初中数学几何：一题多解

2020年第6期故学敉学6-19一道中考尺规作图题的一题多解及探究孙喜军(山东省武城县第二中学，山东德州253300)1试题及出处本题来源于山东省德州市2019年初中学 业水平考试数学试题第22题.例题如图1，乙BPZ ) = 120。

，点冬C 分别在射线、PZ )上，乙/M C = 30。

，= 2万.BAP图1(1) 用尺规在图中作一段劣弧，使得它在4、C 两点分别与射线P B 和PZ >相切.要求：写出作法，并保留作图痕迹；(2) 根据（1)的作法,结合已有条件，请写 出已知和求证，并证明；(3) 求所得的劣弧与线段P /l 、P C 围成的 封闭图形的面积.解（参考答案）：（1)如图2,过点4、C 分 别作P B 、的垂线，它们相交于点0，然后以点0为圆心以的长为半径作即可•(2)已知：如图2, 尸D = 120。

，点4、C分别在射线P B 、上，乙/M C = 30。

，/IC =2万，过点4、C 分别作P S 、P D 的垂线，它们相 交于点〇,以似为半径作〇〇.求证：洲、P C 为〇0的切线.证明：因为乙= 120。

，乙= 30。

，所以乙P C 4 = 30。

，P/l =P C .连结O P ，因为丄P /l ，O C 丄P C ,所以 乙P /10 =乙P C O = 90。

，又因为O P = 0/5,所以 R t A P ^O ^ R t A P C O , tX 〇A = 〇C , P B ^P C 为O 0的切线•(3)因为乙(X 4C = ZOC/l = 90。

- 30。

= 60。

,所以A 04C 为等边三角形，因而04=/lC =2W ,乙40C = 60。

.又因为O P 平分乙4P C ，所/T 以乙/IPO = 60。

，A P = x 2# = 2.因此，劣弧与线段/M 、P C 围成的封闭图形的面积= ^r a a iJ B A P c o - ^^a 〇c = 2x — x 273x 2-60 • -tt • (2V 3)2360=473 - 2tt .2试题评价本题是一道综合性比较强的题目，涉及到 的考点内容主要有尺规作图、直线和圆的位置 关系、切线的判定与性质、扇形面积等.直尺、 圆规是学生作图常用的基本工具，尺规作图也 是基本技能操作之一，但更高的要求是要理解 操作的依据,会利用依据进行严谨地证明.本 题考查的就是技能中所蕴含的数学原理，并对 原理进行应用.由于本题第一小题的作法会有 不同，第二小题的已知条件也会不同，因此证明过程也会不同.本题还注重了对基础知识和 基本活动经验的考查.对于基础知识，主要考 查对知识的理解和应用，又考查了知识的生成 过程以及知识之间的内在联系.对于基本活动 经验，考查的是在阅读、观察、实验、计算、推理 验证等活动过程中所积累的学习与应用基础 知识、基本技能、基本思想方法的经验和思维6-20故爹故学2020年第6期的经验，另外本题还注重了解法的多样性和几 种不同解法效率的差异性.3试题多解、优解挖掘本题第一小题考查了尺规作图和复杂作 图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行 的作图，一般结合几何图形的性质和基本作图 方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成几个基本作图，逐步操作.尺规作图题目近年来在各地中考中呈现 出越来越热的考查趋势,人教版初中数学教材 上涉及到的基本尺规作图有五种：①作一条线 段等于已知线段;②作已知角的平分线;③作 线段的垂直平分线;④作一个角等于已知角；⑤过一点（点在直线上或直线外）作已知直线 的垂线.本题是一道开放性比较强的题目，作 图方法不唯一，综合起来主要用到以下几条线 中的两条或多条：①过点4作f l/5的垂线；②过点C作D P的垂线;③作线段/1C的垂直平 分线;④作的平分线.本题最简洁、直观的作法是：分别以点4、C为圆心，以线段4C的长为半径画弧,两弧在 乙BPZ)的内部相交于点0;然后以点0为圆 心，以ft4的长为半径画劣弧即为所求.但是这种作法相对比较隐蔽，不容易归纳发现. 在实际教学中我们可以做这样的试探性教学，先让学生在练习本上画出符合条件的〇〇,然 后由〇〇反过来找它满足的条件，进而归纳总 结出怎么作图才能满足这个条件.首先，由上 图可知〇0切S P于点〇0切£»P于点C，因为04丄Pfi，O C丄PZ)，可通过点4作仙的垂线，过点C作的垂线交于点0,然后以0 为圆心，为半径画劣弧，这是最容易归纳得 出的作法，即参考答案的作法.进一步探究，因为A M C为等腰三角形，乙= 30°, ZfiPD = 120。

九年级数学一题多解在九年级数学的学习中，我们经常遇到一些问题需要运用多种方法来解决。

这种一题多解的现象不仅是对我们思维能力的一种挑战，也是提高我们解决问题能力的重要途径。

下面就让我们一起探讨一下九年级数学一题多解的策略和方法。

我们需要明确什么是“一题多解”。

简单来说，一题多解就是对同一道题目，我们可以通过不同的方法进行解答，从而得到相同的结果。

这种解题方式不仅锻炼了我们的思维灵活性，也提高了我们解决问题的能力。

例如，我们在学习二次函数的时候，经常会遇到这样的问题：给定一个二次函数y=ax²+bx+c，要求我们求出它的顶点坐标。

对于这样的问题，我们可以采用多种方法进行解决。

方法一：利用配方法。

通过对二次函数进行配方，我们可以得到它的顶点坐标。

这种方法虽然比较繁琐，但是对于掌握二次函数的性质非常有帮助。

方法二：利用函数图像。

我们可以画出二次函数的图像，然后观察它的顶点位置。

这种方法直观易懂，但是需要一定的几何思维能力。

方法三：利用公式法。

对于一些简单的二次函数，我们可以直接利用顶点公式x=-b/2a，y=(4ac-b²)/4a来计算顶点坐标。

这种方法适用于那些不需要配方法和图像法的简单问题。

通过以上三种方法的比较，我们可以发现每种方法都有其优缺点。

在解题时，我们需要根据问题的具体情况选择合适的方法。

我们也需要不断练习和总结，才能更好地掌握一题多解的技巧。

九年级数学一题多解是一种非常重要的解题策略。

它不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的思维能力和解决问题的能力。

在以后的学习中，我们需要更加注重这种解题方式的训练和应用。

幂级数求和问题在考研数学中具有重要地位，是数项级数求和的一个重要考点。

幂级数是一类常见的函数，具有广泛的应用。

掌握幂级数求和的方法不仅可以帮助考生解决考研数学中的相关问题，还可以为后续的实际应用打下基础。

本文将介绍四种解决幂级数求和问题的方法，帮助考生灵活应对考研数学中的相关问题。

初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。

在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。

4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。

多视角下初中几何图形的一题多解作者：王洪来源：《考试周刊》2013年第104期随着时代教育理念的更新和新课改的不断深入，近年来各地中考数学试题不断推出一批批探索性、开放性和应用性试题，面对新的教育形势，老师们会思索以下问题：初中数学教学中要如何灵活转变教学思路？如何激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等.我在长期的实际教学过程中，对这些问题进行过深思和探索，其中较突出的是引导学生进行一题多变的训练.我以初中几何图形的一题多变分析其引导过程与方法.在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论做进一步探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质.如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，则必将使人受益匪浅.一题多变，有利于深化知识，实现数学中各知识的内涵和外延，从而培养学生的发散性和创造性思维；多解也可归一，有利于知识点的提炼分析，从多解中择优，培养学生的聚合思维.下面我结合三角形、梯形等问题看一题多解.一、三角形一题多解例1.如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D，求证：FD=DE.证法一：过E点作EM∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B，∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF，从而EM=BF，∠BFD=∠DEM，则△DBF≌△DME，故FD=DE.证法二：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2=∠B所以BF=FM，又∠4=∠3∠5=∠E，所以△DMF≌△DCE，故FD=DE.二、梯形一题多解例2.如图：已知梯形ABCD，AD∥BC，以AB、BD为边，作平行四边形ABDE，AD的延长线交CE于F，求证：EF=FC.证法一：连接BE交AD于O.∵平行四边形ABDE，∴OB=OE.∵AD∥BC，即OF∥BC中位线，∴EF=CF.证法二∵AD∥BC，∴将AB平移到DC由平行四边形ABDE，∴AB∥=DE.∵DG∥=AB，∴DG=ED，∵AD∥BC，即DF∥BC∴EF=FC.证法三：AD∥BC，即AF∥BC.BD平移到CG的位置，并交AF延长线于G.我们通过条件可证△AEF≌△GCF，∴FE=FC.三、圆的一题多解例3.已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程）思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论：1.OA=OD；2.BE=CE；3.AB=AC；4.BD=CD.思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论：1.∠AEC=∠AEB=∠BED=∠CED=∠ABD=∠ACD=90°；2.∠ABC=∠ACB；3.∠DBC=∠DCB；4.∠BAD=∠CAD；5.∠BDA=∠CDA；6.∠BAD=∠BCD；7.∠CBD=∠CAD；8.∠ABC=∠ADC；9.∠ACB=∠ADB.思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论：1.弧AB=弧AC；2.弧BD=弧CD；3.弧ABD=弧ACD；4.弧ABC=弧ACB；5.弧BAD=弧DAC.思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论：1.△AEB≌△AEC；2.△BED≌△CED；3.△ABD≌△ACD.思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论：△ABE∽△ACE∽△CDE∽△BDE∽△ABD∽△ACD，即图中所有的直角三角形两两相似.思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论：1.AEDE=EBEC2.BE■=EAED=EC■3.AB■=AEAD=AC■4.BD■=DEDA=DC■思路与解法七：从其他角度思考，还可得如下结论：1.AE■+BE■=AB■=AC■=AE■+EC■■.BE■+ED■=BD■=CD■=CE■+DE■3.∠BAC+∠BDC=180°4.∠BAE+∠ABE=90°5.S■=■AD×BC6.S■=S■由以上题目可以看出，虽然知识是静态的、题目是固定的，但是思维是活动的；它的变化却是无穷的.像以上一题多解与一题多变的题例，是举不胜举、美不胜收的.老师可以通过多视角对课本的例、习题进行变式，如：改变数据或图形、改变条件、改变结论；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放条件；引申或结论拓展等.在教学过程中，如果有意识地深入去观察、分析、解决与反思，那么必能达到以一当十、以少胜多的效果，既增大课堂的容量，又培养学生各方面的技能，特别是自主探索和创新思维的能力.通过一题多变的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面融会贯通，既加深对知识的理解，又认识和体会数学是一个整体，更提高学习效率，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习.我将不断追求新知，完善自己，继续努力深入研究课本的例、习题和全国各地的中考试题.。

浅谈初中《几何》习题一题多解与多变当前学校教育改革的重点之一，就是实施素质教育，让学生具备更强的科学素养，着重发展学生的独立思考、分析和解决问题的能力，使其不断地拓宽认知，进行创造性思维的培养。

而学科数学，更是教育改革必不可少的学科，针对不同年级的学生，设计合适的、有效的教学内容与形式，是一项重要的工作。

本文就以学科数学几何中的一个典型习题“一题多解与多变”为研究对象，探讨这一习题的学习价值，与初中学生学习几何数学的深入性、逻辑性和创新性。

一、一题多解及其学习意义一题多解是指，某一问题接受着不同的解决方式，这样的习题有可能会有许多不同的结果，但这些结果依然正确无误。

学习数学的关键是搞清楚问题本身是什么这里，也就是在一个特定的几何图形中，求解某个特定的元素。

如果能够发现一个问题有多种解法，意味着学生正在思考、联想，它们有可能想出新的解法，这样的习题就有助于培养学生的创新能力。

二、一题多变及其学习意义一题多变指的是一道数学习题有多种变形，不只是改变原有问题的内容，而是根据原题的各个环节的条件变化，将该题的变化体现在这个新的习题上，新的习题和原题拥有同样的解法，但是有不同的答案。

如果学生能在解题过程中发现一题有多变，并能灵活运用多种方法把握不同情况、不同条件下的答案，这将有助于学生在解题中学习数学的逻辑性及深度，从而更好的处理复杂的数学问题。

三、适应初中学生的教学模式要想培养学生的独立思考、分析和解决问题的能力，应采取针对性的教学模式。

在几何习题中，能给学生更多的探究机会，鼓励他们更主动地发现规律，解题思路更加清晰。

教师在提问、引导学生探究过程中，可以发挥出归纳、说明、示范等方式，对学生异思维技能，如设计思维、模式匹配、解决冲突等的培养，具有重要的作用。

本文再次强调，一题多解与多变的几何习题，有助于培养学生的独立思考、分析和解决问题的能力，提高学生的科学素养，是改革初中数学教学的重要内容之一。

通过改进教学方式，让学生发现习题的多样性和多变，对于学生的学习有很大的帮助，以此来激发学生进行更多创新性和分析性的思维、解题，从而提高学生的学习能力。

2019--2020人教版数学八年级代数经典集锦---一题多解在初中几何的证明和求解中，需要培养学生严密推理论证能力、灵动转化变换思维等方面素养，而在初中代数的计算过程中，需要培养学生多角度、多维度思考问题，掌握整体与局部、特例分析等全方位能力，从而寻求结果，下面以一道经典例题的不同解法，展开思维训练。

1、已知：x y = - 2，则x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = .解法一：令x=2,y=-1,则x 2-2xy-3y 2=22-2*2*(-1)-3*(-1)2=4+4-3=5，X 2-6xy-7y 2=22-6*2*（-1）-7*（-1）2=4+12-7=9，所以，原式=59 .李老师点评：本解法是最简单却学生最不容易想到的解法。

原式看起来很复杂，x,y 只给出了比例关系，没有给出具体数值，那么取特例也是满足题设要求的，所以，当没有寻找到更好的解决办法时，可以取特殊值进行计算。

解法二：由已知比例x y = - 2变形有：x=-2y ┅┅①将①带入原式有：x 2-2xy-3y 2=(-2y)2-2*(-2y)*y-3y 2=5y 2,X 2-6xy-7y 2=(-2y)2-6*(-2y)*y-7y 2=9y 2,x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 =59 .李老师点评：本解法使用了带入消元法进行解题，带入消元法是解决含有未知数类求值问题最基本的解题方法之一。

解法三：∵x y = - 2，∴x ≠0，y ≠0则将原式分子和分母同时除以y 2得到：x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = = 59=李老师点评：本解法是一种技巧型解法，首先通过观察x,y 的取值情况以及原式中分子分母所含式子，我们会发现：x,y 都不等于0，同时分子分母其实每一项都是二次项（将x,y 都看作未知数），所以分子分母同时除以y2，便可以轻松的将原式化成已知条件中的样子，从而得解。

A D C P B初中数学培优专题：一题多解一题多解是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何的学习过程之中. 很多学生会从喜欢上几何从而喜欢上数学的原因，就在于几何图形的变换中，对“多解”的追求给他们带来思维创造的快乐. 数学教师在解题教学中也会通过“多解”的呈现和对比来调动学生思维的积极性、激发学生思维的灵活性. 笔者在教学过程中，通过对几何的“多解”探索，使笔者又有了新的认识.1 题目呈现如图1，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为斜边AB 上一个动点(不与A 、B 两点重合)，以CP 为斜边在直线CP 的左侧作等腰直角 CDP ∆，判断ADP ∆的形状并证明.图12 教学过程简录方法一：如图2，过C 点作AB CQ ⊥，连接DQ .易证DQ 平分CQA ∠，∴ 45=∠=∠DQA CQD∴CQD ∆≌AQD ∆（SAS ），∴CD AD =，又∵PD CD =∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 图2方法二：如图3，过C 点作AB CQ ⊥，连接DQ .易证CDQ ∆∽CPB ∆，∴ 45=∠=∠B DQC∴CQD ∆≌AQD ∆（SAS ）以下同方法一.图3方法三：如图4，过C 点作CP CQ ⊥交PD 的延长线于点Q ，连接AQ . 易证CQA ∆≌CPB ∆∴PB AQ =， 45=∠=∠CBP CAQ∴ 90=∠QAP . 在等腰直角CPQ ∆中，D 点是PQ 的中点， 图4 ∴在PAQ Rt ∆中，PQ AD 21=，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 . 方法四：如图5，过点C 作CD CM ⊥，过P 点作PD PM ⊥ 交CM 于点M ，过C 点作AB CQ ⊥交AB 于点Q ，连接QM ，BM . 易证四边形CDPM 为正方形，QM 平分CQP ∠，∴ 45=∠=∠PQM CQM ， 图5∴CQM ∆≌BQM ∆（SAS ）∴CM BM =，又∵PD CM =∴PD BM =易证CMB ∆≌CDA ∆，∴AD BM =，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 .方法五：如图6，过点C 作CD CQ ⊥，过P 点作PD PQ ⊥交CQ 于点Q ，过点D 作AB DM ⊥交AB 于点M ，过点Q 作AB QN ⊥交AB 于点N .易证PDM ∆≌QPN ∆，CQB ∆≌CDA ∆. 图6∴PD PQ =，AD QB =,CQB CDA ∠=∠， 90=∠+∠PDM PQN . 又∵ADC CMB ADC ADP ∠-=∠-∠-=∠27036090-∠=∠-∠=∠CQB CQP CQB PQB∴ 180=∠+∠PQB ADP ，∴ 90=∠+∠ADM BQN ，∴DAM BQN ∠=∠，易证ADM ∆≌QBN ∆，∴QM AD =，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 .3 对解法的再认识该图形简单又漂亮，更重要的是我们在初二几何里学的常见的辅助线的构造都可以在该图形中呈现.比如方法一，看到等腰三角形想“三线合一”，故过C 点作AB CQ ⊥交AB 于点Q ，由于CDP ∆是等腰直角三角形，则得到了常见的基本图形，如图7：如果CDP ∆为等腰三角形，QP CQ ⊥，那么连接直角三角形的直角顶点DQ ，则DQ 是CQP ∆的外角平分线，即45=∠=∠DQA CQD ，我们平时称该图形为“钻石三角形”. 再由CQD ∆和AQD ∆对称全等，得结果.与方法一类似，还可以构造“钻石三角形”的内角平分线，如图5. 由等腰 图7 直角CDP ∆想到构造正方形CDPM ，那么在图形CQPM 中，如图8：因为CMP ∆是等腰直角三角形，QP CQ ⊥，所以连接QM ，则QM 平分CQP ∠.（“钻石三角形”内角平分线），其它见方法四.在原题中，如图1，仔细观察该图形，是一个等腰三角形的顶点对另一个等腰三角形的底角的形式（简称“两个等腰三角形的顶对底”），我们还可以想到“加倍或减半”进行构造. 图8“加倍”如图4，就得到了共顶点的两个等腰直角三角形CPQ ∆和CBA ∆，构造“手拉手”基本模型，得全等，即CDP ∆≌CQA ∆.其实图5当中构造正方形也是另外一种形式的“加倍”,同样可构造“手拉手”基本模型.“减半”即把CAB ∆减半 ，如图3. 减半之后就得到了两个底角对底角的等腰直角三角形，CDP ∆和CQB ∆.那么通过“边对边、底对低”可得三角形相似，即CDQ ∆和CPB ∆相似，既而得到 45=∠=∠B DQC ，具体思路见方法二.或者看到等腰直角三角形，想到构造“三垂直”，如图6. 但这种方法要比其它方法复杂一点，就是要看到ADP ∠和PQB ∠互补，证明方法见方法五. 不过该方法也有它特别的一面，就是再往后研究，我们可以发现ADP ∆和BQP ∆不仅都是等腰三角形，而且面积也相等.综上以上五种方法可用一句话总结：过C 点通过旋转或翻折构造全等或相似.几何图形很神秘、很美妙、很漂亮，经常会有让人看它一眼就再也无法忘记的特别存在. 我们就是这样被它吸引着，不知不觉中发现了它们各自的独特美又发现了它们美的通性，而自己的思维与想象也在不断的发生着变化，从量变到质变，眼界与能力同时也得到了升华.。

一题多解，一题多变（六）中考几何母题的一题多解(多变)一、三角形一题多解如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。

求证：FD=DE。

证法一证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故FD=DE；证法二证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM则△DBF≌△DME，故 FD=DE；证法二证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，又∠4=∠3 ∠5=∠E所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

二、平行四边形一题多解如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。

证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。

证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE四\一题多解、多变《四边形面积》1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。

２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。