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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

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3..2..2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

3..2..2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一．预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容1．基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则．．．<2）推论：<常数与函数的积的导数，等于：）三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．学习过程<一）。

【复习回顾】复习五种常见函数、、、、的导数公式填写下表<二）。

【提出问题，展示目标】我们知道,函数的导数为，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。

那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。

减。

乘。

除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。

HMjsKuCRe5<三）、【合作探究】1．<1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表数<2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．<1）与<2）与2.<1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点．．．推论：<常数与函数的积的导数，等于：）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.<2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．<1）<2）；<3）；<4）；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．<四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价<单位：元）与时间<单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少<精确到0.01）？HMjsKuCRe5分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少<精确到0.01）？HMjsKuCRe5例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用<单位：元）为HMjsKuCRe5求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：<1）<2）分析：净化费用的瞬时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：<1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：<2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数<1） <2）<3） <4）2.求下列函数的导数<1） <2）课后练习与提高1．已知函数在处的导数为3，则的解读式可能为：A BC D2．函数的图像与直线相切，则A B CD 1 HMjsKuCRe53.设函数在点<1,1）处的切线与轴的交点横坐标为，则A B C D 14.曲线在点<0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2，则P点的坐标为------------HMjsKuCRe56.已知函数的图像过点P<0,2），且在点处的切线方程为，求函数的解读式。

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .

3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件

3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[分析] (1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求 出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线方程与 曲线 C 的方程联立，看是否还有其他解即可．
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
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5284 52.84，所以， (1)因为 c(90) 2 (90 100) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
5284 1321 ，所以， (2)因为 c(98) 2 (98 100) 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
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解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100 1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 2 ( x 100)
0 ( x 100) 11 5284 5284 2 2 ( x 100) ( x 100)
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练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
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思考如何求下列函数的导数：
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切线的方程为 y x 2

高一数学导数运算法则

高一数学导数运算法则
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
1 (
6x3 x 1 x
2
;
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
1 4 t 4
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
； 南京找人扮演父母 南京找人扮演父母；
是不放心,你让她先在咱乾坤世界呆些日子吧.等咱将飞燕给带回来了,到时候咱陪你们壹起去黑河谷闯壹闯.""如此极好,只不过连累你冒险了."风魅尔脸色微红道.这么多年了,她跟着根汉,走南闯北の.说没有感情,那是不可能の.只不过这层感情网,却壹直也没有揭开

高一数学导数运算法则

高一数学导数运算法则

(2) s(t) t 3 12t 2 32t, 令s(t) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
2题再加两题 :
(5).y

1 x4
; (6).y

x
x.
例4:求下列函数的导数:
(1)
y

1 x

2 x2
;
(2) y x ; 1 x2
(3) y tan x;
(4) y (2x2 3) 1 x2 ;
答案:
(1)
y


1 x2

4 x3
;
(3)
y

1 cos2
x
;
(2)
；/ 足球比分直播 ；
差,想找个人问问,呃,能不能把你那位外国朋友介绍给我儿子认识？有电筒号码就行,以后有不懂の地方可以问问他.”陆羽：“...你跟我开玩笑？那位阿娇大姐の外语丝毫不比他差.”“可我儿子不信她！”陆倩急了,“小杏,看在咱们姐妹一场,帮帮姐这个忙好不好？求你了.”陆羽有点 无语,一心二用,接过柜台递出来の帐单看了看,签完名再塞回去,“姐,这个忙我没法帮,他今早回国了,我刚刚送他去机场,你另请高明吧.”说完,她挂了电筒专心办自己の事.用脚趾都能猜到真正要少君电筒号码の人是谁,陈娇娇当时表现得恨不得整个人贴在他身上.而陆倩,一看便知她是个 安守本分の女人.她在火车上没跟少君说过话,等于让一个陌生人教自己儿子？这么荒唐の事她想不出来,恐怕背后另有其人.等事情办妥出来,陆羽上下打量柏少君一番.“看什么？没见过帅哥？”柏

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学习目标
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导
数；
2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.
3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。

重点、难点
形成导数的概念，了解导数的内涵。

学习方法了解并掌握导数的概念及求法。

学习过程一，自主学习（预习教材P14~ P19，找出疑惑之处）复习：常见函数的导数公式并且让学生记忆基本初等函数的导数公式进行练习
根据常见函数的导数公式计算下列导数
二，探求新知 1.可导函数的四则运算法则
法则1 '[口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2 两个函数积的导数(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则
法则3两个函数除法的导数口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 例1.
根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，变式训练：
三、课堂小结 1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、
乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.
四，课堂展示分组展示提高学生的积极性和学习兴趣。

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【运用课时】：1课时【学习目标】：1 .娴熟驾驭基本初等函数的导数公式；2 .驾驭导数的四则运算法则；3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则【学习方法】：分组探讨学习法、探究式.【学习过程】：一、课前打算（预习教材R,,找出怀疑之处）1 .基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则（常数与函数的积的导数，等于:二、新课导，学学习探究（完成课前打算）典型例题例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价P（单位：元）与时间/（单位：年）有如下函数关系P(Z)=PO(I+5%)',其中PO 为，=0时的物价.假定某种商品的PO=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?分析：商品的价格上涨的速度就是：变式训练1：假如上式中某种商品的Po=5,那么在第IO 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?例2日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时改变率：.(1)90%(2)98%分析：净化费用的.瞬时改变率就是：比较上述运算结果，你有什么发觉？当堂检测2 .求下列函数的导数]∩X (1) y=xln% (2)y= -----------X 学习小结1 .由常数函数、事函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简洁的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不须要回到导数的定义去求此类简洁函数的导数.2 .对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特殊留意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，.首先要留意化简的等价性，避开不必要的运算失误.X 学问拓展1 .复合函数的导数：设函数"=g(x)在点X 处有导数〃;=g'(x),函数产4〃)在点X 的对应点〃处 有导数E=/'(〃)，则复合函数y=f(g(K))在点X 处也有导数，且y ∖∙=y)∕χ2 .复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一回代.三、课后练习与提高1 .函数y=x+∙!■的导数是( ) XA.1-4-B.1--C.1+-VD.1+-XXXX 2 .函数y=SinMcosx+1)的导数是( )4 .己知函数/*)在X=I 处的导数为3,则/(x)的解析式可能为:A∕(x)=2(x -1) B∕(X )=2(X -1)2C f(x)=(x-1)2+3(x-1)D/(x)=X-I5 .函数y=αχ2+ι的图像与直线y=χ相切，则〃=6 .设函数y 二V"("∈N')在点(1,1)处的切线与X 轴的交点.横坐标为相，则内∙Ν2=11 n A- B---------- C ------------------------ ,D1 n 〃+1 /?+17 .曲线>=加'+2工+1在点(0,1)处的切线方程,为----------------8 .函数/(x)=13-8x+-Jlx 1,且f ∖x 0)=4,则与=9 .曲线尸包丝在点MgO)处的切线方程为1求下列函数的导数(O y=Iog 2(3) y=2x 3-3x 2-4(2)y=2e x (4) j=3cosx-4sinx A.cos2x-cosXC.cos2x+cosx3.y=9的导数是B.cos2x+sinx D.cos 2%+cosX ) XλSinX A.——— B. -sinx xsinX+cosxXT XCOSX+COSX XTX10 .在平面直角坐标系中，点P在曲线y=d-10x+3上，且在其次象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2,则P点的坐标为I1.已知函数F(X)=X法2+依+〃的图像过点P(。

原创1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.
1.本课重点是掌握基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数与导数公式的简单应用.
基本初等函数的导数公式
9
27
此时公切线的斜率为k=2x1=64 .
27
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，2674 ③. …………………………………………………………………12分
1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_n_x_n_-1_；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=__c_o_sx_；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=__-_si_n_x_;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_a_x_ln_a_(a>0)；
…………………………………………………………………4分
②当x=2 时，2x=3x2=4
3
3
.此时C1的切线方程为y-
4=
9
4(x-
3
)，2
3
而C2的切线方程为y- 8 = (4x- ).2显然两者不是同一条
27 3 3
切线，所以x= 2舍去.………………………………………6分
3
(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A
1 x；-23 1 1

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

记作 : y f [g(x)].
四、复合函数的导函数
练习：指出下列函数中的复合函数
(1) y 2x × (2) y 2x 1 √ (3) y 2x ln x × (4) y (2x )2 3g2x. √
四、复合函数的导函数
练习：将复合函数分解成最简单函数
(1) y 2x1 (2) y 2x 1
六、作业
课本 P85 2,4,5,6,7
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
y ln u, u 2x 1 ② y ln(2x 1)
y sin u,u 3x 1 ③ y= sin(3x 1)
象①②③这样的函数就是复合函数.
四、复合函数的导函数 2.复合函数的定义
对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果 通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个 函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，
解 (1) y 2u ,u x 1.
(2) y u ,u 2x 1.
四、复合函数的导函数
3.复合函数的求导法则 y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
四、复合函数的导函数
例题 y ln2x 1的导函数？
解：y ln2x 1是由y lnu与u 2x 1复合得到
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5284 (100 98)2
1321
纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率 是1321元/吨。
题型一：导数公式及导数运算法则的应用
例2:求下列函数的导数:
(1) y x3 2x 3
(2)
y
1 x
2 x2
;
(3)
y
x 1 x2
;
(4) y tan x;
(5) y (2x2 3) 1 x2 ;
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
设直线 l2 过曲线 y＝x2＋x－2 上的点 B(b，b2＋b－2)，
则 l2 的方程为 y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为 l1⊥l2，
则有 2b＋1＝－13，b＝－23.
1 22 所以直线 l2 的方程为 y＝－3x－ 9 .
y＝3x－3， (2)解方程组y＝－13x－292，
x＝16， 得y＝－52
答:在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。
思考：若某种商品的p0 5，那么在第10个年头，
这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
p '(t) 1.05t p0 ln1.05,
p '(10) 50.08 0.4
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
对于S2, y 2(x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
解：(3)法二：∵y＝xx－ ＋11＝x＋x＋1－1 2 ＝1－x＋2 1， ∴y′＝ ＝－ (1－2′x＋2x1＋)′ 1x＋＝－1(2－2xx＋＋211′)′＝x＋2 12.
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(4)y′＝(x·tan x)′＝(xcsoisnxx)′
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝xx－ ＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
答案: (1) y 3x2 2;
(2)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
1 x2 (1 x2 )2
;
(4)
y
1 cos2
x
;
(5) y 6x3 x ; 1 x2
(6) y
1 x4
;
(7) y x x;
(6)
y
4 x5
;
(7) y 3 x; 2
练习： 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。
c '(x)=( 5284 ) ' 5284 ' (100 x) 5284 (100 x) '
题型二：导数的综合应用
例 4：已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在点(1,0)处的切线， l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积．
解：(1)y′＝2x＋1. ∴直线 l1 的方程为 y＝3x－3.
100 x
(100 x)2
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
c
'( x)
5284 (100 x)2
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率
是52.84元/吨。
(2)
c '(98)
＝18x2－8x＋9. 解：(2)法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11； 解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′
(4)y＝x·tan x.
＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′
＝x＋1x＋－1x2－1 ＝x＋2 12.
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函 数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平
方.即:
f (x)
g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
由法则2: C f (x) C ' f (x) C f (x) C f (x)
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得 x0＝0， 代入 y0＝ex0，得 y0＝1， 即 P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为 22.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
例1：假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 （p 单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:
p(t) p0 (1 5%)t.其中p0为t 0时的物价。假定某种商品 的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0.01）
解：由导数公式：p '(t) 1.05t p0 ln1.05 p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1: (C) ' 0;
公式2 : (xn ) ' nxn1;
公式3 : (sin x) ' cos x;
公式4 : (cos x) ' sin x;
公式5 : (ax ) ' ax ln a(a 0);
公式6 : (ex ) ' ex;
公式7 : (loga
.
15 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 (6，－2)．
22 l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－ 3 ，0)． 所以所求三角形的面积为 S＝12×235×|－52|＝11225.
练习：点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离． 解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos＝sin
xcos x＋x cos2x .
练习：求下列函数的导数
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；
(2)y＝exsin x；
(3)y＝xx2＋＋33.
解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12， ∴y′＝3x2－x23.
因为两切线重合,
2
x1
x12
2(x2 2) x22 4
x1 x2
02或
x1 x2
2 . 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
x) '
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8 : (ln x) ' 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),
即:
f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
(2) s(t) t 3 12t 2 32t, 令s(t) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′