2015高中数学 第1部分 3.1.1倾斜角与斜率课时达标检测 新人教A版必修2

3.1.1倾斜角与斜率[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是()①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A．0 B．1C．2 D．3解析：选A若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝()A．－32 B.32C．－1 D．1解析：选C tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即y＋34－2＝1，所以y＝－1.3.如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为() A．k 1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1解析：选A根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是() A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1解析：选C∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1. 5． 如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________.解析：若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1＋2，或a ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 27．如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°. 答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________． 解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°，当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1， 当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°， 当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角， 90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)，(1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53. (2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.。

第三章直线与方程§3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( )A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为( ) A．－2 3 B．0 C. 3 D．2 34．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )A．[0°，90°] B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．二、能力提升9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 10. 若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 211．已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f a a ，f b b ，f c c的大小．答案1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－ 3. 8．解 设P (x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意， 由光的反射定律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草图如图，f x x可视为过原点直线的斜率． 由图象可知：f c c >f b b >f a a .。

双基达标(限时20分钟)1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是()．A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在解析直线x＝1与y轴平行，∴倾斜角为90°，但斜率不存在，∴选C.答案 C2．在下列四个命题中，正确的命题共有()．①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；③若一直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；④若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.A．0个B．1个C．2个D．3个解析由于当倾斜角为90°时，其斜率不存在，故命题①、④不正确；由直线倾斜角的定义知；倾斜角的取值范围为[0°，180°)，而不是[0°，180°]，故命题②不正确；直线的斜率可以是tan 210°，但其倾斜角是30°，而不是210°，所以命题③也不正确．根据以上判断，四个命题均不正确，故应选择A.答案 A3．(2012·济南外国语学校高一检测)如图所示，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图可知α1＝0°，0°＜α2＜90°，90°＜α3＜180°，∴k 2＞k 1＝0＞k 3.故选B.答案 B4．若直线AB 与y 轴的夹角为60°，则直线AB 的倾斜角为________，斜率为________．解析 如右图，直线AB 的倾斜角为30°或150°，其斜率为33或－33.答案 30°或150° 33或－335．若三点A (1,2)，B (0，b )，C (6,0)共线，则b 的值为________．解析 ∵A ，B ，C 三点共线，k AB ＝b －20－1＝2－b ，k AC ＝0－26－1＝－25，∴k AB ＝k AC ，∴2－b ＝－25，∴b ＝125.答案 1256．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P ，使直线PA 的倾斜角为60°.解 ①当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，∵A (1,2)，∴k ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1. 解得a ＝1－233.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－233，0. ②当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )，同理可得b ＝2－3，∴点P 的坐标为(0,2－3)．综合提高 (限时25分钟)7．(2012·温州高一检测)设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；当135°≤α＜180°时，为α－135°解析 由倾斜角的取值范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°；而 0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图所示)，故选D.答案 D8．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( )．A ．1B ．5C ．－1D ．－5解析 由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°，∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.答案 D9．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________． 解析 由图可知，当直线位于如图所示的区域内时才满足题意，即直线的斜率满足k ∈[0,2]．答案 [0,2]10．设斜率为m (m ＞0)的直线上有两点(m,3)，(1，m )，则此直线的倾斜角为________．解析 由m ＝m －31－m得：m 2＝3， ∵m ＞0，∴m ＝ 3.又在[0°，180°)内tan 60°＝3，∴倾斜角为60°.答案 60°11．a 为何值时，过点A ( 2a,3)、B (2，－1)的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？解 因为过A 、B 的直线的倾斜角为锐角，所以k AB >0，根据斜率公式得k AB ＝3－(－1)2a －2＝2a －1>0，∴a >1，同理，当倾斜角为钝角时，k AB <0，即2a －1<0，∴a <1，当倾斜角为直角时，A 、B 两点的横坐标相等，即2a ＝2，∴a ＝1.故：当a >1时，直线的倾斜角是锐角；当a <1时，直线的倾斜角是钝角；当a ＝1时，直线的倾斜角是直角．12．(创新拓展)点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解 y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在2≤x ≤5上的直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (5，－2)．由于k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。

对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。

课后导练基础达标1直线的倾斜角的取值范围是（）A.0°≤α<180°B.0°≤α<180°且α≠90°C.0°≤α<360°D.0°≤α≤180°解析：由直线的倾斜角的定义知，选A.答案：A2给出下列命题，正确命题的个数是（）①任何一条直线都有唯一的倾斜角②一条直线的倾斜角可以是-30° ③倾斜角是0°的直线只有一条A.0B.1C.2D.3解析：由直线的倾斜角的定义知①正确；②错误；③倾斜角是0°的直线有无数条且它们与x 轴平行或为x轴.答案：B3给出下列命题，正确命题的个数是（）①若直线的倾斜角为α，则其斜率为tanα ②直线的倾斜角越大，它的斜率越大③直线的斜率越大，它的倾斜角越大A.0B.1C.2D.3解析：①错，当α≠90°时，k=tanα,当α=90°时，斜率不存在；②错.如135°>45°但tan135°<tan45°;③错，原因同②.答案：A4已知直线斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为( )A.45°B.135°C.45°或135°D.全不对解析：设倾斜角为α，则由条件知tanα=±1,当tanα=1时，α=45°;当tanα=-1时，因为0°≤α<180°,∴α＝135°.应选C.答案：C5过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于（ ）A.1B.-1C.5D.-5解析：k=tan135°=-1,又知k=243-+y ,由23+y =-1得y=-5.答案：D6已知三点A （a ，2）、B （5，1）、C （-4，2a ）在同一直线上，则a 的值为_______. 解析：由5412512---=--a a ,解得a 1=2,a 2=27. 答案：2或277若直线l 的斜率k 满足3-<k<33，则该直线的倾斜角α的范围是.解析：由3-<tanα<33知3-<tanα<0或0≤tanα<33,得120°<α<180°或0°≤α<30°.答案：0°≤α<30°或120°<α<180°8分别写出下列图形的倾斜角和斜率的取值范围，并说明直线的倾斜角和斜率的范围.解析：（1）由图形知，l ∥x 轴，∴α=0°,∴k=0.(2)由图形知α为锐角，即0°<α<90°,∴k>0.(3)由图形知l ⊥x 轴，∴α=90°,k 不存在.（4）由图形知α为钝角，即180°>α>90°，。

3．1.1 倾斜角与斜率填一填1.直线的倾斜角(1)直线倾斜角的定义当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α≤180°}，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°。

2．斜率的概念及斜率公式 (1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k ＝tan _α.(3)斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°斜率 (范围)k ＝0k>0不存在k<0(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1.判一判1.2．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×) 3．一个倾斜角α不能确定一条直线．(√)4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(×)5．若α为直线l 的倾斜角，且sin α＝22，则α＝45°.(×)6．若直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为33.(√)7．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围为90°<α<180°.(√) 8．经过P(－3,1)，Q(－3,10)两点的直线斜率不存在．(√)想一想1.提示：不一定，也可能与x 轴重合．2．用斜率公式解决三点共线的方法是什么？ 提示：3．求直线倾斜角的方法及关注点是什么？提示：(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．提醒：根据定义求倾斜角，有时要根据情况分类讨论．4．利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则是什么？提示：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．思考感悟：练一练1．如图所示，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对答案：C2．直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的斜率是()A．1B．－1C．－1或1 D．以上都不对答案：A3．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在答案：C4．在平面直角坐标系中，过(1,0)点且斜率为－1的直线不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C5．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大B．平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tanαD．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)答案：D知识点一 倾斜角的定义1.A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角 B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率解析：倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0,180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．选D .答案：D2．已知直线l 的倾斜角为α，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为( ) A ．α B ．90°－α C ．180°－α D ．90°＋α解析：根据倾斜角的定义，结合图形知所求直线的倾斜角为180°－α. 答案：C知识点二 直线的斜率3.若直线经过A(1,0)，B(4，3)两点，则直线AB 斜率为( )A .33B ．1C . 3D ．－ 3解析：因为直线经过A(1,0)，B(4，3)两点，所以直线AB 斜率k ＝3－04－1＝33.故选A .答案：A4．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4解析：过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，所以k ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1. 答案：知识点三 倾斜角与斜率的关系5.) A ．－3<k ≤0 B ．k>－ 3C ．k ≥0或k<－ 3D ．k ≥0或k<－33解析：当0°≤α<90°时，k ≥0；当90°<α<120°时，k<－ 3. 答案：C6．已知M(1，3)，N(3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( )A . 3B .33C ．1D .32解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－33－1＝3(3－1)3－1＝3，α＝60°，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率为33.故选B . 答案：B7.A ．(1,3)，(5,7)，(10,12) B ．(－1,4)，(2,1)，(－2,5) C ．(0,2)，(2,5)，(3,7) D ．(1，－1)，(3,3)，(5,7)解析：只需判断其中的三点是否共线，只有不共线的三点才能构成三角形．A ．k 1＝7－35－1＝1，k 2＝12－710－5＝1，k 1＝k 2，三点共线；B ．k 1＝1－42＋1＝－1，k 2＝5－1－2－2＝－1，k 1＝k 2，三点共线；C ．k 1＝5－22－0＝32，k 2＝7－53－2＝2，k 1≠k 2，三点不共线；D ．k 1＝3＋13－1＝2，k 2＝7－35－3＝2，k 1＝k 2，三点共线．故选C . 答案：C8．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线． 证明：因为A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，所以k AB ＝－7－(－1)－2－1＝2，k AC ＝－3－(－1)0－1＝2.所以k AB ＝k AC .因为直线AB 与直线AC 的斜率相同且过同一点A ， 所以直线AB 与直线AC 为同一直线． 故A ，B ，9.已知点解析：(1)当点P 在x 轴上时，设点P(a,0)，因为A(1,2)，所以直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2a －1.又直线PA 的倾斜角为60°，所以tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1－233，0.(2)当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)， 同理可得b ＝2－3，所以点P 的坐标为(0,2－3)．10．(1)经过两点A(－m,6)，B(m ＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m 的值；(2)求证：A(－2,3)，B(3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，12三点共线．解析：(1)∵A(－m,6)，B(m ＋1,3m)，∴k AB ＝3m －6m ＋1－(－m)＝3m －62m ＋1.又直线AB 的倾斜角的正切值为2，∴k AB ＝2， 即3m －62m ＋1＝2，解得m ＝－8. (2)证明：∵A(－2,3)，B(3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，12，∴k AB ＝－2－33－(－2)＝－1，k AC ＝12－312－(－2)＝－1.∴k AB ＝k AC .∵直线AB 与直线AC 的倾斜角相同且过同一点A ， ∴直线AB 与AC 为同一直线． 故A ，B ，C 三点共线.基础达标一、选择题1．已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角α是( ) A ．150° B ．135° C ．75° D ．45°解析：设该直线的倾斜角为α，则直线的斜率k AB ＝tan α＝3－0－5－(－2)＝－1，又α∈[0，π)，所以α＝135°.所以选B .答案：B2．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线的斜率为－2，则m 的值为( ) A ．6 B ．1 C ．2 D ．4解析：因为k AB ＝－4－m3－(－2)＝－2，所以m ＝6，故选A .答案：A3．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为( )A ．1B . 3C .233D ．－ 3解析：因为斜率为33的直线的倾斜角为30°，所以直线l 的倾斜角为60°，故直线l 的斜率为 3.故选B .答案：B4．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：利用直线的倾斜角与斜率的关系，可知选D . 答案：D5．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α ＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析：根据题意，画出图形，如图所示．A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α<135°时，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D .答案：D6．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：由l 的倾斜角为锐角，可知k AB ＝m －11－2>0，即m<1.故选A .答案：A7．已知函数f(x)＝log 3(x ＋2)，若a>b>c>0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小关系为( )A .f (a )a >f (b )b >f (c )cB .f (a )a <f (b )b <f (c )cC .f (b )b >f (a )a >f (c )cD .f (a )a <f (c )c <f (b )b解析：作出函数f(x)＝log 3(x ＋2)的大致图象，如图所示．由图象可知曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a>b>c>0，所以f (a )a <f (b )b <f (c )c，故选B .答案：B二、填空题8．斜率的绝对值为3的直线的倾斜角α的度数为______． 解析：因为直线的斜率为3或－3，所以直线的倾斜角为60°或120°. 答案：60°或120° 9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．解析：由k PQ ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<a<1.答案：(－2,1)10．已知斜率为12的直线经过A(3,5)，B(x ，－1)，C(7，y)三点，则x 的值为________，y的值为________．解析：由题意，可知k AB ＝k AC ＝12，即5＋13－x ＝y －57－3＝12，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 711．已知点M(5,3)和点N(－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设点P(x ，y)，则y －3x －5＝2且y －2x ＋3＝－74，解得x ＝1，y ＝－5.故点P 的坐标为(1，－5)．答案：(1，－5)12．已知A(－2，－3)，B(3,0)，直线l 过点P(－1,2)且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是________．解析：如图，k PA ＝2＋3－1＋2＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12.过点P 且与x 轴垂直的直线PC 与线段AB 相交，但此时直线l 的斜率不存在，当直线l 绕P 点逆时针旋转到PC 处的过程中，l 的斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l 的斜率的取值范围是[5，＋∞)；当直线l 由PC(不包括PC)逆时针绕P 点旋转到PB 处的过程中，斜率为负且逐渐变大，此时l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 三、解答题 13．一束光线从点A(－2,3)射入，经过x 轴上点P 反射后，通过点B(5,7)，求点P 的坐标．解析：如图，设P(x,0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，即∠1＝∠2，∴α＝β.因此k AP ＝－k BP ，即0－3x －(－2)＝－0－7x －5，解得x ＝110，即P ⎝⎛⎭⎫110，0. 14．如果三点A ⎝⎛⎭⎫2m ，52，B(4，－1)，C(－4，－m)在同一条直线上，求常数m 的值． 解析：由于三点A ，B ，C 所在直线不可能垂直于x 轴， 因此设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .由斜率公式，得k AB ＝－1－524－2m ＝74m －8，k BC ＝－m －(－1)－4－4＝m －18.因为点A ，B ，C 在同一条直线上，所以k AB ＝k BC .所以74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0.解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.所以m 的值是3＋572或3－572.能力提升15.已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围．解析：(1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示．设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤33，3.16．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，求y －1x －2的取值范围．解析：y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2,1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，其中A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32. 由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.由Ruize收集整理。

高中数学人教新课标A版必修二3.1.1倾斜角与斜率同步训练3同步测试共 15 题一、单选题1、若直线l经过原点和点(-1，1)，则直线l的倾斜角为( )A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°2、三点A(m，2)，B(5，1)，C(-4，2m)在同一条直线上，则m的值为( )A.2B.C.2或D.不确定3、若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)，(a，b≠0)共线，则log3（ + ）=________.4、在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为( )A.-2B.0C. D. 25、已知点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，经过点P的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为( )A.k≤ 或k≥5B. ≤k≤5C.k≤ 或k≥5D. ≤k≤56、直线l经过第一、三、四象限，其倾斜角为α，斜率为k，则( )A.ksinα>0B.ksinα≥0C.kcosα<0D.kcosα≤07、如图，若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1， k2， k3，则( )A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k28、经过两点A(2，1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )A.m<1B.m>-1C.-1<m<1D.m>1或m<-19、若直线l经过第二、三、四象限，则直线l的倾斜角的范围是( )A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.0°≤α<180°10、过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )A.1B.5C.-1D.-5二、填空题11、已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．12、已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为________.三、解答题13、已知A(-1，1)，B(1，1)，C(2， +1)，(1)求直线AB和AC的斜率.(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.14、已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(-1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.15、如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】由题意可知直线l的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得。

直线的倾斜角和斜率一．选择题：1. 若经过P(-2,m)和Q(m,4)的直线斜率为1，则m=( )（A ）1 （B ）4 （C ）1或3 （D ）1或42. 若A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线，则x=( )（A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）73．若直线l 经过原点和点(－1, 1)，则直线l 的倾斜角为（A ）450 （B ）1350 （C ）450或1350 （D ）-4504．已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=54，则直线l 的斜率为 （A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－34 5．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2（C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 26. 已知直线l 的倾斜角为015α-，则下列结论正确的是（ ） 00.0180A α≤<（） 00.150180B α<<（）00.15195C α≤<（） 00.15180D α≤<（）7. 下列叙述不正确的是( )（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应（B ）每一条直线都有唯一对应的一个倾斜角（C ）与坐标轴垂直的直线的倾斜角为00090或（D ）若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan α二．填空题：8. 经过点P(1,3)和Q(2,5)的直线的斜率为 .9．经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .10．已知点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 .11．已知点M(5,3),N(-3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和7-4，则点P 的坐标为 .12. 已知()()M 1,3,N3,3，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的一半，则直线l 的斜率为 .三．解答题13．已知实数x,y 满足2x+y=8,当2≤x ≤3时，求y x 的最大值和最小值。