精编新版2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题模拟考试题库(含答案)

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精编2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题模拟考核题库(含答案)

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精编2019年高中数学单元测试《解析几何及综合问题》专题完整考题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．（2010福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．4．已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 . 5．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ .三、解答题6．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；（3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．7．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)8．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且 OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．9．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积10．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。

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2019年高中数学单元测试试题解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π2．（2010福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲4．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．6．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．7．已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 . 8．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ .9．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错10．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）三、解答题11．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标；（2）当3arctan4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标；（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.12．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.13．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．14．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(4分)(2)过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆的方程；(6分)(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ．若→AP= t →AQ （t ＞1），求证：→SB= t →BQ (6分)15．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN 的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：214c a ===，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(42x y x +=≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y，则0(2e x +=，00x ∴=，P则(0,M ，则直线l 的方程是：(y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P FF N P F P FF NP FF M=++=+++（1）P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==，所以：11111||PM PN FM F N FM =+=-，设00(,)M x y(1）0[x ∈时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则10||2[1,3]2F M x =+∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-；(2）01]x ∈时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，则2200(1x y +=，且1||F M =[3,1=+则11||[2]PM PN FM =-∈--；综上可知：PM PN 的取值范围是11||[PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y ya b+=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b+=；过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=；因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y a bx x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y y a b+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=，由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a -=，则20a x c =-∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.16．如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =， (1）求椭圆的方程；(2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.17．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点，2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.(1)当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； (2）求双曲线的离心率e 的取值范围；(3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长为8，求该圆的方程. 17－118．已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． (Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；(Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．x19．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3. (Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； (Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（2002北京，21）20．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A，0）三点，其中c ＞0．（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；（2）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．第20题22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

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2019年高中数学单元测试试题解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(2010福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .4．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.5．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．7．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.8．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．9．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）10．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题11．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点(m ,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．12．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)13．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．14．设顶点为P 的抛物线23(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切．求证：PA DA ⊥．15．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程；（II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．16．已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ,上顶点为A ,P 为1C 上任一点,MN 是圆2:C 22(3)1x y +-=的一条直径.若与AF 平行且在y轴上的截距为3的直线l 恰好与圆2C 相切.(Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；(7分)(Ⅱ）若PM PN ⋅的最大值为49，求椭圆1C 的方程.(8分)17．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN 的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：214c a ===，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(42x y x +=≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y，则0(2e x +=，00x ∴=，P则(0,M ，则直线l 的方程是：(y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P FF N P F P FF NP FF M=++=+++（1）P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==，所以：11111||PM PN FM F N FM =+=-，设00(,)M x y(1）0[x ∈时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则10||2[1,3]2F M x =+∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-；(2）01]x ∈时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，则2200(1x y +=，且1||F M =[3,1=+则11||[2]PM PN FM =-∈--；综上可知：PM PN 的取值范围是11||[PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y ya b+=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b+=；过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=；因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y a bx x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y y a b+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=，由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a -=，则20a x c =-∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.18．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。

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2019年高中数学单元测试试题解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π2．（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（）（A ）12（B ）1 （C ）2（D ）4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．5．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．6．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.7．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．8．已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .9．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）10．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题11．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。

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2019年高中数学单元测试试题解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（）（A ）12（B ）1 （C ）2（D ）4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .3．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .4．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．5．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.6．已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 .7．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为8．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．三、解答题9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．10．设椭圆的方程为2222n y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点， (Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； (Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最小值u ；(Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围. （1995上海，24） 93.（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 2222n y m x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜2π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝θθ22222tan tan 4m n n m +．（Ⅱ）S ＝θθtan tan 42222m nn m +．（1）当m >n ，即mn＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22m n 时等号成立，所以mn mnn m m n n m S 224tan tan 4222222=≤+=θθ．由于0＜θ≤4π，0＜tan θ≤1，故tan θ＝mn得u ＝2mn ．（2）当m <n ，即m n>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4π，由于)tan tan ()tan tan (12122222θθθθn m n m +-+21221212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．因为0＜tan θ1＜tan θ2≤1，m2tan θ1tan θ2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2tan θ2＋22tan θn ）－（m 2tan θ1＋12tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθtan tan 42222m n n m +是θ的增函数，故取θ＝4π，即tan θ＝1得u ＝22224n m n m +．所以u ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<+<<)0(4)0( 22222n m n m n m m n mn（Ⅲ）（1）当nm>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m）+1<0，所以3232+<<-n m ，又由nm<1，得132<<-nm . 综上，当u >mn 时，nm的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）．评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.11．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．12．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积13．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(4分)(2)过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆的方程；(6分)(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ．若→AP= t →AQ （t ＞1），求证：→SB= t →BQ (6分)14．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．15．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN 的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：214c a ===，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(42x y x +=≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y，则0(2e x +=，00x ∴=，则(0,M ，则直线l的方程是：(y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P FF N P F P FF NP FF M=++=+++（1）P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==，所以：11111||PM PN FM F N FM =+=-，设00(,)M x y (1）0[x ∈时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则10||2[1,3]2F M x =+∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-； (2）01]x ∈时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，则2200(1x y +=，且1||F M=[3,1=+则11||[2]PM PN FM =-∈--； P综上可知：PM PN 的取值范围是11||[PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y ya b+=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b +=；过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=；因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y a bx x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y y a b+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=，由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a-=，则20a x c =- ∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．4．17．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。

精编2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题完整题库(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题解析几何及综合问题专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(2010福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 的值为 .3．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________．①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．5．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________．解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．6．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ． 7．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为8．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ .9．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）三、解答题10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；（3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．11．设椭圆的方程为2222n y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点， (Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； (Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最小值u ；(Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围. （1995上海，24） 93.（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 2222n y m x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜2π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝θθ22222tan tan 4m n n m +．（Ⅱ）S ＝θθtan tan 42222m nn m +．（1）当m >n ，即mn ＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22m n 时等号成立，所以mn mnn m m n n m S224tan tan 4222222=≤+=θθ．由于0＜θ≤4π，0＜tan θ≤1，故tan θ＝mn得u ＝2mn ．（2）当m <n ，即m n>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4π，由于)tan tan ()tan tan (12122222θθθθn m n m +-+21221212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．因为0＜tan θ1＜tan θ2≤1，m2tan θ1tan θ2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2tan θ2＋22tan θn ）－（m 2tan θ1＋12tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθtan tan 42222m n n m +是θ的增函数，故取θ＝4π，即tan θ＝1得u ＝22224n m n m +．所以u ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<+<<)0(4)0( 22222n m n m n m m n mn（Ⅲ）（1）当nm>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m）+1<0，所以3232+<<-n m ，又由nm<1，得132<<-nm . 综上，当u >mn 时，nm的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）．评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.12．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.13．已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)14．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(4分)(2)过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆的方程；(6分)(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ．若→AP= t →AQ （t ＞1），求证：→SB= t →BQ (6分)15．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．16．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程；（II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．17．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN 的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：214c a ===，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(42x y x +=≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y，则0(2e x +=，00x ∴=，则(0,M ，则直线l的方程是：(y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P F F N P F P FF NP FF M=++=+++（1）P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==，所以：11111||PM PN FM F N FM =+=-，设00(,)M x y (1）0[x ∈时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则10||2[1,3]2F M x =+∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-； (2）01]x ∈时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，P则2200(1x y +=，且1||F M =[3,1=+则11||[2]PM PN FM =-∈--；综上可知：PM PN 的取值范围是11||[PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y ya b+=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b+=；过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=；因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y a bx x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y y a b+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=，由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a -=，则20a x c =-∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.18．设分别21,F F 是椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左右焦点；(1）若椭圆C 上的点)23,1(A 到两焦点的距离之和为4，求椭圆C 的方程； (2）在（1）的条件下求21F AF ∆内切圆的方程；(3）设MN 是过椭圆C 中心的弦，P 是椭圆上的动点，求证：直线PM ，PN 的斜率之积为定值．3．19．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3. (Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； (Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（2002北京，21）20．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作⊙P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1)若椭圆的离心率e =P 的方程； (2）若⊙P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．21．. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程； (2)求21F F A k ∆的面积 (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G? 请说明理由.22．已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．(第1723．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标；（2）当3arctan4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标；（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.24．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．25．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点(m ,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．26．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2原点，设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心)． (1)求圆C 的方程；(2)设圆M 的方程为(x －4－7cos θ)2＋(y －7sin θ)2＝的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CE ·CF 的最大值和最小值．27．已知椭圆22221x y a b += ()0a b >>的右焦点为1(20)F ，，离心率为e .（1）若e ，求椭圆的方程；（2）设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上．①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，若k ，求e 的取值范围．关键字：求椭圆方程；证明点在定圆上；求点的轨迹方程；28．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)16x y -+=，圆2C ：22(1)1x y ++=，点S 为圆1C 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心2(10)C -,恰与点S 重合，折痕与直线1SC 交于点P ．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过动点S 作圆2C 的两条切线，切点分别为M N 、，求MN 的最小值；（3）设过圆心2(10)C -,的直线交圆1C 于点A B 、，以点A B 、分别为切点的两条切线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上．29．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）30．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。

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