2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)

参数方程和普通方程的 互化 平摆线、渐开线 2课时 2课时
§1 参数方程的概念
1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标(x，y)都是某个变数 t
x＝f（t）， 的函数 ① y ＝ g （ t ），
并且对于 t 取的每一个允许值， 由方程组①所确定的点 P(x， y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的
＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲 线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数 的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义 域的交集.
2.参数方程和普通方程的互化
参数方程 和__________ 普通方程 是曲线方程的不同形式. (1)曲线的__________ ，y的取值范围 (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x _____________ 保持一致.
翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车
门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【学习计划】
内容 参数方程的概念 直线和圆锥曲线的参 数方程 参数方程化成普通 方程 平摆线和渐开线 学习重点 参数方程的概念 直线的参数，圆的参数方 程，椭圆的参数方程，双 5课时 建议学习时间
1课时
曲线的参数方程
1 3 － 2 tan θd， x＝ 2 π π － <θ<2. ∴点 P 的参数方程为 3 1 2 y＝ ＋ tan θd 2 2
题型二
参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即
可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求 曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实 际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长

标为(2cos θ+6,2sin θ).
所以点 M 的轨迹的参数方程为
������ ������
= =
62s+in2������cos������,(������为参数).
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题型一 题型二 题型三
即取值范围是[11-2 3, 11 + 2 3].
反思利用参数方程求最值,可以把问题直接转化成三角函数问题, 从而简化整个运算过程.
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【变式训练3】 若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最值. 解:由(x-1)2+(y+2)2=4知,它表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆. 设x=1+2cos θ,y=-2+2sin θ, 则S=2x+y=2+4cos θ-2+2sin θ =4cos θ+2sin θ=2 5sin (θ+φ),其中 tan φ=2. 由-2 5≤S≤2 5, 得S 的最大值为 2 5, 最小值为-2 5.
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12345
1 若曲线
������ ������
= =
1+ 2������
������2,(������为参数)经过点(2,

参数方程
������ = 5cos������, ������ = 5sin������
−
π 2
≤
������
≤
π 2
表示的曲线是什么?
提示:先将参数方程化为普通方程再判断曲线的形状.
解:化为普通方程是 x2+y2=25,
∵-π2 ≤θ≤π2 , ∴0≤x≤5,-5≤y≤5.
∴表示以(0,0)为圆心,5 为半径的右半圆.
平行线,求所作两直线交点 P 的轨迹方程.
提示:借助于圆、椭圆的参数方程求解.
专题一
专题二
网络构建
专题归纳
解:设 A
2 2
cos������,
2 sin������
2
,B(5cos θ,4sin θ)(θ 为离心角),则所求轨迹的
������ = 5cos������, ①
参数方程为 ������ = 2 sin������②
������2 ������2
������2 - ������2
=
1(������
>
0,������
>
0)的双曲线参数方程为
������ = ������tan������,
������
=
������
1 (������为参数) cos������
代入消元法
参数方程与普通方程的互化 加减消元法
利用代数式三角函数中的恒等式消元参数
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专题二 参数方程的应用
1.在圆锥曲线中常涉及曲线上某点到另外一点的距离问题,利用参数方程可以转化到三角函数、二次函数 等问题来求解,利用三角函数的有界性及参数的范围得最大值或最小值.

������2 (1)椭圆 2 ������ ������2
2.椭圆的参数方程
【做一做 2-1】
������2 ������2 椭圆 + =1 的参数方程为 9 4
.
解析:根据题意,a=3,b=2, ������ = 3cos������, 所以参数方程为 (φ 为参数). ������ = 2sin������ ������ = 3cos������, 答案: (φ 为参数) ������ = 2sin������
.
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3 .双曲线的参数方程 双曲线
������2 ������ 2
− 2 =1(a>0,b>0)的参数方程是
������
(1-������ )r 1+������ 2������������ 1+������
2 2 2
1.圆的参数方程
,
������ =
(k 为参数).
参数 k 的几何意义是直线 AP 的斜率.
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������ = 2cos������, 【做一做 1-1】 直线 3x-4y-9=0 与圆 (θ 为参数)的位置关系 ������ = 2sin������ 是( ). A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 解析:由圆的参数方程知圆心坐标为(0,0),半径 r=2. 所以圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离 d=