空间数据的拓扑关系教学资料

学习指南
课程（学习领域）名称《地理信息系统应用》
项目×
（学习情境×）
GIS空间数据处理
单元主要教学内容拓扑关系建立
任务描述在GIS中，为了真实地反映地理实体，不仅要包括实体的位置、形状、大小和属性、还必须反映实体之间的拓扑关系。

拓扑关系是对图形数据进行空间查询、分析等操作的基础，拓扑关系的建立是GIS数据管理和更新的重要内容。

教学目标
能力（技能）目标知识目标素质目标
1．能熟练进行拓扑数据
处理
2．能熟练进行拓扑关
系的建立
1．掌握拓扑关系的含义
2. 掌握拓扑关系的类
型及表示方法
3. 掌握拓扑数据处理
和拓扑关系的建立的方
法
1.培养安全、正确操作实
训设备的习惯
2.培养语言的表达能力
3.培养理论联系实际的
意识
能力训练任务根据要求，对中国地图进行拓扑关系的建立，具体任务为：
1.拓扑数据处理
2.拓扑关系的建立
教学重点教学难点重点：拓扑关系的的含义、拓扑关系的类型及表示方法重点（难点）：拓扑数据的处理和拓扑关系建立
教学方法、手段项目教学，案例教学，实践教学，边讲边练
教学组织形式（1）学习型工作任务导入；
（2）边讲边练习，拓扑关系的类型及表示方法，拓扑数据处理和拓扑关系建立
（3）布置任务，学生自己学习和练习；
（4）交流互动，总结评价。

作业课程考核册中涉及到本任务的全部内容。

具体分为如下几步： 1.弧段邻接关系的建立 2.环的生成 3.建立环与内点的包含关系 4.建立环与内点的圈定关系
弧段邻接关系的建立
如果两条弧段具有相同的端点， 则定义这两条弧段具有邻接关系。
记录规则：邻接于弧段同一端点的各个邻接弧段按 顺时针方向顺序记录；按照数字化方向，如果邻接弧段 是首点邻接，则在其前面冠以正号，否则冠以负号。
3.地图平面上连接两结点的有一定意义的一维图形称为边（ Edge） ，也叫弧段（Arc）。例如：连个城市之间的道路
4.由一些边围成的有一定意义的闭合区域称为面（Area）。
1.4 基本的拓扑关系
基本拓扑关系分为拓扑邻接关系、拓扑关联关系和拓 扑包含关系。
拓扑邻接和拓扑关联是用来描述网结构元素（比如结 点、弧段、面域）之间的两类二元关系。
4
X4
Y4
5
X5
Y5
6
X6
Y6
7
X7
Y7
线段号 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11
始结点 3 4 3 1 4 2 5 6 7 7 5
终结点 1 3 2 2 2 5 6 4 6 4 7
左多边形 NULL NULL A NULL B NULL E D D NULL NULL
拓扑关系介绍
1.1 拓扑的来源 1.2 为什么要研究地图上的拓扑关系 1.3 建立拓扑关系的基本概念 1.4 基本的拓扑关系 1.5 拓扑关系的表示 1.6 Arc/Info中拓扑关系的构建
1.1 拓扑的来源
1.拓扑的来源
“拓扑（Topology）”一次来自希腊文，它的原意是“ 形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分支，它研究在拓扑 变换下能够保持不变的几何属性——拓扑属性。

6.2.1使用ArcCatalog创建拓扑 操作步骤为：在ArcCatalog
目录树中，右击Water数据集， 在弹出菜单中，单击【新建】【拓扑】，打开【新建拓扑】 对话框，浏览创建拓扑简单介 绍后，单击【下一步】按钮， 进入右图所示对话框，并输入 相关数据，点击【下一步】按 钮。
设置拓扑名称及拓扑容差
6.4.1获取拓扑属性信息
操作步骤：在ArcCatalog目录树中右击Water_Topology,在 弹出菜单中，单击【属性】，打开【拓扑属性】对话框。在对 话框中记录了拓扑的属性信息。
6.4.2拓扑重命名
步骤为：打开【拓扑属 性】对话框，切换到【常规】 选项卡，如图所示，在【名称 】文本框中输入新的拓扑名称
【添加类】对话框
15
2.使用ArcToolbox向拓扑 中添加新的要素类步骤为;在 ArcToolbox中双击【数据管 理工具】-【拓扑】-【向拓 扑中添加要素类】，打开 【向拓扑中添加要素类】对 话框，并加载相关数据如图 所示，单击【完成】按钮， 完成向拓扑中添加要素类的 操作。
【向拓扑中添加要素类】对话框
6
6.错误与异常：错误（errors）以要素的形式存储在 拓扑图层中，并且允许用户提交和管理要素不符合拓扑规 则的情况。错误要素记录了发现拓扑错误的位置，用红色 点、线、方块表示。其中，某些错误时数据创建与更新过 程中的正常部分，是可以接受的，这种情况下可将该错误 要素标记为异常（exceptions），用绿色点、线、方块表 示。
，单击【确定】按钮，完成操
作。
【拓扑属性】对话框
14
6.4.3向拓扑中添加新的要素 类：
1.使用ArcCatalog向拓 扑中添加新要素类步骤为： 打开【拓扑属性】对话框， 切换到【要素类】选项卡。 单击【添加类】按钮，弹出 【添加类】对话框。选择要 添加的要素类如图所示单击 【确定】按钮，关闭【添加 类】按钮。为刚添加的要素 设置坐标等级和添加拓扑规 则。最后单击【确定】按钮， 关闭【拓扑属性】对话框。

第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。

§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。

设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。

解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。

§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。

集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。

τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。

下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。

● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。

嵌入在 6.6 中介绍 例 3.3.3 起不讲 习题课时 1
道路连通分支不讲 习题课时 1 定理 5.2.1 不讲
例 6.2.2 讲部分 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的证明
定理 6.6.1 讲部分 习题课时 3(含总复习) 定理 7.1.6 讲部分 引理 7.3.2 用分析中的结论
定理 7.6.8 不讲
4
第二章 拓扑空间与连续映射
本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念 : 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.
§ 2.1 度量空间与连续映射 在 R 上 , |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离 . 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , : X X R . 如果 满足正定性、 对称性和三角不等式, 则称 是X 的一个度量 . (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点 x, y 之间的距离. 例 2.1.1 实数空间 R . (x,y)=|x-y|, R 的通常度量 . 例 2.1.2 n 维欧氏空间 R n=R R … R. 对于 x R n, 记 x=(xi). 定义 (x, y)= 平面或平面 . 例 2.1.3 Hilbert 空间 H. H={x=(x1 , x2 , … ) | xi R , i Z+; 称为 Hilbert 空间. 例 2.1.4 离散度量空间. 度量空间(X, )称为离散的 , 若 x X, δ x, 满足 (x, y)< δ x >0, 使得不存在 X 中的点 y x. 如 对集合 X, 按如下方式定义 : X X R 是 X 上的离散度量:

史上最权威的空间数据结构数据库拓扑关系讲义在现代社会中，空间数据已经成为各个领域必不可少的一部分。

对于地理信息系统（GIS）和遥感技术的广泛应用，对空间数据结构、数据库和拓扑关系的研究变得异常重要。

本文将介绍史上最权威的空间数据结构、数据库和拓扑关系讲义，探讨其在空间数据应用领域的重要性。

其次，空间数据库是对空间数据进行组织、存储和查询的关键技术。

《Spatial Databases: A Tour》是另一本权威的空间数据库讲义。

该讲义由R.G. G. Cutingame、M. H. F. Van Leusen、M.J. Kraak和M.J. Molenaar撰写，全面介绍了空间数据库的背景、模型、方法和应用。

讲义详细介绍了空间数据库的关键概念，如空间索引、空间查询、空间拓扑关系等，以及各种不同类型的空间数据模型和数据管理技术。

该讲义的权威性在于其对空间数据库的全面概述和对实际应用的深入剖析。

最后，拓扑关系是描述空间对象之间关系的重要工具。

《The Elements of Graphic Statics: Their Application to the Solutionof Static Problems》是一本古老但非常有影响力的拓扑关系讲义。

该讲义由Daniel T. Shearwood于1865年撰写，主要介绍了图形静力学的概念和方法。

尽管该讲义的主要关注点是力学领域，但它详细介绍了拓扑关系的基本原理和应用，为后来的拓扑学和计算几何学的发展奠定了基础。

尽管这本讲义已有150多年的历史，但它的影响力仍然存在于现代空间数据领域。

总而言之，空间数据结构、数据库和拓扑关系是空间数据应用领域的核心技术。

最权威的空间数据结构、数据库和拓扑关系讲义为这些领域的研究和应用提供了重要的参考和指导。

通过深入学习和理解这些讲义，人们可以更好地处理和管理空间数据，为各个领域的应用提供更准确和高效的解决方案。

解析拓扑学掌握拓扑学的基本概念和定理拓扑学是数学中的一个重要分支学科，研究的是空间中的连续性质和变形。

它的发展可以追溯到18世纪末，而在20世纪初得到了较大的发展和应用。

拓扑学的基本概念和定理对于数学和其他学科都有着重要的影响。

一、拓扑学的基本概念在介绍拓扑学的基本概念之前，我们先来了解一下拓扑空间的概念。

拓扑空间是可以定义连续性的一种数学结构，它由特定的集合和在集合上定义的拓扑结构组成。

1.1 集合在拓扑学中，集合是指事物的总体，它由若干个元素组成。

集合可以是有限的，也可以是无限的。

1.2 拓扑结构拓扑结构是对集合进行拓扑性质描述的一种方式。

拓扑结构由开集构成，满足以下三个条件：（1）空集和整个集合都是开集；（2）两个开集的交集仍然是开集；（3）有限个开集的并集仍然是开集。

1.3 拓扑空间拓扑空间是一个有序对，包括一个集合和一个定义在集合上的拓扑结构。

二、拓扑学的基本定理在拓扑学中，有一些基本定理被广泛应用于研究和解决问题。

接下来，我们将介绍几个重要的基本定理。

2.1 连通性定理连通性定理指出，如果一个拓扑空间是连通的，那么它的子空间也是连通的。

这个定理在拓扑学中有着广泛的应用，可以帮助我们研究和理解拓扑空间的性质。

2.2 压缩映射定理压缩映射定理是拓扑学中的另一个重要定理，它说明了在一个完备度量空间中存在唯一的压缩映射。

这个定理在动力系统和微分方程等领域有着广泛的应用。

2.3 闭集和极限点定理闭集和极限点定理是拓扑学中的两个基本概念。

闭集是指包含了所有极限点的集合，而极限点是指集合中存在收敛于它的序列。

闭集和极限点定理可以帮助我们判断拓扑空间的性质和证明定理。

三、拓扑学的应用除了在数学中的应用，拓扑学还在其他学科中有着广泛的应用，包括物理学、计算机科学和生物学等领域。

3.1 物理学中的应用在物理学中，拓扑学可以帮助我们理解和解释一些复杂的物理现象。

例如，在凝聚态物理中，研究拓扑态可以揭示材料的独特性质和电子结构。

拓扑关系
各空间数据间的相互关系
01 定义
目录
02 拓扑
03 类别
04 拓扑数据结构
05 常见拓扑结构
06 由来
拓扑关系是指满足拓扑几何学原理的各空间数据间的相互关系。即用结点、弧段和多边形所表示的实体之间 的邻接、关联、包含和连通关系。如：点与点的邻接关系、点与面的包含关系、线与面的相离关系、面与面的重 合关系等。
拓扑
是将各种物体的位置表示成抽象位置。 在络中，拓扑形象地描述了络的安排和配置，包括各种结点和结点 的相互关系。拓扑不关心事物的细节也不在乎什么相互的比例关系，只将讨论范围内的事物之间的相互关系表示 出来，将这些事物之间的关系通过图表示出来。
类别
非拓扑属性
拓扑属性
两点之间的距离；一个点指向另一个点的方向；弧段的长度；一个区域的周长；一个区域的面积。
多面体的欧拉定理折叠
在拓扑学的发展历史中，还有一个着名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果 一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。
谢谢观看
星型络拓扑结构的一种扩充便是星行树。每个Hub与端用户的连接仍为星型,Hub的级连而形成树。然而,应当 指出,Hub级连的个数是有限制的,并随厂商的不同而有变化。
树型结构是分级的集中控制式络，与星型相比，它的通信线路总长度短，成本较低，节点易于扩充，寻找路 径比较方便，但除了叶节点及其相连的线路外，任一节点或其相连的线路故障都会使系统受到影响。
总线结构的优点是信道利用率较高，结构简单，价格相对便宜。缺点是同一时刻只能有两个络节点相互通信， 络延伸距离有限，络容纳节点数有限。在总线上只要有一个点出现连接问题，会影响整个络的正常运行。在局域 中多采用此种结构。

数学中的拓扑学与空间结构知识点数学的拓扑学是研究空间与连续映射之间关系的一个重要分支。

它研究的是空间的性质，而不关注具体的度量和距离。

拓扑学通过引入拓扑结构，研究了空间中的开集、闭集、连通性、紧性、连续映射等概念。

本文将介绍拓扑学与空间结构的一些基本知识点。

一、拓扑空间拓扑空间是拓扑学的基础概念，是一种通过集合和集合之间的关系来描述空间的数学结构。

一个拓扑空间由两部分组成：一个非空集合X和定义在X上的一组称为拓扑结构的子集。

拓扑结构由开集满足一定条件所构成。

二、开集与闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个重要的概念。

开集是指一个集合的每个点都内含于该集合内，而闭集则是指其补集是开集。

开集和闭集的概念相互补充，且它们具有一些基本的性质，如交和并的封闭性等。

三、连通性连通性是拓扑学中描述空间连通程度的一个概念。

一个空间是连通的，当且仅当不存在将其分割为非空开集A和B的分离集。

连通性可以用来描述空间的整体性质以及空间是否“断裂”。

四、紧性紧性是拓扑学中的一个重要概念，它描述的是空间中点的有限覆盖性质。

一个拓扑空间称为紧的，当且仅当它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

紧性是一种关于空间紧凑性质的推广，具有许多重要的性质和应用。

五、同胚与拓扑不变量同胚是拓扑学中研究空间间的一种等价关系，它描述的是两个拓扑空间之间的一一对应关系。

如果两个拓扑空间之间存在一个连续和双射的映射，并且该映射的逆映射也连续，则它们是同胚的。

同胚关系可以保持拓扑空间的一些重要性质，如连通性、紧性等。

总结：数学中的拓扑学与空间结构是一门重要的数学学科，它研究的是空间中的性质，并通过引入拓扑结构来描述和分析空间的特征。

本文简要介绍了拓扑空间、开集与闭集、连通性、紧性、同胚与拓扑不变量等知识点。

拓扑学在数学以及与其相关的诸多领域中有着广泛的应用，对于理解和分析空间的特性具有重要的意义。

通过学习拓扑学，我们可以深入理解数学中的空间结构，为解决实际问题提供有力的工具和方法。

• On the surface of the earth. • Involves location and organization.
Scale
• Can be from general to specific. • Simple to complex. • A satellite can generate one terabyte
降水、坡度等 小尺度
大尺度 地层岩性、地址构造
朱吉祥，区域灾害评价的尺度效应，中国地质科学院硕士学位论文，2012, 5.
实例：房山土地利用动 态度格局随粒度 的变化而变化
3、空间数据模型分类
根据GIS数据组织和处理方式，目前地理空间数据的概念 模型大体上分为三类，即对象模型、网络模型和场模型。
选 择 •地 理 要 素 尺 度 上 有 相 城 市 规 划 、
县级土地利用：
同的表现
全球气候变
1:1万
化
栅格：纹理特征提取中，
窗口大小的选择
尺度 效应
•将 问 题 定 义 为 某 尺 度 区 域 地 理 灾 •地 理 要 素 尺 度 上 有 不 害 评 价 同的表现
M A U P 问 题 （ 取样空间的尺
度问题及划区问题,统称为可塑
性面积单元问题(MAUP)：
• 粒度：房山区土地利 用动态度
• 区域：美国总统选举 区的划分
繁 跨 尺 •将 问 题 定 义 为 某 尺 度 蝴 蝶 效 应
度 互 •不 同 尺 度 地 理 要 素 间
动
存在互动关系
反恐事件中Multi-agent 的模拟
实例：地质灾害影响因素的变化
场模型
也称作域（field）模型，是把 地理空间中的现象作为连续的 变量或体来看待，如大气污染 程度、地表温度、土壤湿度、 地形高度以及大面积空气和水 域的流速和方向等。连续变化 的空间现象难以观察，一般通 过获取足够高精度的样点观测 值来表征场的变化。如样点、 规则网格、不规则网格、等值 线。

3 矢量数据结构
矢量结构是通过记录坐标的方式来表示点、线、面等 地理实体。
特点：定位明显，属性隐含。 获取方法： (1) 手工数字化法； (2) 手扶跟踪数字化法； (3) 数据结构转换法。
2020/10பைடு நூலகம்6
空间数据库
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二、地理信息空间数据结构 地理信息数字化描述方法
2020/10/6
空间数据库
一般讲实体特征愈复杂，栅格尺寸越小，分辨率愈高，然 而栅格数据量愈大（按分辨率的平方指数增加）计算机成 本就越高，处理速度越慢。
2）方法：用保证最小多边形的精度标准来确定尺寸经验公 式： h为栅格单元边长；Ai为区域所有多边形的面积。
2020/10/6
空间数据库
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三、地理数据的编码方法
6 栅格单元代码确定
1 2 22
1
22
1
1
1
1 1
8 88 88 88
1 1
1
88 88 8 88
8 8 88 888 88 8 88 888
1
88 88 88 88
1
88 88 88 88
2020/10/6
空间数据库
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二、地理信息空间数据结构
(x2,y2)
地图的矢量和栅格表示
(x1,y1) (x3,y3)
(x4,y4)
三级、六位整数代码描述地图要素： 1）地图要素类别：水系、居民地、交通网、境界、地 貌、植被和其他要素七类；01~07 2）要素几何类型：点、线、面；00~39 ，40~69 ， 70~99 3)要素的质量特征：道路的等级，普通或简易道路；
2020/10/6
空间数据库
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三、地理数据的编码方法

ArcCatalog的Geodatabase中所提供的创建拓扑规则， 的 中所提供的创建拓扑规则， 中所提供的创建拓扑规则 主要是用于进行拓扑错误的检查， 主要是用于进行拓扑错误的检查，其中部分规则可以在 所设容差内对数据进行一些修改调整。 所设容差内对数据进行一些修改调整。建立好拓扑规则 就可以在ArcMap中打开由拓扑规则所产生的文件， 中打开由拓扑规则所产生的文件， 后，就可以在 中打开由拓扑规则所产生的文件 根据错误提示对图层进行修改。 根据错误提示对图层进行修改。 ArcMap中的拓扑工具条主要功能有对线拓扑，删除重 中的拓扑工具条主要功能有对线拓扑， 中的拓扑工具条主要功能有对线拓扑 复线、相交线断点（planarize lines），根据线拓扑生 复线、相交线断点（ ），根据线拓扑生 ）， 成面（ ），拓扑编辑 成面（construct features），拓扑编辑（如共享边编 ），拓扑编辑（ 辑等），拓扑错误显示（用于显示在ArcCatalog中创 ），拓扑错误显示 辑等），拓扑错误显示（用于显示在 中创 建的拓扑规则错误， 中的error inspector）， 建的拓扑规则错误，topolopy中的 中的 ）， 拓扑错误重新验证（也即刷新错误记录）。 拓扑错误重新验证（也即刷新错误记录）。
1(最高)<=Rank<=50 1(最高)<=Rank<=50 最高
拓扑规则（重点） 拓扑规则（重点）
拓扑规则是对地理对象之间的重合、 拓扑规则是对地理对象之间的重合、相邻和连 通等空间关系的定义。 通等空间关系的定义。 ArcGIS拓扑规则可作用于 ArcGIS拓扑规则可作用于 同一要素数据集中的不同要素类 同一要素类中的不同要素 要素子类（ 要素子类（Subtype)
拓扑级别

《拓扑学》教案教案整本书全书电子教案拓扑学教案完整版一、教学目标- 了解拓扑学的基本概念和原理- 掌握拓扑空间的性质和基本性质- 能够应用拓扑学的方法解决实际问题二、教学内容1. 拓扑学概述- 定义和基本概念- 拓扑空间与度量空间的比较- 拓扑基础知识2. 拓扑空间- 拓扑空间的定义- 拓扑空间的性质和基本性质- 拓扑空间的分类3. 连通性与紧性- 连通性的概念和判定方法- 紧性的概念和判定方法- 连通性和紧性的关系4. 映射与同胚- 映射的定义和性质- 同胚的概念和判定方法- 同胚的基本性质和应用5. 因子空间与商拓扑- 因子空间的定义和性质- 商拓扑的概念和判定方法- 因子空间和商拓扑的关系三、教学方法1. 授课讲解：通过系统的讲解拓扑学的理论知识和概念，引导学生对拓扑学进行深入理解。

2. 示例分析：通过具体的例子和实际问题，指导学生运用拓扑学的方法进行分析和解决问题。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作，提高学生的问题解决能力和拓扑思维能力。

4. 实践应用：组织学生参与实际拓扑学相关问题的实践活动，提升学生的实际应用能力和创新能力。

四、教学评价1. 课堂表现：考察学生对拓扑学知识的理解和掌握情况，包括积极参与讨论、提问和回答问题等方面。

2. 作业评定：布置与拓扑学相关的作业，通过评定作业的完成情况和质量，评价学生的拓扑学研究效果。

3. 考试评测：通过拓扑学的理论考试，评测学生对拓扑学知识的掌握情况和应用能力。

五、教学资源- 教材：《拓扑学教材》- 参考书：《拓扑学导论》、《拓扑学原理》- 多媒体教具：投影仪、电脑、幻灯片等六、教学进度安排1. 第一周：概述、拓扑空间2. 第二周：连通性与紧性3. 第三周：映射与同胚4. 第四周：因子空间与商拓扑5. 第五周：复和总结以上是《拓扑学》教案完整版，希望能够帮助到您。

如有需要，可以进一步讨论和调整。

二 拓扑花絮
The Stories of Topology 拓扑等价 B
（一）七桥问题 哥尼斯堡七桥问题 欧拉与一笔画 一笔画与拓扑学
A C B D A C D
拓扑学（Topology）是研究图形在连续变形 拓扑学（Topology） 情况下, 图形所具有的不变性。 情况下, 图形所具有的不变性。
四 拓扑结构的应用
How Topology Works
（三）数字化错误(Topological Errors) 数字化错误 是否数字化的地图直接就可以建立拓扑关系呢？ 是否数字化的地图直接就可以建立拓扑关系呢？ 想象一下如果弧段3 想象一下如果弧段3没有连 接上节点a 接上节点a，我们就得不到 闭合的多边形。P2无法创建！！ 闭合的多边形。P2无法创建！！ a 无法创建 或者，如果弧段2延伸过了 或者，如果弧段2 节点b 节点b（我们表识为弧段 那么，弧段4 4） 。那么，弧段4的左右 多边形是什么呢？没有！！ 多边形是什么呢？没有！！
空间关系
车站 黄色车道 蓝色车道 高速路
从车站到家，怎么走？ 从车站到家，怎么走？ 道路两旁的地类一样吗？ 道路两旁的地类一样吗？
一、相关知识的回顾( Review )
•（一）地理空间(Geographic Space) （
几何学（geometry） 理论基础是几何学（geometry）
绝对空间 几何空间） （几何空间） 相对空间 拓扑空间） （拓扑空间） 几何意义 投 影 变 换
1 P1 2 P2 3
b
4
下节课内容预告
Prevue of Next Lesson 下次课为配套的实验课程， 下次课为配套的实验课程，我们将和大家来学习拓扑 查错。 查错。 ARCGIS提供了丰富的拓扑规则 提供了丰富的拓扑规则（ rules） ARCGIS提供了丰富的拓扑规则（topology rules）来 帮助我们规范化地图数据。 帮助我们规范化地图数据。

第二节 连续映射与同胚映射
• 2．1连续映射旳定义
• 2．2连续映射旳性质 下列映射一定连续：
• 2．3同胚映射
下面求f 旳逆映射，为此令
第三节 乘积空间与拓扑基
• 在第一节中，我们曾提出过如下问题： • 问题3 设11(,X τ) 和22(,X τ) 都是拓扑空间，
第一章 拓扑空间与连续映射
第一节 拓扑空间
数学分析中连续概念旳刻画
1．1 拓扑空间旳定义
例子
Ex.5 （欧氏拓扑）设R是全体实数 旳集合，
拓扑旳比较
• 问题1（怎样构造详细旳拓扑）
• （1）若X有一种元素，则X上一共有几种拓 扑？（1个）
• （2）若X有两个元素，则X上一共有几种拓 扑？（4个）
则怎样给出1 XX×2 上旳拓扑构造τ？（乘 积拓扑） • 3.1 乘积空间
• 1． 投射：
注：τ是满足这两个投射都连续旳最小拓扑。 （思索为何要这么？）
• 2． 生成旳子集族：设Γ是X旳一种子集族， 要求新旳子集族
类似地，能够给出有限个拓扑空间旳 乘积空间。 任意多种集合旳笛卡尔积
无限个拓扑空间旳乘积空间定义比较麻 烦，一般有两种：
• 3.2 乘积空间旳性质
• 3．3 拓扑基
想法：度量空间中旳开集是若干个互不相交 旳球形邻域旳并。度量拓扑抽象出来旳。
• Pro1. Γ 是集合X 旳拓扑基旳充分必要条件 是：
• 补充知识：拓扑空间旳子基 （可参照熊金 城《点集拓扑讲义》）
• （3）若X有三个元素，则X上一共有几种拓 扑？（29个）
• （4）若X有n（）个元素，则4n≥X上一共 有几种拓扑？(思索题)
• 1.2 由度量诱导旳拓扑
• 1．3拓扑空间中旳几种基本概念 • 闭集 • Def. 1 拓扑空间X旳子集A称为闭集，假如

开邻域为},{a, b}, X {a
。
定义3.1.4 设( X , ) 是一个拓扑空间，xn } X 是一序 {
列， X 。如果任给x的邻域U，都存在正整数N，当 x
n N 时，有 xn U ，则称x是序列 { xn }的极限, 或称
{ xn } 收敛于x，记为 lim xn x n
{(0,1) (0,1)} {(1, 2) (1, 2)}
不能表示为 Ai B j ( Ai , B j ) .
设 ( X 1 , 1 ), ( X 2 , 2 )是两个拓扑空间，令
( Ai B j ) | i I , j J i, j
i
A ; 有A ;
i i i
扑 一起称为拓扑空间，记为( X , ) 。
例3.1.1 实数集 R 上的拓扑 { A | A R, 且 A 能表示开区间之并} 例3.1.2 R n上的拓扑 { A | A R n , x A, 0,U ( x, ) A}
例3.1.6 设 ( R, ) 是拓扑空间，对任意 x R ，则开区 间簇 ( x 1 , x 1 ) | n 1, 2, 是x的邻域基。 n n
定义3.1.6 设 ( X , )是一个拓扑空间，如果存在一簇 开集 ，使得对任意 A ，有 A Bi , Bi ， 则称 是拓扑空间 ( X , ) 的拓扑基，简称 为拓扑空间
称 (W , W ) 为 ( X , ) 的子拓扑空间或拓扑子空间，并称
W 为 诱导的拓扑。
规定：W是拓扑空间X的子拓扑空间意指W上的拓扑
由X上的拓扑所诱导。
定理3.1.6 设 (W , W ) 是拓扑空间 ( X , ) ，则