相似三角形的判定(SSS)
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三角形的相似判定方法
有三种常用的三角形相似判定方法:
1. 角-角-角相似判定法(AAA相似判定法):
如果两个三角形的三个内角分别对应相等,则这两个三角形相似。
2. 边-边-边相似判定法(SSS相似判定法):
如果两个三角形的对应边的长度比例相等,则这两个三角形相似。
3. 边-角-边相似判定法(SAS相似判定法):
如果两个三角形的两边的长度比例相等,并且夹角相等,则这两个三角形相似。
需要注意的是,以上的相似判定方法只能确定两个三角形是否相似,不能确定它们的大小关系。
若要确定两个相似三角形之间的长宽比等具体数值关系,还需要另外给出一个边的长度或者角的大小。
几何中的相似三角形相似三角形的判定条件相似三角形是几何学中的重要概念,判断两个三角形是否相似可以通过一系列的条件来确定。
本文将介绍几何中的相似三角形以及相似三角形的判定条件。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
它们的所有对应角度相等,对应边的长度成比例。
二、相似三角形的判定条件在几何学中,有三种主要的判定条件用于确定两个三角形是否相似,它们分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
1. AA相似定理(角-角相似定理)当两个三角形中有两个对应角度相等时,它们是相似三角形。
具体而言,如果两个三角形的一个角度相等,而另一个角度也相等,那么这两个三角形是相似的。
2. SAS相似定理(边-角-边相似定理)当两个三角形的一个角度相等,并且两边成比例,那么它们是相似的。
具体而言,如果两个三角形的一个角度相等,并且与这个角度对应的两边成比例,那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理(边-边-边相似定理)当两个三角形的三边成比例时,它们是相似的。
具体而言,如果两个三角形的三边长度成比例,那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质,可以应用于解决几何问题。
1. 对应角相等性质相似三角形的对应角相等,即它们的三个角度一一对应相等。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边长度成比例,即它们的三个边按比例相等。
3. 高度性质相似三角形的对应边上的高度成比例,即它们的高度按比例相等。
4. 重心性质相似三角形的重心重合,即它们的重心位置一致。
四、应用举例下面通过一个实例来演示相似三角形的判定过程。
例题:已知∠ABC = 60°,∠ACB = 40°,AB = 8 cm,BC = 6 cm,是否可以判定△ABC与△DEF相似?解答:根据角度相等的条件,我们可以得知∠ABC = ∠DEF = 60°以及∠ACB = ∠DFE = 40°。
相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念,它们在很多问题的解决中起着关键作用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。
当两个三角形的对应角度相等时,这两个三角形是相似的。
具体而言,如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D,且∠B = ∠E,那么这两个三角形是相似的。
2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。
当两个三角形的对应边长成比例时,这两个三角形是相似的。
具体而言,如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF,那么这两个三角形是相似的。
3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。
当两个三角形的一个对应边成比例,且两个对应边夹角相等时,这两个三角形是相似的。
具体而言,如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D,那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的,那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的,那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。
4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的,则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2,其中S(ABC)表示三角形ABC的面积,S(DEF)表示三角形DEF的面积。
5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中,对应边长的平方和成比例。
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念,它描述了两个三角形形状相同,大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似,主要依靠六种判定方法,它们分别是:AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似(仅限于直角三角形)。
本文将详细阐述这六种判定方法,并辅以例题和图形说明,力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似(角角相似)如果两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法,其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理:两个角对应相等,则第三个角也必然相等(因为三角形内角和为180°)。
三个角对应相等,保证了两个三角形的形状完全一致,从而判定它们相似。
图形说明:A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’,则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1:已知△ABC中,∠A = 60°,∠B = 80°;△DEF中,∠D = 60°,∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由。
解答:因为∠A = ∠D = 60°,∠B = ∠E = 80°,根据AA相似判定定理,△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似(边边边相似)如果两个三角形的对应边成比例,那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理:对应边成比例意味着两个三角形形状相同,只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变,从而判定它们相似。
图形说明:A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’,则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2:已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm;△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
相似三角形的判定简写
相似三角形的判定是数学中的重要概念,对于它的简写写法,可以参考如下内容:
1. AA相似判定法:
AA相似判定法是指当两个三角形的两个对应的角分别相等时,这两个三角形是相似的。
简写方式可以写为"AA相似"。
2. AAA相似判定法:
AAA相似判定法是指当两个三角形的三个对应的角分别相等时,这两个三角形是相似的。
简写方式可以写为"AAA相似"。
3. SAS相似判定法:
SAS相似判定法是指当两个三角形的两个对应的边的比值相等,并且这两个对应的夹角也相等时,这两个三角形是相似的。
简写方式可以写为"SAS相似"。
4. SSS相似判定法:
SSS相似判定法是指当两个三角形的三个对应的边的比值相等时,这两个三角形是相似的。
简写方式可以写为"SSS相似"。
5. 相似三角形的性质:
- 相似三角形的对应角是相等的。
- 相似三角形的对应边的比值相等。
6. 相似三角形的应用:
- 利用相似三角形的性质可以进行长度比值的计算。
- 根据相似三角形的性质,可以求解无法直接测量的线段或角度。
- 在几何图形的构造和证明中,相似三角形的性质也经常被应用。
相似三角形的判定法及其性质是数学中的重要概念,掌握这些内容能够帮助我们在解决几何问题时更加灵活和高效。
第2课时:相似三角形的判定-SSS判定定理第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第二十七章相似27.2.1.2相似三角形的判定-SSS判定定理一、教学目标1.学会利用类比的思想研究三角形相似的判定问题;2.掌握三角形相似的SSS定理的证明方法,并能简单应用;3.进一步体会几何证明中的公理一体化问题;4.探究经历“试验、猜想、证明”的过程,感受几何命题的合理性,并通过证明确认命题正确,培养学生发现问题、解决问题的能力.二、教学重难点重点:进一步体会几何证明中的公理一体化问题.难点:掌握三角形相似的SSS定理的证明方法,并能简单应用.三、教学用具教学课件.四、教学过程设计【复习回顾】目前为止,我们已经学习了判定三角形相似的2种方法定义法:对应边成比例,且对应角相等的两个三角形是相似三角形.平行线法:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.类比全等三角形的判定,还有哪些判定方法呢?【教学建议】通过复习回顾,帮助学生梳理已经学过的知识,引起认知冲突,为新课的学习进行铺垫.【探究】思考:两个三角形的三边对应成比例,他们是相似三角形吗?已知:△ABC与△A'B'C'AB BC AC A B B C A C==''''''中,问题:△ABC与△A'B'C'相似吗?探究方法:1、利用量角器度量对应角的大小2、通过平移让对应角重合,验证对应角的大小关系【探究操作】(1)∠A=∠A'(2)∠B=∠B'(3)∠C=∠C'猜想:三边成比例的两个三角形相似 【证明】如图,在△ABC 和△A'B'C'AB BC ACA B B C A C ==''''''中,,求证:△ABC ∽△A'B'C'.分析:在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D =AB ,过点D 作DE ∥B'C',交A'C'于点E ,构造△A'DE .证明:在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D =AB ,过点D 作DE ∥B'C',交A'C'于点E ,∵DE ∥B'C' A D DE A EA B B C A C ''==''''''∴. AB BC ACA B B C A C ==''''''又,A'D=AB , DE BC B C B C =''''A E AC A C A C '=''''∴,. ∴DE =BC ,A'E =AC .∴△A'DE ≌△ABC (SSS 全等判定定理).【归纳】判定三角形相似的定理: 三边成比例的两个三角形相似.符号语言表示:如图,在△ABC 和△A'B'C'中, AB BC ACA B B C A C ==''''''∵, ∴△ABC ∽△A'B'C'.总结:k 叫做相似比,其中,当相似比等于1时,两个三角形是全等三角形【教学建议】教师引导学生再一次梳理重难点知识 【反思】 证明思路:【教学建议】这一环节,教师引导学生对证明过程那进行反思总结,培养良好的学习习惯.【做一做】依据以下各组条件,判定△ABC 与△A'B'C'【典型例题】例1 根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由:1cm 2cm 3 cm cm 2 cm =3 cm AB BC AC A'B'a B'C'a A'C'a =====,,;,,.0a ≠∵解:1AB A'B'a ∴=,212BC B'C'a a ==,313AC A'C'a a ==, AB AC BC ==A'B'A'C'B'C'∴. ∴△ABC 与△A'B'C'相似.总结:只有三组对应边的比值相等时,两个三角形才是相似三角形例2 如图,已知△ABD ∽△ACB ,AD =2,AC =8,求AB 的长.解:∵∠ABD =∠C ,∠A =∠A ∴△ABD ∽△ACB . AB ADAC AB=∴ 82AB AB=∴∴AB 2=2×8=16 ∴AB =4【教学建议】教师通过思维导图,将本节课的内容进行归纳,帮助学生梳理知识脉络和重难点。
相似三角形的判定及应用相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
判定两个三角形是否相似可以通过以下几种方法,同时这些方法也可以应用于解决实际问题:1. AAA判定法:若两个三角形的对应角度相等,则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三个角分别对应相等,则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如测量倾斜物体的高度等。
2. AA判定法:若两个三角形的两个对应角相等,则它们是相似三角形。
即若两个三角形的两个角分别对应相等,则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算山坡的斜率等。
3. SAS判定法:若两个三角形的一个角相等,且两个对应边的比例相等,则它们是相似三角形。
即若两个三角形的一个角相等,且两条与该角相对应的边的比例相等,则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算高塔的阴影长度等。
4. SSS判定法:若两个三角形的三个对应边的比例相等,则它们是相似三角形。
即若两个三角形的三条边的比例相等,则它们是相似三角形。
这种判定法可以应用于解决实际问题如计算建筑物的缩放比例等。
相似三角形的应用在几何学和现实生活中都非常广泛。
以下是一些应用示例:1. 建筑和工程:通过相似三角形的概念,可以计算建筑物的缩放比例,包括建筑物的高度、宽度和深度等。
这对于设计和规划新建筑物或改建现有建筑物非常有用。
2. 地形测量:利用相似三角形的原理,可以测量山坡的斜率、高塔的阴影长度等。
这对于地理测量和地形分析非常重要,可以用于制作地形图和地图。
3. 倾斜物体测量:对于无法直接测量的高物体(如高塔、山峰等),可以利用相似三角形的原理,通过测量影子长度和角度,计算物体的高度。
这在地理测量和旅行中很常见。
4. 统计学:在统计学中,相似三角形的概念可以被用于创建样本的代理数据集,从而更好地理解和解释真实数据集的特征和趋势。
5. 生物学:在生物学中,相似三角形的原理可以应用于研究和分析动物和植物的形态特征以及它们之间的关系。
相似三角形的判定在几何学中,相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。
一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。
根据这个定义,我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。
1. AA相似定理:如果两个三角形的两个角分别相等,则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理:如果两个三角形的三条边的比例相等,则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理:如果两个三角形中有两个对应边的比例相等,并且这两个对应边夹角相等,则这两个三角形相似。
二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法:使用AA相似定理,当我们知道两个三角形的两个角分别相等时,就可以判定它们相似。
具体判定方法是测量三角形的两个角,并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。
如果它们相等,则两个三角形相似。
2. 边边判定法:使用SSS相似定理,当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时,可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的三条边,并将其比较。
如果它们的比例相等,则两个三角形相似。
3. 边角边判定法:使用SAS相似定理,当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等,并且这两个对应边夹角相等时,可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例,并测量它们对应的夹角,将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。
如果它们相等,则两个三角形相似。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。
一些常见的应用包括:1. 测量高度:通过测量阴影的长度和实物的长度,我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。
2. 估算距离:在实际测量中,通过相似三角形的比例关系,我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。
3. 图像变换:相似三角形的性质在图像变换中也有应用。
例如,图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。
相似三角形的判定方法在几何学中,相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
判断两个三角形是否相似是几何学中的重要问题,本文将介绍相似三角形的判定方法。
一、AA判定法AA判定法即如果两个三角形的两个角分别相等,则这两个三角形相似。
具体来说,如果三角形ABC和三角形DEF,满足∠A = ∠D,∠B = ∠E,那么这两个三角形相似。
二、SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的一对对应边的比例相等,并且夹角的大小也相等,则这两个三角形相似。
具体来说,如果三角形ABC 和三角形DEF,满足AB/DE = BC/EF = AC/DF,且∠A = ∠D,那么这两个三角形相似。
三、SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三条边的比例相等,则这两个三角形相似。
具体来说,如果三角形ABC和三角形DEF,满足AB/DE = BC/EF = AC/DF,那么这两个三角形相似。
值得注意的是,如果一个三角形的三个角的度数和另一个三角形的三个角的度数完全相等,但边的长度不同,则这个三角形并不一定是相似的。
四、比例法判定相似三角形除了上述的基本判定法之外,我们还可以利用比例法来判定两个三角形是否相似。
具体来说,我们需要比较两个三角形的相邻边的比例,如果这些比例相等,则两个三角形相似。
五、直角三角形的相似在判定直角三角形的相似性时,我们可以通过观察两个直角三角形的斜边和直角边的比例来判断它们是否相似。
如果两个直角三角形的斜边比例相等,并且直角边比例也相等,则这两个直角三角形相似。
总结:判定相似三角形的方法包括AA判定法、SAS判定法、SSS判定法、比例法以及直角三角形的相似性判定。
根据所给的条件,我们可以选择合适的判定方法来判断两个三角形是否相似。
相似三角形具有相同的形状,但尺寸不同,这种性质在实际应用中十分重要,可以用于解决计算距离、测量高度等问题。
相似三角形的判定方法可以帮助我们在解决几何问题时快速确定是否存在相似三角形,从而简化计算过程。
B E D
C 备课日期 2012年10月8日 教出日期 主备课人:段中明 审核人
课题: 相似三角形判定(一)
目标: 1.培养学生的观察﹑发现﹑归纳能力,感受两个三角形相似的判定方法1
2.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力。
教学重、难点::两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
学 习 内 容 与 要 求 学 习
指 导
一.新课引入:1。
复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
2.相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
3.回顾全等三角形的概念及判定方法(SSS )
4.相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
二.合作探究:
探究方法:探究1:在一张方格纸上任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?
分析:学生通过度量,不难发现这两个三角形的对应角都相等,根据相似三角形的定义,这两个三角形相似。
(学生小组交流)
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析:作A 1D=AB ,过D 作DE ∥B 1C 1,交A 1C 1于点E ⇒
∆A 1DE ∽∆A 1B 1C 1。
用几何画板演示∆ABC 平移至∆A 1DE 的过程
⇒ A 1D=AB ,A 1E=AC ,DE=BC ⇒∆A 1DE ≌∆ABC
⇒ ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
↓
归纳:如果两个三角形的
三组对应边的比相等,那
么这两个三角形相似。
↓
若11AB
A B =11BC
B C =11
CA
k C A =,则⇒ ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
三.课堂练习:
1:根据下列条件,判断△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似,并说明理由.
(1)∠A=1200,AB=7cm ,AC=14cm ,∠A ′=1200,A ′B ′=3cm ,A ′C ′=6cm.
解:∵=''B A AB , =''C A AC . ∴=''B A AB . 且∠ =∠ ∴ ∽ ( ) (2)AB=4 cm ,BC=6cm ,AC=8cm, A ′B ′=12cm,B ′C ′=18cm ,A ′C ′=24cm. 解:∵=''B A AB , =''C A AC ,=''C B BC 。
∴=''B A AB = . ∴ ∽ ( ) 2.如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( ) A 、①和② B 、②和③ C 、①和③ D 、②和④ 3.(2011•深圳)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) A 、 B 、 C 、 D 、 四课堂检测: 已知:BC DE AC AE AB AD ==,求证:∠BAD =∠CAE . 五、 总结反思 这节课你有什么收获?
A A
B
C A 1
D
E B 1 C 1。