高中数学单元测试(圆)

一、选择题1．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．CD ．3．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．6．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2CD ．7．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=8．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．⎡⎢⎣⎦9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±10．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时A ．1B ．2C ．3D ．411．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．210x y --=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．14．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.15．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．16．若直线l ：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.17．已知直线l 过点(4,1)A -20y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.18．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．19．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.20．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为_____．参考答案三、解答题21．已知ABC 的顶点()5,1A ，B 的平分线所在直线方程为0x y -=，C ∠的平分线所在直线方程为20x -=. （1）求BC 边所在的直线方程；（2）求B .22．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上. （1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程.23．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值.25．（1）如图，已知直线l ： 0mx ny r ++=（0mn ≠）外一点P （a ，b ），请写出点P 到直线l 的距离PH 的公式及公式的推导过程．．．．.（2）一质点从点(4,0)A 处沿向量(1,1)a =-方向按每秒2个单位速度移动，求几秒后质点与点(2,4)B 距离最近. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ，d ∴==圆的半径为3r ==.4MN ∴==.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.2．B解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得PA =PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．B解析：B 【分析】根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点， 所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时1655CP -+==此时切线长541PA PB ==-=，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.4．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.6．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.7．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．8．C解析：C【分析】在OMN 中，由正弦定理可得22223My+=，从而得到()223sin4My ONM=±∠-，再根据角ONM∠的取值范围，求出My的取值范围，即可得解；【详解】解：设()2,MM y，在OMN中，由正弦定理得sin sinOM ONONM OMN=∠∠因为30OMN∠=︒，3ON=，所以22232312My+==整理得()223sin4My ONM=±∠-由题意知0150ONM︒<∠<︒，所以(]sin0,1ONM∠∈，所以sin1ONM∠=时，My取得最值，即直线MN为圆22:3O x y+=的切线时，M y取值最值，所以22,22My⎡⎤∈-⎣⎦故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN中利用正弦定理计算，考查转化思想；9．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴， 所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束， 所以:14030AB x yl +=，即:341200AB l x y +-=， 因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为24OO '==，所以20MN ==，所以监测时间持续2010=2小时， 故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.11．D解析：D 【分析】求得圆心坐标为(3,0)C ，根据斜率公式求得PC k ，再由根据圆的弦的性质，得到2MN k =，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=，可得22(3)9x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ，半径为3， 又由斜率公式，可得011312PC k -==--， 根据圆的弦的性质，可得1PC MN k k ⋅=-，所以2MN k =， 所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=， 所以弦MN 所在直线方程为210x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中熟练应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解.曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =32310x y --=分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】 由已知可得直线333y x =-的斜率33k =，所以倾斜角为30， 因为直线l 与33y x =-的夹角为30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l 为()132y x -=-，即为31230x y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =或31230x y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线330x y --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.14．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为： 解析：47【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==，所以当||PM 最小时，||MN 最小因为PM =∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小．因为min ||PC ==，所以cos3MCP ∠==，所以sin MCP ∠=由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min ||3MN =．故答案为：3. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.15．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0解析：3x ﹣2y+12=0 【详解】设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322x y++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），∴直线l 的方程为：320342y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=016．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭17．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由题直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为时直线为故答案为：或【点睛】本题考解析：4x =-334330x y -+= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,分类讨论,并利用点斜式方程求解即可 【详解】 由题,直线32y x =+的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,当倾斜角为30时,直线l 为)3143y x -=+,334330x y -+=； 当倾斜角为90︒时,直线l 为4x =-, 故答案为：4x =-334330x y -+= 【点睛】本题考查直线倾斜角与斜率的关系,考查求直线方程,考查分类讨论思想18．【分析】将问题转化为以为圆心为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案【详解】解：根据题意设以为圆心为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为：因为圆O 上存在两点到A 的距离为 解析：()3,7【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA =， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7. 故答案为：()3,7 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题.19．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.20．【分析】设根据题意可设直线的方程为将其与抛物线方程联立可求出结合图形及抛物线的焦半径公式可得再利用基本不等式即可求出的最小值【详解】圆可化为圆心坐标为半径为抛物线的焦点可设直线的方程为设由得所以又所 解析：2【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ⋅==，再利用基本不等式，即可求出11PM QN+的最小值. 【详解】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2114y x =，2224y x =，所以222121212()14416y y y y x x =⋅==，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==， 所以111122PM QN PM QN+≥⋅=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11PM QN+的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）23y x =+；（2）4arccos 5B ∠=. 【分析】（1）求出点()5,1A 关于直线0x y -=和20x -=对称的点，利用两个对称点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；（2）联立直线方程求出,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求出ABC 三条边长，再利用余弦定理即可求得B . 【详解】（1）作点()5,1A 关于B 的平分线0x y -=的对称点()11,5A ， 作点()5,1A 关于C ∠的平分线20x -=的对称点()21,1A -， 由题意得B ，1A ，2A ，C 四点共线， 所以直线BC 的方程为511(1)11y x --=++，即23y x =+； （2）由023x y y x -=⎧⎨=+⎩得()3,3B --，由2023x y x -=⎧⎨=+⎩得()2,7C ，又()5,1A ，所以AB ==AC ==BC ==由余弦定理得2224cos25AB BC AC B AB BC +-===⨯， 所以4arccos 5B ∠=. 【点睛】关键点点睛：根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，可得BA 与BC 关于直线0x y -=对称，CB 与CA 关于直线20x -=对称，所以点()5,1A 关于直线0x y -=，20x -=对称的点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；第二问求角B 要想到利用余弦定理，因此需要求,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求三边长.22．（1）22(2)25x y ++=；（2）5x =或34170x y -+=. 【分析】（1）联立点A 和B 的中垂线与直线l ，求出圆心坐标，算出圆心与A 距离，写出圆的标准方程即可；（2）讨论斜率存在与不存在，将直线与圆相切转化为d r =，解出k ，代回直线方程化简即可. 【详解】（1）根据题意可得2113(4)AB k -==---，,A B 中点坐标为73(,)22-，所以AB 的中垂线为7322y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即2y x =--， 联立方程202x y y x --=⎧⎨=--⎩可得圆心坐标(0,2)-，又222(0(3))(22)25r =--+--=， 所以圆C 的方程为22(2)25x y ++=.（2）①过点P 斜率不存在的直线为5x =，与圆C 相切； ②过点P 斜率存在的直线设斜率为k ， 则(5)8y k x =-+，即580kx y k --+= 圆心(0,2)-到切线的距离为5=，解得34k =综上，切线的方程为5x =或34170x y -+=. 【点睛】求圆的方程的两种方法：（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程. 23．(1) 22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程. (2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可． 【详解】（1）因为圆心C 在直线l 上，所以圆心C 可设为(a ，2a -4)，|1128|15a -==，即|1128|5a -=， 所以11285a -=±，解得3a =或2311a =， 所以圆心C 的坐标为(3，2)或232,1111⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆C 的标准方程为22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=(2) 由2=MA MO ,= 化简得：22230x y y ++-=， 即22(1)4x y ++=，所以动点M 的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆， 若点M 同时在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点， 则21||21CD -≤≤+，即1 3.≤≤整理得：2251280,5120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩解得1205a ≤≤， 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]. 【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21CD -≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题. 24．（1）()()22129x y -++=；圆心()1,2C -，3r =；（2）存在；；1y x =+或4y x =-；（3）92. 【分析】（1）将一般方程化为标准方程后即可得到结果；（2）设:l y x m =+，与圆的方程联立得到根与系数的关系，利用OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此整理可得方程求得m ，进而得到所求方程；（3）设:l y x m =+，由垂径定理表示出AB ，将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 的函数，利用函数最值的求法可求得结果. 【详解】（1）由222440x y x y +-+-=得：()()22129x y -++=.∴圆C 的圆心为：()1,2C -，半径3r =.（2）假设存在直线l ，设方程为y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，以AB 为直径的圆过圆心O ，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=.由222440y x m x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消去y 得：()22221440x m x m m ++++-=. 由()()22418440m m m ∆=+-+->得：33m -<<.由根与系数关系得：()121x x m +=-+，212442m m x x +-=，()()()212121212y y x m x m x x m x x m ∴=++=+++，()21212121220x x y y x x m x x m ∴+=+++=，解得：1m =或4-.∴直线l 方程为：1y x =+或4y x =-.（3）设圆心C 到直线l ：y x m =+的距离为d，则AB =12CABSd ∴=⨯== ∴当2d =()max 92CAB S=， ∴圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或6m =-， ∴当直线l 的方程为y x =或6y x =-时，CAB △面积取得最大值92. 【点睛】方法点睛：处理直线与圆问题中的三角形面积的最值或取值范围问题时，通常结合垂径定理和点到直线距离公式将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 或者半径r 的函数关系式的形式，利用函数最值的求解方法求得结果. 25．（1）PH =2）2. 【分析】（1）根据直线PH 的斜率与l 的斜率的关系得到方程，再将l 的方程与所得方程联立并化简，即可推导出P 到直线l 的距离PH 的公式；（2）先确定出质点的运动轨迹对应的直线方程，然后根据点到直线的距离公式求解出最近距离，由此确定出质点的运动时间. 【详解】（1）P 到直线l的距离PH =设(),H x y ，所以1PH l k k ⋅=-，所以1y b m x a n -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，所以10y b m x a n mx ny r ⎧-⎛⎫⋅-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪++=⎩，所以()()()()()0m y b n x a m x a n y b ma nb r ⎧---=⎪⎨-+-=-++⎪⎩， 所以()()()()()()()222222+=m y b n x a m x a n y b m n x a y b ⎡⎤----+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ma nb r =++，所以()()()22222ma nb r x a y b m n++⎡⎤-+-=⎣⎦+，所以()()2222ma nb r x a y b m n ++-+-=+ 又因为()()22P a y b H x -+-=，所以22ma nb rm PH n ++=+；（2）由条件可知：质点运动轨迹所在直线方程为()1041y x -=--，即40x y +-=， 如下图，作BC l ⊥，垂足为C ，显然质点运动到C 时离B 点最近，又244211BC +-==+，()()22420425AB =-+-=，所以2232AC AB BC =-=，所以质点运动时间为322秒.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是选用合理的方法推导出点到直线的距离公式，第二问即可使用点到直线的距离公式进行分析求解.26．（1）320x y ++=；（2）22(2)8x y -+=；（3）20x y -+=或20x y ++=.【分析】（1）求出直线AC 的斜率后可得直线AC 的方程.（2）求出点A 的坐标，结合圆心坐标可求圆的半径，从而可得圆的方程.（3）利用点到直线的距离为半径可求切线的斜率，从而可得所求的切线的方程.【详解】（1）0AT AB ⋅=，AT AB ∴⊥，又T 在AC 上，AC AB ∴⊥，ABC ∴为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，∴直线AC 的斜率为3-， 又点()1,1T -在直线AC 上，AC ∴边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）AC 与AB 的交点为A ，∴由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-， BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC 斜边上的中点，即为Rt ABC 外接圆的圆心，又||r AM ===从而ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.（3）设切线方程为(2)y k x =+=，解得1k =或1-.所以切线方程为20x y -+=或20x y ++=.【点睛】思路点睛：（1）确定直线的方程往往需要两个独立的条件，比如直线所过的两个不同点，或直线所过的一个点和直线的斜率；（2）确定圆的方程，关键是圆心坐标和半径的确定；（2）直线与圆的位置关系，往往通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.。

高中数学单元测试 试题 2019.091,复平面内的以点(01)-，为圆心，1为半径的圆的方程是 ． 2,我们把利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的 ． 3,2()2x f x x =+，11x =，1()(2)n n x f x n n -=∈N 且≥，计算234x x x ，，分别为212325，，，猜想n x = ．4,某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据：（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）据此估计广告费用为10时，销售收入y 的值．5,已知1a b c ++=，求证：13ab bc ca ++≤．6,若复数22(1)(483)()z m m m m i m =+-+-+∈R 的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．7,求满足2101000x <<的所有正整数x 的值，用程序框图表示出来．8,已知2()(1)1x x f x a a x -=+>+．（1）证明：函数()f x 在(1)-+，∞上为增函数；（2）用反证法证明：方程()0f x =没有负数根．9,一个公司共有240名员工,下设三部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知甲部门有36名员工,那么从甲部门抽取的员工人数是 ．10,已知},......,,{321n x x x x 的平均数为a ，则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x 的平均数是_____．11,如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投中圆内，那么他投中正方形区域的概率为 ．12,在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球。

若从中任意选取3个，则所选的3个球至少有一个红球的概率是 ．（结果用分数表示）13,判断方程220x x y y ++=所表示的曲线关于 对称（填x 轴或y 轴或原点）.14,双曲线2183222-=-y x 的焦距等于 ．15,若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线22y x =的焦点,点P 在该抛物线上移动,为使得PA PF +取得最小值,则P 点的坐标为 ． 16,设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．17,P 为椭圆22143x y +=上的一点，M 、N 分别是圆22(1)4x y ++= 和22(1)1x y -+=上的点，则|PM | + |PN |的最大值为 ． 18,12-的相反数是A ．12B ． 12-C ． -2D ． 219,下列运算中，正确的是A ．22223a a a --=-B ．221a a -=-C ．235()a a -=D ． 236a a a =试题答案1, 11z +=2, 独立性检验 3, 21n +4, 解：（1）作出散点图如下图所示：（2）求回归直线方程．1(24568)55x -⨯++++=，1(3040605070)505y =⨯++++=， 22222224568145i x =++++=∑，222222304060507013500i y =++++=∑， 1380i i x y =∑，222513805550 6.5145555i i ix y xy b x x --⨯⨯===-⨯-∑∑， 50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=．因此回归直线方程为 6.517.5y x =+；（3）10x =时，预报y 的值为10 6.517.582.5y =⨯+=．5, 证明：∵1a b c ++=，2222221a b c ab bc ca +++++=∴．又222a b ab +∵≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，∴将以上三个不等式相加，得2222()2()a b c ab bc ca ++++≥，222a b c ab bc ca ++++∴≥．2221222a b c ab bc ca ab bc =++++++∴≥2223()ca ab bc ca ab bc ca ++++=++． 13ab bc ca ++∴≤．6, 解：22(1)(483)z m m m m i =+---+，因为z 对应的点在第一象限，2210324830m m m m m ⎧+->⎪⇒<<⎨-+<⎪⎩，∴．∴所求m的集合为32m m ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．7, 解：8, 证明：（1）23()ln (1)x f x a a x '=++．11a x >>-，∵，ln 0x a a >∴，230(1)x >+，()0f x '>∴，∴函数()f x 在(1)-+，∞上为增函数； （2）假设存在000(1)x x <≠-，满足0()0f x =，则00021x x a x -=-+，001x a <<，002012x x -<-<+∴， 解得0122x <<，与假设00x <矛盾．故方程()0f x =没有负数根． 9, 310, 3a+2 11, 2π 12, 45 13, 原点 14, 2015, （2，2）1 17, 7 18, A 19, B。

第二章单元测试1．下列命题正确的是………………………………………………（ ） A ．三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两条相交直线确定一个平面2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面 4．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行5．下列命题中，错误的是…………………………………………（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一个平面的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 6．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．下列命题中错误的是……………………………………（ ） A ．如果平面βα⊥，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面βα⊥，那么平面α一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面τα⊥，τβ⊥，l =⋂βα，那么τ⊥l 8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 异面 ③CN 与BM 成 60 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④9．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 10．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β 11．下列四个说法 ①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行 ③a ⊄α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组13．（12分）已知正方方体111'D C B A ABCD -，求：（1）异面直线11CC BA 和的夹角是多少？ （2）B A 1和平面11B CDA 所成的角？（3）平面11B CDA 和平面ABCD 所成二面角的大小？AB CDEFMN C A 1B 11P A BCDCABPMN14．（12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 垂直于平面ABC ，AC ⊥BC ． 求证：BC ⊥平面PAC ．15.（10分）如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证： PAC BC 平面⊥16．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．求证：MN ∥平面PAD ．,M N 分别是17． 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：//MN 平面SCDA BCP O17.（14分）如图正方形ABCD 中，O 为中心，P O ⊥面ABCD ，E 是PC 中点， 求证：（1）PA ||平面BDE ； （2）面PAC ⊥面BDE.18．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．19．在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点 （1）证明：AD D F ⊥1； （2）求AE D F 与1所成的角； （3）证明：面面AED A FD ⊥11．必修2第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23- D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 . 12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 . 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的 16.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值. ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：1.A ；2.B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.A ；10.A. 11.x+4y-7=0或x=-1;12.x+y-3=0或2x-y=0;13.261;14.2x-y+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. 16.m=0或m=-1;17.x=1或3x-4y-3=0.必修2第四章《圆与方程》单元测试题一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D)1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）(A)5 (B) 3 (C)10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=4 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________. 14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 . 2+y 2-8x=0的弦OA 。

专题8 直线与圆综合大题归类目录【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆 .......................................................................................................................... 1 【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线 ...................................................................................................................... 2 【题型三】直线与圆：韦达定理型 .......................................................................................................................... 3 【题型四】直线与圆：定点 ...................................................................................................................................... 4 【题型五】直线与圆：定值 ...................................................................................................................................... 4 【题型六】直线与圆：定直线 .................................................................................................................................. 5 【题型七】探索性、存在性题型 .............................................................................................................................. 5 【题型八】面积与最值 .............................................................................................................................................. 6 【题型九】直线与圆的应用题 .................................................................................................................................. 7 培优第一阶——基础过关练 ...................................................................................................................................... 8 培优第二阶——能力提升练 ...................................................................................................................................... 9 培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知A （3，3），点B 是圆x 2+y 2＝1上的动点，点M 是线段AB 上靠近A 的三等分点，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．221(2)(2)9x y -+-=B ．221(2)(2)9x y -++=C ．221(3)(3)3x y -+-=D ．221(3)(3)3x y -++=1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A．B ．C．1 D ．22.（2017·北京海淀·高二期中）若动点P 在直线1:20l x y --=上，动点Q 在直线2:60l x y --=上，设线段PQ 的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)8x y -++≤，则2200x y +的取值范围是__________．3.（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆224x y +=上两点，点()1,1A ，且0AB AC ⋅=，()12AM AB AC =+，则OAM ∆面积的最大值为______.【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线【典例分析】.（2022·全国·高二课时练习）已知点(),m n 在过()2,0-点且与直线20x y -=垂直的直线上，则圆C ：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 的轨迹的距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(3)4C x y -+-=，过动点(,)P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM ，PN ，（,M N 分别为切点），若||||PM PN =，则226413a b a b +--+的最小值是A ．5B ．13C D ．852.（2020·全国·高二）已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22(2)(4)1x y -+-=，过动点()P a b ，分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点），若PM PN =，的最小值是（ ）A B C D【题型三】直线与圆：韦达定理型【典例分析】（2021·广东·西樵高中高二阶段练习）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．（2021·江苏省镇江中学高二阶段练习）如图，已知图22:9C x y +=与x 轴的左右交点分别为A ，B ，与y 轴正半轴的交点为D ．（1）若直线l 过点(3,4)并且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若点M ，N 是圆C 上第一象限内的点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于点P ，Q ，点P 是线段OQ 中点，直线//MN BD ，求直线AM 的斜率．【题型四】直线与圆：定点【典例分析】（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知两个定点()0,4A 、()0,1B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．(1)求曲线E 的方程；(2)若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22()()4x a y b -+-=与圆1C ：2268160x y x y +--+=相切于点6855A ⎛⎫⎪⎝⎭，，且直线l ：10x y +-=与圆C 有公共点．(1)求圆C 的方程；(2)设点P 为圆C 上的动点，直线l 分别与x 轴和y 轴交于点M ，N ． ①求证：存在定点B ，使得2PB PM =；①求当12PM PN +取得最小值时，直线PN 的方程．【题型五】直线与圆：定值【典例分析】（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=与圆22:40C x y x +-=.(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【变式训练】（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值.【题型六】直线与圆：定直线【典例分析】（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=. (1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式训练】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知圆C 经过()(0,2,P Q 两点，圆心在直线0x y -=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴相交于A ，B 两点（A 在B 上方）.直线:1l y kx =+与圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 相交于点T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【题型七】探索性、存在性题型【典例分析】（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ． (1)求圆C 的方程；(2)过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于,M N 两点，若CMN △为直角三角形，求直线2l 的方程； (3)在直线3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为,E F ，使QEF △为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．【变式训练】（2021·江苏·高二专题练习）已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M . (1)过M 作圆O 的切线，求切线的方程；(2)过M 作直线l 交圆O 于点C ，D 两个不同的点，且CD 不过圆心，再过点C ，D 分别作圆O 的切线，两条切线交于点E ，求证：点E 在同一直线上，并求出该直线的方程；(3)已知(2,8)A ，设P 为满足方程22106PA PO +=的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B ，试探究：平面内是否存在一定点N ，使得22PB PN 为定值？若存在，请求出定点N 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【题型八】面积与最值【典例分析】（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））已知圆C ：222210x y x y +--+=，直线l 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，,OA a OB b ==(2,2)a b >>，且圆心C 到直线l 的距离为1.(1)求证：2)22()(a b --=；(2)设(3,1)N ，直线m 过线段CN 的中点M 且分别交x 轴与y 轴的正半轴于点P 、Q ，O 为坐标原点，求①POQ 面积最小时直线m 的方程； (3)求①ABC 面积的最小值.（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()22:4C x a y b -+-=，圆心C 在直线y x =上，且被直线:2m x y +=截得弦长为 （1）求圆C 的方程；（2）若0a ≤，点()0,1A ，过A 作两条直线l ，1l ，且满足1l l ⊥，直线l 交圆C 于M ，N 两点，直线1l 交圆C 于P ，Q 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.【题型九】直线与圆的应用题【典例分析】（2022·江苏·高二）在①直线l 与B 、C 均相切，①直线l 截A 、B 、C 所得的弦长均相等，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.问题：2020年是中国传统的农历“鼠年”，现用3个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，()0,2A -是A 的圆心，且A 过原点；点B 、C 在x 轴上，B 、C 的半径均为1，B 、C 均与A 外切.直线l 过原点.若___________，求直线l 截A 所得的弦长.【变式训练】1（2022·全国·高二课时练习）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早､保存最好的巨大石拱桥.如图所示，它是一座空腹式的圆弧形石拱桥.(1)利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a 和圆拱高b 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径r ； (2)已知37.02a =米，7.23b =米，计算半径r 的值.（结果保留2位小数）2.（2022·福建省永春第一中学高二期末）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A 出发，沿着助滑道曲线())0f x b x =-≤≤滑到台端点B 起跳，然后在空中沿抛物线()()2200g x ax ax b x =-->飞行一段时间后在点C 着陆，线段BC 的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知()220g x ax ax b =--在区间[]0,30上的最大值为30-，最小值为70-．(1)求实数a ，b 的值及助滑道曲线AB 的长度．(2)若运动员某次比赛中着陆点C 与起滑门点A 的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，5 2.236≈）．培优第一阶——基础过关练1.（2020·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB 切点分别为A 、B ，若120APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为__________．2.（2021·全国·高二期末）在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆M ：22(1)(1)1x y -+-=上一动点，过圆M 外一点P 向圆M 引-条切线，切点为A ，若|P A |=|PO |，则||PQ 的最小值为（ ）A ．21-B ．21+C ．3214-D ．3214+3.（2021·江苏省响水中学高二阶段练习）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标； （3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．4.（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4) 1.C x y -+-=设动圆C 同时平分圆1C ､圆2C 的周长.(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.分阶培优练(2)动圆C 是否经过定点⋅若经过，求出定点的坐标;若不经过，请说明理由.5.（2021·广东·广州四十七中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)若PA PB ⊥，求点P 的坐标；(2)设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．6.（2013·湖南长沙·一模（理））已知1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是y 轴上的动点，过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ，若()2,4,0AP AQ AB M +=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线x a =，以PM 为直径的圆与直线x a =的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．7.（2022·全国·高二单元测试）已知圆C 过坐标原点O 和点(6,A ，且圆心C 在x 轴上.(1)求圆C 的方程： (2)设点()10,0M -.①过点M 的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求当PCQ △的面积最大时直线l 的方程；①若点T 是圆C 上任意一点，试问：在平面上是否存在点N ，使得32TM TN =.若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.8.（2021·江苏·高二专题练习）圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N . （1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值.9.（2021·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高二阶段练习）如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)培优第二阶——能力提升练1.（2021·山东·薛城区教育局教学研究室高二期中）已知圆()()22:254C x y -+-=，T 为圆C 外的动点，过点T 作圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点，则圆C 的萌点的轨迹方程为_______.2.（2017·重庆一中一模（理））过x 轴下方的一动点P 作抛物线2:2C x y =的两切线，切点分别为,A B ，若直线AB 到圆221x y +=相切，则点P 的轨迹方程为 A ．221(0)y x y -=< B ．22(2)1y x ++=C ．221(0)4y x y +=< D ．21x y =--3.（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高二阶段练习）已知直线l ：x +y +3＝0及圆C ：()()2239x a y -++=，令圆C 在x 轴同侧移动且与x 轴相切，（1）圆心在何处时，圆在直线l 上截得的弦最长； （2）C 在何处时，l 与y 轴的交点把弦分成1：3；（3）当圆C 移动过程中与直线l 交于A ，B 两点时，求OA ·OB 的取值范围.4.（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点A （-4，0），B （-1，0），动点P 满足|P A |=2|PB |.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y =kx -4. （1）求曲线E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且①COD =90°（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k =12，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点.5.（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）①圆心C 在直线:2780l x y -+=上，圆C 过点B (1，5)；①圆C 过直线:3580l x y +-=和圆226160x y y ++-=的交点；在①①这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C 经过点A (6，0)，且 . (1)求圆C 的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线l 与圆C 交于M ，N 两点 ①求弦M N 中点Q 的轨迹方程； ①求证PM PN ⋅为定值.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 6.（2021·安徽·高二阶段练习）已知圆C 过原点，圆心C 是直线2y x =+与直线22y x =-+的交点.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴交于A ､B 两点（A 在B 上方），直线:1l y kx =+与圆C 交于M ､N 两点，直线AM ，BN 相交于T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.7.（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））已知点(2,0)P 及圆C ：226490x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）设过P 直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当MN =求以MN 为直径的圆的方程； （3）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值.8.（2021·江苏·高二专题练习）如图，已知圆O ①224x y +=，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.（1）当|AB l 的方程；（2）已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ①CD ，求四边形ACBD 面积的最大值.9.（2022·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m ，圆拱高约为7.2m ，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m ）培优第三阶——培优拔尖练1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆:O 229x y +=与x 轴交于点A 、B ，过圆上动点M (M 不与A 、B 重合)作圆O 的切线l ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，与切线l 分别交于点,C D ，直线CB 与AD 交于点Q ，Q 关于M 的对称点为P ，则点P 的轨迹方程为_______2.（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）过点(,)P x y 作圆221:1C x y +=与圆222:(2)(2)1C x y -+-=的切线，切点分别为A ､B ，若PA PB =，则22x y +的最小值为（ ）AB ．2C ．D ．83.（2021·北京铁路二中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；(3)直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线,AM AN 的斜率之和为0，求直线l 的斜率.4.（2022·全国·高二课时练习）知圆22:4O x y +=，点P 是直线:4l x =上的动点．（1）若从点P 到圆O 的切线长为P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； （2）若点()2,0A -，()2,0B ，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点()1,0Q ．5.（2021·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．(1)求圆C 的方程；(2)点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比PA PM 为定值，并求12PB PA +的最小值．6.（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习）已知圆O ：224x y +=与x 轴的负半轴交于点P ，过点()1,0Q 且不与坐标轴重合的直线与圆O 交于A ，B 两点.（1）设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.（2）延长PA ，与直线4x =相交于点R ，证明：PBR △的外接圆必过除P 点之外的另一个定点，并求出该点坐标.7.（2020·江苏·苏州大学附属中学高二开学考试）已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.8.（2020·安徽省太和第一中学高二期中）已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：4132y x =-被圆M M 在直线l 的下方. （1）求圆M 的方程；（2）设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的范围.9.（2022·全国·高二课时练习）如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?。

高中数学选修一直线与圆单元测试卷题目一：（选择题）1. 设直线L过点A(3,2)，斜率为3/2，则直线L的解析式为：A. y = 3/2x + 1B. y = 2/3x + 1C. y = 3/2x - 1D. y = 2/3x - 12. 设直线L过点A(2,1)和点B(-3,5)，则直线L的斜率为：A. 3/7B. -7/3C. -4/5D. 5/43. 设直线L过点A(4,1)且垂直于直线y = 2x - 3，则直线L的解析式为：A. y = -1/2x + 3B. y = -1/2x - 5C. y = 2x - 7D. y = -2x + 7题目二：（填空题）1. 设直线L过点A(2,3)和点B(-1,-4)，则直线L的斜率为__________。

2. 设直线L过点A(5,2)且平行于直线y = 3x - 5，则直线L的解析式为__________。

3. 设直线L过点A(-2,3)且垂直于直线y = -2x + 4，则直线L 的解析式为__________。

题目三：（解答题）1. 两条直线分别为L1：2x - 3y + 4 = 0和L2：x + 5y - 7 = 0，求直线L1和直线L2的交点坐标。

2. 圆C的圆心为(2,-1)，半径为3。

求证直线y = 2x + 1与圆C 有且仅有一个交点，并求出该交点坐标。

3. 直线L过点A(1,2)且垂直于直线y = -3x + 5，求直线L的解析式。

参考答案：题目一：1. A2. C3. B题目二：1. -7/32. y = 3x - 133. y = 1/2x + 4题目三：1. 直线L1和直线L2的交点坐标为(-11/13, -1/13)。

2. a) 将直线代入圆的方程，得到4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 3 = 0b) 解该方程得到唯一解为(2,3)。

3. 直线L的解析式为 y = 1/3x + 5/3。

第二章直线与圆单元过关检测能力提高B 版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l 过点()1,2P -且与线段AB 的延长线有公共点，若()2,3A --，()3,0B ，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．1,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,25⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．13,25⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．[)1,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦2．已知,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（ ）A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A ．32B ．23C ．33D ．424．圆22:4440C x y x y ++-+=关于直线20x y -+=对称的圆的方程是（ ）A ．224x y +=B ．22(2)(2)4-++=x yC ．22(2)4x y -+=D ．22(2)4x y ++=5．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥6．我们把顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则ADG ∆为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36︒=ABCD7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ） ABCD8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点为A (0,0)，B (4,0)，(C ，则该三角形的欧拉线方程为( )A0y --=B．0x -= C20y --=D．20x --=二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．已知圆22111:0M x y D x E y F ++++=与圆22222:0N x y D x E y F ++++=的圆心不重合，直线()()121212:0l D D x E E y F F -+-+-=．下列说法正确的是（ ）A ．若两圆相交，则l 是两圆的公共弦所在直线B ．直线l 过线段MN 的中点C ．过直线l 上一点P （在两圆外）作两圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB =D ．直线l 与直线MN 相互垂直 11．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y +=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 12．已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点()22,C a ，()22,2D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的可能取值为（ ） A ．-3B ．-2C ．0D ．1三、填空题13．已知直线l ：y x b =+被圆C ：22(3)(2)6x y -+-=截得的弦长等于该圆的半径，则b =______．14．在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆()()222:525249C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为__________．15．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值是_______.16．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：（1）120APB APC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++++-+的最小值为_________四、解答题 17．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点.（1）求四边形PACB 面积的最小值；（2）直线上是否存在点P ，使60BPA ︒∠=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.18．已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程；（2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标.19．已知()0,3A ，,B C 为222(0)x y r r +=>上三点.（1）求r 的值；（2）若直线BC 过点(0，2)，求ABC 面积的最大值；（3）若D 为曲线22(1)4(3)x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.20．已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率； （3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.21．如图，已知圆22:1O x y +=，点(),4P t 为直线4y =上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为,M N .（Ⅰ）已知1t =，求切线的方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；（Ⅲ）若1t >，两条切线分别交y 轴于点,A B ，记四边形PMON 面积为1S ，三角形PAB 面积为2S ，求12S S ⋅的最小值.22．已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第二章 直线与圆 单元测试B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：本检测满分150分，用时120分钟。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设(2,2)A -，(1,1)B ，若直线:10l ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ）． A ．3,[2,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】直线:10l ax y ++=恒过定点(0,1)P -，若直线:10l ax y ++=与线段AB 有交点，可知直线l 的斜率介于直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之间，解不等式即可. 【详解】由10ax y ++=得，1y ax =--，因此直线l 过定点(0,1)P -，且斜率k a =-．如图所示，当直线l 由直线PA 按顺时针方向旋转到直线PB 的位置时，符合题意．易得1(1)210PB k --==-，2(1)3202PA k --==---．结合图形知，2a -或32a --，解得2a ≤-或32a ．故选：C 【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，考查了直线的交点问题，体现了数形结合的思想，属于基础题. 2．直线0ax y a ++＝与直线0x ay a ++＝在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据a 的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果． 【详解】直线ax +y +a ＝0与直线x +ay +a ＝0不可能平行，故B 错误；当a ＞0时，直线ax +y +a ＝0是减函数，直线x +ay +a ＝0是减函数，故A 错误；当a ＜0时，直线ax +y +a ＝0是增函数，与y 轴交于正半轴，直线x +ay +a ＝0是增函数，与y 轴交于负半轴，故C 错误．综上，正确答案是a ＞0，直线ax +y +a ＝0与直线x +ay +a ＝0在同一坐标系中的图象可能是D ． 故选D ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．无论a 取何实数，直线210ax y a --+=恒过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解； 【详解】解：将直线方程化为点斜式为1(2)y a x -=-，可知直线恒过定点(2,1)，因为点(2,1)在第一象限，所以直线恒过第一象限．【点睛】本题考查直线过定点问题，属于基础题.4．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y += B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【答案】C 【解析】 【分析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程求得a 值,即可得直线方程. 【详解】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x ； 当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2． 综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=2 故选C. 【点睛】本题考查了直线的点斜式与截距式方程；明确直线方程的各种形式及各自的特点，是解答本题的关键；本题易错点是易忽略直线过原点时的情况.5．若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先求AB 中点M 所在的直线方程，再求原点到直线的距离得解. 【详解】点M 一定在直线7502x y ++-=，即60x y +-=，∴M=故选：A本题主要考查点的轨迹问题，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.注意夹在两条平行直线120,0ax by c ax by c ++=++=正中间的平行线方程为1202c c ax by +++=. 6．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A ．22(2)(2)1x y -++= B ．22(2)(2)1x y ++-= C ．22(2)(2)1x y -+-= D ．22(2)(1)1x y -+-=【答案】A 【解析】 【分析】设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，解方程组111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩得22a b =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】圆1C 的圆心为1(1,1)C -，设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，依题意得111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，又圆2C 的半径与圆1C 的半径相等， 所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=. 故选：A . 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查点线点对称，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．我们把顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则ADG ∆为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36︒=A ．514B ．514C ．534D ．534【答案】B 【解析】不妨假设2AD =，则151DG DF EC ==-=，故2222(51)51cos36⨯--+︒==,选B . 8．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A 130B 3213C 13D ．32【答案】B 【解析】 【分析】 设33,22A ⎛⎫'--⎪⎝⎭，则四边形AA QP '为平行四边形，故而AP PQ QB ++就是322A Q QB '++的最小值，又322A Q QB '++的最小值就是322A B '+. 【详解】因为112,P l l l Q ⊥，故()213222PQ --==， 1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q '，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++32132，选B .【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.二、多选题（共4小题，每小题5分，满分20分；选漏得3分，选错得0分） 9．下列说法错误的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A ．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B ．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C ．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D ．过原点的直线也满足条件． 【详解】解：对于A ．当0a =，两直线方程分别为1y =和2x =，此时也满足直线垂直，故A 错误，对于B ．直线的斜率sin k α=-，则11k -，即1tan 1θ-，则[0θ∈，3][,)44πππ，故B 正确，对于C ．当12x x =，或12y y =，时直线方程为1x x =，或1y y =，此时直线方程不成立，故C 错误， 对于D ．若直线过原点，则直线方程为y x =，此时也满足条件，故D 错误， 故选：ACD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大． 10．在平面直角坐标系x O y 中，已知点A (﹣4，0)，点B 是圆C ：22(2)4x y -+=上任一点，点P 为AB 的中点，若点M 满足MA 2＋MO 2＝58，则线段PM 的长度可能为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】BC 【解析】 【分析】首先求出点PP 的轨迹方程，再设点M 求出其轨迹方程，再利用两圆的位置关系判断即可 【详解】设(),P x y ,点P 为AB 的中点，所以()24,2B x y +，代入圆C ：22(2)4x y -+=，可得：22(242)(2)4x y +-+=，整理得：点P 的轨迹方程为：()2211x y ++=设(),M x y 则()()222222458225x y x y x y ++++=∴++=，则易知当两圆心和PM 共线时取得最大值和最小值37PM ≤≤ 故选：BC. 【点睛】本题考查圆的轨迹方程，考查两圆间的位置关系，考查两点间的距离最值，求得P 与M 的轨迹方程是解题关键，是中档题11．已知圆22111:0M x y D x E y F ++++=与圆22222:0N x y D x E y F ++++=的圆心不重合，直线()()121212:0l D D x E E y F F -+-+-=．下列说法正确的是（ ）A ．若两圆相交，则l 是两圆的公共弦所在直线B ．直线l 过线段MN 的中点C ．过直线l 上一点P （在两圆外）作两圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB =D ．直线l 与直线MN 相互垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.直接利用两圆方程相减得到公共弦所在直线方程判断；B. 表示出线段MN 的中点判断是否在直线l 上即可；C.由切线长定理判断；D. 利用直线的斜率判断. 【详解】A. 联立两圆方程得：111222D x E y F D x E y F ++=++整理得：()()1212120D D x E E y F F -+-+-=，为两圆的公共弦所在直线，故正确；B. 设圆M 的半径为1r ，圆N 的半径为2r ，11,22DE M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,22,22D E N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，线段MN 的中点为1212,44D D E E ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()()121212121244D D E E D D E E F F ++⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212121244D DE EF F --=--+-，222222222111224444D E F D E F r r +-+-=-=-，所以当两圆半径相等时成立，故错误；C.设()00,P x y ，则()()120120120D D x E E y F F -+-+-=，由切线长定理得：22222211100101014||||4D E F PA PM x y D x E y F +-=-=++++，22222222200202024||||4D E F PB PN x y D x E y F =+--=++++，所以22||0PA PB -=，即PA PB =，故正确； D. 因为11,22D E M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22,22DE N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 的斜率21121E E k D D -=-，直线l 的斜率为21221D D kE E -=-，则121k k =-，所以l 直线MN 相互垂直，故正确； 故选：ACD 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，切线长定理，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；B.根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；C.通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得m 的值；D.设出点P ，求出以线段PC 为直径的圆Q 的方程，题中的切点A 、B 为圆Q 与圆C 的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线AB 经过的定点. 【详解】解：A.直线()()34330m x y m m R ++-+=∈得(3)3430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，即直线恒过定点()3,3-，故A 错误；B. 圆心(0,0)C到直线:0l x y -=的距离1d =，圆的半径2r，故圆C 上有3个点到直线l 的距离为1，故B 正确；C. 曲线22120C :x y x ++=，即()2211x y ++=，曲线222480C :x y x y m +--+=，即()()222420x y m -+-=-，51==，解得4m =，故C 正确；D. 因为点P 为直线142x y+=上一动点，设点(42,)P t t -， 圆22:4C x y +=的圆心为(0,0)C ，以线段PC 为直径的圆Q 的方程为(42)()0x t x y t y -++-=， 即22(24)0x t x y ty +-+-=故直线圆Q 与圆C 的公共弦方程为：2222(24)()04x t x y ty x y +-+--+=-，即(24)40t x ty --+=，此直线即为直线AB ，经验证点(1,2)在直线(24)40t x ty --+=上，即直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确. 故选BCD. 【点睛】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，可灵活应用以下结论解题：（1）圆2211110C :x y E x F y D ++++=与圆2222220C :x y E x F y D ++++=的公共弦方程为：()22221112220x y E x F y D x y E x F y D ++++-++++=；（2）以点1122(,),(,)A x y B x y 的连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知直线220x y +-=与圆22)4x a y -+=（相交，且直线被圆所截得的弦长为a =______.【答案】2± 【解析】 【分析】由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案． 【详解】因为圆22)4x a y -+=（的圆心为()0a ，，半径为2，所以圆心(),0a 到直线220x y +-=的距离为2223212⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭， 则215a -=，解得25a =±.故答案为：25±．【点睛】本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．14．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 【答案】9【解析】【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值 【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（） 圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（） 因为圆C 1 、C 2内切，224a b 1+=,即224a b 1+=，（2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（） 当且仅当224a b =时等号成立.【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.15．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值是_______.【答案】2【解析】【分析】利用转速是两倍关系得转角为两倍，设出BOQ α∠=后，推出2AOP α∠=，然后根据三角函数坐标定义可得P Q 、两点的坐标，再用数量积公式计算，最后用正弦函数最值可得．【详解】设BOQ α∠=，根据题意得，2AOP α∠=，且02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 依题意得()()cos sin cos2sin 2Q P αααα--，，，， ∴()()•cos21sin 2cos 1sin AP AQ αααα=-+-⋅+，，()()cos21cos 1sin 2sin αααα=-++-22sin 2α=≤，当且仅当2πα=时，等号成立．故答案为2【点睛】本题考查了三角函数定义，向量数量积等概念，本题根据题意求出依题意得()()cos sin cos2sin 2Q P αααα--，，，，是解决本题的关键.16．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质： （1）120APB APC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++-+_________ 【答案】23+【解析】【分析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ， 则222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++++-+表示坐标系中一点(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和， 因为ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合，令ABC ∆的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC ∆是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以13a =，所以33a =， 3(3P ∴，0)到A 、B 、C 的距离分别为233PA PB ==，323PC =-， 所以222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++++-+的最小值，即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则23PA PB PC ++=+．故答案为：23+．【点睛】本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.四、解答题（共6小题，满分70分；其中17小题满分10分，其余个小题满分为12分）17．如图，等腰直角ABC 的直角顶点(0,1)C -，斜边AB 所在的直线方程为280x y +-=．（1）求ABC 的面积；（2）求斜边AB 中点D 的坐标．【答案】（1）20（2）(2,3)【解析】【分析】（1）求出直角顶点C 到斜边AB 的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论； （2）由CD AB ⊥，可求出直线CD 方程，与直线AB 方程联立，即可求出点D 坐标.【详解】（1）顶点C 到斜边AB 的距离为225512d ===+所以斜边||25AB d ==故ABC 的面积为11||25452022S AB d =⨯⨯=⨯=． （2）由题意知，CD AB ⊥，设直线CD 方程为20x y m -+=点(0,1)C -代入方程点1m =-，所以直线CD 的方程为210x y --=，由280210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以点D 的坐标为(2,3)．【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题.18．已知圆22:430C x y x +-+=.（1）求过点(3,2)M 的圆的切线方程；（2）直线l 过点31,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭且被圆C 截得的弦长为m ，求m 的范围；（3）已知圆E 的圆心在x 轴上，与圆C 2216x y +=相内切，求圆E 的标准方程.【答案】（1）3x =或3410x y --=；（2）m ∈；（3）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心为(2,0)，半径为1，讨论切线的斜率存在或不存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解斜率，即求.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，求出m ，当直线l 经过圆心时，弦长最长，即求.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，根据||AB =而求出3,22⎛± ⎝⎭或5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭在圆E 上，代入即可求解. 【详解】（1）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径为1.当切线的斜率不存在时，切线方程为3x =，符合题意.当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，1=，解得34k =， 此时，切线方程为3410x y --=.综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，此时直线l 的方程为10x y --=，所以m ==当直线l 经过圆心时，弦长最长，长为2，所以m ∈.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，∵||AB =2，，将234y =代入圆C 的方程，得32x =或52x =，∴3,2⎛ ⎝⎭或5,22⎛± ⎝⎭在圆E 上. ∵圆E 内切于2216x y +=，∴圆E 经过点(4,0)或(4,0)-，若圆E 经过3,2⎛ ⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为221349525x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，若圆E 经过5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为22(3)1x y -+=，若圆E 经过3,22⎛⎫± ⎪⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为222133************ y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆E 经过5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为22294318491313169x y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了圆的切线方程、弦长、圆的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点.（1）求四边形PACB 面积的最小值；（2）直线上是否存在点P ，使60BPA ︒∠=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在；答案见解析.【解析】【分析】（1）如图 122||||||2PAC PACB S S AP AC AP ==⨯⨯⨯=四边形，而2222||||||||1AP PC CA PC =-=-，所以只要当||PC 最小时，四边形PACB 面积取最小值，而||PC 的最小值为点C 到直线3480x y ++=的距离； （2）由（1）知圆心C 到直线的最小距离为3，即||3CP ，而要使60BPA ︒∠=，就要||2PC =，所以不存在【详解】解析（1）易知(1,1),||1C AC =.如图，连接PC ，易知 122||||||2PAC PACB S SAP AC AP ==⨯⨯⨯=四边形. 因为2222||||||||1AP PC CA PC =-=-，所以当||PC 最小时，||AP 最小.||PC 的最小值即为点C 到直线3480x y ++=的距离，故min 22|31418|334PC ⨯+⨯+==+，所以2min ||9PC =，所以min ||9122AP =-=，即四边形PACB 面积的最小值为22.（2）不存在.理由： 由（1）知圆心C 到直线的最小距离为3，即||3CP ，要使60BPA ︒∠=，则||2PC =，显然不成立，所以这样的点P 是不存在的.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题20．已知()0,3A ，,B C 为222(0)x y r r +=>上三点.（1）求r 的值；（2）若直线BC 过点(0，2)，求ABC 面积的最大值；（3）若D 为曲线22(1)4(3)x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）3r =；（2（3）定值为：15-.【解析】【分析】（1）由(0,3)A 为圆222:()0O x y r r +=>上的点即可得r ；（2）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，根据1211||2ABC S x x =-利用韦达定理即可求解； （3）直线AB 和直线AC 的斜率之积为m ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，0(D x ，0)y ，即可得121233y y m x x --=⇒2121223(1)()91m y y y y m +=-+--，12121(3)(3)x x y y m =--，由AD AB AC =+可得1212(3),D x x y y ++-，代入222125(1)4(3)()01m m x y y y y m +++=≠-⇒+=-，求得m 即可． 【详解】解：（1）∵()0,3A 为圆()2220x y r r +=>上，所以()222030rr +=>∴3r = （2）由题意知直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为2y kx =+，()11,B x y ，()22,C x y 将2y kx =+代人229x y +=得，()221450k x kx ++-= 所以1211||2ABC S x x =⋅⋅-=△令21k t +=，则ABC S ==△1t ≥ 当1t =，即0k =时ABC （3）设直线AB 和直线AC 的斜率之积为(0)m m ≠设()11,B x y ，()22,C x y ，()00,D x y 则121233y y m x x --⋅=()()1212133x x y y m =--①，()()22122221233y y m x x --= 因为B ，C 为圆222:O x y r +=上，所以22119x y +=，22229x y += ()()()()22122221233y y m q y q y --=--化简得()()()()222113333y y m y y --=++ 整理得()()2222113191m y y y y m +=-+--② 因为AD AB AC =+，所以()()()112200,,3,33x y x y x y -+-=-从而()1212,3D x x y y ++-，又因为D 为曲线()2214(3)x y y +-=≠-的动点 所以()()22121224x x y y +++-=展开得 ()()22221122121212224()44x y x y x x y y y y +++++-++=将①代入得 ()()()21121229933240y y y y y y m++--+-+=化简得 ()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=将②代人得()2121223(1)1()9(23)()9(1)01m m y y m y y m m ⎡⎤++-+--++++=⎢⎥-⎣⎦，整理得 ()212501m m y y m +⋅+=-， 因为2133y y +≠--所以120y y +≠从而250m m +=又0m ≠所以15m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．21．已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率； （3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.【解析】【分析】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，根据||2||PA PB =列出方程化简，即可求解轨迹方程；（2）依题意知2OC OD ==，且120COD ∠=，则点O 到边CD 的距离为1，列出方程，即可求解；（3）根据题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，联立两个圆的方程，即可求解．【详解】（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB ==整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠=，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =，所以所求直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点， 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上， 由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y ， 即直线MN 的方程为(4)40tx t y ，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线MN 过定点(1,1)-．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题．22．在直角坐标系中，圆22:4O x y +=，圆()()22:311M x y -+-=过点()0,1P 的直线1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 垂直1l 于点P .（1）当2l 与圆M 相切时，求2l 方程；（2）当2l 与圆M 相交于C ，D 两点时，E 为CD 中点，求ABE ∆面积的取值范围.【答案】(1) 22:14l y x =±+; (2) 2703⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】【分析】(1)分2l 的斜率不存在与存在两种情况讨论.当2l 斜率存在时,设2l 方程,再根据2l 与圆M 相切,利用圆心到直线的距离等于半径求解即可.(2)设2l 方程为1y kx =+,联立圆M 的方程求E 坐标,再求得弦长AB 与E 到AB 的距离表达出面积即可.【详解】(1)当2l 的斜率不存在时, 2l 方程为0x =显然不成立.当2l 的斜率存在时,设2:1l y kx =+,即10kx y -+=.因为2l 与圆M 相切, 231111k k -+=+,即222914k k k =+⇒=±. 故22:14l y x =±+ (2)显然2l 的斜率存在,设2:1l y kx =+.当0k =时, 2:1l y =,3,1E .此时AB 为圆O 的直径且AB 4=.此时14362ABE S ∆=⨯⨯=. 当0k ≠时,()()()222211680311y kx k x x x y =+⎧⎪⇒+-+=⎨-+-=⎪⎩. 且()2213641808k k ∆=-+⨯>⇒< 设()()1122,,,C x y D x y ,则12261x x k +=+.故E 的横坐标122321E x x x k +==+. 纵坐标2311E k y k =++.即2233,111k k E k +++⎛⎫ ⎪⎝⎭.故231k EP ==+. 又11:10l y x x ky k k =-+⇒+-=.故O 到1l距离d =. AB ===.故1122ABE S AB PE ∆=⋅=⨯=令t =因为2108k <<,故2,4t ⎛∈ ⎝⎭.则29911ABE t S t t t∆==--,因为1()f t t t =-在2,4⎛ ⎝⎭上为增函数.故13,2140t t ⎛-∈ ⎝⎭.故91ABE S t t∆⎫=∈⎪⎪⎝⎭-. 综上所述,ABE ∆面积的取值范围为,63⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,需要联立方程利用解析几何的方法求面积表达式并分析单调性求得面积最值,同时注意斜率的取值范围.属于难题.。

专题6圆目录一、热点题型归纳【题型一】求圆1：圆心在直线上求方程......................................................................................1【题型二】求圆2：外接圆..............................................................................................................2【题型三】求圆3：内切圆..............................................................................................................5【题型四】点与圆的关系...............................................................................................................7【题型五】弦长与弦心距.................................................................................................................9【题型六】到直线距离为定值的圆上点个数............................................................................10【题型七】弦长与弦心距：弦心角...............................................................................................12【题型八】圆过定点.......................................................................................................................13【题型九】两圆位置关系...............................................................................................................15【题型十】两圆公共弦.................................................................................................................17培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................18培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................21培优第三阶——培优拔尖练.. (24)【题型一】求圆1：圆心在直线上求方程【典例分析】（2022·全国·高二）已知圆M 的圆心在直线40x y +-=上，且点(1,0)A ，(0,1)B 在M 上，则M 的方程为（）A ．22(2)(2)13x y -+-=B ．22(1)(1)1x y -+-=C ．22(2)(2)5x y -+-=D ．22(1)(1)5x y +++=【答案】C【分析】由题设写出AB 的中垂线，求其与40x y +-=的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.【详解】因为点(1,0)A ，(0,1)B 在M 上，所以圆心在AB 的中垂线0x y -=上．由400x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(2,2)，则半径r =，所以M 的方程为22(2)(2)5x y -+-=．故选：C1.（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知圆C 过点(7,2)A -，(4,1)B ，且圆心在x 轴上，则圆C 的方程是（）A ．22(5)8x y -+=B ．22(6)5x y -+=C ．22(5)4x y -+=D ．22(4)13x y -+=【答案】B【分析】根据圆心在x 轴上，设出圆C 的方程，把点(7,2)A -，(4,1)B 的坐标代入圆的方程即可求出答案.【详解】因为圆C 的圆心在x 轴上，所以设圆C 的方程为()222x a y r -+=，因为点(7,2)A -，(4,1)B 在圆C 上，所以()()22227441a r a r ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得26,5a r ==，所以圆C 的方程是22(6)5x y -+=.故选：B.2.（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=【答案】A 【分析】根据题意，设所求圆的方程为()222244440x y x y x y λ+--+++-=，再待定系数求解即可．【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为()222244440x y x y x y λ+--+++-=，因为所求圆过点(2,1)M -，所以()()()222221424142140λ⎡⎤+--⨯-⨯-+++--=⎣⎦，解得：5λ=-所以所求圆的方程为：2260x y x y +++-=故选：A【题型二】求圆2：外接圆【典例分析】（2022·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，则ABC 的最小覆盖圆的半径为（）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【分析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，ABC ∴△为锐角三角形，ABC ∴△的外接圆就是它的最小覆盖圆，设ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420420,1640D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得034D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ABC ∴△的最小覆盖圆方程为22340x y y +--=，即22325()24x y +-=，ABC ∴△的最小覆盖圆的半径为52.故选：C1.（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC 的顶点坐标分别为A （1，3），B （﹣2，2），C （1，﹣7），则该三角形外接圆的圆心及半径分别为（）A ．（2，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（1，﹣2），5D ．（2，﹣2），5【答案】C【分析】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M ，其坐标为（a ，b ），半径为r ，由|MA |＝|MC |和|MA |＝|MB |，求出a 、b 的值，可得圆心坐标，进而可得r 的值，即可得答案.【详解】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M ，其坐标为（a ，b ），半径为r ，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，3），B （﹣2，2），C （1，﹣7），|MA |＝|MC |，必有b ＝﹣2，|MA |＝|MB |，则有（a ﹣1）2+25＝（a +2）2+16，解可得a ＝1，则r ＝|MA |＝5；即圆心为（1，﹣2），半径r ＝5；故选：C.2.（2021·全国·高二专题练习）已知曲线22020y x x =+-与x 轴交于M ，N 两点，与y 轴交于P 点，则MNP △外接圆的方程为（）A ．22201920200x y x y ++--=B ．22202120200x y x y ++--=C ．22201920200x y x y +++-=D ．22202120200x y x y +++-=【答案】C【分析】设MNP △外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，分别令0,0x y ==，结合韦达定理求得D ,E ,F ,代入即可求得圆的方程.【详解】设MNP △外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，点Q 是MNP △的外接圆与y 轴的另一个交点，分别令0,0x y ==，则20y Ey F ++=，20x Dx F ++=．设()()()()1212,0,,0,0,,0,M x N x P y Q y ，则1212x x y y =，又曲线22020y x x =+-与x 轴交于M ，N 两点，则122020x x =-，121x x +=-，12020y =-，1D =，2020F =-，所以21y =，()12(20201)2019E y y =-+=--+=，故MNP △外接圆的方程22201920200x y x y +++-=．故选：C.3.（2022·江苏·高二单元测试）已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=，P 为直线:220l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，当PAC △的面积最小时，PAC △的外接圆的方程为（）A ．22115224x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22119224x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．221524x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】先确定PAC △的面积最小时P 点坐标，再由PAC △是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.【详解】由题可知，PA AC ⊥，半径2AC =，圆心(1,1)C，所以12PAC S PA AC PA =⋅==要使PAC △的面积最小，即PC 最小，PC 的最小值为点(1,1)C 到直线:220l x y ++==P 点运动到PC l ⊥时，PAC S 最小，直线l 的斜率为2-，此时直线PC 的方程为11(x 1)2y -=-，由11(1)2220y x x y ⎧-=-⎪⎨⎪++=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，因为PAC △是直角三角形，所以斜边PC 的中点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，而PC ==PAC △的外接圆圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以PAC △的外接圆的方程为221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C.【题型三】求圆3：内切圆【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）已知三角形三边所在直线的方程分别为0y =、20x y -+=和40x y +-=，求这个三角形的内切圆圆心和半径．【答案】圆心()3；半径为3.【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作答.【详解】依题意，由020y x y =⎧⎨-+=⎩得直线0y =与20x y -+=的交点(2,0)B -，由040y x y =⎧⎨+-=⎩得直线0y =与40x y +-=的交点(4,0)C ，由2040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得直线20x y -+=与40x y +-=的交点(1,3)A ，显然AC AB ⊥，且||||AC AB ==，即ABC 是等腰直角三角形，则直线1x =平分BAC ∠，设ABC 的内切圆圆心为(1,)M b ，03b <<，则b ==3b =，即()3M ，半径3r b ==，所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心()3，3.1.（2022·全国·高二课时练习）若直线34120x y ++=与两坐标轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB ∆的内切圆的标准方程为__________．【答案】22(1)(1)1x y +++=【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r ，得到圆方程，即可．【详解】设内切圆的半径为r ，结合面积公式1111342222OA r OB r AB r ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅则1r =因而圆心坐标为()1,1--，圆的方程为()()22111x y +++=2.（2022·重庆南开中学高二阶段练习）平面直角坐标系中，点()A 、()3B -、()C ，动点P 在ABC 的内切圆上，则12PC PA -的最小值为_________.【答案】2-##【分析】求出ABC 的内切圆方程，设点(),P x y ，计算得出2PC PE =，其中点3,02E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，数形结合可求得12PC PA -的最小值.【详解】由两点间的距离公式可知6AB BC AC ===，则ABC 是边长为6的等边三角形，设ABC 的内切圆的半径为r ，则216182ABC S r ==⨯△，解得r =，因为点A 、B 关于x 轴对称，所以，ABC 的内切圆圆心在x 轴上，易知直线AB 的方程为x =O 到直线AB 的距离为所以，ABC 的内切圆为圆22:3O x y +=，设点(),P x y ，PC =2PE ===，其中点E ⎫⎪⎪⎝⎭，所以，122PC PA PE PA AE -=-≥-==-，当且仅当点P 为射线AE 与圆O 的交点时，等号成立，故12PC PA -的最小值为故答案为：3.（2016·重庆·一模（理））已知直线1:22l x y a +=+和直线2:221l x y a -=-分别与圆()22(1)16x a y -+-=相交于,A B 和,C D ，则四边形ACBD 的内切圆的面积为________．【答案】8π【分析】由两直线方程，得出两直线垂直且交于点(,1)a ，结合圆的几何性质判断出四边形ACBD 是边长为.【详解】联立22221x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，解得1x ay =⎧⎨=⎩，即直线1:22l x y a +=+和直线2:221l x y a -=-互相垂直且交于点(,1)a ，而(,1)a 恰好是圆()22(1)16x a y -+-=的圆心，则AB,CD 为圆的两条互相垂直的直径，且8AB CD ==,所以，四边形ACBD是边长为因此其内切圆半径是2π8π⨯=，故答案为:8π.【题型四】点与圆的关系【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）如果直线2140(0,0)ax by a b -+=>>和函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．34,43⎛⎤ ⎝⎦C ．34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．34(,)43【答案】C 【分析】由已知可得()7,0,0a b a b +=>>．再由由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得2225a b +≤()0,0a b >>．由此可解得点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．由ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．【详解】函数()11x f x m +=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得()()22112225a b --+++-≤，即2225a b +≤()0,0a b >>．2273254a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩或43a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，max 404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故选：C．1.（2022·安徽·合肥市第八中学高二开学考试）若点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <-B ．3a >-C ．32a -<<D ．23a -<<【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件.【详解】因为点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部，所以14240a ++-+>，解得3a >-，又方程22220x y x y a +--+=表示圆，所以22(2)(2)40a -+-->，解得2a <，故实数a 的取值范围为32a -<<．故选：C2.（2020·河北·高二期中）直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（）A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【答案】A【解析】直线1ax by +=与圆221x y +=||1<1>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，1>，因为点(,)b a 与221x y +=，圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外.故选：A.3.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高二阶段练习）已知三点(3,2)A ，(5,3)B -，(1,3)C -，以(2,1)P -为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为______.【答案】22(2)(1)13x y -++=【分析】计算,,PA PB PC ,根据大小确定半径，即可求出圆的方程.【详解】PA =PB =5PC =，PA PB PC ∴<<，故所求圆以PB 为半径，方程为22(2)(1)13x y -++=.故答案为：22(2)(1)13x y -++=【题型五】弦长与弦心距【典例分析】（2021·江苏·滨海县八滩中学高二期中）已知圆C ：()()223216x y -+-=，直线l ：y x t =+与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 的面积为8，则直线l 的方程为()A ．3y x =-或5y x =-B ．3y x =+或5y x =+C ．3y x =+或5y x =-D ．3y x =-或5y x =+【答案】C【分析】由三角形面积定理求出等腰三角形顶角，进而求出其高，再用点到直线距离得解.【详解】由圆C 的方程可得圆心C 的坐标为()3,2，半径为4．∵ABC 的面积为144sin 82ACB ⨯⨯∠=，∴90ACB ∠=︒，∴⊥CB CA ，∴点C 到直线AB的距离为．由点到直线的距离公式可得点C 到直线AB=∴3t =或5t =-，∴l 的方程为3y x =+或5y x =-.故选：C ．1.（2021·江苏·高二期中）已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由已知O ，M ，N 三点的坐标可得OMN 外接圆的方程，根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半即可求得面积．【详解】设OMN 的外接圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，由O （0，0），M （6，0），N （8，4），得()()()222222222684a b r a b ra b r ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得345a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD |＝=AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |•|BD |＝2×10×故选：B ．2.（2022·四川成都·高二开学考试（文））直线l 与圆()2224x y -+=相交于A ，B 两点，则弦长AB =l 共有（）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】先利用题意得到圆心到直线l 的距离，然后分直线过原点和不过原点进行假设直线方程，结合弦长即可得到答案；【详解】解：由()2224x y -+=可得圆心为()2,0，半径为2，所以圆心到直线l 的距离为1d ==，当直线不过原点时，设直线l 的方程为1ya a+=即0x y a +-=，所以圆心到直线l的距离为1d ==，解得2a =此时直线l 为20x y +-=或20x y +-=；当直线过原点时，设直线l 的方程为y kx =即0kx y -=，所以圆心到直线l 的距离为1d ==，解得k =此时直线l 为y=或y x =；综上所述，直线l 共有4条，故选：D ．3.（2022·江西南昌·模拟预测（文））若直线x =-224x y +=相交于,A B 两点，OOA AB ⋅=（）A．B ．4C ．-D ．－4【答案】D【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出AB ，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.【详解】由题意得圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线x =-d =AB=AB =所以()cos OA AB OA AB OAB π⋅=-∠cos OA AB OAB =-∠242AB =-=-，故选：D【题型六】到直线距离为定值的圆上点个数【典例分析】（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高二期中）已知圆()()22:129C x y -+-=上存在四个点到直线:0l x y b -+=的距离等于2，则实数b范围是（）A ．()(,11-∞-⋃++∞B ．(1-+C ．()(,11-∞⋃+∞D ．(1+【答案】D【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于1，即求.【详解】由()()22:129C x y -+-=知圆心(1,2)C ，半径为3，若圆()()22:129C x y -+-=上存在四个点到直线:0l x y b -+=的距离等于2，则点C 到直线:0l x y b -+=的距离1d <1<，∴11b <<.故选：D.【变式训练】1.（2020·全国·高二课时练习）已知圆22(2)(1)12x y -++=上恰有三个点到直线:0l kx y +=l 的斜率为（）A ．2B ．2-±C 2D ．2±【答案】A【分析】由于圆22(2)(1)12x y -++=上恰有三个点到直线:0l kx y +=而圆的半径为l 的距离等于半径的一半即可，然后利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率.【详解】解：由题意，圆心到直线l 的距离等于半径的一半，，解得2k =故选：A.2.（2016·湖北黄石·高二阶段练习）能够使得圆222410x y x y +-++=上恰好有两个点到直线20x y c ++=的距离等于1的一个c 值为A ．2B ．C ．3D ．【答案】C【分析】根据当M 到直线l ：2x +y +c =0的距离d ∈（1，3）时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1求解.【详解】解：圆的方程可化为：()()22124x y -++=，所以圆心M （1，-2），半径r =2，由题意知：当M 到直线l ：2x +y +c =0的距离d ∈（1，3）时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1，(1.3)d =，得(c ∈-⋃3<<c 可以是3故选：C3.（2021·山东·日照青山学校高二期末）定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆()()22:124C x y ++-=的“相关直线”的为（）A ．1y =B ．34120x y -+=C ．20x y +=D ．125170x y --=【答案】BC【分析】分析可知，圆心C 到“相关直线”的距离d 满足1d <，然后计算出圆心到每个选项中直线的距离，即可得出合适的选项.【详解】由题意可知，圆C 的圆心为()1,2C -，半径为2r =.设圆心C 到“相关直线”的距离为d ，由图可知12d +<，可得1d <.对于A 选项，121d =-=，不合乎题意；对于B 选项，15d =，合乎题意；对于C 选项，0d =，合乎题意；对于D 选项，3d =，不合乎题意.故选：BC.【题型七】弦长与弦心距：弦心角【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于A B ，两点，且60AOB ∠=(其中O 为原点)，则k 的值为（）A．BC．D 【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由60AOB ∠=可知，圆心(0,0)到直线1y kx =+23k =⇒=±故选：A 【变式训练】1.（2023·全国·高二专题练习）已知直线l ：10x my ++=与圆O ：2234x y +=相交于不同的两点A ，B ，若∠AOB 为锐角，则m 的取值范围为（）A．⎛⎛-⋃⎝⎭⎝⎭B．⎛⎝⎭C．,∞∞⎛⎛⎫-⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】A【分析】以∠AOB 为直角时为临界，此时圆心O 到直线l的距离d ==d <<【详解】因为直线l ：10x my ++=经过定点()1,0-，圆O ：2234x y +=的半径为32，当∠AOB 为直角时，此时圆心O 到直线l的距离d ，解得3m =，则当∠AOB 为锐角时，m <又直线与圆相交于A ，B 两点，则2d =<，即m >，所以m <<m <<A ．【题型八】圆过定点【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【答案】D【分析】设点(),52P t t -，求出以OP 为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点(),52P t t -，则线段OP 的中点为52,22t t M -⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为OM =所以，以OP 为直径为圆的方程为2225252025224t t t t x y --+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22250x y tx t y +-+-=，即()()22520x y y t y x +-+-=，由222050y x x y y -=⎧⎨+-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，因此，以OP 为直径的圆经过定点坐标为()0,0、()2,1.故选：D.1.（2022·河北沧州·高二期末）已知点A 为直线2100x y +-=上任意一点，O 为坐标原点．则以OA 为直径的圆除过定点()0,0外还过定点（）A ．()10,0B ．()0,10C ．()2,4D ．()4,2【答案】D【分析】设OB 垂直于直线2100x y +-=，可知圆恒过垂足B ；两条直线方程联立可求得B 点坐标.【详解】设OB 垂直于直线2100x y +-=，垂足为B ，则直线OB 方程为：12y x =，由圆的性质可知：以OA 为直径的圆恒过点B ，由210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得：42x y =⎧⎨=⎩，∴以OA 为直径的圆恒过定点()4,2.故选：D.2.（2022·宁夏·银川一中高二期末）如果直线2140(0,0)ax by a b -+=>>和函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．34,43⎛⎤ ⎝⎦C ．34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．34(,)43【答案】C 【分析】由已知可得()7,0,0a b a b +=>>．再由由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得2225a b +≤()0,0a b >>．由此可解得点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．由ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．【详解】函数()11x f x m +=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=内部或圆上可得()()22112225a b --+++-≤，即2225a b +≤()0,0a b >>．2273254a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩或43a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，max 404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故选：C ．3.（2022·全国·高二）若动圆C 过定点A (4,0),且在y 轴上截得的弦MN 的长为8,则动圆圆心C 的轨迹方程是()A ．221412x y -=B ．()2212412x y y -=>C ．28y x=D ．28y x =(0x ≠)【答案】C【分析】设(),C x y 并作CE y ⊥轴于E ，由垂径定理得4ME =，又2222==+CA CM ME EC ，利用两点间的距离公式化简，即可得结果.【详解】设圆心C 的坐标为(),x y ，过C 作CE y ⊥轴，垂足为E ，则4ME =，2222CA CMME EC ∴==+，()222244x y x ∴-+=+，得28y x =.故选：C.【题型九】两圆位置关系【典例分析】（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知圆1C ：2216x y +=和圆2C ：()()()222340x y r r -+-=>，则（）A ．2r =时，两圆相交B ．1r =时，两圆内切C ．9r =时，两圆外切D ．10r =时，两圆内含【答案】AD【分析】根据题意得两圆圆心距为125C C =，圆1C 半径4R =，再依次讨论求解即可得答案.【详解】解：由题知圆1C ：2216x y +=的圆心为()0,0，半径4R =；圆2C ：()()()222340x y r r -+-=>的圆心为()3,4，半径r ，所以两圆圆心距为125C C =，故对于A 选项，当2r =，12256R r C C R r =-<=<+=，故两圆相交，正确；对于B 选项，当1r =，125C C R r ==+，故两圆外切，错误；对于C 选项，当9r =，125r R C C -==，故两圆内切，错误；对于D 选项，当10r =，12r R C C ->，故两圆内含，正确.故选：AD 【提分秘籍】基本规律圆与圆位置关系的判定（1）几何法：若两圆的半径分别为1r ，2r ，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关外离外切相交内切内含1.（2020·湖南省邵东市第一中学高二期末）已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a ，b ∈R )，则两圆的位置关系是()A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切【答案】C【详解】两圆圆心之间的距离为|O 1O 2|，由12＋1＝3，所以两圆相交，答案C2.（2022·全国·高二专题练习）分别求当实数k 为何值时，两圆C1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【答案】答案见解析【分析】根据两圆的位置关系，可得圆心距和半径之间的关系，由两圆半径分别为1和|C 1C 2|＝5，进行比较即可得解.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程，C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径长r 圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径长r 2(k ＜50)，从而|C 1C 2|5=，当15，即k ＝34时，两圆外切.当1|＝56，即k ＝14时，两圆内切.当1|＜5＜1即14＜k ＜34时，两圆相交，∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切，当14＜k ＜34时，两圆相交.【题型十】两圆公共弦【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:20C x y kx y +--=和圆222:220C x y ky +--=相交，则圆1C 和圆2C 的公共弦所在的直线恒过的定点为（）A ．(2，2)B ．(2，1)C ．(1，2)D ．(1，1)【答案】B 【分析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案．【详解】根据题意，圆221:20C x y kx y +--=和圆222:220C x y ky +--=相交，则222220220x y kx y x y ky ⎧+--=⎨+--=⎩，则圆1C 和圆2C 的公共弦所在的直线为2220kx ky y -+-=，变形可得(2)2(1)k x y y -=-，则有2010x y y -=⎧⎨-=⎩，则有21x y =⎧⎨=⎩，即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为(2,1)，故选：B ．1.（2021·全国·高二专题练习）垂直平分两圆222620x y x y +-++=，224240x y x y --++=的公共弦的直线方程为（）A ．3430x y --=B ．4350x y ++=C ．3490x y ++=D ．4350x y -+=【答案】B【分析】分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求.【详解】根据题意，圆222620x y x y +-++=，其圆心为M ，则(1,3)M -，圆224240x y x y --++=，其圆心为N ，则(2,1)N -，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线MN 的方程为313(1)12y x --+=-+，变形可得4350x y ++=；故选:B.2.（2020·山东泰安·高二期中）圆2260x y x +-=和圆22460x y x y +-+=交于A ，B 两点，则两圆公共弦的弦长AB 为（）A ．5B ．10C ．5D ．10【答案】A【解析】两圆两式相减，得到公共弦所在直线的方程为30x y +=，结合弦长公式，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=和圆22460x y x y +-+=，两式相减，可得30x y +=，即公共弦所在直线的方程为30x y +=，又由圆2260x y x +-=可化为22(3)9x y -+=，可得圆心坐标为(3,0)，半径为3r =，则圆心到直线的距离为d =所以5AB ===，即两圆公共弦的弦长AB 为5.故选：A.3.2022·全国·高二专题练习）圆心都在直线:0l x y a -+=上的两圆相交于两点(0,1)A ，(2,)B b ，则ab =（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】A【分析】由相交两圆的公共点性质求解，即由直线l 是线段AB 的垂直平分线求解．【详解】由题意直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以1121102b b a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-+=⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以1ab =．故选：A ．培优第一阶——基础过关练1.．（2022·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）已知圆C 过点(2,0),(0,4)A B -，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)5x y ++-=B ．22(1)9x y -+=C ．22(3)25x y -+=D ．2216x y +=【答案】C【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.【详解】设圆的标准方程为222()x a y r -+=，将(2,0),(0,4)A B -坐标代入得:()2222216a r a r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得2325a r =⎧⎨=⎩，故圆的方程为22(3)25x y -+=，故选：C.2.（2022·全国·高二专题练习）已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（）A ．22(1)2x y -+=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)2x y +-=D ．22(1)4x y +-=【答案】D【分析】求得ABC 外接圆的方程即可进行选择.【详解】设ABC 外接圆的方程为()222()x a y b r -+-=则有()()()222222222()0)0(0)3a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解之得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为22(1)4x y +-=故选：D3.（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知三点()1,2A -，()3,2B ，21,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则ABC 的内切圆的方程为（）A ．()()22164x y -+-=B ．()()22114x y -+-=C ．()()22161x y -+-=D ．()()22111x y -+-=【答案】D【分析】结合题意设出圆心，再利用圆心到直线AC 与到直线AB 的距离相等列出一个等式，即可求出圆心，即可进而求出半径，得到答案.【详解】易知ABC 是等腰三角形，且AC BC =，∴圆心D 在直线1x =上，设圆心()()1,2D b b <，易得直线AC 的方程为4320x y +-=，直线AB 的方程为2y =，则2b -=1b =，则内切圆的半径为211r =-=，∴所求圆的方程为()()111x y -+-=.故选：D.4.（2022·全国·高二课时练习）已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】A【分析】由22220x y mx y ++-+=表示圆可得22(2)420m +--⨯>，点A （1，2）在圆C 外可得22122220m ++-⨯+>，求解即可【详解】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <-点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外故22122220m ++-⨯+>，即3m >-故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<-即()()3,22,m --∞∈+故选：A5.（2023·全国·高二专题练习）已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A ．15B ．43C ．12D ．512【答案】B【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则d =而1d =，所以1d =，解方程即可求出答案.【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则d =，而1d =，所以1d =，解得：43k =.故选：B.6.（2021·北京八中高二期末）已知圆C ：()2221x y r ++=（0r >），直线l ：3420x y +-=.若圆C 上恰有三个点到直线的距离为1，则r 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】A 【解析】圆C 的圆心为()1,0-到直线l 的距离为1，由圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，得到圆心为()1,0-到直线l 的距离为2rd =，由此求出r 的值.【详解】圆C 的圆心为()1,0-,则圆心C 到直线l 的距离1d ==.又圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1.所以圆心为()1,0-到直线l 的距离为2r d =,即12rd ==。

一、选择题1．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ）A ．4±B ．－4C ．4D ．2±2．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．4．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2CD ．5．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．146．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．5B ．5CD9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±10．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5，2 C ．5，1D ．7，111．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D二、填空题13．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.14．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________. 15．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C上的点到直线l 的最大距离为22； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）16．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________．17．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.18．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；19．已知直线l 过点(4,1)A -，且和直线320x y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．22．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈. （1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.23．已知圆C ：222430x y x y ++-+=（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）若从圆C 外一点()1,2P -向该圆引切线PA 和PB （A ，B 为切点），求弦长AB 的大小.24．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．25．（1）如图，已知直线l ： 0mx ny r ++=（0mn ≠）外一点P （a ，b ），请写出点P 到直线l 的距离PH 的公式及公式的推导过程．．．．.（2）一质点从点(4,0)A 处沿向量(1,1)a =-方向按每秒2个单位速度移动，求几秒后质点与点(2,4)B 距离最近.26．已知正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y ，正方形的中心为()0,1R .求:（1）该正方形的面积;（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题2．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】22||(12)(13)5PQ =+++=，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ， 因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线，所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.3．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.4．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.5．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．A解析：A 【分析】求得圆的圆心坐标和半径，借助11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，即可求解. 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =，则5OM ==,OA ===，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得25OA MA AB OM ⨯⨯== 故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长23AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC 的周长为423+2423r AB +=+23AB =又直线与圆相交后的弦心距2243144k k d k k +-+==++，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=，即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.12．B解析：B 【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短． 【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA bk a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离， 即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．二、填空题13．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积22||||2||2||4,CAM S S CA AM MA CM ==⋅==-△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程.【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.14．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=，由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -， 又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，此时弦长为==.故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.15．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详解析：③④ 【分析】先将方程：22(42)20x y m x my m +-+--=化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程.【详解】方程：22(42)20x y m x my m +-+--=可化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，当25510m m ++>即m >或m <时，方程表示圆，故①错；由①知，当m >或m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；当1m =-时，方程表示圆M ：()()22111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离即为圆M 上的点到直线l 212+=，所以③正确；当m 1≥时，22211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()223111x y -+-=，设()1,0P -，则PM 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，217PM =， 所以PM 为直径的圆方程为()22117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④ 【点睛】方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.16．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积 解析：12【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S ，再求极限即可。