【数学】山西省原平市第一中学2014届高三上学期第一次月考(文)16

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山西省原平市第一中学2014届高三上学期第一次月考(文)一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分。

在每一题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=A A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则( ). A .A ⊂≠BB .B ⊂≠AC .A=BD .A ∩B=∅2.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为( ). A.4)2(22=++y x B. 4)2(22=-+y x C. 4)2(22=+-y xD. 4)2(22=++y x3.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ).A .ln(2)y x =+B .y =C .1()2xy = D .1y x x=+4.已知点M 的极坐标为(3,5π-),下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( ). A. (32,5π-) B. (35,5π--) C. (3,5π) D. (34,5π) 5.在极坐标系中,与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为( ).A .2sin =θρB .2cos =θρC .4cos =θρD .4cos -=θρ6. 设命题p :函数x y 2sin =的最小正周期为2π;命题q :函数x y cos =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是A. p 为真B. q ⌝为假C. p q ∧为假D. p q ∨为真7. 在极坐标系中,圆心在(0,2),且过极点的圆的方程为 ( ). A .θρsin 22-=B . θρsin 22=C .θρcos 22-=D .θρcos 22=8.直线12+=x y 的参数方程是( ).A.⎩⎨⎧+==1222t y t x (t 为参数) B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x (t 为参数)C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x (t 为参数) D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x (t 为参数) 9.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x (t 为参数)表示的曲线是( )。

A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分10.若点P (3,m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x =4t 2,y =4t (t 为参数)上,则|PF |等于( ).A .2B .3C .4D .511.在极坐标系中,曲线)3sin(4πθρ-=关于( ).A .点)6,2(π中心对称B .极点中心对称C .直线3πθ=对称D .直线65πθ=对称 12.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x (θ为参数),直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( ).A. 相交而不过圆心B. 相交过圆心C.相切D.相离 二、填空题:本大题共有4小题,每小题5分,共20分。

13.在同一平面直角坐标系中,直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 .14.设直线参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 23322(t 为参数),则它的斜截式方程为 . 15.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点,则|AB|= .16.直线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 2322 (为参数)被双曲线122=-y x 截得的弦长为 . 三、解答题:本大题有6题,,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(10分) (1)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,y ′=y 后,曲线C 变为曲线x ′2-9y ′2=9,求曲线C 的方程.(2)阐述由曲线y =sin x 得到曲线y =3sin2x 的变化过程,并求出坐标伸缩变换.18.(12分) 在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =-1+sin θ, (1)判断曲线C 的形状? 并写出曲线C 与y 轴交点的极坐标. (2) 若曲线C 与直线x +y +a =0有公共点,求实数a 的取值范围.19. (12分) 已知函数()cos()()46xf x A x R π=+∈,且()3f π= (1)求A 的值;(2)设,[0,]2παβ∈,43028(4),(4)31735f f ππαβ+=--=;求cos()αβ+的值.20. (12分) 已知函数a ax x a x x f ---+=232131)(,x ,且函数)(x f 的图像在点(2, )2(f )处的切线斜率为3,(1)求a 的值;(2)求函数)(x f 的单调区间.21.(12分) 已知直线l 经过点P (2,1),倾斜角3πα=.(1) 写出直线l 的参数方程; (2) 设l 与圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =2sin θ(θ为参数)相交于点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之和.22.(12分) 在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C 的极坐标方程为06)4cos(242=+--πθρρ.(1) 将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2) 若点P (x ,y )在圆C 上,求x +y 的最大值和最小值.参考答案11.⎩⎨⎧='='yy xx 4; 12.3233-+=x y ; 13.32; 14.。

三.解答题17. 解:(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,y ′=y代入x ′2-9y ′2=9得 99)3(22=-y x ,化简为122=-y x 所以曲线C 的方程为122=-y x 。

…… 5分 (2)y =sin x 的图像上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,得到y =sin2x 的图像,再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变,得到曲线y =3sin2x 的图像. …… 7分设y ′=3sin2x ′,变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λx ,λ>0y ′=μy ,μ>0.将其代入y ′=3sin2x ′得x y λμ2sin 3=,与x y sin =对比得⎩⎪⎨⎪⎧μ=3λ=12,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12xy ′=3y. …… 10分 18.解:(1)把曲线方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =-1+sin θ,化为普通方程得1)1(22=++y x,可知曲线C是以(0,-1)为圆心,半径为1的圆. …… 2分它与y 轴的交点为(0,0)、(0,-2)化为 …… 4分 极坐标为(0,0)、(2,23π); …… 6分 (2)解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θy =-1+sin θ,∴x 2+(y +1)2=1.由圆与直线有公共点,得d =|0-1+a |2≤1, …… 9分解得1-2≤a ≤1+ 2. …… 11分 所以实数a 的取值范围为[]21,21+- …… 12分19.(1)()cos234f A A ππ=⇔=⇔= …… 4分(2)43015158(4)cos()sin ,cos 3172171717f ππαααα+=-⇔+=-⇔==…… 7分 2843(4)cos ,sin 3555f πβββ-=⇔== …… 10分 4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- …… 12分 20. 解:(1)∵a ax x a x x f ---+=232131)(, ∴a x a x x f --+=)1()(2' …… 2分 又∵函数)(x f 的图像在点(2, )2(f )处的切线斜率为3,∴3)2('=f ,即32)1(22=-⨯-+a a ,解得1=a …… 6分 (2)由(1)得1)(2'-=x x f∴当1>x 或1-<x 时,0)('>x f …… 8 分 当11<<-x 时,0)('<x f …… 10分 因此,函数)(x f 的单调增区间为(]1,-∝-、[)∝+,1,单调减区间为)1,1(- …… 12分21.解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos π3,y =1+t sin π3,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 231212. …… 4分 (2)圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =2sin θ 的普通方程为x 2+y 2=4. …… 6分把直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 231212 代入x 2+y 2=4,得4)231()212(22=+++t , 整理得01)32(2=+++t t …… 8分设A 、B 两点对应的参数分别为t 1, t 2 则t 1+t 2=-(3+2), t 1,t 2=1, …… 10分所以PB PA +=21t t +=)(21t t +-= 32+.因此, 点P 到A 、B 的距离之和为32+. …… 12分 22.解 (1)由ρ2-42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4+6=0,得ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0,即x 2+y 2-4x -4y +6=0为所求, …… 3分 由圆的标准方程(x -2)2+(y -2)2=2, 令x -2=2cos α,y -2=2sin α, 得圆的参数方程为⎩⎨⎧x =2+2cos α,y =2+2sin α(α为参数). …… 6分(2)由上述可知x +y =4+2(cos α+sin α)=4+2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4, …… 10分故x +y 的最大值为6,最小值为2. …… 12分。