初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义及训练习题--转化—可化为一元二次方程的方程

第六讲：一元二次方程的解法【知识梳理】形如()002≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式aac b b x 242-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（1）x 2 –2x =0 （2） x 2 –9=0 （3）(1－3x )2＝1；（4）（t －2）（t ＋1）＝0 （5）x 2＋8x ＝2（6）2760x x -+=（7）24210x x --= （8）22150x x --= （9）241290x x -+=（10）24210a a --+=（11）211180x x ++= （12）2230x x --=（13）x （x －6）＝2（14）（2x ＋1）2＝3（2x ＋1） （15）227150b b +-=（16）23440a a +-=（17）23145b b +=（18）20x +=（19）42200x x --= （20）2(35)5(35)60x x +-+-=；【例2】用适当的方法解下列关于x 的方程（提高题）：（1）()()53423=+-x x ； （2）033272312=--x x ；（3）()()35412352-=--x x ； （4）()()()()114113-+=--x x x x ；（5）()()06132322=----x x 。

【巩固】用适当的方法解下列关于x 的方程：（1）()()019222=+--x x ；（2）22296a b ax x -=-；（3）()0632222=--+x x 。

（4）()()()()x x x x --=-+314312。

初中数学竞赛辅导讲义---方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】 若关于的方程mx x =-1有解，则实数m 的取值范围 ．思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数x y -=1，mx y =函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m 的取值范围．【例2】设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1x <1<2x ，那么a 取值范围是( )A ．5272<<-aB ．52>a C ．72-<a D ．0112<<-a思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x 轴的交点满足1x <1<2x 的a 的值，注意判别式的隐含制约．【例3】 已知抛物线0)21(22=+-+=a x a x y (0≠a )与x 轴交于两点A(1x ，0)，B(2x ，0)( 1x ≠2x )．(1)求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧；(2)若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB ＝OC 一2，求a 的值．思路点拨 1x 、2x 是方程0)21(22=+-+a x a x 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例4】 抛物线)1(2)45(2212+++-=m x m x y 与y 轴的正半轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，并且点B 在A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由．思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m 的等式，求出m 的值；对于(2)依m 的值分类讨论．【例5】 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M(，0y )位于x 轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(，0)，且1x <2x ，求证：1x <0x <2x ．思路点拨 对于(1)，即要证042>-q p ；对于(2)，即要证0))((2010<--x x x x ．注：(1)抛物线与x 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于A （1x ，0），B(，0)两点，顶点为C ．①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△=442=-ac b ．②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△=1242=-ac b学历训练1．已知关于x 的函数1)1(2)6(2++-++=m x m x m y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 ．2．已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且1722=+βα，则=k ．3．已知二次函数y=kx 2+(2k －1)x —1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l ；②当x>x 2，时，y>O ；③方程kx 2+l(2k －1)x —l=O 有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<－l ，x 2>－l ；⑤x 2－x 1=k k 241+，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．4．设函数)5(4)1(2+-+-=k x k x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k ＝( )．A ．8B ．一4C ．1lD ．一4或115．已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b ，4b -4c 2)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2－4c －1=0C ．b 2－4c+4=0D ．b 2－4c －4=06．已知方程1+=ax x 有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是( )A ．a >-1B ．a ＝1C ．a ≥1D ．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图，二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系？（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a 、c 的值．8．已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为21，与x 轴分别交于B(x 1,0)、C(x 2，0)两点(其中且1x <2x )，且132221=+x x ．(1)求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)设此抛物线与y 轴交于D 点，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的32倍，求点M 的坐标． 9．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0），交y 轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO OB AO .（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则= .11．函数732+-=x x y 的图象与函数63322+-+-=x x x x y 的图象的交点个数是 ．12．已知a 、b 为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为 ．13．是否存在这样的实数k ，使得二次方程0)23()12(2=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点． (1)求a 的值；(2)求61832-+a a 的值．15．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程0)4)(1(2)67(2=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O ，顶点坐标为(1，一2)，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OB OA OC ⋅=2．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC 的面积．17．设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点A （1x ，0）、B （2x ，0）．(1)求证：032221>++p x px ；(2)若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求P 的最大值．(参考答案。

（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个.思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨: 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=.【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a .思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和.思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值. 思路点拨: 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值.注: 一元二次方程常见的变形形式有:(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x .解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222x x x ==.走进追问求根公式学历训练1、已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 .2、已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 .3、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .4、若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A 、b a =B 、0=+b aC 、1=+b aD 、1-=+b a5、当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )A 、1-<xB 、4>xC 、41<<-xD 、1-≠x 且4≠x 6、方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、解下列关于x 的方程:(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+.8、已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值.9、是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注: 解公共根问题的基本策略是: 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口.10、若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ .11、已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 . 12、已知a 是方程020002=--x x 的一个正根. 则代数式a200012000120003+++的值为 .13、对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A 、1B 、2C 、3D 、2．5 14、自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n nn n n n ，这样的n 的个数是( )A 、2B 、1C 、3D 、4 15、已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab的值是( ) A 、215+ B 、251- C 、251+- D 、251-- 16、已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值.17、已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值.18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形: 将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n 的值.19、已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值.20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证: ABBS需为无理数.参考答案第二讲 判别式——二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性: 如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用:利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】【例1】 已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 . (广西中考题)思路点拨: 利用判别式建立关于k 的不等式组，注意k 21-、1+k 的隐含制约. 注: 运用判别式解题，需要注意的是:(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识.【例2】 已知三个关于y 的方程: 02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A 、2≤aB 、41≤a 或21≤≤x C 、1≥a D 、141≤≤a 思路点拨: “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断选择.【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，(1)求证: 无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. (湖北省荆门市中考题)思路点拨: 对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值.注: （1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根. (重庆市竞赛题)思路点拨: 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.【例5】已知: 如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问: 这样的点E 是否存在?若存在， 这样的点E 有几个?请说明理由. (云南省中考题)思路点拨: 要使Rt △ADE 、Rt △BEC 、Rt △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC ＝90°，为此，可设在AE 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽Rt △BEC ，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E 的存在与否及存在的个数.注: 有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有:(1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造.判别式——二次方程根的检测器学力训练1、已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = .2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .(辽宁省中考题)3、已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简4422+-+--k k k = .4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A 、43<m B 、43≤m C 、43>m 且2≠m D 、43<m 且2±≠m (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )A 、有两个相等的实数根B 、没有实数根C 、有两个不相等的实数根D 、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )A 、没有实数根B 、有两个不相等的实数根C 、有两个相等的实数根D 、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，b 和c 是 关于x 的方程02122=-++m mx x 的两个实数根，求△ABC 的周长. (济南市中考题)8、已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x(1)求证: 无论m 取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为1x 、2x ，满足1x =32x ，求实数m 的值. (盐城市中考题)9、a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根.(1)求证: 0842=--b a ；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值. (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程03242=+++m mx x ，0)12(22=+++m x m x 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)11、当a = ，b = 时，方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实数根. (全国初中数学联赛试题)12、若方程a x x =-52有且只有相异二实根，则a 的取值范围是 .13、如果关于x 的方程05)2(22=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程0)2(2)5(2=++--m x m x m 的实根的个数( ) A 、2 B 、1 C 、0 D 、不能确定14、已知一元二次方程02=++c bx x ，且b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A 、12个 B 、10个 C 、7个 D 、5个 (河南省中考题)15、已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程0)(22222=+---b x b a c ax ，则方程根的情况是( ) A 、有两相等实根 B 、有两相异实根 C 、无实根 D 、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若a 、b 、c 、d>0，证明: 在方程02212=+++cd x b a x ①；02212=+++ad x c b x ②；02212=+++ab x d c x ③；02212=+++bc x a d x ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，abc ＝1，求证: a 、b 、c 中至少有一个大于23.18、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题)19、考虑方程b a x x =+-22)10(①(1)若a =24，求一个实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式.(2)若a ≥25，是否存在实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式?说明你的结论. (国家理科实验班招生试题)20、如图，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于边长为b 的正方形EFGH ，试求ab的取值范围.参考答案第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在: 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法. 【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 . 思路点拨: 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨: 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.注: 应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧:(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式.【例3】 已知关于x 的方程: 04)2(22=---m x m x(1)求证: 无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x .思路点拨: 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手.【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值.思路点拨: 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.注: 应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性. 【例5】 已知: 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根.(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由.(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．思路点拨: 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式.注: 在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．充满活力的韦达定理学历训练1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 .(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 .3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 .4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，35、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．217、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式: )1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x . (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足: 312=+x x ，求k 的值.9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 .10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 .11、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 .12、两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则baa b +的值是( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．97941313、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤115、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根.(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16、设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .(1) 若62221=+x x ，求m 的值. （2）求22212111x mx x mx -+-的最大值.17、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2: BC 2＝2: 1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值.18、设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值.参考答案第四讲 明快简捷—构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是: 1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根． 2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如a y x =+，b xy =的关系式时，则x 、y 可看作方程02=+-b az z 的两实根． 3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程． 成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注: 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法． 【例题求解】【例1】 已知x 、y 是正整数，并且23=++y x xy ，12022=+xy y x ，则=+22y x ．思路点拨 xy y x y x 2)(222-+=+，变形题设条件，可视y x +、xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例2】 若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则ba的值是( ) A ．59 B ．95C ．52001-D ．92001-思路点拨 第二个方程可变形为09200152=++b b ，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例3】 已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围．思路点拨 由两个等式可求出b a +、ab 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．【例4】 已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ． (1)求a 、b 、c 中最大者的最小值； (2)求3=++c b a 的最小值．思路点拨 不妨设a ≥b ，a ≥c ，由条件得a c b -=+2，abc 4=．构造以b 、c 为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a 的取值范围，并以此为基础去解(2)．注: 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式， 缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨 设前后两个二位数分别为x ，y ，则有y x y x +=+100)(2，将此方程整理成关于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x )的取值范围．学历训练1．若方程01)32(22=+--x m x m 的两个实数根的倒数和是s ，则s 的取值范围是 ．2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，已知BC 、AC 是一元二次方程0)1(4)12(2=-+--m x m x 的两个根，则m 的值是 ．3．已知a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，则abb a += ． 4．已知012=-+αα，012=-+ββ，，则βααβ++的值为( )A ．2B ．-2C ．-1D ． 05．已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB ＝4，S △COD ＝9，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为( )A ．21B ． 25C ．26D ． 366．如图，菱形A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程的根，则m 的值为( )A ．一3B ．5C ．5或一3 n 一5或37．已知0522=--p p ，01252=-+q q ，其中p 、q 为实数，求221q p +的值．8．已知x 和y 是正整数，并且满足条件71=++y x xy ，88022=+xy y x ，求22y x +的值．9．已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中m 、n 为实数，则nm 1-＝ ．10．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 与542--=a a bc ，那么a 的取值范围是 ．11．已知017101422522==--++y x xy y x ，则x = ，y = ．；12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD=BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是 ．13．已知a 、b 、c 均为实数，且0=++c b a ，2=abc ，求c b a ++的最小值．14．设实数a 、b 、c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a ，求a 的取值范围． 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，813=∆ABCABCD S S 梯形，梯形的高AE=235，且401311=+BC AD ． (1)求∠B 的度数；(2)设点M 为梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 相交于点F ，当323125=∆ADM S ，求作以CF 、DF 的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ABC 和平行于BC 的直线DE ，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线DE ，有几条?参考答案第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注: 一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注: 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么baa b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注: 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题: ①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证: 1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0； (2)求证: 11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道: “作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】 若0515285222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为 ．思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522，用换元法求出y 即可．【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( )A ．1->pB ．0≤pC ．01≤<-pD ．01<≤-p思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02≥-=-x x p 的隐含制约．注: 转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化: 实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．解下列方程:（1）121193482232222=+-++-++x x x x x x xx ；。

奥林匹克数学题型一元二次方程二次方程是数学中最常见且重要的方程之一，它的形式通常为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x是未知数。

在奥林匹克数学竞赛中，一元二次方程常常作为题目的出发点，要求解题者根据方程的性质和特点，运用巧妙的数学方法来解决问题。

本篇文章将探讨奥林匹克数学竞赛中涉及一元二次方程的几种常见题目类型。

一、求根公式的应用在解一元二次方程时，求根公式是最经典的方法之一。

对于任意一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)在使用求根公式时，需要注意方程的系数以及判别式的正负。

当判别式大于零时，方程有两个实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程无实根。

例如，考虑一道典型的奥林匹克数学竞赛题目：已知方程x^2 - 3x + 2 + √(x^2 - 3x + 2) = 4的解集为A，求A的并集与交集之和。

解题思路：首先，将方程整理为一般形式x^2 - 3x + (2 + √(x^2 - 3x + 2) - 4) = 0。

然后，观察方程可知，它等价于(x - 1)(x - 2) = 0。

因此，方程的解为x = 1或者x = 2。

根据解的性质，我们可以得出解集A = {1, 2}。

所以A的并集与交集之和即为{1, 2}。

二、二次方程的图像性质了解二次方程的图像性质对于解题非常有帮助。

一元二次方程的图像是一个抛物线，它的开口方向和性质与二次方程的系数有关。

1. 当a > 0时，抛物线开口向上，并且最低点（顶点）处在x轴的上方；2. 当a < 0时，抛物线开口向下，并且最高点（顶点）处在x轴的下方。

利用这些性质，我们可以在奥林匹克数学竞赛中运用几何推理来解决问题。

例如，考虑以下题目：已知实数x满足x^2 - 2x - 15 < 0，求x的取值范围。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化—可化为一元二次方程的方程一元二次方程是初中数学中常见的一种形式，解决一些实际问题时常常会遇到需要将问题转化为一元二次方程的情况。

本讲将介绍如何将一些方程转化为一元二次方程进行求解。

一、将线性方程转化为一元二次方程1.将方程2x+5=0转化为一元二次方程。

解答：通过观察发现方程左边的2x恰好是x的一次方，所以可以将整个方程看作是一元二次方程的标准形式。

设转化后的方程为 ax^2 + bx + c = 0，那么将 2x + 5 = 0 转化为一元二次方程的形式就是将方程两边同时乘以一个合适的倍数得到的。

我们可以将方程两边同时乘以2，得到4x+10=0，这就是将方程2x+5=0转化为一元二次方程的结果。

2.将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程。

解答：首先将方程进行化简，得到3x-3-2x-4=0。

接下来，我们将该方程转化为一元二次方程。

将方程两边同时合并同类项，得到x-7=0。

再将方程两边同时乘以一个合适的倍数，得到2(x-7)=0。

这就是将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程的结果。

二、将含有多个未知量的方程转化为一元二次方程1.将x+y=6转化为一元二次方程。

解答：在这个例子中，我们需要将两个未知量x和y合并成一个只含有一个未知量的方程。

我们可以通过将x+y的形式进行平方处理来得到一个一元二次方程。

先将原方程两边同时平方，得到 (x + y)^2 = 6^2、这里需要使用平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将 (x + y)^2 展开，得到 x^2 + 2xy + y^2 = 36、这就是将方程 x + y = 6 转化为一元二次方程的结果。

2. 将 x^2 + xy + y^2 = 4 转化为一元二次方程。

解答：在这个例子中，我们需要将含有多个未知量的方程转化为只含有一个未知量的方程。

事实上，该方程就是一个一元二次方程了，但我们可以通过配方的方式将其转化为另一种形式。

第七讲 化归—解方程组的基本思想初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组． 尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段．解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：分式方程整式化无理方程有理化高次方程低次化多元方程一元化通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．【例题求解】【例1】已知正实数x 、y 、z 满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++35158zx x z yz z y xy y x ，则xyz z y x +++= ．思路点拨 由)1)(1(1++=+++b a b a ab 想到从分解因式入手，还需整体考虑．【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+6323yz xy yz xz 的正整数解的组数是（ ） A ．4 B ．3 C 2 D ．1思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．【例3】 解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=+-=++291322y x y x xy （2）⎩⎨⎧=++=++24542144)53)(1(y x x y x x x(3)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++2621133y x y x 思路点拨 对于(1)，先求出整体y x +、xy 的值，对于(2)，视x x +2、y x 53+为整体，可得到)53()(2y x x x +++、)53)((2y x x x ++的值；对于(3)设a x =+31，b y =-31，用换元法解．【例4】 已知a 、b 、c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程02=-+a cx bx 的根．思路点拨 先构造以a 、b 为两根的一元二次方程，从判别式入手，突破c 的值．注：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具，一个含多元的方程，往往蕴含着方程组．【例5】已知方程组⎩⎨⎧+==a x y x y 242有两个实数解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x 且021≠x x ，21x x ≠，设2111x x b +=， (1)求a 的取值范围；(2)试用关于a 的代数式表示出b ；(3)是否存在3=b 的a 的值?若存在，就求出所有这样的a 的值；若不存在，请说明理由．思路点拨 代人消元，得到关于x 的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等知识求解，解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出a 的取值范围．注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论，但这种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中042>=x y ，则0>x ，这就是一个隐含条件．学历训练1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧-=-=42y x ，试写出符合要求的方程组 (只要填写一个即可)．2．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+222y x m y x 有两组相同的实数解，则m 的取值是 ．3．实数x 、y 、z 满足⎪⎩⎪⎨⎧-==+-+y x z xy y x 3602232，则z y x +2的值为 ． 4．已知x 、y 、z 2是正整数，并且满足⎩⎨⎧+-++=++=-153043z y x z y x y x ，那么z y x ++的值等于 ．5．已知38422=+mn m ，560232=+n mn ，则144613222-++n mn m 的值为( )A ．2001B ．2002C ． 2003D ．20046．已知1=+y x ，3733333223=+-+++y y y x x x ，则44)1()1(-++y x =（ ）A ．337B ．17C ．97D ．17．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+=++301122xy y x xy y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-27332222y xy x y x y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++12512y x y x 8．已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==mx y x y 22有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且231121=+x x ，求m 的值．9．方程组⎩⎨⎧=+++=+321122y x y x y x 的解是 ．10．已知实数0x ，0y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y x y 的解，则0x +0y = ．11．已知k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=+++=+++=+++5432145321354212543115432，且054321≠++++a a a a a ，则k 是的值为 ．12．已知方程组的两组解是（11,y x ）与（22,y x ），则1221y x y x +的值是 ．13．已知042=++p mn ，4=-n m ，则n m +的值是( )A ．4B ．2C ．一2D ．014．设x ，y 为实数，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2003)1(1)1(2003)1(33y y x x ，则y x +=（ ） A ．1 B ．一1 C ． 2 D ．一215．解下列方程组： (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++xy y x y x y x 24)4)(9(104922 (3)2)23(3)23(222--++-+=x x x x x16．已知方程组⎩⎨⎧--=+----=-+-)2(01)1(022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且1x ，2x 是两个不相等的实数，若116832212221--=-+a a x x x x ．(1)求a 的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?17．已知a 、b 是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+y ay b x x b y a x 1118．已知x 、y 为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，求432234y xy y x y x x ++++的值．参考答案。

专题07一元二次方程的应用例1 6 例2 C例3 （1）B （－1，0），C （4，0），，由1,33,4y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得8,7157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A （87，157） （2）设点D 的坐标为（x ，y ），BC ＝5.， ①当BD 1＝D 1C 时，过点D 1作D 1M 1⊥x 轴于M 1，则BM 1＝52，OM 1＝32，x ＝32，∴y ＝－34×32＋3＝158，∴D 1（32，158）..②当BC ＝BD 2时，过点D 2作D 2M 2⊥x 轴于M 2，则222D M ＋22M B ＝22D B ,.∵M 2B ＝－x －1，D 2M 2＝－34x ＋3，D 2B ＝5.③当CD 3＝BC 或CD 4＝BC 时，同理，可得D 3（0，3），D 4（8，－3），故点的坐标为D 1（32，158），D 2（－125，245），D 3（0，3），D 4（8，－3）. 例4（1）S △AEF ＝25x （6－x ） （2）假设存在直线E F 将△ABC 的周长和面积同时平分，AE ＝x .①若点F 在斜边AB 上，则由（1）知25x （6－x ）＝12×6，解得x 1＝3x 2＝3AF ＝6－（335.，②若点F 和B 重合，不满足题设要求的直线EF ；③若点F 在BC 上，由AE ＝x ，得CE ＝3－x ，CF ＝3＋x ，S △CEF ＝12（3－x ）（3＋x ）＝12×6，解得x 1x 2，由于3＋x＋3＞4，故不存在直线EF 满足题设要求. 例5 （1）24间（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则（30＋0.5x ）×（10＋x ）－（30－0.5x ）×1－0.5x×0.5＝275，解得x 1＝0.5，x 2＝5，故设每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元. 例6 (1) AP ＝5－t , AQ ＝2t ,若PQ ∥BC ,则△APQ ∽△ABC ,∴AQ AC ＝AP AB ,即24t ＝55t -, t ＝107. (2)过点P 作PH ⊥AC ,由△APH ∽△ABC ,得PH BC ＝AP AB ,即3PH ＝55t-, PH ＝3－35t ,＝3.∴y ＝12×AQ ×PH ＝12×2 t ×（3－35t ）＝－35t 2＋3t . （3） 若PQ 把△ABC 周长平分,则AP ＋AQ ＝BP ＋BC ＋CQ,,∴（5－t ）＋2t ＝t ＋3＋（4－2t ）, t ＝1.若PQ 把△ABC 面积平分,则S △APQ ＝12S △ABC ,即－35t 2＋3t ＝3,但t ＝1代入此方程不成立.故不存在这一时刻,使线段PQ 把△ABC 的周长和面积同时平分.(4)过点P 作PM ⊥AC 于M , PN ⊥BC 于N .若四边形PQP ′C 是菱形,则PQ ＝PC .由△PBN ∽△ABC ,得PN AC ＝BPAB, 即4PN ＝5t ,PN ＝45t ,∴QM ＝CM ＝45t ,由45t ＋45t ＋2t ＝4,得t ＝109.此时PM ＝3－35t ＝73,CM ＝45t＝89,PC ∴菱形PQP ′C .A 级1. 500（1＋x ）（x ＋8%）＝1122. 2cm3. 800元4. A5. D6. B7. A8.（1）A 型汽车能装45台，B 型汽车能装60台.（2）A 型汽车2辆，B 型汽车3辆，运费为1900元. 9. 50度10.设每轮感染中平均每台电脑会感染x 台电脑，则1＋x ＋（1＋x ）x ＝81，解得x 1＝8，x 2＝－10（舍去），（1＋x ）3＝（1＋8）3＝729＞700，故三轮感染后，被感染的电脑会超过700台.11.（1）80－x 200＋10x 800－200－（200＋10x ）（2）根据题意，得80×200＋（80－x ）（200＋10x ）＋40[800－200－（20＋10x ）] －50×800＝9000，整理得x 2－20x ＋100＝0，斛方程得x 1＝x 2＝10.当x ＝10时，80－x ＝70＞50.故第二个月的单价应是70元.B 级 1． 1 2． 1或7．753． 甲、乙两同学所用的时间分别为26秒、24秒，乙同学获胜．4． (1)①240＜x ≤300 ②x m 12- 6012+-x m(2)由题意得15·x m 12-－15·6012+-x m =1， 整理得x 2＋60x －900（m 2－1）=0，解得x 1=30(m －1)，x 2=－30（m +1）(舍去)， 解得m =11， x =300．5． （1）150公里 （2）120公里/小时提示：设比赛路程是x 公里，第二辆车的速度是y 公里/小时，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-6055.76035y x y x y x y x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+605)5.7(5.7603)5(5y y x y y x ，解得⎩⎨⎧==120150y x 6． 9人 提示：设共有选手（n ＋2）人，除2人得8分外，n 个人平均得k 分（k 为整数），由题意得21(n ＋1)(n ＋2)=8＋nk ，整理得n 2＋(3－2k )n －14=0， 人数只能是奇数，n =7． 7． 设道路宽为x ， AB =a ，AD =b ， 则有(a －2x )(b －2x )=21ab ，即8 x 2－4(a ＋b )＋ab =0，解得x =41[(a ＋b )－22b a ＋]．量法是：用绳量出（a ＋b ）之长，从中减去BD （BD =22b a ＋），得l =AB ＋AD －BD ，再将l 对折两次即得到道路宽度x ．8． (1)1，2，2，5，10(2)由(1)知，从小明的5张人民币中取2张，和小于10的情况只有4种，1＋2=3， 2＋2=4， 1＋5=6， 2＋5=7，即y 值只可能是3，4，6，7． 再分别讨论，只有当y =6时，方程610+x =x6－0．5有整数解，解得x =4．9． (1)设AP =x ，当点P 在线段AB 上时，则AP =CQ =x ，BP =2－x ，由21(2x －x 2)=2，方程无解；当点P 在AB 延长线上时，AP =CQ =x ，PB =x －2，由21(x 2－2x )=2，得x =1＋5 (2)过P 作PF ∥BC 交AC 或AC 延长线于F ，可以证明当P ，Q 运动时，线段DE 的长度保持不变，始终等于210．设每千克水果应涨价x元，则(500－20x)(10＋x)=6000，解得x1=5，x2=10，要使顾客得到实惠，应取x=5．11．设ab=x，cd=y，则x，y为正整数，且10≤x≤99，0≤y≤99．由题设可知(x＋y)2 =100x＋y①，即x2－2(50－y)x＋y2－y=0，而x，y为正整数，∴∆=4(2500－99y)为完全平方数，从而2500－99y 为完全平方数．设2500－99y=k2 (k∈Z， 0≤k≤50)，则(50＋k) (50－k) =99y，故11|(50＋k)与11|(50－k)至少有一个成立． 50≤50＋k≤100，0≤50－k≤50∴50＋k=55，66，77，88，99或50－k=0，11，22，33，44．故99y=55×45，66×34， 77×23， 88×12， 99×1，或99y=100×0，89×11， 78×22， 67×33， 56×44．因此，使y为非负整数的只有y=25，y=1，y=0．回到方程①，解得x=30或20，x=98或0，x=0或100．显然x=0或100不符合条件，故符合条件的四位数共有三个：3025， 2025， 9801．。

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题）1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为．3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是．4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是．5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为．6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=．7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=．10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为．14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染．15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．二．解答题（共18小题）16．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．17．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？18．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y=2+3﹣2．求2x﹣3y的值．19．若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．21．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．22．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求k可能取值．23．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2=0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0．解得：x1=2，x2=﹣1∵x≥0，故x=﹣1舍去，∴x=2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0．解得：x1=﹣2，x2=1∵x＜0，故x=1舍去，∴x=﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1=2，x1=﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4=0．24．阅读材料并解决下列问题：因为x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2，所以x2+5x+6=（x+3）（x+2），所以方程x2+5x+6=0用因式分解法解得：x1=﹣2，x2=﹣3．又如x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），所以方程x2﹣5x+6=0用因式分解法解得x1=2，x2=3．一般地，因为x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），所以x2+（a+b）x+ab=0，即（x+a）（x+b）=0的解为x1=﹣a，x2=﹣b．请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：（1）x2+8x+7=0（2）x2﹣11x+28=0．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值26．某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？27．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．28．如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．（1）求通道的宽度；（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？29．阳谷县2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1440万元．（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户含第1000户每户每天奖励9元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？30．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？31．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？32．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？33．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．34.如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）参考答案一．填空题（共15小题）1．2012；2．﹣1；3．；4．1；5．12；6．219；7．0或16；8．1＜m＜5；9．﹣；10．；11．﹣；12．8；13．11；14．8；729；15．10x+（x2+3）=3（x+x2+3）；。

可化为一元二次方程的方程（组）A 卷1．下列方程的解分别是：（1）_____________02323=+-x x x ;（2）____________________04524=+-x x ; （3）_____________8)3(2)3(222=----x x x x ;（4）____________18)115)(65(22=+---x x x x .（5）___________36)4)(3)(2)(1(=--++x x x x . （6）_______________1)1)(1(=-+x x ; （7）________________1)1)(1(+=-+x x x ; （8）_________________084223=+--x x x ;（9）____________02||32=+-x x ;（10）________________012452234=-+++x x x x ;2．下列方程的解分别是：（1）___________012112=-++-x x x x ; （2）________________651342233222+-+=+-+++-+x x x x x x x x x ; （3）_____________05)1(3)1(22=-+-+xx x x ; （4）______________3123222=++-+x x x x ; （5）_______________323222121222--=--+--x x x x x x ; （6）_________71612111---=---x x x x ; （7）______________977564108--+--=--+--x x x x x x x x ; 3．下列方程的解分别是：（1）方程xx x x -=-2522的解是_____________; （2）方程0132=+--x x 的解是_____________;（3）方程0949=+++x x x x 的解是_____________; 4．下列方程的解分别是：（1）方程514=++-x x 的解是_____________; （2）方程01323=---++x x x 的解是_____________;5．下列方程的解分别是：（1）方程51522=+-+-x x x x 的解是_____________;（2）方程21329322=+-+-x x x x 的解是_____________;6．解方程组:（1）⎩⎨⎧=++--=--____________0173201222y x y x y x ;（2）⎩⎨⎧=-++-=--____________022********y x y x y x ; 7．解下列各方程组:（1）⎩⎨⎧=-+=-+01131201342y xy y x （2）⎩⎨⎧==+23xy y x（3）⎩⎨⎧==-65xy y x （4）⎩⎨⎧==+2732xy y x （5）⎩⎨⎧=+=+40422y x y x8．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=-+-+03)(2)(045)(4)(22y x y x y x y x 的解是_______________; 9．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++841422xy y x xy y x 的解是_______________; 10.(1)方程组⎩⎨⎧=-=---x k y y x x 401422当k=________时，有两个实数解。

第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab b a b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。