎛⎛⋅=-⋅-= ⎝⎭⎝⎭，∴CQ AP ⊥，即CQ ⊥AP ； …6分（Ⅱ）设平面BAP 的法向量为()1,,a b c =n ，由00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n得300a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩故)1=n ，同理可得平面APM 的法向量为()23,1,0=n ，设二面角B AP M --的平面角为θ，则cos 11θ⋅==1212n n n n ． …12分ξ1 23 P24914591 2091 29120．（Ⅰ）⊙F1=，⊙F 的方程为()2211x y -+=，由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况：（1）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况：作MH ⊥y 轴于H ，则1M F M H-=，即1M F M H=+，则M F M N =（N是过M 作直线1x =-的垂线的垂足），则点M 的轨迹是以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线．∴点M 的轨迹C 的方程为()240y x x =≠；（2）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且仅切于原点的情况：此时点M 的轨迹C 的方程为0(0,1)y x =≠； …6分（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x=-⎧⎪⎨=⎪⎩得 ()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++== ∴121111sin sin 11AF BF x x αβ+=+=+++1212121212221111x x x x x x x x x x ++++===++++++， 当l 与x 轴垂直时，也可得sin sin 1αβ+=，对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线l ，交C 于一个点或无数个点，而非两个交点）.综上，有sin sin 1αβ+=． …12分 21．（Ⅰ）∵()11f x ax'=-， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为()111k f a'==-， 依题意110a -=，故1a =，∴()ln f x x x =-，()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞； …6分 （Ⅱ）若0a <，因为此时对一切()0,1x ∈，都有ln 0x a >，10x -<，所以ln 1xx a >-，与题意矛盾，又0a ≠，故0a >，由()11f x ax '=-，令()0f x '=，得1x a=.当10x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x a>时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以()f x 在1x a=处取得最大值111ln a a a -，故对x +∀∈R ，()1f x ≤-恒成立，当且仅当对a +∀∈R ，111ln 1a a a-≤-恒成立． 令1t a =，()ln g t t t t =-，0t >. 则()ln g t t '=，当01t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；所以()g t 在1t =处取得最小值1-，因此，当且仅当11a =，即1a =时，111ln 1a a a-≤-成立． 故a 的取值集合为{}1． …12分22．（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90∠=︒ACB .∴90∠+∠=︒B CAB∵⊥AD CE ，∴90∠+∠=︒ACD DAC ，∵AC 是弦，且直线CE 和O 切于点C ，∴∠=∠ACD B∴∠=∠DAC CAB ，即AC 平分∠BAD ； …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∆∆ ABC ACD ，∴=AC AD AB AC，由此得2=⋅AC AB AD . ∵4=AB AD ，∴22442=⋅⇒=AC AD AD=AD AC AD ，于是60∠=︒DAC ，故∠BAD 的大小为120︒． …10分23．（Ⅰ）设曲线C 上任一点为(),x y ，则(),2x y 在圆224x y +=上，于是()2224x y +=即2214x y +=. 直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=，将其记作0l ，设直线l 上任一点为(),ρθ，则点(),90ρθ-︒在0l 上，于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-︒--︒-=，即：3sin 2cos 80ρθρθ+-= 故直线l 的方程为2380x y +-= …5分 （Ⅱ）设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ϕϕ，它到直线l 的距离为d == 其中0ϕ满足：0043cos ,sin 55ϕϕ==.∴当0ϕϕπ-=时，max d …10分24．（Ⅰ）()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=． …5分222==≥，2成立，需且只需122x x -+-≥，即1122x x x <⎧⎨-+-≥⎩，或12122x x x ≤<⎧⎨-+-≥⎩，或2122x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩，解得12x ≤，或52x ≥ 故x 的取值范围是15,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …10分。

2016-2017学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1．设i是虚数单位，集合M={z|iz=1}，N={z|z+i=1}，则集合M与N中元素的乘积是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．i D．﹣i2．A，B是△ABC的两个内角，p：sinAsinB＜cosAcosB；q：△ABC是钝角三角形．则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a=4，b=4，c=（）则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b4．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．155．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（﹣1））=（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A．[1，2） B．[，+∞） C．（1，]D．[1，+∞）7．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．8．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π9．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．5 B．C．4 D．10．已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（）A．1 B．C．D．211．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺12．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=二、填空题13．对任意实数a，b，定义F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|），如果函数f（x）=ln （e2x），g（x）=3﹣x，那么G（x）=F（f（x），g（x））的最大值为．14．设点P是曲线y=2x2上的一个动点，曲线y=2x2在点P处的切线为l，过点P 且与直线l垂直的直线与曲线y=2x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为．15．G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G （a）＜1的概率为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+6x的单调递减区间是[2，3]，则实数a=．三、解答题17．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．18．已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上没有零点，求实数a的取值范围．19．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．20．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．2016-2017学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．设i是虚数单位，集合M={z|iz=1}，N={z|z+i=1}，则集合M与N中元素的乘积是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质求出集合M，N，则集合M与N中元素的乘积可求．【解答】解：集合M={z|iz=1}={z|z=﹣i}，N={z|z+i=1}={z|z=1﹣i}，则M•N=﹣i（1﹣i）=﹣1﹣i，故选：B．2．A，B是△ABC的两个内角，p：sinAsinB＜cosAcosB；q：△ABC是钝角三角形．则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由两角差的余弦公式，结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：在△ABC中，由sinAsinB＜cosAcosB，得cos（A+B）＞0，则cosC＜0，∠C为钝角，则△ABC是钝角三角形，充分性成立，反之，不成立，故选：A．3．已知a=4，b=4，c=（）则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数函数的图象及性质进行比较即可．【解答】解：由题意：a=4==；b=4==；c=（）==；∵4.12＞10＞2.72；∴；所以：a＞c＞b．故选：C．4．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，•=9，即||•||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||•||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=16，∴|PF1|•|PF2|=15，故选：D．5．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（﹣1））=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】化简可得f（x）+f（﹣x）=+++=3，从而求得．【解答】解：∵f（x）=+，∴f（﹣x）=+=+，∴f（x）+f（﹣x）=+++=3，∵log a（+1）=﹣log a（﹣1），∴f（log a（+1））+f（log a（﹣1））=3，∴f（log a（﹣1））=2，故选：B．6．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A．[1，2） B．[，+∞） C．（1，]D．[1，+∞）【考点】三角函数的最值．【分析】化简函数f（x），用换元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t∈（1，]；把f（x）化为f（t），利用导数判断单调性，求出它的最值，即可得出f（x）的值域．【解答】解：x∈（0，）时，函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx=+===；令sinx+cosx=t，则t=sin（x+），sinxcosx=；∵x∈（0，），∴sin（x+）∈（，1]，t∈（1，]；∴f（x）可化为f（t）==，∴f′（t）=＜0，∴t∈（1，]时，函数f（t）是单调减函数；当t=时，函数f（t）取得最小值f（）==，且无最大值；∴函数f（x）的值域是[，+∞）．故选：B．7．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB．【解答】解：设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，∴当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y ﹣12=0，OP⊥AB，∵圆心到直线的距离为=，OD==，∴|+|的最小值为2（﹣）=．故选D．8．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．【分析】先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，函数f（x）=sinxcosx=sin2x∴故选B．9．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．5 B．C．4 D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长．【解答】解：向量=（1，2），=（x，﹣2），且⊥，∴x+2×（﹣2）=0，解得x=4；∴+=（5，0），∴|+|=5．故选：A．10．已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由已知画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式方程，利用其在y 在轴的截距最大求z 的最大值．【解答】解：由已知得到可行域如图：则z=x+2y变形为y=﹣x，当此直线经过图中的C时，在y 轴的截距最大，且c（0，1），所以z 的最大值为0+2×1=2；故选D．11．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．12．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=g（x）=2sin（4x+），再利用正弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x）=2sin（4x+）．令4x+=kπ+，k∈Z，可解得函数对称轴方程为：x=kπ+，k∈Z，当k=0时，x=是函数的一条对称轴．故选：D．二、填空题13．对任意实数a，b，定义F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|），如果函数f（x）=ln （e2x），g（x）=3﹣x，那么G（x）=F（f（x），g（x））的最大值为2．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】“对任意实数a，b，定义：定义F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|）”的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值，结合图象即可求出函数值．【解答】解：：“对任意实数a，b，定义：定义F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|）”的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值．∵f（x）=ln（e2x）=2+lnx，g（x）=3﹣x，如图示：故G（x）的最大值等于2．故答案为：2．14．设点P是曲线y=2x2上的一个动点，曲线y=2x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=2x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值．【解答】解：设P的坐标为（a，2a2），由y‘=4x得l的斜率为4a，所以，直线PQ的斜率为=﹣，所以，PQ的方程为：y﹣2a2=﹣（x﹣a），与y=2x2联立，整理得，2x2+x﹣2a2﹣=0，所以，由韦达定理，x1+x2=﹣，x1x2=﹣a2﹣，由弦长公式得，PQ=•=，令t=4a2＞0．g（t）=．则g′（t）=，可得PQ的最小值为故答案为：．15．G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为．【考点】几何概型．【分析】先求出G（x）的解析式，再根据所给的不等式解出a的范围，再结合几何概率模型的公式P=求出答案即可．【解答】解：∵G（x）表示函数y=2cosx+3的导数∴G（x）=﹣2sinx∵G（a）＜1∴﹣2sina＜1而x∈解得x∈（，π），由几何概率模型的公式P=得P==故答案为：．16．已知函数f（x）=x3+ax2+6x的单调递减区间是[2，3]，则实数a=﹣．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）=x2+2ax+6，判断知△=4a2﹣24＞0，得，由函数的单调递减区间是[2，3]，则f′（x）=x2+2ax+6=0的根为2和3，则﹣2a=2+3，得a=﹣．【解答】解：函数的导数为f′（x）=x2+2ax+6，判断知△=4a2﹣24＞0，得，由函数的单调递减区间是[2，3]，则f′（x）=x2+2ax+6=0的根为2和3，则﹣2a=2+3，得a=﹣，故答案为：﹣．三、解答题17．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）判断导函数的正负性，求出原函数的单调区间；（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上是减函数，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立；（Ⅲ）设出切点，利用低斜率的两种表示，列出等式，再根据函数是单调函数，且存在零点，从而说明存在唯一零点．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx（x＞0），∴，当，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间．（Ⅱ），∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，切线的斜率，又切线过原点，，即：t2+at﹣lnt=2t2+at﹣1，∴t2﹣1+lnt=0，令g（t）=t2﹣1+lnt，，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以方程t2﹣1+lnt=0有唯一解t=1．综上，切点的横坐标为1．18．已知函数f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上没有零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用极值点的导函数为零，求出参数的值，再通过单调性验证参数适合题意；（Ⅱ）利用导函数值的正负求出函数的单调区间；（Ⅲ）利用导函数值研究函数的单调性和极值，必须讨论极值点与区间的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣2a2lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=1或a=﹣1（舍）．∴a=1．当a=1时，x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0，所以a的值为1．（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=a或x=﹣a（舍）．当x在（0，+∞）内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：由上表知f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（Ⅲ）要使f（x）在[1，e]上没有零点，只需在[1，e]上f（x）min＞0或f（x）＜0，max又f（1）=1＞0，只须在区间[1，e]上f（x）min＞0．（1）当a≥e时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，，解得与a≥e矛盾．（2）当1＜a＜e时，f（x）在区间[1，a）上单调递减，在区间（a，e]上单调递增，，解得，所以．（3）当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）＞0，满足题意．综上，a的取值范围为：．19．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【考点】弧度制的应用．【分析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S （θ）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【解答】解：（1）由题意，A C=100cosθ，直径AB为100米，∴半径为50米，圆心角为2θ，∴=100θ，∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，∴S′（θ）=﹣200sinθ+100，令S′（θ）=0，可得θ=．函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴θ=时，绿化带总长度最大．20．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．（Ⅱ）设g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g（x）＞a，只要求出g（x）的最小值就可以．【解答】解：（Ⅰ）由，∴，∴k=f′（1）=3，又∵f（1）=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5=0；（Ⅱ）由f（x）＞﹣x+2，得，即a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g′（x）=lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值；（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由（1），构造函数g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（3）由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x，令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），可得，从而有，由此即可证得结论．【解答】（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna﹣alna ﹣1=a﹣alna﹣1．（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x．令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．∴．∴=．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为极坐标方程．（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长．【解答】解：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，再化为极坐标方程是ρ=4cosθ．﹣﹣﹣﹣（2）∵直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0，由求得，或，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），所以弦长为=2．﹣﹣﹣﹣2017年2月11日。