工程力学：第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能

第二单元第二章 杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能§2-1 引言工程实例: 连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩……等等。

力学特征: 构件：直杆外力：合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?)内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N ，它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。

规定拉力为正，压力为负。

变形：轴向伸缩§2-2 拉压杆的应力一、拉压杆横截面上的应力(可演示，杆件受拉，上面所划的横线和纵线仍保持直线，仅距离改变，表明横截面仍保持为平面)平面假设→应变均匀→应力均匀AN=σ或A P =σ(拉为正，压为负)二、Saint-Venant 原理(1797-1886，原理于1855年提出)问题：杆端作用均布力，横截面应力均布。

杆端作用集中力，横截面应力均布吗? 如图, 随距离增大迅速趋于均匀。

局部力系的等效代换只影响局部。

它已由大量试验和计算证实，但一百多年以来，无数数学力学家试图严格证明它，至今仍未成功。

这是固体力学中一颗难以采撷的明珠。

三、拉压杆斜截面上的应力(低碳钢拉伸，沿45°出现滑移线，为什么?)0cos =-P Ap αα ασ=α=αcos cos AP p ασ=α=σαα2cos cos pασ=α=ταα22sin sin p ()0=ασ=σm ax ()452=ασ=τmax方位角α：逆时针方向为正剪应力τ：使研究对象有顺时针转动趋势为正。

例1和例2，看书p17,18§2-3 材料拉伸时的力学性能(构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且与材料的力学性能有关。

拉伸试验是最基本、最常用的试验。

)一、拉伸试验P18： 试样 拉伸图绘图系统放大变形传感器力传感器--→→→→二、低碳钢拉伸时的力学性能材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料(低碳钢：典型塑性材料)四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线)（可听见响声，屈服极限s σ）、强化阶段（b σ强度极限）、局部变形(颈缩)阶段（名义应力↓，实际应力↑） 三(四个)特征点：比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名义应力下降、实际应力仍上升)。

第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能2.1 内容提要1．轴向拉压外力或外力合力沿杆轴线，杆的变形特征为轴向伸长或缩短。

2．轴力的符号、轴力图、拉压杆与圣维南原理拉压杆唯一的内力分量为轴力，用 F N 表示，规定拉了为正，压力为负。

（参见 1.1 －4，内力是相互作用力，截面法将它转化为外力进行计算，在截开的两部分上转化成的外力指向相反，但根据此定义所计算的内力符号相同）表示轴力沿杆轴变化情况的图线称为轴力图，作图时以平行于杆轴的坐标表示横截面位置，以垂直于杆轴的另一坐标表示轴力。

当作用外力沿横截面非均匀分布但合力沿杆的轴线时，根据圣维南原理，距非均匀分布外力一定距离（通常杆横向尺寸的 1～2 倍距离）之外，横截面上的应力可看作均 匀分布。

拉沿杆横截面各点仅存在正应力σ ，σ =F N A ，其中， A 是横截面面积，并规定拉应力为正，压应力为负。

与横截面成α 角的任意斜截面上，通常既存在正应力σα 又存在切应力τα 。

它们与 横截面正应力σ 的关系为σα = σ cos 2 α ，τα = 1σ sin 2α 23．材料在拉伸和压缩时的力学性质（1）低碳钢拉伸时的力学性质ⅰ）四个阶段低碳钢是典型的塑性材料，其应力应变关系呈现四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形（颈缩）阶段。

ⅱ）四个应力特征点比例极限σ p ：应力应变成比例的最大应力，当工作应力σ < σ p 时，σ = E ε ，其中 E 为材料的弹性模量， ε 为正应变。

弹性极限σ e ：材料只产生弹性变形的最大应力，与σ p 很接近。

屈服极限σ s ：使材料产生屈服的应力。

强度极限σ b ：材料能承受的最大应力。

ⅲ）两个塑性指标延伸率δ ：δ = l 1 - l ⨯100% ，其中l 与l 分别为试件试验段原长和断裂后的长度。

l 1 断面收缩率ϕ ：ϕ = A - A 1 ⨯100% ，其中 A 与 A 分别为试件试验段横截面的原A 1面积和断裂后的断口面积。

第二章轴向拉压应力与材料的力学性能题号页码2-1 (1)2-3 (2)2-5 (2)2-7 (3)2-9 (4)2-10 (4)2-15 (5)2-16 (6)2-18 (7)2-21 (8)2-22 (9)（也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）2-1试画图示各杆的轴力图。

题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-12-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2，载荷F =50kN 。

试求图示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为 100MPa Pa 10001m10500N 10508263=×=××==.A F σ－ 斜截面m -m 的方位角，o50−=α故有MPa 341)50(cos MPa 100cos 22.ασσ=−⋅==o α MPa 249)100sin(MPa 502sin 2.αστα−=−⋅==o 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 MPa 100max ==σσMPa 502max ==στ 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。

试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。

220GPa Pa 102200.001Pa 10220∆∆96=×=×≈=εσEMPa 220p ≈σ， MPa 240s ≈σ， MPa 440b ≈σ， %7.29≈δ 该材料属于塑性材料。

2-6 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。

若杆径d =10mm ，杆长 l =200mm ，杆端承受轴向拉力F = 12kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

若轴向拉力F =20kN ，则当拉力作用时与卸去后，杆的轴向变形又分别为何值。

第⼆章轴向拉压应⼒与及材料的⼒学性能第⼆章轴向拉压应⼒与及材料的⼒学性能2-1试画图⽰各杆的轴⼒图。

题2-1图解：各杆的轴⼒图如图2-1所⽰。

图2-12-2试画图⽰各杆的轴⼒图，并指出轴⼒的最⼤值。

图a与b所⽰分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。

题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，)(=2xqxqaF-N轴⼒图如图2-2a(2)所⽰，qa F 2m ax ,N =图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知， qa F =R qa F x F ==R 1N )(22R 2N 2)()(qx qa a x q F x F -=--=轴⼒图如图2-2b(2)所⽰，qa F =m ax N,图2-2b2-3 图⽰轴向受拉等截⾯杆，横截⾯⾯积A =500mm 2，载荷F =50kN 。

试求图⽰斜截⾯m -m 上的正应⼒与切应⼒，以及杆内的最⼤正应⼒与最⼤切应⼒。

题2-3图解：该拉杆横截⾯上的正应⼒为100MPa Pa 1000.1m10500N 10508263=?=??==－A F σ斜截⾯m -m 的⽅位⾓，ο50-=α故有 MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-?==οασσαMPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2-=-?==οαστα杆内的最⼤正应⼒与最⼤切应⼒分别为MPa 100max ==σσMPa 502max ==στ 2-5 某材料的应⼒-应变曲线如图所⽰，图中还同时画出了低应变区的详图。

试确定材料的弹性模量E 、⽐例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。

220GPa Pa 102200.001Pa10220ΔΔ96=?=?≈=εσEMPa 220p ≈σ, MPa 240s ≈σMPa 440b ≈σ, %7.29≈δ该材料属于塑性材料。