鲁棒控制理论及应用lesson1-2

1鲁棒控制理论及应用（研究生课程）
吴敏
中南大学信息科学与工程学院，长沙，410083
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课程的目标
•了解鲁棒控制研究的基本问题；•掌握鲁棒控制的基础知识和基本概念；•明确鲁棒控制问题及其形式化描述；•掌握几种鲁棒稳定性分析与设计方法；•掌握状态空间H ∞控制理论；
•了解鲁棒控制系统的μ分析与μ综合方法；•初步了解非线性系统鲁棒控制方法。

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涉及课程及参考书
涉及课程:
•线性系统理论(Linear System Theory )•最优控制(Optimal Control ) 参考书:
•吴敏, 桂卫华, 何勇:《现代鲁棒控制》(第2版). 中南大学出版社, 2006
•Zhou K, Doyle J C and Glover K. Robust and Optimal Control.Prentice Hall, 1996
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课程名称、授课形式和考试方式
课程名称:
•鲁棒控制理论及应用
Robust Control Theory and Applications 授课方式:
•集中授课，主要是采取讲授方式，可适当针对某一问题进行讨论。

考试方式:•考试的目的•笔试。

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课程的主要内容
第一讲——鲁棒控制研究的基本问题第二讲——基本知识与基本概念第三讲——鲁棒控制问题第四讲——鲁棒稳定性理论第五讲——状态空间H ∞控制理论第六讲——鲁棒控制系统的μ分析与μ综合第七讲——非线性系统鲁棒控制
共分为七讲：
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鲁棒控制研究的基本问题第一讲：
控制系统的动态特性
11控制系统的鲁棒性鲁棒控制系统(Robust Control System )：在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、动态特性和稳态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。

鲁棒性(Robustness )：•鲁棒稳定性——在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性。

•鲁棒动态特性——通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。

•鲁棒稳态特性——在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐近调节功能。

12反馈控制理论的发展阶段经典控制(Classical Control )：•频域法，传递函数，PID 控制现代控制(Modern Control )：•时域法，状态空间模型，能控能观概念，LQG 控制先进控制(Advanced Control )——鲁棒控制：•频域法+时域法•传递函数+状态空间模型•H ∞最优控制，μ分析与μ综合
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鲁棒性设计的内容
保证控制系统的鲁棒性意味着：
•对于公称模型，可以保证控制系统的稳定性和期望的性能；
•
对于考虑了不确定性的集合模型，能够保证控制系统的鲁棒稳定性，并可以达到期望的性能。

鲁棒性设计的基本内容：•控制器的设计方法；
•控制器存在的充分与必要条件；•设计算法和实施过程。

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鲁棒控制的应用领域
鲁棒控制其存在的条件应指出：
•模型不确定性或外界扰动不确定性的范围。

在应用中要解决的问题：
•实际控制问题如何转换成鲁棒控制问题；
•鲁棒控制器在实际应用中的条件、实现方法和应用效
果等。

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基本知识与基本概念第二讲：
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能控性(Controllability) 分析
定义: 存在一个输入u (t )，使x (t )从任意的初始状态出发，在有限时间内达到原点，则(A ，B ) 是能控的。

定理: 下述条件是等价的。

•(A ，B ) 是能控的；
•rank [B AB A 2B …A n -1B ] = n ；
•存在实数矩阵F ，使A +BF 具有任意指定的n 个对称于实的复数特征根；
•对于任意的复数λ，有rank [λI-A B ] = n 。

•能控性格拉姆(Gramian )矩阵:
∫+∞
=0
dt
e BB e L t
A T
At C T
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能观性(Observability) 分析
定义: 任意的初始状态，可以由有限时间内的输出y (t )和输入u (t )来唯一决定，则(C ，A ) 是能观的。

定理: 下述条件是等价的。

•(C ，A ) 是能观的；
•rank [C CA CA 2…CA n -1]T = n ；
•存在实数矩阵H ，使A +HC 具有任意指定的n 个对称于实的复数特征根；
•对于任意的复数λ，有rank [λI-A C ] T = n 。

•能观性格拉姆矩阵:
∫+∞
=0
dt
Ce C e L At
T t
A O T
36多输入输出控制系统的灵敏度函数
输入端和输出端得开环传递函数：灵敏度函数和补灵敏度函数：灵敏度函数与补灵敏度函数之间的关系：)()()(s P s C s L i =)()()(0s C s P s L =[]1)()(−+=s L I s S i i [])()()(1s L s L I s T i i i −+=[]100)()(−+=s L I s S [])()()(0100s L s L I s T −+=I s T s S i i =+)()(00()()S s T s I +=
43内部稳定性的条件
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡Γ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡v r C P u e ),(111
11()()(,)()()I P I PC I PC P P C C I C I PC I CP −−−−−⎡⎤+−+⎡⎤Γ==⎢⎥⎢⎥−++⎣⎦⎣⎦定义：若Γ(P , C )存在，而且其中的四个传递函数都是稳定
的，则闭环控制系统是内部稳定的。

若P (s )是稳定的，则内部稳定性的充要条件为Q (s )是稳定的。

充要条件:若Q (s )=C (I+PC ) -1则()(,)I PQ I PQ P P C Q
I QP −−−⎡⎤Γ=⎢⎥−⎣⎦
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可稳定性
定义: 对于线性时不变系统{A, B, C, D }，进行状态反馈u =Fx,若闭环控制系统对于任意的初始状态x (0)=x 0有满足
)(lim =∞→t x t 的解()0
()A BF t x t e x +=则该系统是稳定的，即(A, B )是可稳定的。

结论:下述三个条件是等价的。

a) (A, B )是可稳定的；
b) 存在使A+BF 渐近稳定的矩阵F ；
c) 对于任意Re s ≥0有rank [sI-A B ]=n
46可检测性
定义: 对于线性时不变系统{A, B, C, D }，如果(A T , C T )为可稳
定的，则系统是可检测的，即(C, A )是可检测的。

结论:下述三个条件是等价的。

a) (C, A )是可检测的；
b) 存在使A+HC 渐近稳定的矩阵H ；
c ）对于任意Re s ≥0有rank [sI-A C ]T = n
47李雅普诺夫方程
假设T ,,0n n n n A R Q R Q Q ××∈∈=≥，则
PA + A T P = −Q
是关于n n P R ×∈的李雅普诺夫方程。

当Q 为对称矩阵时，解P 也是对称矩
阵。

解P 存在的而且唯一的充要条件：()()0,i j A A λλ+≠i, j=1, 2, …, n
对于能控性和能观性格拉姆矩阵ＬC 和Ｌ０，则
T
T
c c AL L A BB +=−T T
o o A L L A C C
+=−
48李雅普诺夫方程与稳定性
矩阵Ａ为稳定的充要条件是李雅普诺夫方程
PA + A T P= −Q
对于任意正定的矩阵Q 存在正定解P >0。

下述三个结论成立：
a) 若A 是稳定的，则方程存在唯一的对称解P ≥0；
b) 对于Q=C T C, 方程具有唯一对称解P >0的充要条件是(C , A )
为能观测的，具有唯一对称解P ≥0的充要条件是(C , A )为
可检测的；
c)若方程当Q =C T C 时具有解P >0，并且(C , A )为能观测的，
则A 是稳定的；若此时具有解P ≥0，而且(C , A )为可检测
的，则A 也是稳定的。

49哈密顿矩阵与黎卡提方程
设,,n n A Q R R ×∈，而且T T ,Q Q R R ==，即
Q 和R 对称的，则哈密顿(Hamilton)矩阵定义为：
T A R H Q A −⎡⎤
=⎢⎥−−⎣⎦
关于n n X R ×∈的矩阵方程
T 0
XA A X XRX Q +−+=称为黎卡提(Riccati)方程。

50哈密顿矩阵的性质
如果哈密顿矩阵H 在虚轴上没有特征值，则当λ是H 的
特征值时，λ−也是H 的特征值
假设Ｈ在Ｒe s ＜０上有n 个特征根12,,,n λλλL ，则
对应的特征向量构成了一个2n ×n 维矩阵12X X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，即1122X X H Z X X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。