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“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践随着中国教育制度的不断改革，无论是教育目的还是方式方法，都是为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。
其中高中数学的教育目标，也不再单是让学生学会如何运用数学公式进行计算，除了针对学生对数学的学习兴趣以外，在实际解题方面，要求培养学生拥有更多更灵活的解题思路和方式，以改变统一性的教学模式。
就高中数学解题中“一题多解”与“多题一解”的解题方式加以分析研究。
高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。
学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。
因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。
因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。
一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践（一）价值与实践在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。
因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。
因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。
“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。
同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。
所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。
如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力作者：苏淑妮来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第04期（广东省惠州市惠阳区崇雅中学广东惠州 516000）【摘要】数学课程标准中，要求使学生站在不同角度，探索分析和解决问题的方法，此外，教育心理学也指出：问题解决有两种类型：一是常规性问题解决；二是创造性问题解决。
通过一题多解、一题多变训练，使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法，使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力。
【关键词】一题多解一题多变初中数学发散思维【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-173-01先观察以下4个例题，是初中数学练习过程经常碰到的，具体的解答过程后文有详细的描述，以此四个例题用以论述本文的观点。
例1：相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。
例2：在几何题型中：直角三角形两边长3和4，求第三边。
例3：一道求证题：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形变式4：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.一、一题多解、一题多变帮助学生循坏往复调动所学知识，强化记忆在学习生涯中，知识点是解题的基础和灵魂，千千万万的题目是从知识点出发延伸设计出来问题考察学生的。
由于时间和空间有限，学生不可能做完所有的题目，对于教师也不可能讲解完所有的题目。
而对于数学，单是一道题目中也不可能只有一个知识点的考察，例题1这道题中涉及的知识点有：相切圆、半径、圆心距，最终的问题虽然是求圆心距，但是如果没有正确的对于圆、半径以及相切的概念，那么也就无从下手。
四年级一题多解的数学题
1、水波小学每间教室有3个窗户，每个窗户安装12块玻璃，8间教室一共安装多少块玻璃？
2、白塔村计划修一条288米的水渠。
前两天一共修了48米，照这样的进度，还要几天能修完？
3、虹光宾馆购进100条毛巾，每条4元。
如果用这些钱购买8元一条的毛巾，可以买多少条？
4、生产队在15平方米的土地上共育苗135棵，照这样计算，要育苗1215棵，需要多大面积的土地？
5、有一筐苹果连筐重42千克，卖掉一半苹果后，连筐重22千克，这个筐重多少千克？
6、上衣50元，裤子25元，买4套这样的服装共需要多少元?
7、哥哥有81张邮票，弟弟有75张，哥哥给多少张给弟弟，他们就一样多了。
8、一块正方形木板，钜去一个角，剩余的木板还有几个角？（画出简单示意图）
9、一家公司为开展体育活动，准备去买篮球和排球，已知买4个篮球、3个排球得
用500元，如果买2个篮球和6个排球得用520元，那么一个篮球多少元？一个排球多少元?。
教学研究“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用李凤悦（青海省湟中县多巴中学，青海西宁811601）摘要：“一题多解”与“多题一解”是提高数学教学质量和培养学生解题能力的有效途径和方法，本文对该教学方法的应用原则和模式、以及在新授课和复习课中的应用方式进行了探索。
关键词：一题多解；多题一解；解题应用为了提高高中数学教学的有效性，开展数学教学要以学生发展为中心，通过设计和运用符合学生身心特点的教学方法，就能高效地实现教学目标，完成教学任务。
但是在目前的高中数学教学中，面对高考的压力，许多教师仍然采用“题海战术”的方式进行教学，这样不但无助于提高教学有效性，而且增加了学生的负担，使学生失去对数学的学习兴趣。
而“一题多解”与“多题一解”教学方法的运用，能有效提高教学质量，培养学生的数学解题能力。
一、“一题多解”与“多题一解”教学原则和模式（一）教学原则在高中数学教学中，运用“一题多解”与“多题一解”进行教学应坚持以下原则：一是目标导向原则，以教学目标为牵引来选择和使用该教学方法，将渗透新课改的教学理念，就能较好完成教学目标；二是分层教学原则，运用该教学方式，要能满足不同层次学生的学习需要，使所有学生的学习能得到提高；三是选题典型原则，在教学中要发挥每个习题的作用，就要选择具有典型的题目根据学情开展变式教学；四是主体参与原则，运用该方式进行教学，要注重发挥学生的主体作用，让学生在积极的参与过程中提高解题能力；五是探究学习原则，利用该方式进行变式教学，要有利于学生开展自主、合作探究学习，使学生的学习能力得到增强。
（二）教学模式运用“一题多解”与“多题一解”进行教学，应坚持如下基本模式：“设置例题———引导探究———培养思维———变式拓展———变式训练”这样五个基本环节，这几个环节不是简单的递进关系，它是复合交叉，从学情出发，进行分层教学和因材施教的有效教学模式。
例1在研究y=A sin（ωx+φ）图像的画法时，可启发学生理解该函数图像与y=sin x的图像之间的关系，并把该题目设计成“题组”的形式，开展变式解题研究：如，（1）y=sin（x+1）如何是从y=sin x的图像变换出来的？（2）y=2sin x如何是从y=sin x的图像变换出来的？（3）y=sin2x如何是从y=sin x的图像变换出来的？（4）y=sin（2x-1）如何是从y=sin2x的图像变换出来的？（5）y=2sin（2x-1）如何是从y=sin x的图像变换出来的？通过这样进行“一题多解”就能让学生完整掌握正弦函数的图像变换过程。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践作者：钱万毅来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第02期摘要：经新课标的多次改革，高中数学教学由从前的教师为主导，逐渐演变为教师的作用为指导、引导，而学生为主体的自主多样性课堂，这样的课堂可以帮助学生更加主动地学习，锻炼学生思考、组织、分析、归纳等的能力。
其中“一题多解”和“多题一解”在高中数学教学中有良好的价值，值得实践与推广。
关键词：高中数学；解题方式；思维模式中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2017）02-057-01学生在进入高中学习后，不仅仅面临着学习内容的改变，学习的难度上了一个更高的台阶，还面临着思想的成熟和思维方式的养成。
在这一阶段，学生要学会用发散思维和提纲挈领的方法处理问题，而数学的学习，对培养学生这些能力都非常有益，其中“一题多解”与“多题一解”正是培养这些能力的关键教学实践方法。
在此阶段，注重数学教学的方式方法，传递给学生正确的思考方式，锻炼学生正确的思考能力，对于学生今后学习能力以及生活能力的提高都尤为重要。
一、“一题多解”在数学教学中的价值研究与实践（一）价值在传统的数学教学模式中，通常是老师在讲台上教授数学公式、概念等内容，学生在下面记笔记。
学生和老师都认为掌握了大量的定理、定义，以及数学公式，就能做好题，做对题，就能够在考试中取得好成绩。
在此背景和环境下，培养学生的发散性思维是很必要的。
老师不应该对数学题目只做生硬的讲解，只讲一种“标准答案”，这样只会禁锢学生的思维。
长久下去，学生只会变成“书呆子”。
教师应该多注重教学的有效性，应在课堂上观察学生的状态，倾听学生的需求，倾听学生的提问与回答，倾听学生的讨论。
这样才能使课堂互动起来。
数学的学习，本来就应该是丰富多彩的。
这样一个锻炼逻辑思维的学科，教师在教授的过程中应当充分发挥学科特点，让学生学习了数学，真正能有所用。
一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践毛淑萍发布时间：2022-04-19T14:54:08.494Z 来源：《基础教育课程》2022年1月作者：毛淑萍[导读] 随着新课改的推出，我国教育的质量在随之得到提高。
浙江省诸暨市湄池中学毛淑萍 311814摘要：随着新课改的推出，我国教育的质量在随之得到提高。
高中的教育是培养社会所需人才的主要场所，高中对于学生的学习和发展有着很重要的影响。
在高中教学中，怎样来提升学生学习知识的效率是现阶段最需要重视的问题。
在数学教学中，数学教师可以使用一题多解和多题一解的方法来进行教学，对于这两种方法的价值进行研究，并进行实践。
关键词：一题多解；多题一解；高中数学；价值和实践在高中教学中，对于数学这一学科而言，数学的理论知识比较复杂，而且学生一定要具备较强的思维能力，这样也就导致学生在学习数学知识的时候遇到了困难。
想要提升学生的数学成绩，数学教师就一定要培养学生的思维能力，让学生了解数学的解题方式。
因此，就可以使用一题多解和多题一解的方法来进行教学，从而有效地提升学生的数学成绩和教学的效率，促进学生可以更好的发展。
一、在高中数学中使用一题多解的教学方法（一）一题多解教学方法的价值分析对于高中数学教学而言，在以往的教学方法当中，一般都是数学教师把数学知识和公式等内容灌输给学生，让学生被动的学习数学知识，这样的教学方法是比较枯燥的。
在高中数学教学中，使用一题多解的方法可以让学生在解决数学问题的时候，培养自己的思维能力，对数学的特点进行发掘。
并且还可以丰富数学知识，活跃数学课堂的气氛，让学生对数学知识产生兴趣，主动的学习数学知识，解决数学问题，使学生的思维能力得到提高，让学生的综合能力得到发展。
（二）一题多解教学方法的实践在高中数学教学中，使用一题多解的教学方法时，数学教师一定要根据将要教学的内容来进行设计。
在开始教学前，要选择好数学题目，根据学生的兴趣来进行选择，这样才可以在进行教学的时候，激发学生学习的积极性。
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１０８数学学习与研究㊀２０１９ ２４一题多解多题一解在高中数学教学中的价值一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值Һ韩云凤㊀(云南省昌宁县第一中学ꎬ云南㊀保山㊀６７８１００)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解 与 多题一解 是锻炼学生思维能力的重要途径.高中数学具有一定的抽象性ꎬ对学生的思维能力提出了更高的要求.所以ꎬ高中数学教师应当巧用以上两种方式ꎬ帮助学生灵活运用数学概念㊁数学公式以及数学性质ꎬ不断锤炼学生的思维能力和提升学生的思维水平ꎬ为了达到重建学生思维体系的目的ꎬ从而提高学生的数学学习效率.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ解题能力ꎻ价值意义数学教学的本质是不断锻炼学生的思维ꎬ不断帮助学生解决问题. 一题多解 与 多题一解 这两种解决问题的方法对提高学生的思维品质有重要影响.因此ꎬ在日常数学教学中ꎬ高中数学教师能结合实际教学内容ꎬ有针对性㊁计划性地利用这两种方式锤炼学生的思维水平ꎬ扩大学生解题视野和解决思路ꎬ不断提高学生解决问题的能力.一㊁ 一题多解 的含义概述一题多解的含义是指:在原有问题的基础上ꎬ引导学生从不同的角度和层次思考原题ꎬ拓展学生的问题解决视野.实现思维扩散式发展ꎬ以帮助学生寻找到多种解题途径.允许学生使用不同的方法和方法来分析数学问题ꎬ可以帮助学生加深对数学知识ꎬ定理和自然的理解ꎬ并灵活地应用它们.在一定程度上ꎬ它还提高了学生的思维能力和创新能力.在高中数学课堂上ꎬ应用 一问与多解 的求解方法要求学生从原问题的实际情况出发.对题意进行深入分析ꎬ尝试从多个角度入手解决问题ꎬ通过对比ꎬ最终筛选出最佳解题方案.学生解决 一问与多解 问题的习惯和能力ꎬ可以有效激活学生的思维能力.学生的思维活起来ꎬ也就避免了 钻牛角尖 思维定式 等问题的出现.例如ꎬ在教授 不平等 相关知识点时ꎬ可以使用 一问与多解 教学模式.首先ꎬ要求学生用比较法㊁分析法来解析ꎻ接着ꎬ要求学生从不同角度再次解决问题.此外ꎬ为了提升学生对数学知识的掌握熟练度ꎬ还可以指导学生利用换元法㊁向量法等方式来进行解题.如果问题得到解决ꎬ学生将接受 一个问题和多个解决方案 的培训ꎬ学生将从解决方法演变为各种解决问题的方法.学生也实现了对此类问题的融会贯通ꎬ学生的思维能力㊁解题能力也得到了有效地提升.又如ꎬ在解析 概率 相关例题时ꎬ可以有意识地引导学生从不同角度进行排列计算ꎬ从而让学生掌握多样化求概率的方法.不难看出ꎬ 一个问题和多个解决方案 问题的解决方案并不仅仅意味着数量从 一个 变为 多个 .其本质意义在于锻炼学生的思维能力ꎬ培养学生的创新思维ꎬ帮助学生实现思想的质变.二㊁ 多题一解 的含义概述多题一解 的含义是指:利用一种解题思路去解析不同的题目ꎬ虽然利用到的数学性质㊁数学公式可能不同ꎬ但是ꎬ解题过程和解题思维是相同的. 多题一解 要求学生能够拥有较为完整的知识体系ꎬ能够在日常解题过程中ꎬ不断归纳和总结相应的解题方式ꎬ从而提高学生自己的解题水平.在高中数学问题解决中运用 多问题ꎬ一解 教学模式ꎬ引导学生运用一种方法探索数学的内在规律和本质标志.通过掌握问题解决方法之间的联系ꎬ可以发现数学问题的共同特征ꎬ并总结和总结解决相同类型问题的常用方法.从而提高学生的解题效率.多题一解 教学模式能够使学生的思维更加缜密ꎬ强化了学生对相关概念㊁性质㊁定理的理解以及运用ꎬ这也在一定程度上打破了 题海战术 的弊端ꎬ起到了 做题精炼 的效果.例如ꎬ在教授 寻找功能价值 等数学时ꎬ可以引导学生通过 数字组合 来解决问题.以函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２的值为例ꎬ首先提醒学生绘制函数图像ꎬ让学生使用图像识别函数的形式.然后让学生把它变成找到斜率的问题(假设移动点Ｐ(ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ)和固定点Ａ(２ꎬ０)ꎬ迅速计算出ＰＡ的斜率值ꎬ即[－ꎬ０])ꎻ又如ꎬ在教学三角函数求值相关问题时ꎬ也可以采用数形结合的方法进行解析.总之ꎬ数学教师应该经常向学生提出一些类似的问题ꎬ引导学生掌握 多问题ꎬ一个解决 的常见问题解决思路.这样学生可以继续反思和总结ꎬ学会推理ꎬ触摸类比ꎬ然后提高学生解决数学问题的能力.三ꎬ 多题一解 和 一题多解 的数学价值(一)帮助学生构建系统的知识体系无论是 一问多解 ꎬ还是 多问题一解 ꎬ其教学价值在于培养学生的思维能力ꎬ提高学生的思维品质.两者解题方式的顺利实施ꎬ离不开学生的主动思考.学生在利用两种方式解题的时候ꎬ也是学生温习旧知的重要途径ꎬ通过对旧概念㊁旧定义和旧公式的复习ꎬ学生可以更清楚地了解知识的相关性ꎬ并帮助学生建立系统的知识体系.自然也就提高了学生的学习效率.(二)帮助学生提高解题能力利用 一题多解 和 多题一解 两种方法解决问题ꎬ可以有效地消除 题海战术 引起的枯燥无聊的感觉.真正实现了量变向质变的有效过渡.学生解决问题的思维更加灵活多变ꎬ有效地避免了学生 深陷 的困境ꎻ学生解决问题的思路更加广泛ꎬ各种问题都清晰可见ꎬ有效地提高了学生解决问题的效率.(三)提升学生的创新思维通过这两种解题方式不断锤炼学生的思维品质ꎬ带领学生积极思考㊁温故知新ꎬ最大化地激发了学生的思维潜能.学生不仅能在有限时间内找到快速解题的方式ꎬ也在一定程度最大化激发了学生的潜能ꎬ提升了学生的创新能力ꎬ发展了学生的创新思维能力.以上只是作者的粗略见解ꎬ旨在抛出砖块吸引玉石ꎬ希望广大数学教育家批评和纠正.ʌ参考文献ɔ[１]朱如昌.例析一题多解㊀一题多变㊀多题一解[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２００５(１):４７－４９.[２]申祝平.一题多解㊁多题一解㊁一解多写与多解一写[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９５(５):１３－１５.。
浅析“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的运用【摘要】在高中数学教学中,“一题多变”与“一题多解”是提高高中数学教学实效性的重要方多变”与“一题多解”的关系,论述"一题多变"与"一题多解"在高中数学教式，更是培养学生核心思维能力的有效途径。
本文将浅析高中数学教学中的“一题学中的重要意义,并探索“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的实践策略.【关键词】“一题多变”与“一题多解”一、一题多变一题多变在数学教育研究中具有突出地位,变式题的宗旨在于通过"变中发现不变"来学习抽象化和"以不变应万变"来学习公理化。
使得方法理解得以深化和广化。
一题多变可以很好地培养学生的思维与解题能力，起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用。
但在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题。
采用一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入佳境，从而使学生开拓知识视野，增强获取知识的能力，发展创新思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。
解决问题的过程实际上就是寻求认识问题的正确途径，找到解决问题的要害，这是培养学生提高学习能力的根本所在，下面我我们用一个例题来看一题多变力争达到抛砖引玉的效果。
【思路引导】（1）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解.（2）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（3）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（4）等式两边分别除以得到新的数列的递推关系：，然后利用（1）的方法求解.1.等式两边同时取常用对数得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列求解.2.等式两边取倒数得到新的数列递推关系：，然后利用（1）的方法求解.当然这个题还可以根据学生的实际情况进行更多的变式，本文不在赘述。
一题多解之利用基本不等式求最值用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键。
例、已知正数a,b 满足311=+b a ，求b a +的取值范围。
思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用311=+b a 将ba +中的b 用a 表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对311=+b a 变形，获得b a +与ab 的关系，然后利用解不等式消去ab 建立b a +的不等式求解.解析：方法一：由311=+b a 得ab b a 3=+，13-=∴a a b ，由于a>0,b>0，可得31>a ，于是 )31(913113-++=-+=+a a a a a b a 3432)31(91)31(232)31(9131=+-⨯-≥+-+-=a a a a ， 当)31(9131-=-a a ，即32=a 时取等号，b a +∴的取值范围是),34[+∞令t ta a a g +-=33)(2，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⨯--≥⨯-=∆+-=0)31(31323034)3(33)(22g t t t t ta a a g解得34≥t ， 所以b a +的取值范围是),34[+∞ 运用基本不等式求最值的技巧： 1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后， 在运用基本不等式。
2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常 数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本 不等式求最值. 针对性练习：1.已知a ＞0,b ＞0,131,a b+=则a+2b 的最小值为( ) (A)726+(B)23 (C)723+ (D)14 解析：选A.()133a 2b a 2b a 2b ()16726,a b b a+=++=+++≥+Q ∴a+2b 的最小值为72 6.+ 2.若-4＜x ＜1，则2x 2x 2f (x)2x 2-+=-( ) (A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-13.已知0＜x ＜1，则4y lgx lgx=+的最大值为_________. 解析：∵0＜x ＜1，∴lgx ＜0，-lgx ＞0. ()4y lgx ()244lgx∴-=-+-≥=，即y ≤-4. 当且仅当41lgx x lgx 100-=-=，即时等号成立，故y max =-4. 4.已知函数2x 2y (x 2).x x 1+=-++＞ (1)求1y 的取值范围； (2)当x 为何值时，y 取何最大值？5.已知a>0,b>0，a+b=2,则14a b+的最小值是( )(A)72(B)4 (C)92(D)5解析：选C.由已知可得14a b1412a b()2a b2a b2b2a++=⋅+=+++≥52a b922b2a2+⋅=，当且仅当24a b33==，时取等号，即14a b+的最小值是92.6.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+1ab的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)174(D)227.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( )(A)5 (B)7 (C)8 (D)9解析：选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，因此m2,n1,(m2)(2n2)8.>⎧⎪>⎨⎪--=⎩于是4n1.m2=+-所以444m n m1m232(m2)37.m2m2m2+=++=-++≥-=---g当且仅当4m2,m2-=-即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.。
小学数学一题多解与一题多变B摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。
在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散,培养发散思维能力的目的。
关键词：数学,一题多解，一题多变，创造性，创设思维思维的广阔性是发散思维的又一特征。
思维的狭窄性表现在只知其一,不知其二，稍有变化,就不知所云.反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。
可通过讨论，启迪学生的思维,开拓解题思路,在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。
教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。
要让学生通过训练不断探索解题的捷径,使思维的广阔性得到不断发展.要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境.一、一题多解，有利于加强学生的思维训练一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。
就是启发和引导学生从不同角度、不同思路,运用不同的方法和不同的运算过程,解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
心理学研究表明,在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法.在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践一、概述高中数学作为培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力的重要学科，其教学方法的创新与实践一直是教育领域关注的重点。
“一题多解”与“多题一解”这两种教学方法，以其独特的优势，在高中数学教学中发挥着重要作用。
“一题多解”是指针对同一数学问题，从不同角度、不同知识点出发，寻找多种解题思路和方法。
这种方法能够帮助学生拓宽思维视野，培养思维的灵活性和创新性。
在“一题多解”的教学过程中，教师可以引导学生对同一问题进行深入探讨，通过比较不同解法的优劣，帮助学生掌握数学问题的本质和规律。
“多题一解”则是指通过归纳总结不同数学问题的共性和规律，找到一种通用的解题方法和思路。
这种方法能够帮助学生建立数学知识的体系化结构，提高解题效率。
在“多题一解”的教学过程中，教师可以引导学生发现不同问题之间的联系和相似之处，通过总结规律，让学生掌握一种更加高效的解题方法。
在高中数学教学中，将“一题多解”与“多题一解”相结合，可以充分发挥这两种教学方法的优势，提高教学效果。
通过“一题多解”培养学生的创新思维和灵活思维，通过“多题一解”提高学生的解题效率和知识体系化能力。
同时，这两种方法也能够激发学生的学习兴趣和积极性，促进学生的全面发展。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中具有重要的价值。
通过深入研究和实践这两种教学方法，可以推动高中数学教学的创新与发展，提高教育质量，培养更多具有创新精神和实践能力的人才。
1. 高中数学教学的挑战与机遇高中数学教学面临着诸多挑战与机遇。
一方面，随着课程改革的深入推进，高中数学的教学内容和教学方法都发生了显著的变化，对教师的教学能力和专业素养提出了更高的要求。
另一方面，随着信息技术的快速发展，高中数学教学的手段和方式也日趋多样化，为教学创新提供了广阔的空间。
在挑战方面，高中数学的知识点繁多且抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用创新的教育价值观认为，教学的根本目的不是教会解答、掌握结论，而是在探究和解决问题的过程中锻炼思维，发展能力。
在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养学生思维的发散性和创造性。
下面我将结合人教版三年级数学教材浅析如下：一题多解所谓“一题多解”，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路、不同的方位，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。
教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
如：“你们的折法相同吗？为什么涂色部分都是这张纸的四分之一？”通过一题多解，让学生异中求同，从而揭示出分数的本质。
一、鼓励学生进行一题多解的实际练习。
一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
二、口述不同的解题思路和解题方法。
口述不同的解题思路和解题方法，就是只要求学生说出不同的解题思路和解题方法，不用具体解答，让学生动脑动口。
三、引导学生自己找出最简便的解法。
在学生求得多种解题方法之后，让他们自己去分析比较，可以相互讨论，也允许相互争论，让学生在此过程中，找出最简便的解题方法。
一题多解训练，还应当注意以下几点：(1)目的要明确。
(2)要注意把握上这种课的时机。
(3)选题要得当，方法要灵活。
一题多变所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，使学生学会用联想旧知，联想同类，改变事情，改变问题中的条件或问题等等变题方法，从中悟出解题规律、方法。
通过“一题多变”可以激发学生的学习兴趣，有效地避免题海战术，巩固数学知识，可培养学生独立思考，举一反三的学习态度，有利于扩大学生的视野，可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
课程篇在初中数学教学中引入“一题多解”这一教学策略是很有必要的，其对丰富教学方法，培养学生的发散式思维和多思路解题技巧能起到积极的作用，因此，在初中阶段，数学教师应当对此教学策略高度重视，以下是笔者结合“一题多解”教学策略浅谈的几点数学教学中常用的解题技巧，望对各位同仁有所帮助。
一、运用基础方程法解应用题的“一题多解”运用设未知数x 配置方程法求解应用题的思想，在初中数学教学实践中多为常见，并且这种方程法解题思想在初中阶段也是重要的数学教学思想，如果能做到活学活用，则可以得到多种解题思路。
例如，在解决三角形问题中，已知某一三角形的周长为80m ，并且知道这三条边的比值为：3∶4∶5，求解此三角形的三边之长分别为多少？解法一：首先，对题目进行分析，要想求出三条边的边长，必须设一个共同的未知数x ，那么，这三条边就相当于待定了，分别为3x ∶4x ∶5x ，除此之外知道三边总共的周长为80m ，如此，可得出待解方程式：3x +4x +5x =80，求解得到：x =203，如此，可知三边长分别为：20，803，1003。
解法二：可以设两个未知量代表三条边长中的其中两条，那么就可以得到：x ，y ，80-x-y 。
则根据题意可以列出二元一次方程组为x ∶y =3∶4（1）x ∶（80-x-y ）=3∶5（2）{通过求解可得三边长为：20，803，1003。
解法三：设立三个未知量，即三条边分别为：x ，y ，z ，则根据题意可得三元一次方程组，具体为：x+y+z =80（1）x ∶y ∶z=3∶4∶5（2）{，如此通过求解亦可得到：20，803，1003。
二、做辅助线分析图形法之“一题多解”在图上做相应的辅助线帮助学生理解题意的解题方法是中学数学教学中亦为常用的方法，通过结合图形来分析数据，将题目中抽象的数量关系转化为恰当的几何图形，继而从形象的图形中探索数量之间存在的对应关系，解决复杂的数学问题。
例如，如图1，学校教学楼前要新盖一栋实验教学用房，该教学楼的底楼部分是高6米的教师办公楼房，办公楼房以上是学生教室，将要新盖的实验教学用房在学校教学楼前10米处并且计划高度为20米，那么当阳光与地平线的夹角为30°时，在教室上课的学生是否会采光不足？并说明原因。
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用作者：闫萧寒来源：《求知导刊》2014年第12期摘要：数学知识内容丰富、形式多变，对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义、推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
“一题多解”与“多题一解”的解题策略能够提升学生的数学问题解答能力，对学生数学水平的提升具有重要的影响。
下面就几道典型的一题多解与多题一解问题在教学中的运用谈谈我个人的几点看法，借以使学子们初步认识一题多解与多题一解问题，领略一题多解与多题一解问题的魅力，激发起学习兴趣，活化其解题思想。
关键词：“一题多解”；“多题一解”；中学数学教学；数学教学质量意大利著名的数学家、物理学家伽利略·伽利雷曾经说过：“数学是描述世界的语言。
”数学符号和数学公式精确、简洁而优美，为我们的生活带来了无限的便利，指引我们更好地认识世界、感受世界。
“一题多解”与“多题一解”的思想能够有效满足新课程改革背景下，对中学数学教学的要求，改善传统教学方式中的缺点和不足之处，使学生能够形成一定的数学思维，为学生未来的数学知识学习和综合能力的发展奠定良好的基础。
一、“4多”原则对数学教学的作用“4多”原则主要指的是多看、多想、多做和多问，“4多”原则能够直接影响中学数学教学的质量和效果。
1.多看数学知识离不开多看、多学，学生需要多看书，做好课前预习、课后复习才能将课本中的数学知识和数学难点进行深刻的理解。
多看对于中学数学教学具有积极的影响，学生对课堂教学内容产生了一定的了解，就会使课堂教学活动变得更加轻松、愉快，使中学数学教学达到事半功倍的效果[1]。
2.多想数学教学不仅在于指导学生学习数学知识点、提升学生的问题解答能力和数学知识灵活运用能力，更在于使学生通过数学知识的学习、应用，形成一定的数学逻辑思维能力和数学独立思考能力[2]。
3.多做俗话说：“熟能生巧。
”多做、多练能够增加学生对数学知识的深刻理解，巩固学生的数学知识和提升学生对数学知识灵活运用的能力，融会贯通，把不同内容的数学知识点关联起来，帮助学生建立一个完整的知识结构和框架体系[3]。
数学解题之一题多解与多题一解浅谈一题多解培养学生发散思维摘要本文意在明确一题多解中学生思维能力的发展，从而使教师在数学解题教学过程屮更加重视解题方法对学生思维和发散思维的培养。
本文通过两道典型例题对一题多解型的讲解，通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。
通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；对一题多解灵活运用，对培养学生发散思维，启发学生独立思考具有较好的指导意义。
关键词：一题多解发散思维思维能力一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学方法可以达到异曲同工之效，我们称之为“一题多解”。
其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的思维方式去解答同一个问题。
一题多解能快速整合所学知识，重要的是培养学生细致的观察力、丰富的联想力和独立思考、解决问题的能力。
(-)提高分析、解决问题的能力•题多解，能够使学生开阔思维，把学过的知识和方法融合在•起，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生独立思考的能力。
例1.甲乙两地相距450千米。
客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行多少千米？解法一：用路程问题的解法。
根据速度二路程÷时间可以求出客车的速度为450÷10二45（千米/小时），货车的速度为450÷15二30 （千米/小时）。
（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）二6 （小时）（2）相遇时客车行了多少千米：45X6二270（千米）（3）相遇时货车行了多少千米：30X6二180（千米）解法二：用比例分配的方法。
两车所需的时间之比是：10:15,根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。
（1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3所以两车速度之比是：3:2（2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:23（3）相遇时客车行了多少千米：450×（- ）=270（千米）52（4）相遇时货车行了多少千米:450×（- ）=180（千米）^ 5答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。
解法三：工程问题的方法解决客车行完全程要10小时，每小时行全程的1/10货车行完全程需15小时，每小时行全程的1/15相遇时间为:1÷（1/10 + 1/15） =6 （小时）6小时客车行了全程的：6X1/10=3/5所以客车行了： 450X3/5 = 270 （千米）所以货车行了：450-270 = 180 （千米）...？解法一：求出两车相遇时间，进而求出相遇时两车各自的行驶路程，这种方法是处理类似行问题最为i般的方法，也是最为普遍的解决方法，是解决更为复杂的工程问题的基础。
而解法二是通过对公式路程二速度X时间的灵活运用，只需求出两车的速度之比，进而运用比例对两车各自的行程进行分配，可以说是对公式的升华。
解法三用工程问题来解决，直接把路程看做1,通过效率来解决问题。
（-）提高多角度分析能力一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。
例2.6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？解法二：甲在尾粧二120甲不在未（自然也不在头）二4x4x24二384共：A； + C：C：A：二120+384二504解法二：分析：设6人为ABCDEF甲不在A处，如甲占F位，则乙可在ABCDE, 5处任占一位，其它4人可在余下的4处各占一位，即：5×4×3×2×l=120;如甲在BCDE, 4处任占一位，则乙只能在BCDE除去一位或A共4处任占一位，其它4人可在余下的4处各占一位，即：4×4×4×3×2× 1 二384；所以一共有120+384二504 （种）站法。
5×4×3×2×l+4×4×4×3×2× 1=504答：共有504种站法。
解法三：(1)甲站排尾，乙有5种站法(2)甲站屮间的4个空有4种站法，乙除了甲站的空和排尾还有的空还有4种站法,共4×4=16种(3)甲乙共有5+16=21种站法(4)剩余4人共有4×3×2×1=24种站法(5)所以共有21x24二504种站法解法四：所有可能的排法有：A： =6!=720再考虑特殊情况.甲在排头，乙在排尾的可能减去即可.(1)甲在排头，乙不在排尾有4x∕√二4x4!二96(2)甲不在排头，乙在排尾有4×二4x4!二96(3)甲在排头，乙在排尾有二4!二24所以甲不能站排头，乙不能站排尾排法有720-96-96-24=5046!-5!-5!+4!=504解法五：若甲站排尾,则剩下的五人可以全排列，即5!二120.甲还可排在第二.三.四.五.5位,乙可排在第一.二.三.四.五。
5位，剩下四人全排列4!,即4×5×4!=480,所以答案为120+480=600A二｛6个人站一排的站法｝, B二｛甲站排头｝, C二｛乙站排尾｝D二｛甲不能站排头，乙不能站排尾｝,则A有6!, B, C各有5!,BnC共有4!D=A-B-C+β∩C, D 共有6!-5!-5!+4!二504。
五种解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行确定，先确定甲不站排头，再确定乙不站排尾，最后再确定其他人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对第一种解法的抽彖；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的三类站法，进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具体要求，求出站法总数，然后再依据要求一一进行排除；解法五是用集合的思想入手，找出题目屮的限制条件，从而得出结论。
（三）培养发散思维及联想能力通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通。
例3.1 2- 1已知;a>O,b>O,a〃，求"的最小值。
解法一：利用不等关系1+Z>2.,∑•• « > 0√? > O, a b ∖ab•，1 _2 _ 1∙∙∙"≥8（当且仅当：丁㊁,即Q = 2,b = 4时取“二”号）,.∙. ab的最小值是8o解法二：平方法ι+a=Ia >0,b> 0, ab ,1 2 , 1 4 4 C I 4 4 8(——I——)■ = 1 - 1 ≥ 2 ,------ 1 - =——.∙.1 二G b a2b2ab ~ ∖a1b1Ub ab(当且仅当1 _2_ 1 U = b = 2,即α = 2,b = 4 时取“二”号)O••• ”的最小值是8。
解法三：利用三角怛等关系换元cos2α∙sin2α sin22α(当且仅当- =Z r 二2 ,即a=2, b二4a b时取“二”号）。
G〃的最小值是8o解法四：均值换元：.ab l-4t2≥8j ( Vl-4r2∈(0, 1],当I-"二1,即r = 0, = 2C = 4 时，取“二”号)解法五：导数求最值G-I O2a22a（a - 2）令？（√∕）二荷（">l ・・・？" W）二（-L。
令？" W）二0,解得—= COS a1 2—I——• ∙ G>0">0, a b• ∙ α>O,b>O, a b• ∙ α>0">0, a ba = 2> I o当"（1,2）时，？" W）〈0,此时？（“）是减函数，当心（2, +8）时，？" W）〉0,此时？（"）是增函数。
2×21.・・当“>1时，/⑺射、伯二/S）极小位二？（2）二2T二8。
（此时a = 2、b = 4 ）五种解法，第一种利用不等关系求解，是解决类似问题最先想到的方法，也是最直接的解法；第二种的平方法，目的是通过对已知条件进行操作使Z出现所求的量，进而求解；第三、第四种都属于换元法，通过三角换元和均值换元，将所求的量变形为一元关系，即加或t的关系，进而求解；最后一种解法是通过导数求出函数单调性，进而求出最值，得出结果。
从知识面的角度来讲，这一道题目的五种解法，至少包含了五方面的知识，这不仅丰富了解法，同时也使一些知识点得到了充分的展示，更体现了数学知识的前后连贯性。
这种多知识点的解法，让学生真正体会到了数学的魅力，更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意，对培养学生的发散思维能力起到了积极的影响作用。
参考文献：王平,组织一题多解,培养学生发散思维,雁北十分学院学报,2001年第17卷第6期.2、贾凤梅,屮学数学教学要注重培养学生的数学思维能力，教育理论与实践，2009年第29卷.3、杨玉东,徐文彬,数学解题中划归过程的心理学分析,浙江师范大学学报,2003年第26卷第3期.4、张宏,从一道试题的多解性看思维的探究策略，屮学数学研究,2004年第2期.5、董雪君,一题多解与发散性思维,滨州师专学报，1993年第9卷第2, 4期.6、张水芳,运用一题多解教学法发展学生创造性思维能力, 宜春学院学报，2008年第30卷.7、彭家寅,卿利,深入数学本质培养发散思维，内江师范学院学报,2002年第17卷第2期.。
