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h
l0
l1
O
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
解 我们用曲线 h x 在t0 , t1 , t2 处的切线 , 刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的 变化情况 .
h
1当t t0时,曲线 ht 在
t0处的切线 l0平行于 x 轴. 所以, 在t t0附近曲线比 较平坦 , 几乎没有升降 .
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
函数在点 x0 处的导数 f ( x0 )、导函数 f ( x) 、导数 之 间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f ( x0 ) ，就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x) 在 x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x x0 处的导数 的方法之一。
cm g/ m l
1 .1 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1
0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7 0 .8
0 .9
1 .0
1 .1
t m in
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 , 就是 药物浓度 f t 在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
2
t0
t1
t2
t
单调递减 . 从图1.1 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜 程度, 这说明曲线 ht 在t1附近比在 t2附近下降得缓慢 .
例 3 如图 1 .1 4 , 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .
继续观察图 1.1 2或动画演示, 可以发现, 在点 P附近, PP2比PP 1更贴近曲线 f x , PP 3 比 PP2 更贴近曲线 f x 过点P的切线 PT 最贴近点P附近的曲线 f x .因此 , 在点 P 附近,曲线 f x 就可以用过点P的切线 PT近似代替.
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是
O
P
P3
T
T
P4 P
x
O
x
什么?
3
4
图1.1 2
我们发现,当点Pn 趋近于点P时, 割线 PPn 趋近于确 定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为过点P的 切线 tan gent line .值得关注的问题是 , 割线PPn的 斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢?
图1.1 4
f 0.8 1.4. 下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 , 验证 一下, 这些值是否正确 .
'
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率 , 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线 ,它的斜率约为 1.4, 所以
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不用？
f xn f x0 容易知道 , 割线 PP . n的斜率是 k n xn x0 当点 Pn无限趋近于点 P时, k n无限趋近于切线 PT 的斜率.因此, 函数 f x 在x x0处的导数就是切 线PT的斜率 k .即 f x0 x f x0 k lim f ' x0 . x 0 x
(简称导数 ). y f x 的导函数有时也记作 f x x f x ' ' ' y , 即 f x y lim . x 0 x
归纳:求切线方程的步骤 （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
药物浓度的瞬时变化率 f t 0.4 0 0.7 1.4
'
t
0.2 0.4
0.6
0.8
从求函数 f x 在 x x0 处导数的过程可以 看到,当 x x0 时, f ' x0 是一个确定的数 .这 样,当 x 变化时, f ' x 便是 x 的一个函数, 我 们称它为f x 的导函数 (derivative function)
O
l0
l1
l 2当t t1时,曲线ht 在t1 图1.1 3 处的切线 l1的斜率 h`t1 0.所以, 在t t1附近曲线下 降, 即函数 ht 在t t1附近单调递减 . 3当t t2时,曲线 ht 在t2处的切线 l2的斜率 h`t2 0. 所以, 在t t2附近曲线下降 , 即函数 ht 在t t1附近也
1.1.3 义
导数的几何意
我们知道, 导数 f x0 表示函数 f x
'
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函 么, 导数 f x0 的几何意义是什么呢 ?
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况 .那
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn 沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 x)2 1] (12 1) 2x x 2 y |x1 lim lim 2 x 0 x 0 x x
y 2 2( x 1) 2x y 0
例 2 如图1.1 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h t 4.9 t 2 6.5 t 10 的 图象 . 根 据图象, 请描 述、比较曲线 ht 在t0 , t1 , t2附近的变化情况 .
数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .
例1: （1）求函数y=3x2在点处(1,3)的导数.
3x 2 3 12 3( x 2 12 ) y |x 1 lim lim lim3( x 1) 6 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
