单摆法测重力加速度的实验研究论文

u 单摆法测重力加速度的实验研究
班级：15 学号：10141511、10141515 姓名赵佳辉、林泽升
指导教师：彭庶修
摘要：单摆法是测量重力加速度常用的方法之一，是一个不能伸长的轻质细线和悬挂在此线下端的重球构成。

在过程中将悬挂的小球拉离平衡位置，然后释放，摆球在平衡位置开始摆动。

此过程可测得单摆摆长L ，摆动周期T ，即可计算当地的重力加速度g 。

关键词：单摆；g 值；实验研究
引言
重力是地球对物体万有引力的一个分力有重力就产生了重力加速度。

重力加速度会随高度，纬度不同而变化，则测每个地方的重力加速度成为必要。

测重力加速度一般采用单摆，这种方法需测得周期、摆长、周期数、摆球的线度、摆角等，然而在测量中不同条件将产生不同的误差，应对每个误差进行分析，选择最准确的一组进行计算。

一、方案设计
（一）物理模型与数学公式推导
设在某一时刻，单摆的摆线偏离竖直线的角位移为θ，并
规定摆锤在平衡位置的右方时，θ为正；在左方时，θ为
负。

若悬线长为l ，则重力P 对点A 的力矩为θsin mgl M -= 负号表示力矩方向与角位移θ的方向相反，拉力F T 对该点的力矩 为零。

当角位移θ很小时（小于5°），sin θ≈θ,则摆锤所受的力矩 为θmgl M -=
式中M 与θ的关系，恰似弹性力F 与位移x
单摆的角加速度为J
mgl dt d θ
θ-=2
2
式中J 是摆锤对悬挂点A 的转动惯量（2
ml J =）。

因此，上式可写成
022
=+θθl
g
dt d
上式表明，在θ很小时，单摆的角加速度与角位移成正比但方向相反，它与简谐运动的式子形式完全一样。

可见单摆的运动具有简谐运动的特征，因而也是简谐运动。

可得单摆的角频率和周期分别为
22
dt d J
M θ=
F T
m
P
P
p
L FT
图1 单摆受力分析
g m 2.00≈cm 5.1r ≈cm L 100≈g
100m ≈2
/8.7cm g ≈ρ3
30/103.1cm g -⨯≈ρ︒
=3θ l g =
ω g
l T π2= 可见，单摆的周期决定于摆长和该处的重力加速度。

利用上式可通过测量单摆的周期以确
定该地点的重力加速
（二）实验仪器
单摆装置，电子秒表（s 01.0），游标卡尺(mm 02.0)，钢卷尺(mm 1)。

（三）误差分析与仪器的选择及测量方法设计
1、对系统误差的估算
在实际实验中，质点用一摆球，用一根细线，尽管在制作中，使摆球尽量小，可以看成质点，悬线尽量细轻，其质量近于忽略，受力变化引起的摆长变化也忽略，但上述原因毕竟不能实现理想的数学模型。

加之空气浮力和空气阻力等诸多因素，都会对实验结果带来系统误差。

设摆线长度L ,质量为0m ；摆球半径为r ，质量为m ,密度为ρ；空气密度为0ρ 据此，修正公式为
式中28θ是取一级近似时的修约正项；ρ
ρ
0是考虑空气对对浮力和粘滞阻力引起
的修正，是理论推导和经验测定的；最后两项是把实际装置视为刚体绕定轴的运动面从理论上推导的。

若 令
可估算得
本实验要求准确度为0.5%=故上述各项系统误差可暂不考虑，待测出结果在讨论。

2、对量具的选择（测长度与时间）
电子秒表（s 01.0），游标卡尺(mm 02.0)，钢卷尺(mm 1)。

3、测量方法的设计
4
-2
10
3.48⨯≈θ4-0
101.6⨯≈ρ
ρ40
2
2104.2652r -⨯≈-m
m L )65281(40220222m
m L r T L g -+++=ρρθπ3105-⨯
对摆长L ，不同的单摆装置有不同的测量方法。

本实验中摆长应是悬挂点与球心之间距离，即 L=l +d/2。

测量摆动周期的具体做法是：在单摆经过平衡位置瞬间开始按秒表计时，经过N 个整周期的时间单摆又同方向地经过平衡位置时，再按秒表钮终止计时。

在测50~100个T 0时，因为需要一个周期、一个周期地累计振动次数，就容易使人疲劳，而且常会数错。

用另一种测周期的方法———“渐进法”。

(1)先测30个周期（这一步骤仍需一个一个周期地数），由此得到的周期值当然不够精确，将其作为第一次近似值，用0T '表示，设300T '=58.45s ，则0T '=1.948S.(2)再预期大约100个整周期的时间，约需3min 以上。

让单摆重新平稳地摆动，设某次当它由左向右经过平衡位置时按下秒表按钮，秒表开始计时，经过3min 后再观察单摆。

当某次它又由左向右经过平衡位置时，再按动秒表按钮，秒表停止走动。

记下初、终时刻，即可得到n 个全振动的时间n t 。

设n t =202.85s 则 n=n t /0T '=202.85/1.948=104.1
可以认为次数n 应是整数，取104，于是算得T 0为
T 0=n t /104=1.950s
显然，T 0值比0T '值精确，而且避免了计读摆动次数过多带来的眼睛疲劳和容易失误的缺点，只须初、终两次按动表钮时力求准确即可。

实验时先不忙着揿秒表计数，而应该熟悉它经过平衡位置的情况，眼看而口念：“0”、“0” ……，使自己合着单摆振动的节凑而读音，等到有把握了然后在念到某个“0”时，再按下表钮，开始计算摆动次数，在终止计数时，也依上法按表钮，如此可减小测量误差。

在正式测量前，应先测单摆振动5个整周期的时间，共进行5~10次，从中判断出自己测量结果的重复程度如何，以决定是否能立即正式进行测量。

4、注意事项
（1）实验所用的单摆应符合理论要求，即线要细、轻、不伸长，摆球要体积小质量大（密度大），并且偏角不超过10度
（2）单摆悬线上端要固定，即用铁夹夹紧，以免摆球摆动时摆线长度不稳定。

（3）计算单摆振动次数时，以摆通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计数。

这样可以减小实验误差。

（4）测量单摆周期时，应使单摆在同一平面内摆动，避免成为圆锥摆
（5）测量时间尽量一个人，由于测时间是，个人主观不同，时间相差也会很大。

b
二、实验验证设计方案
1、固定摆长下测量单摆振动周期（渐近法），然后计算求重力加速度g。

数据记录与处理表1.
123456求和t3060.19 60.13 60.09 60.14 60.17 60.15 360.87 数据记录与处理表2
/mm d /mm L/mm tn n T g Er 992.3 21.8 1003.2 196.8 98 2.008 9.821 0.35 综合表1与表2 的数据作处理得：
∴ g= 9.821 (m/s2)
若与本地重力加速度理论值 g=9.787m/s2相比较，则相对误0.35 % 。

2、研究单摆周期T2与摆长L的关系，进而用线性拟合求出重力加速度g。

数据记录与处理表3.
/mm d /mm L/mm123求和920.021.8930.958.1358.1558.17174.45 562.021.8572.944.1244.0944.15132.36 625.021.8635.947.2547.2247.22141.69 732.021.8742.950.1250.0850.11150.31 811.021.8821.954.9854.9954.96164.93 1110.021.81120.962.4362.4562.48187.36
1 2 3 4 5 6
L/m0.5730.6360.7430.8220.931 1.121 T2/S2 2.178 2.503 2.818 3.380 3.769 4.351
对表4 作线性拟合，得出斜率，相关系数，求出g值为9.771 m/s2，所作直线见下图。

与本地重力加速度理论值 g=9.787m/s2 相比较，相对误差为0.16% 。

三、结语
物理实验是一个训练学生动手能力的过程，这次物理设计性实验是一个很好的例子。

“单摆法测重力加速度”作为一个研究方案，较详细进行了物理模型的设计与公式的推导。

测量实验数据并对其进行了误差分析，测量出了当地重力加速度，两种方法测得结果误差均小于0.5%。

这增强学生的动手能力和思维能力，培养了自身独立思考问题能力。

参考文献：
[1] 钟江帆大学物理[M] 长春吉林大学出版社 2010、8
[2] 天津工业大学物理实验室编大学物理实验[M] 天津科学技术出版社 2005、1
[3] 陈守川大学物理实验教程 [M] 杭州淅江大学出版社 1995、1。