2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第九章 统计、统计案例、算法初步 第二节

课时作业
一、选择题 1．如果命题 p(n)对 n＝k(k∈N*)成立，则它对 n＝k＋2 也成立．若 p(n)对 n＝2 也
成立，则下列结论正确的是
()
A ．p(n)对所有正整数 n 都成立
B．p(n)对所有正偶数 n 都成立
C．p(n)对所有正奇数 n 都成立
D．p(n)对所有自然数 n 都成立
B [由题意 n＝ k 成立，则 n＝k＋2 也成立，又 n＝ 2 时成立，则 p(n)对所有正
计算 S1，S2， S3，猜想 Sn ＝________．
解析
由
(S1－
1)2＝
S21得：
S1＝
1 2；
由(S2－1)2＝ (S2－ S1)S2 得： S2＝23；
由
(S3－
1)2＝
(S3－
S2)S3
得：
S3＝
3 4.
n 猜想 Sn＝n＋1.
答案
n n＋ 1
三、解答题
10．用数学归纳法证明： 12＋ 32＋52＋…＋ (2n－1)2＝13n(4n2－ 1)． 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝ 12＝ 1，
的过程中，第二步 n＝ k 时等式成立，则当 n＝k＋1 时，应得到
() A ．1＋2＋22＋…＋ 2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋ 2k＋2k＋1＝ 2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋ 2k－1＋2k＋1＝ 2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋ 2k－1＋2k＝ 2k＋1－1 D [由条件知，左边是从 20，21 一直到 2n－1 都是连续的，因此当 n＝k＋1 时， 左边应为 1＋2＋22＋ …＋2k－1＋ 2k，而右边应为 2k＋1－1.]
1 右边＝ 3×1×(4－ 1)＝1，等式成立． (2)假设当 n＝ k( k∈ N* )时等式成立，

3 A. 2
25 C. 6
5 B. 3 D．不存在
()
A [设正项等比数列 { an} 的公比为 q， 由 a7＝ a6＋2a5，得 q2－q－2＝0，
解得 q＝ 2.
m＋ n－ 2
2
由 aman＝ 4a1，即 2
＝ 4，得 2m＋n－2＝24，即 m＋n＝6.
故m1 ＋4n＝16(m＋ n) m1 ＋4n ＝56＋16 4nm＋mn
课时作业
一、选择题
1 1．已知 f(x)＝x＋ x－ 2(x＜ 0)，则 f(x)有
A ．最大值为 0
B．最小值为 0
()
C．最大值为－ 4
D．最小值为－ 4
C
[∵ x＜ 0，∴ f(x)＝－
（－
x）＋
1 （－ x）
－ 2≤ －2－2＝－ 4，当且仅当－
x
＝－1x，即 x＝－ 1 时取等号． ]
2．(2014 ·太原模拟 )设 a、b∈ R，已知命题
2 的点，则 m＞ 0， n＞ 0，n＝m，
所以 |PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝ 4
m2＋
4 m2
≥ 16，
当且仅当
m2＝
4 m2，即
m＝
2时，取等号
，
故线段 PQ 长的最小值是 4.
答案 4
三、解答题
10．已知 x＞0，a 为大于 2x 的常数，
(1)求函数 y＝x(a－ 2x)的最大值； (2)求 y＝ a－12x－x 的最小值．
11．正数 x，y 满足 1x＋ 9y＝ 1.
(1)求 xy 的最小值；
(2)求 x＋ 2y 的最小值．
解析 (1)由 1＝1x＋ 9y≥ 2

课时作业一、选择题1．(2014·山西诊断)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos(π－2θ)＝( )A.1225 B ．－1225 C ．－725D.725D [依题意得sin(θ＋π2)＝cos θ＝35， cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos 2θ ＝1－2×(35)2＝725，故选D.]2.sin （180°＋2α）1＋cos 2α·cos 2αcos （90°＋α）等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α D [原式＝（－sin 2α）·cos 2α（1＋cos 2α）·（－sin α）＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.]3．(2014·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73 C.57D ．1 D [依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.]4．(2014·北京东城一模)已知α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，那么sin α＋cos α的值为( )A ．－15 B.75 C ．－75D.34A [由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.得tan α＝－34.又α∈(π2，π)，解得sin α＝35，cos α＝－45， 所以sin α＋cos α＝－15.]5．(2014·北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aB [f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，所以c ＜a ＜b .]6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.] 二、填空题7．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________．解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案 38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________． 解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案 π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________．解析cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2（sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°）2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案2三、解答题10．(2014·合肥一模)函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12存在相邻的两个零点分别为a 和π2＋a (ω＞0，0＜a ＜π2)． (1)求ω和a;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π40＝－23，x ∈(0，π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10－x的值． 解析 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12 ＝12sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4.∵a 和a ＋π2是f (x )相邻的两个零点， ∴f (x )的最小正周期为π， ∴T ＝2π|2ω|，又ω＞0，∴ω＝1. ∴f (a )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋π4＝0，2a ＋π4＝k π，∴a ＝－π8＋k π2，k ∈R . 又0＜a ＜π2，∴a ＝3π8.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π40＝－23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5＝－23，又x ∈(0，π)，∴x ＋π5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，6π5，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5＝－53，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5＝－53. 11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解析 (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， 由⎩⎨⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos 2（β－α）＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝7210，于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω＞0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)若A 为锐角三角形ABC 的内角，求f (A )的取值范围. 解析 (1)依题意，得f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋12，∵T ＝2π2ω＝π， ∴ω＝1.∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，由－π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得 －2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z . 令2x ＋π3＝π2＋k π， ∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，12，k ∈Z .(2)依题意，得0＜A ＜π2， ∴π3＜2A ＋π3＜4π3， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＜12，∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋12＜1，∴f (A )的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.。

课时作业一、选择题1．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223C [所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.] 2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2 C.（n ＋1）2n 2 D.n 2（n －1）2D [设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.] 3．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件B [当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．]4．(2014·温州测试)已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52B [依题意得，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4，选B.] 5．(2014·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011D [因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝5＋（n ＋6）（n －1）2， 所以a 2 012－5＝1 009×2 011.]6．(2014·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，f （x －1）＋1，x ＞0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n （n －1）2(n ∈N *) B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n －2(n ∈N *)C [作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，据已知函数关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，2x －1，0＜x ≤1，2x －2＋1，1＜x ≤2，…此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只有C 符合．]二、填空题 7．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________． 解析 令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4， 令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.答案 88．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 012＝________． 解析 将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2， 同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6， 故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2.答案 29．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________． 解析 由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1. 则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 答案 ⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 三、解答题10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解析 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)．故从第7项起各项都是正数．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合，∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 12．已知数列{a n }中，a 1＝1，且满足递推关系a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋m a n ＋1(n ∈N *)． (1)当m ＝1时，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)当n ∈N *时，数列{a n }满足不等式a n ＋1≥a n 恒成立，求m 的取值范围．解析 (1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1a n ＋1(n ∈N *)， 得a n ＋1＝（2a n ＋1）（a n ＋1）a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{a n＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．于是a n＋1＝2·2n－1，∴a n＝2n－1.(2)∵a n＋1≥a n，而a1＝1，知a n≥1，∴2a2n＋3a n＋ma n＋1≥a n，即m≥－a2n－2a n，依题意，有m≥－(a n＋1)2＋1恒成立．∵a n≥1，∴m≥－22＋1＝－3，即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．。