相似三角形的判定(SSS SAS)

答案：（1）略； （2）△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4P5，△P1FD．
网格中的相似 如何判断网格中的三角形是？ 三角形相似的两个判定： 三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
网格中的相似
如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC， ②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK， 在②～⑥中，与三角形①相似的是(B )
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
网格中的相似
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格 点上． (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个 点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三 角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
∴△ABC~△A'B'C'.
判定的应用
∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE.
判定的应用 提示：先把线段乘积转化为比例
判定的应用
如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4． 沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（C ）
相似三角形的判定（SSS和SAS）
教学目标 理解三边成比例的两个三角形相似． 理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教学重点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
教学难点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
知识回顾
1．对应角_相___等___，对应边成___比__例__的两个三角形， 叫做相似三角形． 2．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例．

在几何图形中，如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。因此，可以通过构造相似三角形来 求解目标角度。
其他领域的应用
物理学中的应用
01
在物理学中，相似三角形可以用来解决一些与距离、高度和角
度相关的问题，如光的折射、反射等。
工程学中的应用
02
在工程学中，相似三角形可以用来解决一些与测量、设计和施
工相关的问题，如建筑设计、道路规划等。
若两个三角形相似，则它们的面 积比等于相似比的平方。
面积于计算相似三角形的面积。
在实际应用中，可以通过测量两 个三角形的面积和相似比来计算
其中一个三角形的面积。
05
相似三角形的应用举例
测量问题中的应用
利用相似三角形测量高度
通过构造相似三角形，利用已知边长和角度，可以计算出目 标物体的高度。
相似三角形的判定 (SSS和SAS)课件
目录
• 引言 • SSS判定方法 • SAS判定方法 • 相似三角形的性质与定理 • 相似三角形的应用举例 • 总结与展望
01
引言
相似三角形的定义
对应角相等，对应边 成比例的两个三角形 叫做相似三角形。
相似三角形对应边的 比叫做相似比（或相 似系数）。
相似用符号“∽”来 表示，读作“相似于 ”。
比例和度量问题。
培养逻辑思维
学习和掌握相似三角形的判定方 法，有助于培养学生的逻辑思维
、推理能力和问题解决能力。
相似三角形的研究前景
01
深入探究判定方法
尽管SSS和SAS是两种常用的相似三角形判定方法，但仍存在其他判定
方法值得进一步研究和探讨。例如，探究更多基于边和角关系的判定方
法，提高判定的准确性和效率。

C B’
证明:在△ ABC 的边 AB(或延长线)上截取A/D=AB, 过点D作DE∥BC 交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/ AD AE . AB AC AB AC 又 A A 又 ，AD AB, AB AC ∴△A/DE≌△ABC（SAS) AE AC / / / ∴△ABC∽△ A BC , AC AC
AE AC.
三角形相似的判定定理2： 如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
即：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
A’ A B C B’ C’
AB AC k AB AC ΔABC∽ΔABC. A A
A’ A
D E C’
C B’
证明:在△ ABC 的边 AB(或延长线)上截取A/D=AB, 过点D作DE∥BC 交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/
AD DE AE . AB BC AC AB BC AC 又 ，AD AB, AB BC AC DE BC AE AC , , BC BC AC AC DE BC, AE AC.
例 1：
试判定△ABC与A’B’C’是否相似，并说明理由。 (1) AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm A’B’＝18 cm，B’C’＝24 cm，A’C’＝30 cm (2) ∠A＝45°， AB=12cm，
AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝
20cm
例2
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5 6
2
检测二
如图， △ ABC中，AB=12，AC=15， D为AB上的一点，且AD= 2 AB，在AC 3 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三 6.4 角形和△ ABC相似，则AE 等于 10或。

不相似，因为对应边的比不相等.
Hale Waihona Puke AB BC AC 如图已知 ， AD DE AE 求证：∠1=∠2
证明: ∵
AB BC AC AD DE AE ∴ △ABC∽△ADE
A
1 3 2
E
∴ ∠BAC=∠DAE
又∵ ∠3是公共角
B
D
C
∴ ∠BAC- ∠3 =∠DAE-∠3 ∴ ∠1 =∠2
如图在边长为的正方形网格上有 A1B1C1和 1 A2 B2C2，它们相似吗？如果相 似，求出相 似比；如果不相似，请 说明理由。
任画一个三角形，再画一个三角形，使
它的各边长都是原来三角形各边长的k倍(任确 定一个倍数)，度量两个三角形的对应角，它 们相等吗？这样的两个三角形相似吗？
例如：画一个三角形使边长为：2cm、2.4cm、3cm ， 再画一个三角形，使它的各边长都是这个三角形各边长的 2或3倍。
请观察两个三角形的三组对应边有什么特点？
A
4 cm
B
三边对应成 比例 4.8 cm
A'
2 cm
2.4 cm
6 cm
C
B' 3 cm C'
A' B' B' C' A' C' 1 AB BC AC 2
是否有 △A'B'C' ∽△ABC？
A' A B'
B
A' C' B'
∠A'＝∠A
F C'
C ∠B'＝∠B
∠A'＝∠A ∠B' =∠B △A'B'C' ∽△ABC

相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。

一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。

当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。

当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。

当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。

3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。

4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。

5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。

相似三角形的判定完整版课件一、教学内容1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定两个三角形相似的方法，包括：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、AA（两角对应相等）。

二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义及性质；2. 学会使用SSS、SAS、AA三种方法判定两个三角形相似；3. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定方法及性质的理解和应用。

教学重点：掌握相似三角形的判定方法，并能运用其解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、量角器；2. 学具：三角板、量角器、直尺、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示实际生活中相似三角形的例子（如：电视屏幕与实际画面、三角形放大镜等），引导学生观察并思考相似三角形的特点。

2. 例题讲解：（1）讲解相似三角形的定义及性质；（2）通过例题讲解SSS、SAS、AA三种判定方法；3. 随堂练习：（1）让学生独立完成教材课后练习题；（2）针对学生完成情况进行讲解，纠正错误，巩固知识点；（3）拓展练习：给出一些实际生活中的相似三角形问题，让学生运用所学知识解决。

六、板书设计1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定方法：SSS、SAS、AA；3. 例题解题步骤及思路；4. 课后练习题。

七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，其中AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，求三角形DEF的周长；（2）已知三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为2：3，求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值。

2. 答案：（1）三角形DEF的周长为18cm；（2）三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值为9：4。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对相似三角形的判定方法掌握较好，但对性质的理解和应用还需加强。

在今后的教学中，应注重引导学生运用性质解决实际问题。

A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB BC AC = = , 例2.如图已知, AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE. A D B E C
1.图中的两个三角形是否相似?
2如图在正方形网格上有 、如图在正方形网格上有△Ａ Ｃ A1 B1C1和A C 1Ｂ 1和 2 B21 2， △Ａ 它们相似吗？如果相似 ，求出相似比；如果 2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求 出相似比；如果不相似，请说明理由。 不相似，请说明理由。
探究3
边S 角A 边S
A
AB AC 已知： A B AC k ,
∠A =∠A′ . 求证：△ABC∽△A′B′ C′. A′
B
C
你能证明吗？ C′
B′
AB AC , A A '. 已知：在ABC和A' B' C '中， A' B ' A'C ' 求证: △ ABC ∽△ A ' B ' C '.
1.定义判定法 2.平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3.边边边判定法（SSS） 4.边角边判定法（SAS）
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥ B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B A' DE ∽A ' B ' C '.
C D E A
A'
AB AC , A ' D AB. 又 A ' B ' A 'C '

和HFCD，矩形对角线AC的长是 ；
挑战自我
三个边长为a的正方形ABEG、GEFH
和HFCD，矩形对角线AC的长是 ；
已知：如图,四边形ABEG 、GEFH 、
HFCD都是边长为a的正方形. 求证：△AEF∽△CEA.
证法1：∵正方形ABEG的边长为a，
证法1：∵正方形ABEG的边长为a， ∴AE= a.
AE∶EF= a∶a= ,
EC∶EA=2a∶
a=
,
证法2:根据题意，可得 AE= a ，AF= a , AC= a.
在△AEF和△CEA中，
AE∶EF= a∶a= ,
EC∶EA=2a∶
CA∶AF = a∶
a=
a=
,
,
证法2:根据题意，可得 AE= a ，AF= a , AC= a.
在△AEF和△CEA中，
∴
∴DE=B´C´,EA= C´A´. ∴ △ADE≌△A´B´C´.
证明:在△ABC的边AB 上截取AD= A´B´,过点 D作DE∥BC交AC于点E. 这样, △ADE∽△ABC. ∵ AD= A´B´， ∴ 又
∴
∴DE=B´C´,EA= C´A´. ∴ △ADE≌△A´B´C´. ∴ △A´B´C´∽△ABC.
∴ △AEF∽△CEA.
证法2:根据题意，可得 AE= a ，AF= a , AC= a.
证法2:根据题意，可得 AE= a ，AF= a , AC= a.
在△AEF和△CEA中，
AE∶EF= a∶a= ,
证法2:根据题意，可得 AE= a ，AF= a , AC= a.
在△AEF和△CEA中，
解：∵
2)AB=5厘米， BC=6厘米， AC=8厘米， A´B´=10 厘米 , B´C´=12 厘米 , A´C´ =16厘米.

已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC ,
求证: △ ABC ∽△ A' B'C' .
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
A' B' B'C' A'C'
A
A'
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
BC AC ，
AC AD
AD= 25 . 4
B
C
练习
1. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似， 并说明理由： (1)∠A＝40°，AB＝8cm，AC＝15cm，
∠A′＝40°，A′B′＝16cm，A′C′＝30cm； (2)AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，
C'
应用
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： （1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，
∠A'=120°，A'B'=3cm，A'C'=6cm； （2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，
A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=21cm.
解：（1） AB 7 , AC 14 7 ,
归纳
知识要点
边S 边S
判定三角形相似的定理之一
√边 S
如果两个三角形的三组对应边的比 相等三，边那对么应这成两比个例三，角两形三相角似形.相似.

A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
解 : (1) AB 7 , AC 14 7 , A' B' 3 A'C' 6 3
AB AC A' B' A'C'.
又A A',
ABC ∽ A' B'C'
要使两三角形相 似，不改变的 AC长，A’C’的
长应改为多少？
△ABC与△A’B’C‘的三组对应边 的比不等，它们不相似．
三角形相似.
学以致用
如图：一条河流，在河流
北
的北岸点A处有一根高压电
A
线杆。河流的南岸点B处有
一颗大树。且电线杆在大树
的正北方向上。在大树的正
东方的点C处有一雕像，你
能利用本节课学习的知识大
致测算出电线杆A与大树B之
间的距离吗？
B
CD
若用皮尺测得：BC=40米，
CD=20米，DE=60米，你能计算
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否 相似,并说明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25 .6cm.
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：∵ =
=1.5
B
＝ ＝1.5
45
A
1 54
3E0236 F
∴
＝
C ∵∠1＝∠2
∴△AEB∽△FEC
2.图中的两个三角形是否相似?
试说明∠BAD=∠CAE.
A E

A
D
E
C
B
F
课堂小结
相似三角形的性质 1、相似三角形对应边 的比相等 ,对应角__相__等__. 2、相似三角形对应高的比、对应边中线的比、
对应角平分线的比都等于_相__似__比___. 3、相似三角形周长的比等于_相__似__比___，
相似三角形面积的比等于_相__似__比__的___平__方__.
们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
B
C
已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k。 AB BC CA
求证： A' B'B'C'C' A' k
A'
B'
C'
证明：∵△ABC∽△A'B'C'，
AB A' B'

BC B'C'

CA C' A'

k
∴ AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
回顾
相似三角形的判定方法：
通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线 三边对应成比例（SSS） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 两角对应相等（AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
A1
A
B
C B1
C1
在相似三角形中，它们的周 长有什么关系？
∴
AB BC CA kA' B'kB'C'kC' A' k A' B'B'C'C' A' A' B'B'C'C' A'

鸿桥中学“四环节”模式学案班级：______姓名：___________学习目标1.探索相似三角形的另外两个判定方法：①SAS ， ②SSS 。

2.能运用判定定理进行简单的证明。

3.培养学生的动手能力和逻辑推理能力。

学习重难点：理解、运用相似三角形的判定方法判定三角形相似。

学法指导：在两个三角形中的较大的三角形上，作一个与较大三角形相似，且可证出与较小三角形全等的三角形，由此证得已知的两个三角形相似。

把探究三角形相似问题，转化为恒明三角形全等问题。

学习过程设计一、知识预备（2分钟2分）1.全等三角形的判定方法有：_______，_______，_______，_______，直角三角形还可以根据_______判定全等。

2.说一说，上节学过的相似三角形的判断方法有：①______，②______. 二、自主探究（18分钟10分）(一)根据两三角形的边、角关系判定三角形相似如图-1(1)、(2)所示，在△ABC 和111A B C △中，∠A ＝∠A 1，且1111A B A CAB AC=，请你参与探究△ABC 和111A B C △的关系。

做一做，证一证：(1)在△ABC 的边AB 上截取AD ＝A 1B 1，过点D 作BC 的平行线交AC 于E ，如图—1(3)所示，则：△ADE ∽△ABC （？）由相似图形的性质知：ADAB AC = 又∵AD ＝A 1B 1，∴11A B AD AB AB= ∴11A B AC AB = 又∵1111A C A B AC AB =，∴11A C AC AC=∴A 1C 1＝_____(2)证明111A B C △≌△ADE(3)△ABC_________(相似于或不相似于)111A B C △由此可得：如果一个三角形的 条边与另一个三角形的 条边对应成比例，并且 相等，那么这两个三角形________。

(二) )根据两三角形边的关系判定三角形相似如图-2 (1)、(2) 所示，在△ABC 和111A B C △中，111111=A B B C A C AB BC AC=，请你 参与探究△ABC 和111A B C △的关系。

A
D
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
知识的升华
C
1.如图, △ABC中 ,∠ACB=900,CD⊥AB于 D,若∠A=300 ，则 BD∶BC=？
2.如图, 在△ABC中若 AB=9,AP=4, ∠B=∠ACP,则AC=?
· · ·
· ·
A
D
A P
·B
B
C
∴ A1DE≌ABC（SSS） ∵ A1 DE∽A1 B1C1 ∴ ABC∽A1 B1C1
知识要点
判定三角形相似的定理之一
边S 边S 边S
√
如果两个三角形的三组对应边的比 三边对应成比例，两三角形相似。 相等，那么这两个三角形相似。
A
A1 即：
C
B
AB BC AC 如果 A B B C A C , 1 1 1 1 1 1
B1
C1
那么 △ABC∽△A1B1C1.
• 下面两个三角形是否相似?为什么?
A D 4cm B 7cm 5cm C 2cm E 3.5cm 2.5cm F
• 解:在△ABC和△DEF中.
AC 5 AB 4 BC 7 2. 2. 2. DF 2.5 EF 3.5 DE 2 AB BC AC 练习： . DE EF DF
A1 A
D
B C B1
E
C1
A1 D DE A1 E ∴ A1 B1 B1C1 A1C1
AB BC AC , A1 D AB 又 A1 B1 B1C1 A1C1 DE BC A1 E AC , ∴ B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC , A1E AC
小结
拓展

三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。

判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。

本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。

一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。

原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。

三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。

判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。

二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。

这是基于比例关系的相似判定方法。

原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。

比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。

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2
3
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四基三级练
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二级
3．(2022春·让胡路区校级期中)如图，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求
证：△ABC∽△ADE. 证明：∵AB·AE＝AD·AC， ∴AADB＝AACE. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE， 即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE.
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四基三级练
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三级
4．如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中 点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴DPCQ＝ACDQ＝2. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.
四基三级练
一级
1
2
二级
3
三级
4
四基三级练
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一级 1．如图，△ABC与△DEF相似，且AB＝3.6，BC＝6，AC＝8，EF＝2， 则DE的长度为( A ) A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
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四基三级练
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2．(2022秋·桥西区校级期末)下列四个三角形，与如图的三角形相似的是 (B)
27.2.1相似三角形的判定 (2)(SSS、SAS)
01
新课学习
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1．相似三角形的判定2 如果两个三角形三组对应边的比_相__等_，那么这两个三角形相似． 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∵__AA_′_BB_′_＝__AA_′CC__′＝__B_B_′CC__′ ___， ∴△ABC∽△A′B′C′.

三角形的相似三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。

当两个三角形的对应角度相等且对应边的比例相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。

本文将介绍三角形的相似性质、判定方法以及一些与相似三角形相关的常见应用。

一、三角形的相似性质相似三角形有以下几个重要的性质：1. AAA相似性质：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。

2. AA相似性质：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

3. SAS相似性质：如果两个三角形的两边对应成比例，并且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。

4. SSS相似性质：如果两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。

二、判定两个三角形是否相似的方法根据以上相似性质，我们可以采用以下方法判定两个三角形是否相似：1. 角-角-角（AAA）判定法：当两个三角形的三个内角分别相等时，可以判定这两个三角形相似。

2. 角-边-角（AA）判定法：当两个三角形的两个对应角分别相等，且其夹角处的边也成比例时，可以判定这两个三角形相似。

3. 边-角-边（SAS）判定法：当两个三角形的两边对应成比例，并且它们的夹角相等时，可以判定这两个三角形相似。

4. 边-边-边（SSS）判定法：当两个三角形的三边对应成比例时，可以判定这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见应用相似三角形的性质可以应用于实际生活和解决几何问题中，下面介绍三个常见的应用场景：1. 测量高度：当无法直接测量高度时，可以利用相似三角形的性质通过测量已知长度和角度，并找到对应的相似三角形，从而计算出高度。

2. 影子问题：在阴影问题中，利用相似三角形的性质可以求解未知物体的尺寸。

通过测量物体和其阴影的长度，以及测量太阳光和物体的夹角，可以建立相似三角形的比例关系，从而计算出未知物体的尺寸。

3. 图像放大缩小：利用相似三角形的性质，可以通过控制不同比例的相似变换对图像进行放大或缩小。

这在摄影、计算机图形学等领域中广泛应用。