八年级一道几何题的一题多解发散思维

在一题多解中培养学生的发散思维能力
发布时间：2023-04-17T02:14:35.792Z 来源：《教育学》2022年11月总第302期作者：康厚斌[导读] 数学教学离不开解题教学，从教与学两个维度看，教师不仅要引导学生学会主动学习，理解和运用一些基本方法、技能技巧，而且要从以掌握知识为主的知识立意转化为以问题解决为主的能力立意，其中如何正确地对所给信息进行思维加工是有效实现由知识立意转化为能力立意的关键，也应是解题教学的着力点。

陕西省汉中市略阳县天津高级中学723400
摘要：数学教学离不开解题教学，从教与学两个维度看，教师不仅要引导学生学会主动学习，理解和运用一些基本方法、技能技巧，而且要从以掌握知识为主的知识立意转化为以问题解决为主的能力立意，其中如何正确地对所给信息进行思维加工是有效实现由知识立意转化为能力立意的关键，也应是解题教学的着力点。

但对所给信息进行思维加工的深度和广度把握的不同，以及学生对相关内容和思想掌握程度的估计不足，都会导致学生认知角度的不同和教学效果的不同。

关键词：一题多解思想方法发散思维认知深度
笔者就2015年重庆市文科数学高考试题第14题为例谈谈自己的一些认识，供参考。

总之，一题多解题目从不同角度、不同层次来考虑问题，在解题过程中不仅可以重新复习、深刻理解知识点，还能让学生体会多种数学思想方法，培养发散性思维能力，也提高了解题效率，在认知过程中活而不空深而不偏，促进学生的深度认知和广度思维。

一题多解发展思维——一道中考几何题的解法探究
刘钦娜
【期刊名称】《中学数学教学参考》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】数学是思维的体操,如何通过解题活动培养学生的思维能力是数学教学的中心问题。

针对一道中考几何题,引导学生通过一题多解开阔思路、发散思维,同时借助多解归一加深对数学原理、通性通法的认识,帮助他们在变式中寻找通法、在探究中提升能力。

【总页数】3页(P57-59)
【作者】刘钦娜
【作者单位】河南省驻马店市泌阳县花园中心学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一题多解拓思维,数形结合来渗透——一道正方形几何证明解法探究
2.一题多解,提高学生思维与逻辑推理能力——2012年安徽省中考第23题的解法探究
3.关注一题多解强化思维训练--对一道中考几何题的探究
4.一题多解阔思路,发散思维形成中——对一道几何题多种解法的探索
5.一题多解,发散思维,多解归一,能力升华——以一道几何探究题为例
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初中几何多解题初中几何多解题是指在解决一个几何问题时，存在多种方法或角度可以得到正确答案的情况。

这些不同的解题方法可以帮助学生培养灵活的思维，深入理解几何概念，并且提高解答问题的能力。

下面我将通过几个具体例子来展示初中几何的多解题方法。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个直角三角形ABC，角C为直角，边AB为斜边。

我们要求AC的长度。

传统的解题方法是使用勾股定理：AC^2 = AB^2 + BC^2。

然而，我们也可以运用相似三角形的性质来解答。

由于角C为直角，所以三角形ABC和三角形ACD相似，其中D为直角三角形ABC的斜边AB上的任意一点。

根据相似三角形的性质，我们有AC/AB = AB/AD。

由此可以得到AC^2 = AB*AD。

这是一个全新的解题方法，而且它不需要使用勾股定理。

接下来，我们来看一个更复杂一些的例子。

假设有一个梯形ABCD，AB平行于CD，AD与BC不平行，并且角BAD等于角CDA。

我们要证明角BCD等于角DAB。

这个问题可以使用多种方法来解答。

一种方法是使用平行线之间的性质。

由于AB平行于CD，所以角BAD和角CDA是同位角。

根据同位角定理，我们可以得出角BCD等于角DAB。

另一种方法是利用等腰三角形的性质。

可以观察到三角形BAD和三角形CDA是等腰三角形，因为它们的底边分别与平行于底边的线相交于同一点。

根据等腰三角形的性质，我们可以推导出角DAB等于角BDA，而角CDA等于角BCD。

进而，根据等腰三角形的唯一角性质，我们可以得到角BCD等于角DAB。

最后，我们来看一个涉及面积的几何问题。

假设有一个正方形ABCD，其中AB的长度为10。

我们要找到一个与正方形相似的矩形，使得其周长比正方形的周长小20，并且面积也比正方形的面积小20。

传统的解题方法是运用正方形和矩形的面积和周长公式来进行计算。

我们可以设矩形的长为x，宽为y，则矩形的周长为2(x+y)，面积为xy。

根据题目要求，我们可以列出如下方程组：2(x+y) = 4*10 - 20xy = 10*10 - 20通过解这个方程组，我们可以找到矩形的长和宽。

巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维摘要:在初中数学教学中，习题解答是重要的组成部分，这不仅是由数学学科能用于解决现实问题的特征决定的，更是为了培养学生的逻辑思维、解题能力。

一题多解指的就是学生在解决数学问题的时候，不再局限一道题目一个解题思路和方法的限制，而是学会从不同的角度寻找切入点，使用多种方法解决问题。

本文从初中数学教学“圆”的一题多解教学入手展开研究，进行有效的一题多解训练，带出多种数学知识与方法，培养学生的发散性思维。

关键词：发散性思维；一题多解；初中数学；圆数学本身具有着一定的抽象性和逻辑性，而且解决问题的方式也是多样的。

教师注重转变教学理念和教学方法，引导学生从多角度和多层面进行问题的分析，学会使用一题多解来找到解决问题的多种方式，对发散学生的思维，培养学生的数学能力至关重要。

一、数学课程中的一题多解数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养学生的灵活逻辑思维能力。

在新课改背景下，为了实现数学教学实效性的有效提升，教师也希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式，在提炼数学知识内容过程中也希望培养学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、结论之间的相互转换来彰显学生对于教学内容、方法的不同理解，培养学生思维的广阔性和慎密性。

在该过程中，教师的教学过程不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，要鼓励学生充分的发挥出想象力，能针对一个题目从多角度和多方向进行观察和分析，多角度和多变并且多层次的应用学习过的知识，得出不同类型解决问题的方式方法，同时也养成任何问题都去多方面思考的习惯。

二、圆的一题多解问题探析在学完圆的有关知识后，很多学生会发现有些习题常出现一题多解的特点.这是由于图形的位置及圆的对称性等特性而出现的情况。

本文将课本中的例、习题的改编题及近几年来全国各地的中考题有关圆中一题多解的问题归纳起来，作为培养学生发散思维的有效路径并展开分析。

初中多解题型思路方法总结宝子们，咱们来唠唠初中那些多解题型哈。

一、几何图形类。

在初中几何里呀，多解情况可不少呢。

就说三角形吧，给你几个条件让你求边长或者角度的时候，可别想当然就一种答案哦。

比如说等腰三角形，已知一个角的度数，让你求另外的角。

这里面就有坑啦，如果给的这个角是锐角，它可能是底角，也可能是顶角呢。

你得把这两种情况都考虑到。

画个图出来，把自己想象成一个小画家，把等腰三角形的不同样子画出来，一种是这个已知角在下面当底角，一种是在上面当顶角，这样就不容易漏解啦。

还有四边形，特别是平行四边形相关的题目。

有时候给你一些边和角的关系，让你求平行四边形的面积或者边长。

那你得想想这个平行四边形是不是特殊的平行四边形呀，比如矩形或者菱形。

如果是在坐标系里的平行四边形，给你三个顶点坐标，求第四个顶点坐标，那可就有三种情况啦。

因为这个平行四边形的四条边都有可能作为平行四边形的“底”，所以要分别计算，就像你在不同的小路上找宝藏一样，每条路都有可能通向正确答案呢。

二、代数方程类。

代数里的多解题型也很调皮哦。

像一元二次方程，ax² + bx + c = 0（a≠0）。

当你用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)的时候，这个“±”就告诉我们有两个解啦。

不过呢，有时候题目里会有一些限制条件，比如说这个方程的解要是正整数之类的。

那你就得在求出两个解之后，再根据这个限制条件筛选一下，就像从一堆苹果里挑出又大又红的一样。

还有分式方程，解完之后一定要检验哦。

为啥呢？因为有可能产生增根。

有时候分式方程会有多个解，但是经过检验之后，可能有些解是不符合要求的，就像有些小朋友想参加一个很严格的比赛，虽然报名了（求出解了），但是经过资格审查（检验），发现不符合参赛条件（是增根），就得淘汰掉啦。

三、函数类。

函数也有很多多解的情况呢。

一次函数y = kx + b，如果给你两个点的坐标，让你求函数表达式，这比较简单。

注重发散联想提升核心素养摘要：提升学生的学科核心素养是数学教学的核心目的，在尊重个体差异的前提下，借助问题在解题教学中实施一题多解，引导学生对问题条件进行发散联想，鼓励学生从不同角度对问题进行探究，培养学生养成解后反思的习惯，是提高学生学习兴趣和渗透数学学科核心素养的重要途径．关键词：一题多解；发散联想；核心素养收稿日期：2020-04-18作者简介：胡伟斌（1986—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教育与解题教学研究．——一道试题的多解思考、结论应用与教学展望胡伟斌解题教学是初中数学教学的重要组成部分.在实际教学中，部分教师常常将解题教学演变成解题训练，课堂旋律也常表现为“做完一题再做一题”的重复.事实上，过多的解题不仅不会促进学生思维能力的发展，反而容易使学生感到疲劳，降低学习兴趣.在解题教学中，教师如果能精选试题并不失时机地引导学生尝试一题多解，通过发散联想，使学生的思维触角伸向不同的方向和更高的层次，这样不仅能加深学生对所学知识的理解，而且能培养学生思维的发散性和灵活性，也有利于对学生创新意识的培养和核心素养的提升.基于此，以一道题目为例，分析解题思路，探寻多样解法，与广大同仁分享笔者的观点.一、题目呈现题目如图1，已知锐角∠AOB 内有一定点P ，过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA ，OB 于点M ，N.现将直线MN 绕着点P 旋转，试问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由.图1初遇此题，还是其作为2013年中考江苏连云港卷压轴题中的一道小题，笔者当时就被其简洁的题设、丰富的内涵所吸引.时至今日，此题又在笔者所在学校九年级培优选拔性考试中出现，鉴于学生对该题的解法不尽相同，笔者心中燃起了对其进行研究的热情.二、解法探析该题是一道以角为载体、直线旋转为背景、探究三角形面积的最值问题.由于△MON 面积的变化规律不易发现，则增加了问题解决的难度.由于题中点P 的位置和∠AOB 的度数是确定的，我们便可以此为突破口，找出一些富有创意的想法，现将这些典型思路呈现如下.思路1：合理猜想，直观比较.当直线旋转到点P 是线段MN 的中点时，S △MON 最小.如图2，作过点P 的另外一条直线EF 分别交OA ，OB 于点E ，F.不妨设PF ＜PE ，过点M 作MG ∥OB 交EF 于点G.不难推出△MGP ≌△NFP.进而可得S 四边形MOFG =S △MON ，而S 四边形MOFG <S △EOF ，故S △MON <S △EOF .图2思路2：巧用面积比，“不等”来传递.如图3，过点P作CP∥OB，DP∥OA，分别交OA，OB于点C，D，则四边形CODP为平行四边形.设S△MCP=S1，S四边形CODP=S，S△PDN=S2.不难证明△MCP∽△PDN，则S1S=MC2PD=CP2DN=S4S2.因为S1+S2≥2S1S2= S.所以S△MON≥2S.当且仅当S1=S2时，等号成立，此时MP=PN.图3思路3：先局部，再整体，三角函数巧“联谊”.如图4，连接OP并延长，过点M作射线OP，OB的垂线，垂足分别为点C，E，过点N作射线OP 的垂线，垂足为点D.设sin∠AOB=a，sin∠AOP=b，sin∠POB=c，OP=k，OM=x，ON=y.不失一般性，MC ND =PM sin∠MPOPN sin()180°-∠NPO=PMPN=xbyc.而12ON∙ME=12OP∙MC+12OP∙ND，即12xay=12kxb+12kyc.则y=xkb xa-kc .因此S△MON=12yxa=kba-2kc x2+2a x.故当x=2kca时，S△MON最小，而此时y=2kb a，则可得PM PN=1.图4思路4：借助坐标系，数形来结合.如图5，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设tan∠AOB=a，点P的坐标为()m，n.当∠MNO=90°时，易求得S△MON=am 22；当∠MNO≠90°时，易知y OM=ax，y MN=kx+n-km.则可得点M，N的坐标分别为Mæèöøtk-a，atk-a，Næèöøtk，0（其中t=km-n）.所以S△MON=am 22æèçöø÷n2-mnat2+2n-ma t+1.故当t=2n()ma-n2n-ma时，S△MON取得最小值2mn-2n2a≤am22，而此时点M的纵坐标为2n，即点P为线段MN的中点.图5三、结论应用事实上，探究题目的价值不止于上述内容，更为难得的是题目中所蕴含的结论也可以作为求解某些问题的“提速之匙”.例如图6，在平面直角坐标系中，直线OH的解析式为y=3x，一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象分别交射线OH和x轴的正半轴于点A，B，则OA∙OB的最小值为.图6解析：此题的原解是先利用两个函数的解析式求得点A，B的坐标，再通过求含k的代数式的最小值解决.方法常规易想，但过渡稍多，运算量较大.倘若运用上述结论，则可直捣黄龙，具体思路如下.易知函数y=kx+3-3k图象经过定点C()3，3.如图7，连接OC，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点D，E.易得OC=23，tan∠COE=则∠COE=30°.由y OH=3x，可知∠AOB=60°，因此OC是∠AOB的平分线.因为S△AOB=12OB∙AD=12OB∙OA sin∠AOB，所以要使OA∙OB最小，只需△AOB的面积最小.而根据题目中的结论，不难推知，当OC为AB边上的中线时，△AOB的面积最小，而此时△AOB恰为等边三角形，且OA=OB=4，故OA∙OB的最小值为16.图7四、教学展望1.多角度探究问题是培养学生发散思维的重要途径《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.而对于一道可以进行一题多解的题目，引导学生尝试从不同的角度对其进行探究，让学生充分经历分析问题的过程并体验解决问题方法的多样性，是体现上述理念的有效方式之一.例如，在上述题目的解题教学中，由于题中点P 的位置和∠AOB的度数确定，笔者便以此为突破口，引导学生就相关条件展开发散联想.启发环节1：由于点P的位置固定，笔者就鼓励学生猜想“当点P位于线段MN的哪一位置时，S△MON最小”，以此启发学生进行合情推理，最后通过演绎推理进行直观比较.启发环节2：由于在直线MN绕点P旋转的过程中，△MON的面积不断变化，故笔者尝试启发学生“动中取静”，提问：虽然△MON的面积是一个变量，但是根据图形你能发现哪些常量？借此引导学生发现过点P分别作OA，OB的平行线，所构成的平行四边形的面积始终不变.从而将问题转化为求余下两个三角形面积和的最小值问题.亦或连接OP，“一分为二”，引导学生借助定线段OP，定角∠MOP和∠NOP，利用相似或正弦定理将问题转化为求二次函数的最值问题.启发环节3：经过上述两个环节后，学生从“形”切入解析上述题目遇到瓶颈，故笔者引导学生思考：借助“形”达不到目的，还可以从哪个方面切入？以此启发学生将“形”转化为“数”，并借助平面直角坐标系求解.通过上述解题思路的引导，让学生体会对于某些问题可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解，逐步让学生养成多角度、多层次、多维度切入并思考问题的习惯，最终内化为学生自身的数学素养.同时，在解题的过程中，教师要鼓励学生提出凸显自己特点的解法，激发学生学习数学的兴趣，培养学生思维的发散性和灵活性，发展其创新意识. 2.学会解后反思是提升学生核心素养的重要方法《标准》中指出，要恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.在平时的解题教学中，教师不仅要引导、传授学生多种解题方法，同时还要让学生学会解后反思，思考不同解法之间的区别和联系，辨别各种方法的优劣.例如，在上述题目的解法探究后，笔者引导学生对四种思路进行了比较，综观上述四种思路，殊途同归，又各具特色.思路1利用三角形全等，借此“移花接木”，欲以“无字证明”，较好地体现了利用几何直观解决问题的优势，妙不可言！思路2则利用三角形相似，找到各图形面积间的比例关系，进而利用基本不等式推得结果，可谓简约直观，精彩巧妙.思路3和思路4，虽然从不同的角度切入，但均通过设元，找到△MON的面积与某一变量之间的函数关系，最后化归为求二次函数的最值问题.这两种思路的实质都是将“形”转化为“数”，欲以细致分析达到微观题目之效，自然直接，但思路3的思维含量较高，过渡稍多，而思路4方法易想，但过程稍显复杂，计算量较大.通过上述的比较讨论，帮助学生更好地理解了问题的本质，深化了其对知识的认识，使其在今后再遇到类似问题时能以最快的速度找到解题突破口，实现对问题的有效解决.而使解题方法优化，探求简洁的解（下转第91页）地使用教材，可以帮助学生把握问题本质，开阔学生的数学思维.从教材例题引入，从“拓展原有命题—延伸条件—知识迁移”三个角度进行了变式，实现了原来问题的指向从单一到多向、从特殊到一般的延伸.在知识迁移的三个变式中，类比“借助线段传递证明三角形全等”的方法，学生比较容易想到图形的内在联系，从而实现线段最小值的求解.在这一基础上，搭建了思维阶梯，为思考后面的变式4和变式5做了准备.这样的变式思考，有助于学生对知识的理解，激发学生思考的兴趣，促使学生的思维向纵深发展.围绕教材例题进行变式，实际上是对知识应用和理解的深度挖掘，通过变式问题的探究可以实现思维拓展，有助于新知的沉淀，最终促进学生的思维生长. 3.探寻深度教学，提升思维品质本节课的教学立足于正方形的性质应用，以研究线段关系为起点，探究例题的多种解法，而后又经历问题变式.通过对教材中这道例题的深度挖掘，用一题多解和一题多变的形式，促进深度学习的开展与深化，让学生的思考与学习逐步深入，完善知识结构，养成良好的思维习惯，提升思维层次，培养学生的数学核心素养.对教材例题进行挖掘、变式、探究，既能抓住数学本质，加深学生的数学理解，又能提高解题能力，还可以实现教材例题教育功能的价值最大化，培养学生的数学思维能力.教材上的例题，具有较好的典型性和示范性.因此，在教学中，教师需要对教材上的例题实施“再创造”，挖掘其内在价值，实现深度教学，促进学生思维的成长.参考文献：［1］陈建国.学习方式变革与“高阶思维”课堂创设策略探索［J］.数学教学（上旬），2018（2）：12-14.［2］苏建强.几何解题教学应突出的三个关注点［J］.中学数学教学参考（中旬），2019（4）：48-51.［3］姜晓翔.一道网格题的解答剖析与教学启示［J］.中学数学教学参考（中旬），2019（5）：41-43.题思路又可以使思维向最优路径收敛，在经验的不断积累中提升学生的数学能力和核心素养，逐步迈入高效学习的快车道.3.尊重个体差异是提升学生核心素养的必要前提在日常教学中，我们所面对的学生基础不同，个性迥异，思考问题的切入角度不尽相同.《标准》中指出，教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每位学生在原有基础上得到发展.例如，在上述题目的解法探究过程中，笔者鼓励学生以自己喜欢的研究方式去寻找解题方法，借此使每位学生都参与到学习中，并让他们通过积极思考，畅所欲言，提出各自解决问题的策略.无论学生的解法优劣，笔者都及时、有效地对其进行肯定和鼓励，发现其中的亮点，以此激发学生的学习热情和创新灵感.同时，通过不同解法的呈现，笔者引导学生就解法进行自我对比，以使不同层次的学生各有所思、各有所得、各有所悟，以此在原有知识方法、思想经验的基础上，进一步得到不同程度的应用改进和积累提高，进而促进学生核心素养的提升.笔者认为，在平时的解题教学前，教师应着重根据班级学生的个体差异精选试题，以激发学生探究的积极性，让每位学生都有机会参与到学习中.在教学过程中，教师应不失时机地借助问题实施一题多解，引导学生对问题条件进行发散联想，鼓励学生从不同角度对问题进行探究.而在一题多解之后，教师应特别注意为学生搭建比较、讨论的平台，以培养学生养成解后反思的习惯.如上的教学，课堂旋律将会变得跌宕起伏，而学生对问题本质的认识理解及核心素养的提升发展不仅有了空间和时间，也有了具体的路径和方法.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］张俊.一道试题的多解思考及其教学展望［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（7）：48-49.（上接第86页）。

一题多解可锻炼学生的发散思维例如：三角形ABC的边BC上有一点D如果∠CAD＝∠DAB = 60º, AC = 3 、 AB = 6,求AD的长度。

解法一：用三角形内角平分线性质定理。

如图1：过D作DH‖BA交AC于H点 A∵∠CAD = ∠DAB 60º 60º H∴CD∕DB = CA∕AB B D C∵CA∕AB = 1∕2 （图1）∴CD∕DB = 1∕2∴CD∕CB = 1∕3∵DH‖BA ∴HD∕AB = CD∕CB = 1∕3∵AB = 6 ∴HD = 2∵∠HAD = ∠ADH = 60º∴△ADH是等边三角形∴AD = HD = 2解法二：用相似三角形。

如图2：过B作DA的平行线交CA于E，EA（图2）则∠ABE =∠BAD = 60º,∠E = ∠DAC = 60º.∴△EBA是等边三角形，BE = AB = 6.由△CAD∽△CEB,得AD∕EB = CA∕CE ,即AD∕6 = 3∕3+6 .∴AD = 2 .解法三：用余弦定理。

如图3：设AD = х , A则 BD =х²-6χ+36 , 6 60º60º 3DC ²=χ²-3х+9 .（图3） ∴BD ∕DC=AB ∕AC=2 ,∴χ²-6χ+36 = 4(χ²-3χ+9).解得 χ1= O(舍)，χ2 ＝ 2 。

∴AD = 2 .解法四：用坐标法。

如图4：建立直角坐标系，则△ABC 的各顶点的坐标为（图4）A(0,0)、B(6,0)、C(-3/2,33/2) .∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BD/DC = 2 = λ ,代入分点坐标公式，得D 点的坐标为χ＝1，у＝3。

用两点间距离公式，得|AD │==+22)3(1 2 .解法五：用面积公式。

由图5，延长CA 到E ，则∠EAB=60º EA6 3B DC （图 5）∵S △ABD+ S △ACD = S △ABC ,∴1/2(6ADsin60º)＋1/2（3ADsin60º）=1/2(3×6sin60º).解得AD ＝2。

一道数学题的解决策略------通过一题多解，一题多变培养学生思维发布时间：2021-09-28T05:30:57.540Z 来源：《中小学教育》2021年15期作者：薛发楷[导读] 九年级的数学复习每年都面临时间紧，任务重的状况，几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径，以便在中考中能取得满意的成绩。

尤其是现在国家又颁布了双减政策之后，提高老师在课堂教学的高效性尤为重要，不能在就题论题，追求做题的数量而陷入题海战术。

薛发楷四川省成都市双流区胜利初级中学 610200九年级的数学复习每年都面临时间紧，任务重的状况，几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径，以便在中考中能取得满意的成绩。

尤其是现在国家又颁布了双减政策之后，提高老师在课堂教学的高效性尤为重要，不能在就题论题，追求做题的数量而陷入题海战术。

不管哪一年级的数学复习，每次考试下来之后常常听到老师在抱怨，这些题都做了千遍万遍了，学生还是做不起，没有达到老师预设的效果，尤其是几何题的复习，收效更是甚微，只要遇到辅助线的添法，无论上课怎么讲，课下刷了多少题，一到考试学生拿到这样的题还是束手无策，于是我就在反思，导致这样的结果到底是什么，我想无非就是老师为了赶进度，在讲解几何题的辅助线的添法时，往往是按照老师预设的方法去引导学生，学生说出了辅助线的添法，但不能举一反三。

我们不得不承认理科学习一定要刷一定数量的题，但知识没有理性化，没有悟出其中的数学方法，学生永远是门外汉，并没有真正掌握理解，如果每做一道题都让学生探索其解题的思想方法，拓展其外延，总结其规律，这样学生的复习就会融会贯通，达到事半功倍的效果。

在现代数学教学中，教师应按照数学思维的规律和方式方法，去启发引导学生思考，让学生的一些重要想法、符合情理的思维过程都展现出来，还学生一个真实而科学的思维过程并究其原因。

注重学生一题多解，一题多变，培养学生思维的深刻性，拓展学生的思路，发展学生的思维，有利于学生创造性的发挥。

题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的均分线CF于F．求证：AE＝EF．【方法一】在AB上取一点G使得AG＝CE，易得△BGE为等腰直角三角形，再证明△AGE≌△ECF（ASA）即可．【方法二】过点E作EG⊥BC交FC的延伸线于点G，证明△AEC≌△FEG（ASA）即可．【方法三】延伸AC至点G使得CG＝CF并连结EG，证明△ECF≌△ECG（SAS），再得∠ECA＝∠G（提示：外角的性质）即可．【方法四】分别延伸AB，FC交于点G，并连结EG，证明△ABE≌△GBE（SAS），再证∠EGC＝∠F（提示：外角的性质）即可．【方法五】延伸AB至点G，使得BG＝BE，并连结EG，CG，证明△ABE≌△CBG （SAS），再证明四边形EGCF为平行四边形即可（两组对边分别平行）．【方法六】连结AC，过点E作EG⊥BC，交AC于点G，证明△AEG≌△FEC（ASA）即可．【方法七】如图，分别过点E，F作EG∥CF，FG∥CD和FH∥BC，EG分别与FG，FH交于点G，H，易得四边形ECFH为平行四边形，再证明△ACE≌△EGF（ASA）即可．【方法八】过点F作FG⊥BC于点G，分别设AB＝a，EC＝x，FG＝CG＝y，则BE＝a－x，依据△ABE∽△EGF得AB：BE＝EG：GF，即a：（a－x）＝（x＋y）：y，得ay＝ax＋ay－x2－xy，得x（a－x－y）＝0，即a＝x＋y，因此AB＝EG，BE＝FG因此AE＝EF．【总结】此题还有很多其余结构协助线的方法来证明，有的是同种种类的不一样构法，异曲同工。

欢迎大家议论！自然，除了一题多解以外，大家也能够考虑把条件和结论对换进行证明，要不试一试看？题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，在正方形外角的均分线CF上取一点F使得AE＝EF．求证：∠AEF＝90°．。

E CD A B 图6F零件是否合格？我们在学完了三角形内与外角后经常会遇到这样一道实际问题：一个零件的形状如图1，零件要求∠A 应等于900，∠B 和∠C 应分别为350和230，检验工人量得∠BDC=1510就判定这个零件不合格，你知道为什么吗？能否运用你学过的有关知识说明不合格的理由？分析：本题是一个凹四边形，并非我们通常学习过的三角形和凸四边形，因此必须通过作适当的辅助线，把它转化为已知熟悉的三角形或凸四边形，这样就可以利用已有的知识和经验来解决这个问题．解法一：如图2，连结BC ，在△ABC 中，根据三角形内角和等于 1800，得（∠CBD+350）+（∠BCD+230）+900=1800， 所以，∠CBD+∠BCD=320，在△BDC 中，∠BCD=1800-（∠CBD+∠BCD ）=1800-320=1480，而量出的∠BCD=1510，所以这个零件是不合格的．解法二：如图3，延长BD 交AC 于E ，因为∠DEC 是△ABE 的外角，所以∠DEC=∠B+∠A=350+900=1250，同理，∠BDC=∠DEC+∠C=1250+230=1480，（以下略）．解法三： 如图4，连结AD ，在△ABD 和△ADC 中， 根据三角形内角和等于1800，得∠ADB=1800-（∠BAD+∠B ），∠ADC=1800-（∠DAC+∠C ），所以∠BDC=3600-∠ADB-∠ADC=3600-[1800-（∠BAD+∠B ）]- [1800-（∠DAC+∠C ）] =（∠DAC+∠BAD ）+∠B+∠C=900+350+230=1480，（以下略）．解法四：如图5，连结AD 并延长，因为∠FDC 是△ADC 的外角，所以∠FDC=∠DAC+∠C ，同理∠BDF=∠BAD+∠B ，则∠BDC=∠FDC+∠BDF=（∠FAC+∠C ）+（BAF+∠B ）=（∠FAC+ BAF ）+∠B+∠C=900+350+230=1480，（以下略）．以上几种解法都是将凹四边形转化为我们熟悉的三角形，在实际的操作中，还可以转化为我们熟悉的其他图形，如图6所示，详解请同学们自己完成。