中考数学解析版试卷分类汇编：二次函数(2)

二次函数

一、选择题

1. （2017·湖北鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：

①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－a1

其中正确的结论个数有（ ）

A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个

【考点】二次函数图象与系数的关系，数形结合思想．

【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，则可对①进行判断；②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，则可对②进行判断；③

【解答】①解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＞0，

∴①正确；

②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，

∴②9a+3b+c＜0错误；

③∵C（0，c），OA=OC，

∴A（﹣c，0），

由图知，A在1的左边 ∴﹣c＜1 ，即c＞－1

∴③正确；

④把－a1代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，得

ac﹣b+1=0，

把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，

即ac﹣b+1=0，

∴关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－a1.

综上，正确的答案为：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

1. (2017·四川资阳)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）

A．m=n B．m=n C．m=n2D．m=n2

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．

又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），

∴点A、B关于直线x=﹣对称，

∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），

将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，

∵b2=4c，

∴m=n2，

故选D．

2. (2017·四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象．

【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象．

【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．

由图象，得﹣＞0．

由不等式的性质，得b＞0．

a＜0，y=图象位于二四象限，

b＞0，y=bx图象位于一三象限，

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键．

3. （2017·四川成都·3分）二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）

A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3）

C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断．

【解答】解：A、a=2，则抛物线y=2x2﹣3的开口向上，所以A选项错误；

B、当x=2时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；

C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；

D、当y=0时，2x2﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．

故选D．

4. （2017·四川达州·3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：

①abc＞0

②4a+2b+c＞0

③4ac﹣b2＜8a

④＜a＜

⑤b＞c．

其中含所有正确结论的选项是（ ）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．

【解答】解：①∵函数开口方向向上，

∴a＞0；

∵对称轴在原点左侧

∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，

∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故②错误；

③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），

∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，

∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，

∵对称轴为直线x=1

∴=1，即b=﹣2a，

∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，

∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0

∵8a＞0

∴4ac﹣b2＜8a

故③正确

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，

∴﹣2＜c＜﹣1

∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，

∴＞a＞；

故④正确

⑤∵a＞0，

∴b﹣c＞0，即b＞c；

故⑤正确；

故选：D．

5. （2017·四川广安·3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：

①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，

其中，正确的个数有（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．

【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；

∵图象开口向上，∴a＞0，

∵对称轴在y轴右侧，

∴a，b异号，

∴b＜0，

∵图象与y轴交于x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＞0，故②正确；

当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，

故④正确．

故选：B．

6. （2017·四川凉山州·4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．

【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．

【解答】解：观察二次函数图象可知：

开口向上，a＞0；对称轴大于0，﹣＞0，b＜0；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0．

∵反比例函数中k=﹣a＜0，

∴反比例函数图象在第二、四象限内；

∵一次函数y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0，

∴一次函数图象经过第二、三、四象限．

故选C．

7．（2017·山东烟台）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．

其中正确的有（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=﹣1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断．

【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△＞0，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac＜b2，故①正确，

∵x=﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，

∴a+c＜b，故②错误，

∴对称轴x＞1，a＜0，

∴﹣＞1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，故③正确．

8．(2017福州，11,3分)已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）

A． B． C． D．

【考点】坐标确定位置；函数的图象．

【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．

【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），

∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；

∵B（1，m），C（2，m+1），

∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．

故选C．