贝叶斯讲义 先验分布与后验分布知识讲解

先验分布和后验分布的比较研究一、引言在贝叶斯统计推断中，先验分布和后验分布是两个重要的概念，其作用在于帮助我们利用先验知识来更新推断结论。

先验分布指在考虑样本信息之前所假设的分布，而后验分布则指在考虑样本信息后得到的分布。

两种分布都是贝叶斯统计学中推断结论的关键。

本文将着重探讨先验分布与后验分布之间的比较研究，并详细介绍在不同情况下它们的意义、作用和优缺点。

二、正文1. 先验分布与后验分布的定义先验分布是指在推断结果之前，我们对假设的随机变量的概率分布所进行的假设，它通常是由主观或客观的先验经验所建立的，因此也被称为先验知识。

先验分布常常是一个简单的概率分布，而且往往是由一个或几个参数来描述的。

后验分布是指在考虑了样本信息后在先验分布上得到的分布，它通常是更贴近真实概率分布的一个更新版的概率分布。

在贝叶斯推断中，我们会把先验权重和样本信息反应在后验分布中。

2. 先验分布与后验分布的应用场景先验分布的选择并不像后验分布那么高要求，因为先验分布很大程度上是由我们个人主观判断决定的。

通常，我们会选择一个简单的分布作为先验，例如Beta分布、Gamma分布、正态分布等。

在贝叶斯分析过程中，先验分布起到了约束和规定后验分布的重要作用。

后验分布则是由先验分布及样本信息的考虑而得到的。

相当于我们把自己先前对随机变量的主观想法与样本数据作了一个结合，形成了一个更可信、更合理的可视化概率分布。

在经济预测、科学分析和金融产品等领域中，后验分布非常重要。

3. 先验分布与后验分布的比较就分布的形态来说，前者大多数情况下是平滑、单峰分布，甚至有些分布既可以是随机变量的概率分布，也可以是某些问题上的信息分布。

而后者则相对比较灵活，更适应于样本信息的变化。

在选择先验分布的过程中，需要根据具体任务的需求来确定，例如要求先验均值尽可能接近后验均值，需要选择一种适当的先验分布。

就作用而言，先验分布相当于清除了一些不太可能的情况，让后验分布更加稳定；而后验分布则是更加贴合实际情况的一种分布，更大程度上说明了与样本数据相关的知识。

贝叶斯法则,先验概率,后验概率,最大后验概率1.贝叶斯法则机器学习的任务：在给定训练数据D时，确定假设空间H中的最佳假设。

最佳假设：一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设。

贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法，基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身。

2.先验概率和后验概率用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。

P(h)被称为h 的先验概率。

先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识如果没有这一先验知识，可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率。

类似地，P(D)表示训练数据D的先验概率，P(D|h)表示假设h 成立时D的概率。

机器学习中，我们关心的是P(h|D)，即给定D 时h 的成立的概率，称为h的后验概率。

3.贝叶斯公式贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)的方法p(h|D)=P(D|H)*P(H)/P(D)P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长，随着P(D)的增长而减少，即如果D独立于h时被观察到的可能性越大，那么D对h的支持度越小。

4.极大后验假设学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h，h被称为极大后验假设（MAP）确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率，计算式如下:h_map=argmax P(h|D)=argmax (P(D|h)*P(h))/P(D)=argmax P(D|h)*p(h) (h属于集合H)最后一步，去掉了P(D)，因为它是不依赖于h的常量。

5.极大似然假设在某些情况下，可假定H中每个假设有相同的先验概率，这样式子可以进一步简化，只需考虑P(D|h)来寻找极大可能假设。

h_ml = argmax p(D|h) h属于集合HP(D|h)常被称为给定h时数据D的似然度，而使P(D|h)最大的假设被称为极大似然假设。

贝叶斯先验概率后验概率
贝叶斯是一种统计学方法，用于根据先验信念和观测数据来推断参数的后验概率。

先验概率是在观测数据之前对参数进行估计的概率分布。

后验概率是在观测到数据后，通过贝叶斯定理得到的参数的概率分布。

贝叶斯定理描述了在已知先验概率的情况下，如何根据新的观测数据来更新概率分布。

贝叶斯定理可以表示为：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中，P(A|B)表示观测数据B发生时，参数A的后验概率；
P(B|A)表示在参数A确定的情况下，观测数据B发生的概率；P(A)为参数A的先验概率；P(B)为观测数据B发生的概率。

通过不断观测数据，可以不断更新后验概率，进一步提高参数的估计准确性。

贝叶斯方法在机器学习和统计推断中有广泛应用。

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XN θ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u e eeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯先验分布
贝叶斯先验分布（Bayesian prior distribution），是指在进行贝叶斯统计推断过程中，对未知参数的概率分布的初始假设。

简单来说，先验分布是对参数先前知识的一个概率分布的表达。

贝叶斯统计中的先验分布是与后验分布相关的。

先验分布是在获得新的证据之前确定参数的概率分布，而后验分布是仅仅基于新的信息来确定参数的概率分布。

先验分布是在进行实验之前就已经被确定的，因此可以被视为提供了默认的基准信息。

在实验产生数据的时候，新发现的数据会与先验分布结合，从而构建出一个更新的后验分布。

贝叶斯先验分布中常常包含一些超参数，这些超参数可以用来控制先验分布的形态和精度。

根据数据的实际情况和模型的选择，可以利用贝叶斯最优化方法来确定超参数的值，从而使得先验分布更好地反映出真实情况。

实际中，先验分布的选择和超参数的确定往往需要专家经验和领域知识的支持，因此具有一定的主观性。

贝叶斯估计中的先验分布与后验分布贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它通过联合考虑观测数据和先验知识来获得参数的后验分布。

在贝叶斯估计中，先验分布和后验分布起着关键的作用，它们在确定估计结果的同时也反映了我们对参数的先验假设和对观测数据的不确定性的考虑。

一、先验分布的作用先验分布是根据我们对参数的先验知识或经验进行设定的概率分布。

在贝叶斯估计中，先验分布起到了约束模型估计结果的作用，它的设定往往基于以往的观测数据、领域知识、专家经验等。

先验分布可以使得估计结果更加合理和可靠，能够有效利用领域知识来约束参数的取值范围。

举例来说，假设我们要估计一种新药的治疗效果，而我们已经有了一些相关的研究结果和经验知识。

这时，我们可以使用先验分布来表达我们对这种新药疗效的先验认识。

如果我们认为这种新药的疗效应该比较好，我们可以设置一个均值较高的正态分布作为先验分布；反之，如果我们认为疗效可能较差，我们可以设置一个均值较低的正态分布作为先验分布。

通过设定合适的先验分布，我们可以将对疗效的先验认识纳入到估计过程中，提高了估计结果的准确性。

二、后验分布的计算通过贝叶斯定理，我们可以计算出参数的后验分布。

后验分布是在给定观测数据的情况下，对参数未知的概率分布进行更新得到的。

它代表了在已知观测数据的情况下，对参数取值不确定性的量化结果。

贝叶斯估计中的后验分布计算通常采用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，其中最为常见的方法是Gibbs抽样算法和Metropolis-Hastings算法。

这些方法可以通过迭代计算参数的联合分布，从而得到参数的后验分布。

使用后验分布可以为我们提供关于参数的更多信息，例如参数的均值、方差以及置信区间等。

这些信息可以帮助我们更好地理解参数的不确定性，并为后续的决策提供参考。

三、先验分布的选择在选择先验分布时，需要根据实际问题的背景和需要合理选择。

一般而言，先验分布应该能够反映我们对参数的先验认识，但又不能过于主观或缺乏基础。

贝叶斯统计知识整理第⼀章先验分布和后验分布统计学有两个主要学派，频率学派与贝叶斯学派。

频率学派的观点：统计推断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进⾏推断，这⾥⽤到两种信息：总体信息和样本信息；贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外，统计推断还应该使⽤第三种信息：先验信息。

贝叶斯统计就是利⽤先验信息、总体信息和样本信息进⾏相应的统计推断。

1.1三种信息（1）总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的信息（2）样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息（3）先验信息：在抽样之前有关统计推断的⼀些信息1.2贝叶斯公式⼀、贝叶斯公式的三种形式(⼀）贝叶斯公式的事件形式假定k A A ,,1 是互不相容的事件，它们之和i ki A 1= 包含事件B ，即i ki A B 1=? 则有：∑==ki ii i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()(（⼆）贝叶斯公式的密度函数形式1.贝叶斯学派的⼀些具体思想假设I ：随机变量X 有⼀个密度函数);(θx p ，其中θ是⼀个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯观点看，);(θx p 是在给定θ后的⼀个条件密度函数，因此记为)(θx p 更恰当⼀些。

在贝叶斯统计中记为)(θx p 它表⽰在随机变量θ给定某个值时，总体指标X 的条件分布。

这个条件密度能提供我们的有关的θ信息就是总体信息。

假设II ：当给定θ后，从总体)(θx p 中随机抽取⼀个样本X1，…，Xn ，该样本中含有θ的有关信息。

这种信息就是样本信息。

假设III ：从贝叶斯观点来看，未知参数θ是⼀个随机变量。

⽽描述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称为先验分布，其密度函数⽤)(θπ表⽰。

2.先验分布定义1：将总体中的未知参数Θ∈θ看成⼀取值于Θ的随机变量，它有⼀概率分布，记为)(θπ，称为参数θ的先验分布。

3.后验分布（1）从贝叶斯观点看，样本x =(1x ,…,n x )的产⽣要分两步进⾏。

先验分布和后验分布的定义
先验分布和后验分布是贝叶斯统计学中的重要概念。

先验分布是在获得任何观测数据之前对参数的概率分布的估计，它是基于以往知识、经验或主观判断而得出的。

后验分布则是在获得观测数据后，根据贝叶斯公式计算得到的参数的新的概率分布。

先验分布在贝叶斯统计学中起到了重要的作用。

它提供了参数的先验信息，使我们能够在获得实际观测数据之前对参数做出初步的估计。

先验分布可以基于以往的经验或专业知识，也可以是主观的信念。

无论是什么形式，先验分布都会对最终的后验分布产生影响。

后验分布是在观测数据已知的情况下，通过贝叶斯公式计算得到的参数的新的概率分布。

后验分布结合了先验分布和观测数据，通过更新先验信息来对参数进行更准确的估计。

后验分布被视为是参数的最新估计，它融合了先验知识和新的观测数据，使我们能够更好地理解参数的真实值。

先验分布和后验分布的关系可以通过贝叶斯公式来描述。

贝叶斯公式表明后验分布和先验分布是相关的，先验分布通过观测数据更新为后验分布。

这种更新过程使后验分布更接近于真实的参数值。

总之，先验分布和后验分布是贝叶斯统计学中的重要概念。

先验分布是在获得观测数据之前对参数的概率分布的估计，它提供了先验信息。

后验分布是在观测数据已知的情况下，通过贝叶斯公式计算得到的参数的新的概率分布，它结合了先验分布和观测数据，使我们能够更好地估计参数的真实值。

第一章先验分布与后验分布§1.1三种信息统计学中有二个主要学派：频率学派和贝叶斯学派。

一、总体信息即总体分布或总体所属分不足给我们的信息，譬如，“总体是正态分布”这一句话就带给我们很多信息：它的密度函数是一条钟形曲线；它的一切距都存在；有关正态变量（服从正态分布的变量）的一些事件的概率可以计算，有正态分布可以导出2χ分布、t分布和F分布等重要分布；还有许多成熟的点估计、区间估计和假设检验方法可供我们选用。

二、样本信息即从总体抽取的样本给我们提供的信息。

这是最“新鲜”的信息，并且越多越好。

我们希望通过对样本信息的加工和处理对总体的某些特征作出较为精确的统计推断。

没有样本就没有统计学而言。

基于上述信息进行的统计推断被称为经典统计学，它的基本观点是把数据（样本）看成是来自具体一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不是局限于数据本身。

三、先验信息即在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般说来，先验信息主要来源于经验和历史资料。

例如，英国统计学家(1961)Savage曾考察如下实验，一位常饮牛奶加茶的妇女称，她能辨别先倒进杯子里的是茶还是牛奶。

对此作了十次试验，她都正确地说出了。

假如被实验者是在猜测，每次成功的概率为0.5，那么十次-=，这是一个很小的概率，是几乎不可能发生的，都猜中的概率为1020.0009766所以“每次成功的概率为0.5”的假设应被拒绝。

被实验者每次成功的概率要比0.5大很多，这正是她的经验帮了她的忙活，所以先验信息在推断中不可忽视。

基于上述三种信息进行的统计推断被称为贝叶斯统计学。

它与经典统计学的最主要的差别在于是否利用先验信息。

在使用样本信息上也是有差异的。

贝叶斯学派很重视已出现的样本观察值，而对尚未发生的样本观察值不予考虑，贝叶斯学派很重视先验信息的收集、挖掘和加工，使它数量化，形成先验分布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的质量。

贝叶斯学派最基本的观点是：任何一个未知量θ都可看作一个随机变量，应用一个概率分布去描述对θ的未知状况。

先验分布、后验分布、似然估计这几个概念是什么意思？它们之间是什么关系？这几个概念可以用“原因的可能性”和“结果的可能性”的“先后顺序”及“条件关系”来理解。

下面举例：隔壁老王要去10公里外的一个地方办事，他可以选择走路，骑自行车或者开车，并花费了一定时间到达目的地。

在这个事件中，可以把交通方式（走路、骑车或开车）认为是原因，花费的时间认为是结果。

若老王花了一个小时的时间完成了10公里的距离，那么很大可能是骑车过去的，当然也有较小可能老王是个健身达人跑步过去的，或者开车过去但是堵车很严重。

若老王一共用了两个小时的时间完成了10公里的距离，那么很有可能他是走路过去的。

若老王只用了二十分钟，那么很有可能是开车。

这种先知道结果，然后由结果估计原因的概率分布，p(交通方式|时间)，就是后验概率。

老王早上起床的时候觉得精神不错，想锻炼下身体，决定跑步过去；也可能老王想做个文艺青年试试最近流行的共享单车，决定骑车过去；也可能老王想炫个富，决定开车过去。

老王的选择与到达目的地的时间无关。

先于结果，确定原因的概率分布，p(交通方式)，就是先验概率。

老王决定步行过去，那么很大可能10公里的距离大约需要两个小时；较小可能是老王平时坚持锻炼，跑步过去用了一个小时；更小可能是老王是个猛人，40分钟就到了。

老王决定骑车过去，很可能一个小时就能到；较小可能是老王那天精神不错加上单双号限行交通很通畅，40分钟就到了；还有一种较小可能是老王运气很差，连着坏了好几辆共享单车，花了一个半小时才到。

老王决定开车过去，很大可能是20分钟就到了，较小可能是那天堵车很严重，磨磨唧唧花了一个小时才到。

这种先确定原因，根据原因来估计结果的概率分布，p(时间|交通方式)，就是似然估计。

老王去那个地方好几趟，不管是什么交通方式，得到了一组关于时间的概率分布。

这种不考虑原因，只看结果的概率分布，p(时间)，也有一个名词：evidence（不清楚合适的中文名是什么）。