单项式与单项式相乘
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9.1单项式乘单项式单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
题型1:单项式乘单项式1.计算:2ab2•a2b= 2a3b3 .【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算.【解答】解:2ab2•a2b=2(a•a2)•(b2•b)=2a3b3,故答案为:2a3b3.【变式1-1】计算(﹣2a3b2)•(﹣3a)2= ﹣18a5b2 .【分析】根据单项式乘单项式,积的乘方运算法则求解即可.【解答】解:(﹣2a3b2)•(﹣3a)2=(﹣2a3b2)•9a2=﹣18a5b2,故答案为:﹣18a5b2.【变式1-2】计算(a2b﹣3)﹣2•(a﹣2b3)2= a﹣8b12 .【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法解答.【解答】解:(a2b﹣3)﹣2•(a﹣2b3)2=a﹣4b6•a﹣4b6=a﹣8b12.故答案为:a﹣8b12.题型2:与幂的运算结合2.若(a m+1b n+2)•(a2n﹣1b2n)=a5b3,则m﹣n的值为 4 .【分析】先利用单项式乘单项式法则计算(a m+1b n+2)•(a2n﹣1b2n),再根据等式得到指数间关系,最后求出m﹣n.【解答】解:∵(a m+1b n+2)•(a2n﹣1b2n)=a m+1+2n﹣1b n+2+2n=a m+2n b3n+2,∴a m+2n b3n+2=a5b3.∴m+2n=5①,3n=1②.∴①﹣②,得m﹣n=5﹣1=4.故答案为:4.【变式2-1】若1+2+3+…+n=m,且ab=1,m为正整数,则(ab n)(a2b n﹣1)…(a n﹣1b2)(a n b)= 1 .【分析】根据单项式乘单项式的计算法则计算,得到(ab n)(a2b n﹣1)…(a n﹣1b2)(a n b)=a m b m,再根据积的乘方得到原式=(ab)m,再根据ab=1,m为正整数,代入计算即可求解.【解答】解:∵ab=1,m为正整数,∴(ab n)(a2b n﹣1)…(a n﹣1b2)(a n b)=a1+2+…+n﹣1+n b n+n﹣1+…+2+1=a m b m=(ab)m=1m=1.故答案为:1.【变式2-2】若﹣2x3m+1y2n与4x n﹣6y﹣3﹣m的积与﹣4x4y是同类项,求m、n.【分析】先求出﹣2x3m+1y2n与4x n﹣6y﹣3﹣m的积,再根据同类项的定义列出方程组,求出m,n的值即可.【解答】解:∵﹣2x3m+1y2n•4x n﹣6y﹣3﹣m=﹣8x3m+n﹣5y2n﹣3﹣m,一.选择题(共4小题)1.下列计算正确的是( )A.(﹣3a2)3=﹣9a6B.(a2)3=a5 C.a2b•(﹣2ba2)=﹣2a4b2D.a9÷a3=a3【分析】各式计算得到结果,即可作出判断.【解答】解:A、原式=﹣27a6,不符合题意;B、原式=a6,不符合题意;C 、原式=﹣2a 4b 2,符合题意;D 、原式=a 6,不符合题意.故选:C .2.现有下列算式:(1)2a +3a =5a ;(2)2a 2•3a 3=6a 6;(3)(b 3)2=b 5;(4)(3b 3)3=9b 9;其中错误的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【分析】利用合并同类项的法则,单项式乘单项式的法则,幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可.【解答】解:(1)2a +3a =5a ,故(1)不符合题意;(2)2a 2•3a 3=6a 5,故B 符合题意;(3)(b 3)2=b 6,故C 符合题意;(4)(3b 3)3=27b 9,故D 符合题意;则符合题意的有3个.故选:C .3.若(﹣2a m •b m +n )3=﹣8a 9•b 15,则( )A .m =3,n =2B .m =3,n =3C .m =5,n =2D .m =2,n =4【分析】根据积的乘方的法则,可得计算结果.【解答】解:∵(﹣2a m ⋅b m +n )3=﹣8a 3m ⋅b 3m +3n =﹣8a 9⋅b 15,∴3m =9,3m +3n =15,∴m =3,n =2,故选:A .4.下列运算正确的是( )A .(a 3)4=a 7B .a 6a 3=a 2C .3a 2•4a 3=12a 5D .(a 2b )2=a 2b 2【分析】利用同底数幂的除法的法则,单项式乘单项式的法则,幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可.【解答】解:A 、(a 3)4=a 12,故A 不符合题意;B 、a 6a 3=a 3,故B 不符合题意;C 、3a 2•4a 3=12a 5,故C 符合题意;D 、(a 2b )2=a 4b 2,故D 不符合题意;故选:C .二.填空题(共4小题)5.计算2x 2•(﹣3x )3= ﹣6x 5 .【分析】根据单项式乘单项式的法则:系数的积作为积的系数,同底数的幂分别相乘也作为积的一个因式,进行计算即可.【解答】解:2x 2•(﹣3x 3)=(﹣2×3)x 2•x 3=﹣6x 5.故答案为:﹣6x 5.6.若x 3y n +1•x m +n •y 2n +2=x 9y 9,则4m ﹣3n = 10 .【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可.【解答】解:∵x 3y n +1•x m +n •y 2n +2=x 9y 9,∴x 3+m +n y n +1+2n +2=x 9y 9,∴3+m +n =9,n +1+2n +2=9,解得:n =2,m =4,∴4m ﹣3n=4×4﹣3×2=16﹣6=10.故答案为:10.7.已知x n =2,y n =3.(1)(xy )2n 的值为 36 ;(2)若x 3n +1•y 3n +1=64,则xy 的值为 827 .【分析】(1)利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算,即可得出结果;(2)利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算,即可得出结果.【解答】解:(1)∵x n=2,y n=3,∴(xy)2n=x2n y2n=(x n)2(y n)2=22×32=4×9=36,故答案为:36;(2)∵x3n+1•y3n+1=64,∴x3n•y3n•xy=64,∴(x n)3•(y n)3•xy=64,∵x n=2,y n=3,∴23•33•xy=64,∴xy=8 27,故答案为:8 27.8.单项式3x2y与﹣2x3y3的积为mx5y n,则m+n= ﹣2 .【分析】根据单项式的乘法:系数乘系数,同底数的幂相乘,可得答案.【解答】解:由题意,得m=3×(﹣2)=﹣6,n=3+1=4,m+n=﹣6+4=﹣2,故答案为:﹣2.三.解答题(共3小题)9.计算:(1)(﹣2x2y3)2•xy;(2)a﹣2b2•(ab﹣1).【分析】(1)根据同底数幂的乘除法的计算方法进行计算即可;(2)根据负整数指数幂以及分式乘除法的计算方法进行计算即可.【解答】解:(1)原式=4x4y6•xy=4x5y7:(2)原式=b2a2×ab=ba.10.(1)计算:(2a2)3•a3(2)计算:(a3)2÷a4(3)计算:(﹣3a3)2•a3+(﹣4a)2•a7﹣(5a3)3.【分析】(1)先根据积的乘方的计算法则计算,再根据同底数幂的乘法法则计算即可;(2)先根据积的乘方的计算法则计算,再根据同底数幂的除法法则计算即可;(3)先根据积的乘方的计算法则,同底数幂的乘法法则分别计算,在合并同类项求解即可.【解答】解:(1)(2a2)3•a3=8a6•a3=8a9;(2)(a3)2÷a4=a6÷a4=a2;(3)(﹣3a3)2•a3+(﹣4a)2•a7﹣(5a3)3=9a6•a3+16a2.a7﹣125a9=9a9+16a9﹣125a9=﹣100a9.11.已知x3m=2,y2m=3,求(x2m)3+(y m)6﹣(x2y)3m•y m的值.【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案.【解答】解:∵x3m=2,y2m=3,∴(x2m)3+(y m)6﹣(x2y)3m•y m=(x3m)2+(y2m)3﹣(x6m y3m×y m)=(x3m)2+(y2m)3﹣(x3m y2m)2=22+33﹣(2×3)2=﹣5.。
教案:单项式与单项式相乘一、教学目标1.知识与技能:理解并掌握单项式与单项式相乘的法则,能够熟练计算两个单项式的乘积。
2.过程与方法:通过实例分析和练习,提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生的学习兴趣,培养学生的合作精神和解决问题的能力。
二、教学重难点1.教学重点:单项式与单项式相乘的法则。
2.教学难点:正确应用单项式与单项式相乘的法则,特别是系数相乘和字母指数相加。
三、教学过程1.导入新课(1)引导学生回顾单项式的定义和性质。
(2)提问:同学们,之前我们学习了单项式,那么你们知道单项式与单项式相乘的规律吗?2.探索单项式与单项式相乘的法则(1)给出两个单项式的例子,如3x和4y。
(2)引导学生观察两个单项式的乘积,即12xy。
(3)引导学生发现规律:单项式与单项式相乘,系数相乘,字母部分相乘,指数相加。
3.练习巩固(1)给出一些单项式与单项式相乘的练习题,让学生独立完成。
(2)教师选取一些学生的答案进行展示,并让学生说出自己的解题思路。
(3)教师针对学生的解答,进行讲解和指导,纠正错误。
4.巩固拓展(1)给出一些含有括号的单项式与单项式相乘的题目,让学生尝试解答。
(2)引导学生发现,含有括号的单项式与单项式相乘,可以先去掉括号,再按照单项式与单项式相乘的法则计算。
(3)教师选取一些学生的答案进行展示,并让学生说出自己的解题思路。
(2)让学生分享自己在课堂上的收获和困惑。
(3)教师针对学生的反馈,进行解答和指导。
6.作业布置(1)布置一些单项式与单项式相乘的练习题,让学生回家完成。
(2)提醒学生注意审题,正确应用单项式与单项式相乘的法则。
四、教学反思本节课通过引导学生探索单项式与单项式相乘的法则,让学生在实际操作中掌握计算方法。
在教学过程中,教师注重启发式教学,让学生在思考中发现规律,提高了学生的思维能力。
同时,教师针对学生的解答进行及时讲解和指导,纠正错误,使学生在实践中不断提高。
单项式乘单项式:1、如=⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯101010105103725251553)()())((‗‗‗‗‗ 2、==∙∙∙=+abcc c bc acb a 252525)()(.‗‗‗‗‗一般的,单项式与单项式相乘,把它们的‗‗‗‗‗、‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗。
运用单项式乘单项式法则时可按以下三个步骤进行:①先把各因式的系数相乘,作为积的系数;②把各因式的同底数幂相乘,底数不变、指数相加;③只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式.单项式与单项式相乘,结果仍是单项式. 3、(1)计算:(-5a ²b )(-3a )=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗=‗‗‗‗‗‗‗‗. (2)计算(2x )³(-5xy ²)=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗=‗‗‗‗‗‗‗‗.(3)())((10810436⨯⨯=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗ 4、计算(1));21())3222(4(y y xxy ∙∙-- (2)a abc abc 12()31()21-32∙∙-(³b )单项式乘多项式:1、p (a+b+c )=pa+pb+pc(根据乘法的分配律得到这个等式) 2、一般的,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的‗‗‗‗‗‗‗,再把所得的积‗‗‗‗‗ 3、计算:(1)(-4x ²)(3x+1) (2)ab 32(²-2ab)ab 21∙4、(x ²+ax+1)(-6x ³)的计算结果不含x4的项,则a=‗‗‗‗‗.5、已知单项式-ba y x 832+与单项式b a yx y -∙324的和是单项式,求这两个单项式的积.6、先化简再求值:(1)已知x ²-3=0, (2)已知02)1(2=+--b a ,求x (x ²-x )-x ²(5+x )+9的值. 求3ab ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∙b ab ab a 231(36的值.多项式乘多项式:1、(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq可以先把其中一个多项式如p+q,看成一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则计算.总体上看,计算结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项,再把所得的积相加而得到的,即(a+b)(p+q) =ap+aq+bp+bq.一般的,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的‗‗‗‗‗‗‗‗乘另一个多项式的‗‗‗‗‗‗‗‗,再把所得的积‗‗‗‗‗‗.2、计算:(1)(3x+1)(x+2);(2)(x³-2)(x³+3)-(x³)²+x²·x;3、若a+b=m,ab=-4,则(a-2)(b-2)= ‗‗‗‗‗‗‗;4、若多项式(x²+mx+n)(x²-3x+4)展开后不含x³和x²的项,则m=‗‗‗‗‗,n=‗‗‗‗.5、如图,在长方形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据,计算图中空白的面积,其面积是‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.6、先化简,再求值:①(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b²②已知x²-5x=3,求(x-1)(2x-1)-(x+1)²+1 其中a=1,b=-2; 的值.7、解方程(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)-1.8、有若干张如图所示的正方形和长方形卡片,如果要拼成一个长为(2a+b),宽为(a+b)的矩形,则需要A类卡片‗‗‗‗‗‗张,B类卡片‗‗‗‗‗‗张,C类卡片‗‗‗‗‗‗张,请你在右下角的大矩形中画出一种拼法.同底数幂的除法:∵,)(a aa amnn m n nm ==∙+--(a ≠0,m ,n 都是正整数,并且m >n)∴aa anm nm-=÷.一般地,我们有 ∴aa anm n m-=÷(a ≠0,m ,n 都是正整数,并且m >n).即同底数幂相除,底数‗‗‗‗‗‗,指数‗‗‗‗‗‗.注意:(1)底数可以是单项式,也可以是多项式;(2)底数不能为0;(3)当三个数或三个以上的同底数幂相除时,也具有这一性质. 任何一个不等于0的数的0次幂都等于1,那么a =‗‗‗‗.(a ≠0). 1、 若(x-1)=1,则x取值范围是‗‗‗‗‗‗. 2、 计算(1);28x x ÷(2);)()(25ab ab ÷(3))-()()-25xy xy xy ÷÷-(. (4)(x-2y)³÷(2y-x)² 3、①若,4,3==a ay x则=-ayx ‗‗‗‗‗‗;②若,5,342==y x 则22yx -的值为‗‗‗‗‗‗.③若n m x xnm,(,8,4==是正整数),则xnm -3的值是‗‗‗‗‗‗.④求2416÷÷nm=‗‗‗‗.零指数幂:5、若(x-3)无意义,则(x²)³÷(x²·x)的值是‗‗‗‗‗‗. 5、计算:①)-3(0n (n≠3)=‗‗‗‗‗‗;②若1)2(0=-x ,则x的取值范围是‗‗‗‗‗‗; 6、若(2x+y-3)无意义,且3x+2y=8,则3x²-y=‗‗‗‗.7、计算: ①);3410(y y y÷÷ ②))()(5(32243aa a -÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙ ③3(3)1()32330-÷++-8、①已知,27,9==a an m求anm 23-的值.②已知,6,433==y x求2792yx yx --+的值.单项式相除:∵4a ²x ³·3ab ²=12a ³b ²x ³, ∴12a ³b ²x ³÷3ab ²=4a ²x ³.一般的,单项式相除,把‗‗‗‗‗与‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗分别相除作为商的因式,对于只在被除数里含有的字母,则连同它的指数作为商的‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.1、①计算2x x 46÷的结果是‗‗‗‗‗‗‗‗; ②‗‗‗‗‗‗‗‗‗÷.56)65(32y a ax x y =- 2、已知,72223288b b a b a n m =÷那么m=‗‗‗‗‗‗‗,n=‗‗‗‗‗‗‗.3、计算()3()6(101046⨯÷⨯=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗;4、一个单项式与单项式ba n n 1136---的积为,172c ba n n +则这个单项式是‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.5、计算:(1)-8a ²b ³÷6a ²b ÷b ²; (2)(-0.3a ²b ³c ²)÷(-3ab )²·(10a ³b ²c ); (3);)2()2()2-(22123y x x y y x n n --++÷∙ (4));)103(10638⨯⨯÷6、已知,2,3==x xn m求x nm 23-的值.。
单项式乘以单项式单项式乘以单项式是初中数学中常见的运算题型之一。
本文将详细介绍单项式乘法的概念、规律以及解题方法,帮助读者更好地理解和掌握该内容。
单项式是指只含有一个变量的代数式,通常由数字和字母的乘积组成。
例如,3x、4y^2、-2xy等都是单项式。
在乘法中,我们可以将两个单项式相乘,得到一个新的单项式。
首先,让我们来看看单项式乘法的基本概念。
当两个单项式相乘时,我们需要将它们的系数相乘,并将它们的字母部分相乘。
例如,(3x)(4y^2)的乘积是12x*y^2。
在这个例子中,系数3和4相乘得到12,字母部分x和y^2相乘得到xy^2。
接下来,我们来探讨一些单项式乘法的规律。
首先是系数的乘法规律。
当两个单项式的系数相乘时,我们可以直接将它们的乘积作为新的单项式的系数。
例如,(2x)(3x)的乘积是6x^2,系数2和3相乘得到6。
其次,是字母部分的乘法规律。
当两个单项式的字母部分相乘时,我们需要按照字母的次数进行乘法运算。
例如,(x^2)(x^3)的乘积是x^5,字母x的次数2加上3等于5。
在进行单项式乘法时,还需注意符号的运算。
具体而言,正数乘以正数仍为正数,正数乘以负数为负数,负数乘以正数也为负数。
例如,(-3x)(-4y^2)的乘积是12x*y^2,负数-3和-4相乘得到正数12。
解题时,我们可以先将系数相乘,再将字母部分相乘。
然后,按照规律将它们合并得到最终的结果。
需要注意的是,若字母的次数相同,则合并时需将相同的字母系数相加。
例如,(2x)(3x)-(4x)(2x)的结果是2x^2-8x^2,系数2和3相乘得到6,系数4和2相乘得到8,字母部分的x^2是相同的。
除了基本的单项式乘法,我们还可以进行多项式的乘法。
多项式是由多个单项式相加或相减而得到的代数式。
在进行多项式的乘法时,我们需要将每个单项式与另一个多项式的每个单项式进行相乘,然后将得到的结果相加。
这涉及到分配律和合并同类项的运算法则。
单项式与单项式相乘教案教学目标:1. 让学生理解单项式的概念,掌握单项式的系数、变量和指数的定义。
2. 引导学生掌握单项式与单项式相乘的法则,能够正确进行计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
教学重点:1. 单项式的概念及其系数、变量和指数的定义。
2. 单项式与单项式相乘的法则。
教学难点:1. 理解单项式相乘时系数的乘法与变量的乘法。
2. 正确进行单项式与单项式相乘的计算。
教学准备:1. 教学PPT或者黑板。
2. 练习题。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 教师通过引入日常生活中的例子,如“两个苹果加三个苹果”,让学生初步理解乘法的概念。
2. 引导学生将乘法概念运用到数学中的单项式上,引出单项式与单项式相乘的话题。
二、新课讲解(15分钟)1. 讲解单项式的概念,解释单项式的系数、变量和指数的含义。
2. 讲解单项式与单项式相乘的法则,通过示例进行讲解。
a. 系数相乘b. 变量相同则指数相加c. 变量不同则保持不变3. 进行一些简单的单项式相乘的示例,让学生跟随老师一起计算,巩固知识点。
三、课堂练习(10分钟)1. 让学生独立完成一些单项式与单项式相乘的练习题,老师巡回指导。
2. 选取一些学生的作业进行讲解和点评。
四、总结与拓展(5分钟)1. 对本节课的内容进行总结,让学生回顾单项式与单项式相乘的法则。
2. 提出一些拓展问题,激发学生的学习兴趣。
五、布置作业(5分钟)1. 布置一些单项式与单项式相乘的作业,要求学生在规定时间内完成。
2. 鼓励学生在课后进行自主学习,加深对单项式与单项式相乘的理解。
教学反思:本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展和布置作业等环节,让学生掌握了单项式与单项式相乘的知识点。
在教学过程中,要注意关注学生的学习情况,及时进行指导和解答疑问。
通过练习题的布置,让学生巩固所学知识,提高运算能力。
在今后的教学中,可以结合更多的实际例子,让学生更好地理解和运用单项式与单项式相乘的知识。
单项式与单项式相乘教案单项式与单项式相乘教案一、教学目标:1. 理解单项式与单项式相乘的概念;2. 学会利用分配律计算单项式与单项式的乘积;3. 能够解决与单项式相乘的实际问题。
二、教学重点:1. 单项式与单项式相乘的概念;2. 利用分配律计算单项式与单项式的乘积。
三、教学难点:利用分配律计算单项式与单项式的乘积。
四、教学步骤:步骤一:导入新知提问:你们还记得什么是单项式吗?学生回答。
步骤二:引入新知1. 教师出示一个单项式 a 和一个单项式 b,示意图:a × b。
2. 教师引导学生观察并总结,当单项式 a 与单项式 b 相乘时,我们可以利用分配律进行计算。
3. 教师提问:你们能给出单项式与单项式相乘的一般规律吗?学生回答。
步骤三:讲解与演示1. 教师给出一个具体的例子,例如:(2x) × (3y)。
2. 教师解释每个单项式中的系数和字母的含义,并要求学生进行理解。
3. 教师利用分配律进行计算:(2x) × (3y) = 2x × 3y = 6xy。
4. 教师提问:你们能解释每一步的操作吗?学生解释。
步骤四:学生练习1. 教师出示一些练习题,要求学生根据所学的方法计算。
2. 学生独立完成练习题,并互相核对答案。
3. 教师对学生的答案进行讲解和评价。
步骤五:拓展应用1. 教师提供一些实际问题,要求学生利用单项式与单项式相乘的方法解决问题。
例如:小明种了 a 亩地的玉米,每亩地可以收获 b 斤玉米,那么他一共可以收获多少斤玉米?2. 学生独立思考解决方法,并给出答案。
3. 学生展示解题思路,并让其他同学进行评价和讨论。
步骤六:总结与归纳1. 教师引导学生总结单项式与单项式相乘的方法和规律。
2. 学生参与总结,教师进行点评和补充。
步骤七:作业布置布置一些作业,要求学生进行练习,并要求学生在作业中归纳单项式与单项式相乘的方法。
五、板书设计单项式与单项式相乘的方法和规律(2x) × (3y) = 2x × 3y = 6xy六、教学反思本节课通过问题导入、引入新知、讲解与演示、学生练习、拓展应用、总结与归纳等多种教学方法,旨在帮助学生理解和掌握单项式与单项式相乘的概念和计算方法,并能够应用于实际问题解决中。