【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第1篇 基础回扣练——集合与常用逻辑用语

第2讲 函数的单调性与最大(小)值基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在解析 注意到函数f (x )在[3,4)上是增函数，又函数在区间[3,4)上左闭右开，故该函数有最小值无最大值，故选A.答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 D3．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图像关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图像，最大值在A 处取到，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a 2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．∴－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 －68．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4.答案 4 三、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1，∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0， 因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是()．A．y＝cos x B．y＝－|x－1|C．y＝ln 2＋x2－xD．y＝e x＋e－x解析对于A，结合余弦函数的图像可知，y＝cos x在[－1,0]上是增函数；对于B，注意到当x＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y＝－|x－1|在[－1,0]上不是减函数；对于C，注意到函数y＝ln 2＋x2－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42－x在[－1,0]上是增函数；对于D，当x∈[－1,0]时，y′＝e x－e－x≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，选D.答案 D2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f(x) x在区间(1，＋∞)上一定()．A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数解析由题意知a＜1，又函数g(x)＝x＋ax－2a在[|a|，＋∞)上为增函数，故选D.答案 D二、填空题3．已知函数f(x)＝x2＋ax(a＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是________．解析法一任取2＜x1＜x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22＋ax2＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x1x2＝(x1－x2)(x1x2－a)x1x2＜0恒成立，即当2＜x1＜x2时，x1x2＞a恒成立，又x1x2＞4，则0＜a≤4.法二f(x)＝x＋ax，f′(x)＝1－ax2＞0得f(x)的递增区间是(－∞，－a)，(a，＋∞)，由已知条件得a≤2，解得0＜a≤4.答案(0,4]三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．。

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课时分层训练(一）集合A组基础达标一、选择题1．(20１7·全国卷Ⅲ）已知集合A＝{(x,y)|ｘ2＋y2=1｝,Ｂ＝｛(x，y)|y=x},则Ａ∩B中元素的个数为( )A．３ﻩＢ．2Ｃ.1ﻩＤ．0B[集合Ａ表示以原点O为圆心，半径为１的圆上的所有点的集合,集合Ｂ表示直线y＝x上的所有点的集合.结合图形可知，直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选Ｂ。

]２.设集合M＝｛ｘ|x２-2x-３<0,x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号:791４00０3】A．８ B.7C.４Ｄ.3B[依题意，M＝{ｘ｜（x+1)·(x-3)＜0,ｘ∈Z}＝｛x｜－1＜x<３，x∈Z}＝{０,1，２}，因此集合M的真子集个数为2３-１＝7，故选B．]3.（201８·重庆调研(二）)已知集合A={a，ａ2｝，B＝｛1｝，若B⊆A,则实数ａ=( )A．-1ﻩＢ．0C．１D．２A［因为B⊆Ａ,所以a＝1或a2=1，且a≠ａ2,解得a=－１，故选Ａ.]4．（2018·长春模拟(二)）若集合M＝｛1,3｝，Ｎ=｛1，3,５},则满足M∪X=Ｎ的集合X的个数为（ )A．1 B.２C.３D．4D［由Ｍ∪X＝N得集合X中必有元素５,则X＝｛５｝或{1,5}或｛3,5}或{1，3,5},共4个，故选D.]5.已知全集Ｕ＝Ｚ，P=｛-2,－１,1,2｝，Ｑ={x｜x2－３x＋２＝０｝,则图１­1­2中阴影部分表示的集合为( )图1.1­2A．{－1,－2}ﻩ B.{1,2}C．｛－2,1｝ﻩD．｛-1，2｝A [因为Ｑ={1,２},所以Ｐ∩(∁UＱ)=｛-1，-2},故选A.］６.（２018·南昌一模)已知全集U=Ｒ，集合Ａ＝{x｜y=lg x},集合B={ｙ｜ｙ＝错误!+1}，那么A∩（∁U B）=( ）A.∅B．(０,1］Ｃ．(０,1) Ｄ．(1，＋∞)C [因为A＝(0,＋∞）,B＝［1，+∞)，所以A∩（∁UＢ)＝（0，１)，故选C。

常考客观题——基础快速练(二)(建议历时：40分钟)1．假设复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，那么实数x 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，⇒x ＝－1，应选A.答案 A2．已知集合M ＝{x |－5＜x ＜2}，N ＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}, 那么M ∩N ＝( )．A ．{－4，－3，－2，－1,0,1}B ．{－4，－3，－2，－1,0,1,2}C ．{－5，－4，－3，－2，－1,0,1}D ．{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2} 答案 A3．设α表示平面，a ，b 表示直线，给定以下四个命题：①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 其中正确的命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B4．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，那么检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ( )． A.115B ．35C.815 D ．1415解析 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机实验中所有可能显现的大体事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个大体事件，因此检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35.答案 B 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一个核心与抛物线y 2＝16x 的核心相同，那么双曲线的渐近线方程为 ( )．A ．y ＝±32xB ．y ＝±32xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析 依题意得双曲线的半焦距c ＝4，由e ＝ca＝2⇒a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝23，∵双曲线的核心在x 轴，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .应选D.答案 D6．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，那么 cos α的值为( )．A.4－3310B ．4＋3310C.43－310D ．43＋310解析 已知α为锐角，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310.应选D.答案 D7．假设如下图的算法框图输出的S 是62，那么在判定框中①表示的“条件”应该是 ( )．A ．n ≤7C ．n ≤5D ．n ≤4解析 ∵S ＝21＋22＋23＋24＋25＝62，因此判定框中①表示的“条件”应为n ≤5，应选C. 答案 C8．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其主视图是边长为2的正方形，那么此三棱柱左视图的面积为 ( )． A ．2 2 B ．4 C ．3D ．23解析 由图可得，该三棱柱的左视图是长为2，宽为2×32＝3的长方形，其面积为2×3＝23，故应选D. 答案 D9．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，那么曲线＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 ( )．A ．3B ．5C ．2D ．4解析 由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 因此f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4. 答案 D10．在R 上概念运算：x y ＝x (1－y )，假设存在x ∈R 使得(x －a )(x ＋a )＞1成立，那么实数a 的取值范围是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 ∵存在x 使得(x －a )(x ＋a )＞1⇒(x －a )(1－x －a )＞1，即存在x 使得x 2－x －a 2＋a ＋1＜0成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＞0⇒4a 2－4a －3＞0，解得a ＞32或a ＜－12，应选A.11．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：y 2＝8x 上一点，F 为抛物线C 的核心，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C的准线相交，那么x 0的取值范围是 ( )． A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析 由抛物线概念可得R ＝|MF |＝x 0＋p2＝x 0＋2，又抛物线准线x ＝－2与圆相交，故有2＋2＜R ＝x 0＋2，解得x 0＞2，应选C. 答案 C12．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，那么x ＋2y 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．92D ．112解析 因为2xy ＝x ·2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， 因此，原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又x ＞0，y ＞0，因此x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案 B13．某射击运动员在四次射击中别离打出了10，x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均值是9，那么这组数据的方差是________．解析 依照平均数为9，得x ＝8，依照方差公式，得s 2＝14[(10－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝1. 答案 114．假设向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，那么实数x 的值为________．解析 ∵(a －b )⊥c ，a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，∴(a －b )·c ＝(x －1，－x ＋2)·(1,2)＝x －1－2x ＋4＝3－x ＝0，解得x ＝3. 答案 315．若是点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．解析 依照题设条件，画出可行域，如下图．由图可知不等式组确信的区域为阴影部份包括边界，点P 到Q 的距离最小为可行域上的点到圆心(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝0＋12＋－2－02－1＝5－1.答案5－116．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出以下四个命题：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，那么S 13＝13；③S n ＝na n －n n －12d ；④若d >0，那么S n 必然有最大值．其中真命题的序号是________．解析 关于①，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d 是一个非零常数，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列，①正确．关于②，S 13＝13a 1＋a 132＝13a 2＋a 122＝13，因此②正确．关于③，注意到S n ＝na 1＋n n －12d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n n －12d ＝na n －n n －12d ，因此③正确．关于④，S n ＝na 1＋n n －12d ，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③。

常考客观题——方式巩固练(一)(建议历时：40分钟)1．已知集合M ＝{y |y ＝2x }，N ＝{x |y ＝2x －x 2}，那么M ∩N ＝ ( )．A ．∅B ．{x |0＜x ≤2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ＞0}解析 将两集合化简得M ＝{y |y ＞0}，N ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，故M ∩N ＝{x |0＜x ≤2}，选B. 答案 B2．在复平面内，复数i1－i对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 将复数化简得i 1－i ＝i 1＋i 2＝－1＋i2，因此其在复平面对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12位于第二象限，应选B.答案 B3．假设a ，b 为实数，那么“a ＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的( )．A ．必要而不充分条件B ．充分而没必要要条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析 由a ＋b ≤1不能得a ≤12且b ≤12，如取a ＝1，b ＝－5；反过来，由a ≤12且b ≤12得知a ＋b ≤1.因此，“a＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的必要不充分条件，选A.答案 A4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析 两圆圆心别离为(－2,0)，(2,1)，半径别离为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案 B5．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，g x ，x ＜0是偶函数，f (x )＝log a x 的图像过点(2,1)，那么y ＝g (x )对应的图像大致是( )．解析 依题意易患f (x )＝log 2x (x ＞0)，因函数的图像关于y 轴对称，可得g (x )＝log 2(－x )(x ＜0)，应选B. 答案 B6．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝15，前6项和S 6＝21，那么前11项和S 11＝( )．A ．64B ．36C ．66D ．30解析 由等差数列的求和公式，可得S 5＝5a 1＋5×42d ＝15，S 6＝6a 1＋6×52d ＝21，∴a 1＝1，d ＝1，那么S 11＝11a 1＋55d ＝66，应选C.答案 C7．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如下图，那么该三棱锥的体积是( )．A ．1 cm 3B ．2 cm 3C ．3 cm 3D ．6 cm 3解析 由几何体的三视图可知，该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如下图． 棱锥的底面三角形中直角边长别离为1,2，高为3，故V ＝13S 底·h ＝13×12×1×2×3＝1(cm 3)．答案 A8．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图像如下图，那么函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的递减区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋3π4，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z解析 据已知可得A ＝1，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝cos(2x ＋φ)，再由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，解得φ＝－π4，因此f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )即为函数的单调递减区间．答案 C9．设甲、乙两地相距100千米，在甲地有60吨货物运到乙地，已知汽车来回一次的耗油量Q (公升)与汽车的载重量x (吨)之间知足Q ＝100(0.004x 2＋0.4)．现从甲地派一辆车来回输送，且要求总耗油量最小，那么汽车的载重量是(设汽车每次载重量相同)( )．A ．6B ．10C ．15D ．20解析 据题意总耗油量f (x )与汽车的载重量x 之间的函数关系式为f (x )＝60x×100(0.004x 2＋0.4)＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋400x ，据大体不等式可得f (x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋400x ≥6×24x ×400x ＝480，当且仅当4x ＝400x，即x ＝10时取得最小值． 答案 B10.已知|OA →|＝2，|OB →|＝23，OA →·OB →＝0，点C 在AB 上，∠AOC ＝30°，那么向量OC →等于( )．A.14OA →＋34OB →B.34OA →＋14OB →C.34OA →－14OB →D.54OA →－14OB → 解析 据题意以OA ，OB 别离为x ，y 轴成立直角坐标系，由OA →＝(2,0)，OB →＝(0,23)，设OC →＝xOA →＋yOB→＝x (2,0)＋y (0,23)＝(2x,23y )，由∠AOC ＝30°得点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32(由两直线的方程得交点)，即OC→＝(2x ，23y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32⇒x ＝34，y ＝14，故OC →＝34OA →＋14OB →. 答案 B11．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右核心，过点F 作斜率为2的直线l 使它与圆x 2＋y 2＝b 2相切，那么椭圆离心率是( )．A.22B.32C.53D.63解析如下图，过点F 斜率为2的直线l 方程为y ＝2(x －c )，由直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切可得，d ＝2c 5＝b ＝a 2－c 2，整理可得9c 2＝5a 2，即e ＝c a＝c 2a 2＝59＝53，故应选C. 答案 C12．已知奇函数f (x )＝5x ＋sin x ＋c ，x ∈(－1,1)，若是f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，那么实数x 的取值范围为( )．A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析 ∵f ′(x )＝5＋cos x ＞0，可得函数f (x )在(－1,1)上是增函数，又函数f (x )的奇函数，∴由f (x )＝5x ＋sin x ＋c 及f (0)＝0可得c ＝0，由f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，可得f (1－x )＜－f (1－x 2)＝f (x 2－1)，从而得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜x 2－1，1－x ＞－1，x 2－1＜1，解得1＜x ＜ 2.故应选B.答案 B13．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方式抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，那么样本容量n ＝________. 解析 据分层抽样中各层等概率的特点可得18n ＝33＋5＋7⇒n ＝90.答案 9014．已知点P (x ，y )知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，假设z ＝x ＋3y 的最大值为8，那么k ＝________.解析 画图，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k3，y ＝－k 3，代入－k3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝8，∴k ＝－6.答案 －615．运行如下图算法框图后，输出的结果为________．解析 S ＝0－2－0－(－2)－(－4)＝4. 答案 416．观看以下式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，那么能够猜想：1＋122＋132＋…＋12 0142＜________.解析 由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 010个表达式的右边应当为2×2 013＋12 013＋1＝4 0272 014. 答案 4 0272 014。

常考客观题——方式巩固练(二)(建议历时： 40分钟)1．复数z ＝1＋ii，那么|z |＝( )．A.2B ．2C ．－2D ．1－i 解析 依题意得z ＝1－i ，|z |＝12＋－12＝2，应选A.答案 A2．假设集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，那么集合B 可能是( )．A ．{1,2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1,0,1}D ．R解析 由A ∩B ＝B ⇒B ⊆A ，依次判定各选项只有A 符合，应选A. 答案 A3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，2f x ＋1，x ≤0，则f (0)＝( )．A ．0B ．2C ．4D ．8解析 依题意得f (0)＝2f (1)＝2×21＝4，选C. 答案 C4．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，那么AC ＝( )．A.22B.32 C ．1D.2解析 由正弦定理得：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，即3sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案 D 5．已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，那么a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析 利用指数函数的单调性，结合中间量比较大小．因为a ＝21.2＞b ＝20.8＞1，c ＝log 54＜1，因此c ＜b ＜a . 答案 A6．在等比数列{a n }中，假设a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，那么a 6a 7等于( )．A ．－4B ．4C ．±4D.172解析 由等比数列的性质易患a 4a 5，a 6a 7，a 8a 9三项也成等比数列，由等比中项可得(a 6a 7)2＝(a 4a 5)·(a 8a 9)，解得a 6a 7＝±4，又a 6a 7＝a 4a 5·q 4＝q 4＞0，故a 6a 7＝4. 答案 B7.一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是( )．A ．64B ．72C ．80D ．112解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是棱长为4的正方体，上面是以正方体的上底面为底面，有一个侧面垂直于底面的四棱锥，且该侧面上垂直于底面的线段长度为3，故该几何体的体积是43＋13×42×3＝80. 答案 C8．假设变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 通过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3，应选B.答案 B9．假设框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判定框中应填入的关于k 的条件是( )．A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k ＜8D ．k ＞8解析 据算法框图可适当k ＝9时，S ＝11；当k ＝8时，S ＝11＋9＝20，现在要求程序终止，故判定框填入条件k ＞8即可． 答案 D10.如下图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，BP ⊥DA ，垂足为P ，且BP ＝2，那么BC →·BP →＝( )．A ．2B ．4C ．8D ．16解析 依题意得BC →·BP →＝2BD →·BP →＝2(BP →＋PD →)·BP →＝2(BP →2＋PD →·BP →)＝2BP →2＝8，应选C. 答案 C11．从{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，那么直线y ＝kx ＋b 不通过第三象限的概率是( )．A.29 B.13 C.49D.59解析 因为该实验所有的大体事件有9个，其中直线y ＝kx ＋b 不通过第三象限时，斜率k ＜0，纵截距b ＞0，有2个大体事件，因此所求概率为29.答案 A12．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个核心，那么该椭圆的离心率为 ( )． A.33B.12C.22D.13解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影别离为左、右核心F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易患tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22.答案 C13．已知x ，y ∈R ＋，且知足x 3＋y4＝1，那么xy 的最大值为________．解析 因为1＝x 3＋y4≥2x 3·y4＝2 xy 12＝ xy3，因此xy ≤3，当且仅当x 3＝y4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3. 答案 314．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的核心关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，那么圆C 的方程为________．解析 设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的核心坐标是(1,0)，那么圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，那么R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案 x 2＋(y －1)2＝1015．为了解本市居民的生活本钱，甲、乙、丙三名同窗利用假期别离对三个社区进行了“家庭每一个月日常消费额”的调查．他们将调查所取得的数据别离绘制成频率散布直方图(如下图)，记甲、乙、丙所调查数据的标准不同离为s 1，s 2，s 3，那么它们的大小关系为________(用“＞”连接)．解析 由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每一个月日常消费额”的平均值别离为2 200元、2 150元、2 250元，又由直方图可知，甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，丙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s 1＞s 2＞s 3. 答案 s 1＞s 2＞s 316．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，假设对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最大值为π－32，那么(1)a 的值为________；(2)函数f (x )在(0，π)内的零点个数为________．解析 因为f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，当a ≤0时，f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，最大值f (0)＝－32，不适合题意，因此a ＞0，现在f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2a －32＝π－32，解得a ＝1，符合题意，故a ＝1.f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数即为函数y ＝sin x ，y ＝32x 的图像在x ∈(0，π)上的交点个数，又x ＝π2时，sin π2＝1＞3π＞0，因此两图像在x ∈(0，π)内有2个交点，即f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数是2. 答案 (1)1 (2)2。

集合建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·永州三模)若集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤2} B ．{0,1,2} C ．{－1,2}D ．{0,1}B [因为集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{0,1,2}，所以A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.] 2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }，则集合A ∩B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8C [∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝2x －3，x ∈A }，∴B ＝{－1,1,3,5}，∴A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 的子集个数为22＝4.故选C.]3．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}D [由题意可知A ∩C ＝{1,2}，则(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，故选D.] 4．设集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．MNC ．NMD ．M ∩N ＝B [∵集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }＝{奇数}，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }＝{整数}，∴MN .故选B.]5．(2019·河南焦作三模)若集合A ＝{x |2x 2－9x ＞0}，B ＝{y |y ≥2}，则(R A )∪B＝( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，92 B ．C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)C [因为A ＝{x |2x 2－9x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞92或x ＜0，所以R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以(R A )∪B ＝[0，＋∞)．故选C.]6．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( )A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}， ∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0,3}． ∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝[0,3a －1]，若A ∩B ≠，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)C [由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.]二、填空题8．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________. {－1,0} [依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1,0}．]9.已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则如图阴影部分所表示的集合为________．{x |－5≤x ≤1} [∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．]10．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B A ，则实数a ＝________.－1或2 [因为BA ，所以必有a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .①若a 2－a ＋1＝3，则a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，满足条件； 当a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，满足条件． ②若a 2－a ＋1＝a ，则a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，此时集合A ＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a ＝1应舍去．综上，a ＝－1或2.]1．已知集合M ＝{x |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}，则( ) A ．MNB ．NMC ．M ＝ND ．N ∈MB [∵集合M ＝{x |y ＝lg(2－x )}＝(－∞，2)，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}＝{0}，∴NM .故选B.] 2．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( )A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(R A )∪(R B )D ．(R A )∩(R B )D [集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(R A )∩(R B )，选D.]3．对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )|a *b＝36，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．40B ．41C ．50D ．51B [由题意知，a *b ＝36，a ，b ∈N *.若a 和b 的奇偶性相同，则a ＋b ＝36，满足此条件的有1＋35,2＋34,3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a ，b )有35个；……(此处易错，18＋18只对应1个点(18,18))若a 和b 的奇偶性不同，则a ×b ＝36，满足此条件的有1×36,3×12,4×9，共3组，此时点(a，b)有6个．所以M中元素的个数为41.故选B.]4．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1A且k＋1A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6[符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]1．非空数集A满足：(1)0A；(2)若任意x∈A，有1x∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；② {x|x2－4x＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y＝ln xx，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，1∪(1，e]；④⎩⎨⎧⎭⎬⎫y⎪⎪⎪⎪y＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋25，x∈[0，1)，x＋1x，x∈[1，2].其中“互倒集”的个数是()A．①②④B．①③C．②④D．②③④C[对于①，当－2＜a＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x|x2－4x＋1＜0}＝{x|2－3＜x＜2＋3}，所以12＋3＜1x＜12－3，即2－3＜1x＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y′＝1－ln xx2≥0，故函数y＝ln xx是增函数，当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，1时，y∈[－e,0)，当x∈(1，e]时，y∈⎝⎛⎦⎥⎤0，1e，所以③不是“互倒集”；对于④，y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，125∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52且1y∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52，所以④是“互倒集”．故选C.]2．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈R|12a≤x≤2a－1，若A∩B≠，则实数a的取值范围是________；若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．[1，＋∞) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪[2，＋∞) [若A ∩B ≠，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.若A ∩B ＝B ，则B A .当B ＝时，12a ＞2a －1，即a ＜23，当B ≠时，⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a ，12a ≥1，解得a ≥2，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪[2，＋∞)．]快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

高考数学一轮复习：单元评估检测(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x<2或x>4},B=,则A∩B=( )A.B.C.{x|4<x≤6}D.∅【解析】选A.A∩B={x|x<2或x>4}∩=.2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)【解析】选B.由图像(画图略)知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).3.(2020·太原模拟)“m=2”是“函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为当函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为时,m=±2,所以“m=2”是“函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的充分不必要条件.4.(2020·北京模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )A.y=B.y=x2C.y=-cos xD.y=-ln|x|【解析】选D.y=是奇函数且在区间(0,1)上单调递减;y=x2是偶函数且在区间(0,1)上单调递增;y=-cos x是偶函数且在区间(0,1)上单调递增;y=-ln|x|是偶函数且在区间(0,1)上单调递减;综上选D.5.(2020·大庆模拟)函数f(x)=的图像大致是()【解析】选C.因为x∈R,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故排除B项;又因为x>1时,f(x)>0;x→+∞时,f(x)→0,所以排除A,D项.6.(2020·蚌埠模拟)若方程ln x+x-4=0在区间(a,b)(a,b∈Z,且b-a=1)上有一根,则a的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.方程ln x+x-4=0的根为函数f(x)=ln x+x-4的零点.f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)在定义域上单调递增.因为f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,所以f(x)在区间(2,3)有一个零点,则方程ln x+x-4=0在区间(2,3)有一根,所以a=2,b=3.7.(2020·武汉模拟)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2+m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【解析】选B.因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以2|-x-m|-1=2|x-m|-1,所以|-x-m|=|x-m|,(-x-m)2=(x-m)2,所以mx=0,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(2);因为0<log23<2<log25,所以a<c<b.8.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是 ( )A.15B.16C.17D.18【解析】选B.由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.9.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a<b<cD.b>c>a【解析】选C.因为函数y=在R上是减函数,又>,所以<,即a<b.又因为函数y=在(0,+∞)上是增函数,且>,所以>,即c>b.所以a<b<c. 10.(2020·南昌模拟)已知函数y=f(x)是定义在(-∞,-2)∪(2,+∞)上的奇函数,当x>2时,f(x)=log2(x-2),则f(x-1)<0的解集是( )A.(-∞,-2)∪(3,4)B.(-∞,-3)∪(2,3)C.(3,4)D.(-∞,-2)【解析】选A.画出函数图像如图所示,由图可知,x-1<-3或2<x-1<3,解得x∈(-∞,-2)∪(3,4).11.已知函数f(x)=,若函数f(x)存在零点,则实数a的取值范围是世纪金榜导学号( )A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选D.函数f(x)=,函数的图像如图:函数f(x)存在零点,则实数a的取值范围是(0,+∞).12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )世纪金榜导学号A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【解析】选D.因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.命题“∀x∈R,x2-2x>0”的否定是.【解析】依据题意,先改变量词,然后否定结论,可得命题的否定是∃x∈R,x2-2x≤0.答案:∃x∈R,x2-2x≤014.(2019·咸阳模拟)已知log a<1,那么a的取值范围是.【解析】因为log a<1=log a a,故当0<a<1时,y=log a x为减函数,0<a<;当a>1时,y=log a x为增函数,a>,所以a>1.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞).答案:∪(1,+∞)15.(2019·抚州模拟)已知函数f(x)=ln(3-x),则不等式f(lg x)>0的解集为.世纪金榜导学号【解析】因为f(x)=ln(3-x),则解得0≤x<3,所以定义域为[0,3),因为f(x)=ln(3-x)>0等价于解得0<x<2,因为f(lg x)>0,所以解得1<x<100,所以解集为(1,100).答案:(1,100)16.(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=,函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1<x2<x3<x4,则-的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】函数f(x)=的图像如图所示,函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1<x2<x3<x4,转化为f(x)=b有4个不同的交点,由图像,结合已知条件得x1+x2=-4,x3x4=1,0<b≤1,解不等式0<-log3x≤1得:≤x3<1,-=-×(x1+x2)=+2,令t=,则≤t<1,令g(t)=2t+,则g(t)在上单调递减,在上是增函数.g=2,g=,g(1)=3,所以g≤g(t)≤g,即2≤2t+≤.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.(1)求(R B)∪A.(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3},B={x|log2x>1}={x|x>2},(1)R B={x|x≤2},所以(R B)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}.(2)当C=∅时,a≤1,满足C⊆A;当C≠∅时,由题意得,所以1<a≤3,综上可知a的取值范围是a≤3.18.(12分)已知函数f(x)=(1)在图中给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.(2)写出f(x)的单调递增区间.【解析】(1)画图如图所示.(2)f(x)的单调递增区间是[-1,0)和(2,4].19.(12分)已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,a≠1)的图像过点A,B.(1)求f(x).(2)若不等式+-m≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)由已知得解得所以f(x)=×.(2)+-m=2x+3x-m≥0,所以m≤2x+3x,因为y=2x+3x在[1,+∞)上为增函数,所以y的最小值为5,所以m≤5.20.(12分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.世纪金榜导学号【解析】(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,所以x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-;当30<x<100时,g(x)=·x%+40(1-x%)=-x+58;所以g(x)=当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【变式备选】如图,GH是一条东西方向的公路,现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库,设AB=y千米,并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.(1)求y关于x的函数解析式.(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米,道路的造价为30万元/千米,问x取何值时,修建中转站和道路的总造价M最低?【解析】(1)由题意,BC=2x千米,又AB=y千米,AC=(y-1)千米,在△ABC中,由余弦定理得,(y-1)2=y2+4x2-2y·2x·cos 60°,所以y=.由2x+y-1>y得x>. 因为y>0且x>,所以x>1.所以y=(x>1).(2)M=30(2y-1)+40x=-30+40x,其中x>1,设t=x-1,则t>0,所以M=-30+40(t+1)=160t++250≥2+250=490,当且仅当t=时等号成立,此时x=.所以当x=时修建中转站和道路的总造价M最低.21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=log2. 世纪金榜导学号(1)当a=5时,解不等式f(x)>0.(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围.(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.【解析】(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)由原方程可得+a=(a-4)x+2a-5,即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.①当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.②当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.③当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.若x1是原方程的解,则+a>0,即a>2;若x2是原方程的解,则+a>0,即a>1.由题意知x1,x2只有一个为方程的解,所以或于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.(3)易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1,即at2+(a+1)t-1≥0对任意t∈恒成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,当t=时,y有最小值a-.由a-≥0,得a≥.故a的取值范围为.22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2. 世纪金榜导学号(1)判断f(x)的奇偶性.(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值.(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0.所以f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数,所以f(x1)>f(x2).所以f(x)在(-∞,+∞)内是减函数.所以对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).因为f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,所以f(x)在[-3,3]上的最大值为6.(3)因为f(x)为奇函数,所以整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).所以f(ax2-2x)<f(ax-2).因为f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,所以ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.所以当a=0时,x∈{x|x<1};当a=2时,x∈{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,<x<1;当0<a<2时,x<1或x>;当a>2时,x<或x>1.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,原不等式的解集为;当0<a<2时,原不等式的解集为; 当a>2时,原不等式的解集为.。