曲率及曲率变化率

参数方程下的曲率公式曲率的定义是物体的曲度，即当物体在特定的参数方程中，其表面自变量的变化程度。

曲率公式是求取曲率的重要工具，它可以帮助我们计算物体表面的曲度，也可以用于曲面的平面展开，以及几何学中的微分几何。

在几何学中，曲率是一个重要的度量，用它可以衡量曲面、曲线在不同空间上的弯曲程度。

它有助于研究曲面、曲线在空间中的特性和轨迹，也可以应用于其他科学研究中。

在参数方程下，可以计算出曲率的一个公式，即曲率公式。

曲率公式可以表示为：κ = R（1 + h^2）^( 3/2)其中，R是曲率半径，h是曲面中自变量的变化率。

曲率公式的求取基础是参数方程，参数方程是由物体表面的参数方程求取的，因此，了解参数方程是非常重要的。

参数方程有三类：抛物面参数方程、凸反平面参数方程和椭圆回形参数方程。

抛物面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2sin2θ + V2cos2θ其中，A，B，C是物体表面的常数参数，U，V是物体表面的自变量，θ是变量θ的参数值。

凸反平面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + V2cos2θ U2sin2θ它和抛物面参数方程的区别是负号的使用。

椭圆回形参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2cos2θ + V2sin2θ它与抛物面参数方程的区别在于自变量的变化率是相反的。

这三类参数方程可以用来求取曲率公式。

我们可以准备三类参数之后，将物体表面的自变量U、V和参数θ代入曲率公式，就可以计算出物体表面的曲率值了。

由于曲率公式可以用来测量物体表面的曲度，因此，在工程中有着广泛的应用。

例如，它可以应用于构件的强度评估，也可以用于测量地形和气象环境的精细变化；它可以用于太阳能电池板的制造，也可以用于油藏的勘察中。

曲率与曲线的变化率的计算曲线是我们生活中常见的一种形态，无论是自然界中的山脉、河流，还是人工制造的道路、管道等，都可以看作是曲线的一种表现形式。

而曲线的性质与特征对于我们理解和应用曲线都有着重要的意义。

本文将着重讨论曲线的曲率与曲线的变化率的计算方法，以帮助读者更好地理解和应用曲线的相关概念。

一、曲线的曲率计算曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以用来衡量曲线在某一点上的弯曲程度。

曲率的计算方法可以通过求曲线的切线与曲线在该点的切线的夹角来实现。

假设我们有一条曲线C，其方程表示为y=f(x)，其中f(x)为函数表达式。

现要计算曲线C在某一点(x0, y0)处的曲率。

1. 首先，我们需要求出曲线C在该点处的切线方程。

切线是曲线在某一点处与曲线相切且与曲线的切点重合的直线。

求曲线C在点(x0, y0)处的切线方程可以通过以下步骤实现：a. 计算曲线C在点(x0, y0)处的斜率k。

斜率可以通过求曲线在该点的导数来得到，即k = f'(x0)。

b. 利用点斜式可以得到切线的方程为：y - y0 = k(x - x0)。

2. 接下来，我们需要求出曲线C在该点处的切线与曲线的切点的夹角θ。

求曲线C在点(x0, y0)处的切线与曲线的切点的夹角可以通过以下步骤实现：a. 计算曲线C在点(x0, y0)处的切线的斜率k1。

b. 计算曲线C在点(x0, y0)处的切线的斜率的导数k2，即k2 = f''(x0)。

c. 曲线C在点(x0, y0)处的切线与曲线的切点的夹角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(k2)。

3. 最后，我们可以通过曲率的定义公式求出曲线C在点(x0, y0)处的曲率。

曲线C在点(x0, y0)处的曲率k可以通过以下公式计算：k = |k2| / (1 +k1^2)^(3/2)。

二、曲线的变化率的计算曲线的变化率描述了曲线在某一点上的变化趋势，可以用来衡量曲线的陡峭程度或者变化速度。

GJ-5轨检车原理及应用GJ-5型轨检车原理及应用一、轨道动态检查技术的发展变化轨道动态检查相比静态检查，更准确，也更能反映线路真实情况，更能评价列车运行安全性指标，因此轨检车一直是检查轨道病害、指导线路养护维修、保障行车安全的重要手段。

我国轨道动态检查技术随着计算机技术和检测技术的发展得到迅速的发展，从二十世纪50年代的GJ-1型轨检车发展到目前的GJ-5型轨检车，检测精度和可靠性大大提高。

1、GJ-1型轨检车采用弦测法，机械传动，可以将轨距、水平、三角坑、摇晃（用单摆测量）项目的幅值绘在图纸上，人工判读超限并计算扣分。

2、GJ-2型轨检车仍采用弦测法，但改为电传动，检测项目比GJ-1型增加了高低，也是需要人工判读超限和计算扣分。

我局1988-1993年使用该型车。

3、GJ-3型轨检车于80年代初期研制成功，是我国轨检车技术的一次大飞越，采用先进的传感器技术、计算机技术和惯性基准原理，可以检测高低、水平、三角坑、车体垂直和水平振动加速度等项目，计算机采集各检测项目数据后，判断超限等级并计算扣分。

我局GJ-3型轨检车（SY997737）于1994年初开始运用，是全路GJ-3型运用时间最长的，也是用得比较好的。

a、1999年我局轨检车技术人员研发的Ⅲ型轨检车实用软件成果是工务部门汇总分析轨检车检查数据、指导养护维修线路的工具，它使轨检车的工作效率和工作质量得到了大大的提高，该成果达到了国领先水平，于2000年通过了局级鉴定，并于2002年获得路局科技进步三等奖。

b、为了均衡地提高线路养护维修的质量，我局轨检车技术人员研发了轨道质量指数（TQI）应用软件，并于2003年局工务维修会议上向各工务段推广应用，便于向各工务段掌握线路的动态质量，科学指导线路养护维修，真正做到状态修，收到了很好的效果。

c、2004年我局轨检车技术人员研发GPS（全球定位系统）自动校正里程系统，该系统能自动校正轨检车里程，消除轨检车测量的里程累计误差，便于各段准确定位检查病害处所，查找和整治线路病害，保证行车安全和提高线路保养质量。

工务业务基础知识保密级别：□绝密□机密□秘密■内部公开工电供项目工务业务基础知识文档修订记录目 录1.编写目的...................................................................................................................................... 12.术语与定义 .................................................................................................................................. 1 2.1高低（左高低、右高低） ................................................................................................... 1 2.2轨向（左轨向、右轨向） ................................................................................................... 1 2.3轨距....................................................................................................................................... 2 2.4水平....................................................................................................................................... 2 2.4.1水平差 ........................................................................................................................... 2 2.5三角坑................................................................................................................................... 3 2.6曲率....................................................................................................................................... 3 2.7车体垂直和水平振动加速度 ............................................................................................... 3 2.8轨距变化率 ........................................................................................................................... 3 2.9曲率变化率 ........................................................................................................................... 4 2.10横向加速度变化率 ............................................................................................................. 4 2.11轨道不平顺波长 ................................................................................................................. 43.轨检车.......................................................................................................................................... 5 3.1检测周期 ............................................................................................................................... 5 3.2检测数据应用 ....................................................................................................................... 54.轨道质量状态评定方法 .............................................................................................................. 6 4.1 轨道局部不平顺的评定 ...................................................................................................... 6 4.2 区段轨道不平顺的评定（TQI ） ........................................................................................ 7 4.2.1轨道不平顺质量指数（Track Quality Index) ....................................................... 7 4.2.2 TQI 物理含义 ............................................................................................................... 7 4.2.3 TQI 的计算方法 ........................................................................................................... 7 4.2.4 TQI 及各单项标准差的管理值 ................................................................................... 8 4.2.5 TQI 的管理办法 ........................................................................................................... 8 4.2.6 200m 单元区段200T 值和公里T 值的物理含义 (9)1.编写目的帮助项目组同事快速了解工务基础知识，更好的投入到工电供项目。

影响曲率变化率扣分的几点原因及控制方法胡尧【摘要】通过时轨检车曲率变化率扣分情况分析.查找原因,提出整治措施,并通过现场的整改实践,达到了预定效果.【期刊名称】《上海铁道科技》【年(卷),期】2009(000)003【总页数】2页(P121-122)【关键词】曲线;曲率变化率;分析;整治【作者】胡尧【作者单位】上海铁路局新长工务段【正文语种】中文【中图分类】U2随着轨检车“三率”检查（曲率变化率、横加变化率、轨距变化率）的实施，对铁路线路的标准要求越来越高，尤其是对曲线的控制直接影响到轨检车成绩的好坏。

我段新长线客运线路共335km，全部为P50-25m短轨线路，正线曲线共136条，最小半径为600m。

2009年一季度轨检车总扣分为845分，其中曲率变化率扣分415分，占总扣分的49.11%，可见曲率变化率对轨检车成绩的影响是非常明显的。

1 原因分析△ (曲率)=1/R，F（圆曲线正矢）=50000/R，从公式可以看出曲率和曲线正矢都与曲线半径有直接的联系，通过公式的转换又可以看出F（圆曲线正矢）=50000×△(曲率)，而曲率的变化是可以通过正矢的变化反映出来的。

如果正矢好则曲率就稳定，反之正矢差则曲率变化大，曲线的圆顺度就差。

从以上论点可以证明曲线的圆顺度是造成曲率变化率扣分的最直接原因。

在我段造成曲线圆顺度不良的有主要以下三个原因：（1）养护水平差。

新长工务段的前身是原来的新长公司工务事业部，属于合资公司，除少部分管理人员是从国铁抽调过来的，其余都是从就近找的劳务工（现全段总人数为1713人，正式职工355人，劳务工1358人）,好多养路工区都是由劳务工当家，而劳务工的业务水平和现场经验都很缺乏，加上没有经过系统的培训，工区的养护水平始终得不到提高，对曲线的整正和养护知识更是一片空白，曲线经常是几个月不检查、不拨道，即使是拨道也基本都靠目测，久而久之曲线的状态遭到了严重的破坏，曲线的正矢严重超标，更有甚者曲线变成了一头大一头小，给曲线的整正带来了非常大的难度。

G0 G1 G2 G3 G4曲率线方向不一致曲率线断开但方向一致曲率线位置连续曲率线的切线连续曲率线的曲率连续位置连续切线连续曲率连续但不平滑曲率线为G0连续曲率线为G1连续曲率线为G2连续一阶导数连续二阶导数连续三阶导数连续斑马线错开不连续斑马线连续但有尖锐的拐角斑马线连续且平滑一. G0、G1、G2、G3是描述曲面、曲线的连续方式，平滑程度的，一般常用于判断修补曲面时的曲面质量。

国际模具网G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。

曲线无断点，曲面相接处无裂缝。

判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。

数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。

G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。

判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。

数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。

G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。

判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。

对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，没有尖角。

数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。

G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。

判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。

因为对G3连续用到的比较少，目前还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。

数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。

二.Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。

1. G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。

G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。

2. G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。

G1连续（也称为切线连续）将产生一次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲壮，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。

一、曲率曲率定义为‎一定弦长的‎曲线轨道（如30M ）对应之园心‎角θ（度/30米）。

度数大，曲率大，半径小。

反之，度数小，曲率小，半径大。

轨检车通过‎曲线时（直线亦如此‎），测量车辆每‎通过30米‎后车体方向‎角的变化值‎，同时测量车‎体相对两转‎向架中心连‎线转角的变‎化值，即可计算出‎轨检车通过‎30米曲线‎后的相应圆‎心角θ变化‎值。

测量曲率的‎传感器分布‎如图4-12。

摇头速率陀‎螺Y AW ，测量车体摇‎头角速率；位移计DT ‎1测量车体‎一位端的心‎盘处与一位‎转向架构架‎间的相对位‎移；位移计DT ‎2、DT3测量‎车体二位端‎心盘前后两‎侧与二位转‎向架构架之‎间的相对位‎移；光电编码器‎T A CH 提‎供速度距离‎信息,由于一阶模‎拟滤波器在‎处理模拟时‎间域信号时‎，其频率特性‎是固定不变‎的，但在处理Y ‎A W 所表示‎的空间域频‎率信号时，其频率特性‎就是变化的‎了。

因此，一阶模拟滤‎波器输出信‎号经采样，进入计算机‎还需进行数‎字滤波处理‎。

数字滤波的‎作用，是对一阶模‎拟滤波器引‎起的频率特‎性变化进行‎校正，使得模拟滤‎波和数字滤‎波混合处理‎后，在设计的通‎带范围内，空间域幅值‎特性不受列‎车运行速度‎的影响。

曲率测量的‎信号流程如‎图4-13。

摇头速率陀‎螺输出信号‎经B (s)一阶模拟滤‎波处理后，进入计算机‎，再进行数字‎处理。

)(z C 为一阶数字‎滤波器。

)(z C 的输出，是单位采样‎距离对应的‎车体方向角‎x c ∆∆/φ。

用安装于一‎位转向架构‎架和车体间‎的位移计D ‎T 1测量一‎位转向架构‎架与车体间‎的位移d1‎。

用安装于二‎位转向架构‎架和车体间‎的位移计D ‎T 2和DT ‎3，测量二位转‎向架构架和‎车体间的位‎移d 2。

由d1和d ‎2计算出单‎位采样距离‎相应的车体‎与两转向架‎中心连线间‎相对夹角x ct ∆∆/φ。

通过和的结‎x c ∆∆/φx ct ∆∆/φ合计算出两‎转向架中心‎连线对应于‎单位采样距‎离的方向角‎x t ∆∆/φ，对信号进行‎x t ∆∆/φ低通滤波，滤除不必要‎的波长成分‎，最终获得二、曲率变化率‎曲率变化率•目前轨检车是由相隔18m 的两点实际测量的曲率差除以18m 计算得到。

轨检车、动检车检测名词解释第一部分京广线轨检车概述我讲的第二部分内容为轨检车检测基本知识。

我根据检测数据的不同，分别以轨道几何尺寸检测和动力学指标检测分类进行讲解。

一、动力学检测标准在动检综合车检测提供的7个报告中，第一个报告为综合检测车轨道几何状态检测报表、第二个报告为综合检测车动力学检测报表。

这两个报表是考核我们的主要技术指标。

我针对动力学检测报表中的一些专业术语进行一下分解。

列车脱轨是影响行车安全的重要因素。

在分析脱轨事故时往往会遇到下述情况：列车经过很长线路的运行均未脱轨，而恰在某处线路脱轨，说明该线路可能有问题。

但时该处线路通过了许多列车均未发生脱轨事故，唯独该趟列车脱轨，又可能说明该趟列车有问题。

上述事实说明，列车脱轨事故的产生是影响脱轨的各种不利因素综合作用的结果。

同时也表明，某一行业设备的完善与工作的改进，会补偿其它行业设备的不足和工作的缺陷，避免脱轨事故的发生。

绝大多数列车脱轨事故抣由车辆脱轨引起，因此，在进行列车脱轨分析时，将集中研究车辆的受力情况、脱轨原因和机理，以及应采取的预防措施。

动检综合车所进行的动力学检测指标，主要是围绕此工作而开展的工作。

(一）脱轨系数（Q/P）轨道随着垂直、横向和纵向三个方面的荷载。

纵向荷载主要由温度力、列车牵引力与制动力组成。

1、垂向轮轨作用力主要由下述两个部分组成。

⑴垂直动力荷载。

在进行脱轨分析时，轨道上承受的垂直动力荷载应只考虑速度的影响，通常按下式计算垂向动荷载P d =Pj(1+α)Pd-动轮载Pj－静轮载α－速度系数。

各国速度系数者根据大量试验资料与运营经验确定的。

⑵偏载。

列车在运行时各种因素引起的偏载。

曲线上未被平衡的过超高、欠超高，货物装载偏心引起的轨道偏载。

2、轨道承受的横向作用力Q纳达奥（Nadal）于1908提出的“单个车轮的最大横向力Q与垂直力P的比值Q/P作为衡量车轮轮缘爬轨引起脱轨的程度”论点，纳达奥（Nadal）方程是由轮轨接触点上力平衡关系推导出来的。

缓和曲线的曲线要素
缓和曲线是公路、铁路等工程中一种特殊的曲线类型，它的主要作用
是平缓地连接两段直线或两个圆弧段。

缓和曲线的曲线要素包括以下几个
方面：
1.曲线长度：缓和曲线的长度要根据道路或铁路的设计速度、车辆或
列车类型以及地形条件等因素来确定。

2.曲线半径：缓和曲线的半径要根据实际情况来确定，通常是根据设
计速度和车辆或列车类型等因素来决定。

3.进出曲线的切线角：进出缓和曲线的切线角要保证转向稳定，一般
不应超过5度。

4.曲率变化率：缓和曲线中曲率的变化率要尽量小，以保证行车平稳。

5.缓和曲线圆曲率：缓和曲线的圆曲率要保证转弯平稳，通常是通过
缓和曲线长度和曲线半径的组合来实现的。

6.缓和曲线的路基超高和道面超高：为保证车辆在缓和曲线上行驶时
的稳定性和舒适性，缓和曲线的路基超高和道面超高也要进行适当的设计
和施工。

一、对轨检车检测性能应了解的内容：用轨检车对轨道进行动态检测，掌握线路在列车实际动载作用下、轨道几何尺寸偏差（四大项、是了解掌握线路局部不平顺、是峰值管理的考核内容）与相关的各项参数（曲线要素、区段总结报告、公里总结报告）及相应的轨道质量指数（各种偏差的加权平均值、TQI是了解掌握线路区段整体不平顺、是均值管理的考核内容）。

每250mm可测7项的加权平均值。

维规规定每200米质量指数大于15g，要按排维修。

对线路状态作出评价。

是线路动态质量检查的重要手段。

以便科学地指导线路养护维修工作。

即是工务管理科学化的一个重要组成部分。

也是上级领导衡量、考核设备状态的重要措施之一（应该说轨检车是为我们检查线路、发现问题、指导我们维修保养的工具，现已成为考核的工具、又提倡检后修。

这就需要我们努力、对我们的日常工作提出了更高的要求。

不过上级领导考核线路质量凭轨检车是比较科学的）。

并用于各级管理部门之间决策的依据。

要消灭轨检车三级分，就要了解掌握它的检测原理。

但是轨检车成绩好能代表线路基础好吗？也不完全说明线路质量好。

要认真对待。

如；-----。

我国利用轨道检查车检测动态已有40佘年的历史，经过更新、改造、引进技术、目前路局应用的是GJ-4型轨检车车号997990。

车底是160km/h（997740、997519是3型轨检车、车底是120km/h、997519、04年3季度已报废）（今天主要讲997990，因它出分多，优良率低，三级分时有发生）。

自1996年投入使用,（04年5—9月份在南京对车辆进行了大修，其它设备要逐步更换）。

它采用了当今世界上最先进的惯性基准检测原理，被设计成捷联式检测系统。

（现部轨检车已定GJ--5型）监测原理和GJ-4型一样，也是采用惯性基准的检测原理。

不一样的是它采用摄像形式，能看到就能监测到，包括钢轨飞边、垂直、侧面磨耗，还能测出脱轨糸数。

(公式：Q/P≤1.2。

Q表示横向力、P表示垂直力。

拟合曲率曲率变化率 headingangle曲率和曲率变化率是描述曲线或曲面形状的重要概念，在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍曲率和曲率变化率的定义、计算方法以及与之相关的概念，同时还会讨论曲率与航向角之间的关系。

首先，我们来看曲率的定义。

在数学中，曲率描述了曲线在给定点的弯曲程度。

对于一条光滑曲线，曲率可以通过曲线上的两个相邻点之间的弧长与这两个点之间的距离的比值来计算。

具体而言，设曲线为y=f(x)，其参数方程形式为(x(t), y(t))，其中t是参数，表示曲线上的点的位置。

那么曲线上的点(x(t)，y(t))处的曲率κ可以通过以下公式计算：κ = |x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)| / (x'2(t) + y'2(t))3/2 其中x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)关于参数t的导数，x''(t)和y''(t)分别表示x(t)和y(t)关于参数t的二阶导数。

对于二维曲面，曲率的计算方法与曲线相似。

我们可以通过参数化曲面的方式来计算曲率。

设二维曲面为z=f(x,y)，则曲面上的点(x(t), y(t), z(t))处的曲率κ可以通过以下公式计算：κ = |(x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t))z'(t) - (x'(t)z''(t) -z'(t)x''(t))y'(t) + (y'(t)z''(t) - z'(t)y''(t))x'(t)| /(x'2(t) + y'2(t) + z'2(t))3/2其中x'(t)，y'(t)，z'(t)分别表示x(t)，y(t)，z(t)关于参数t 的导数，x''(t)，y''(t)，z''(t)分别表示x(t)，y(t)，z(t)关于参数t的二阶导数。